Class 9-10 Math Chapter 16 (Mensuration) Exercise 16.1 Solutions with Explanation

অনুশীলনী ১৬.১

১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর অপর বাহুদ্বয়ের একটি বাহু অপরটির $\dfrac{3}{4}$ অংশ হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, একটি বাহু $x$ মিটার; তাহলে অপর বাহু $\dfrac{3}{4}x$ মিটার।

পিথাগোরাসের সূত্র: $x^2 + \left(\dfrac{3x}{4}\right)^2 = 25^2$

বা, $x^2 + \dfrac{9x^2}{16} = 625$

বা, $\dfrac{25x^2}{16} = 625$

বা, $x^2 = 400$

$x = 20$ এবং অপর বাহু $= \dfrac{3}{4} \times 20 = 15$

ব্যাখ্যা: বাহুদ্বয়ের অনুপাত $3 : 4$ হওয়ায় ত্রিভুজটি $3-4-5$-এর বড় রূপ (গুণক 5)।

উত্তর: বাহু দুইটি 20 মিটার ও 15 মিটার।

২. 20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নামলে দেয়ালে মইয়ের উচ্চতা $= 20 - 4 = 16$ মিটার

মইয়ের গোড়া দেয়াল থেকে $x$ মিটার দূরে সরানো হলে মই, দেয়াল ও ভূমি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে

$x^2 + 16^2 = 20^2$

বা, $x^2 = 400 - 256 = 144$

$x = 12$

ব্যাখ্যা: শুরুতে মই খাড়া ছিল, তাই গোড়া দেয়ালের সাথেই (দূরত্ব 0) ছিল; তাই সরার দূরত্ব = $x$.

উত্তর: মইয়ের গোড়া 12 মিটার দূরে সরাতে হবে।

৩. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির $\dfrac{5}{6}$ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, ভূমি $b$ মিটার; সমান বাহু প্রতিটি $\dfrac{5}{6}b$ মিটার।

পরিসীমা: $b + 2 \times \dfrac{5}{6}b = 16$

বা, $\dfrac{8b}{3} = 16$

$b = 6$ এবং সমান বাহু $= 5$

উচ্চতা $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ [ভূমির অর্ধেক $3$]

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে শীর্ষ থেকে ভূমির উপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তর: ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার।

৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 25 সে.মি., 27 সে.মি. এবং পরিসীমা 84 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

তৃতীয় বাহু $= 84 - (25 + 27) = 32$ সে.মি.

অর্ধপরিসীমা $s = \dfrac{84}{2} = 42$

ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{42 \times 17 \times 15 \times 10}$

$= \sqrt{107100}$

$\approx 327.26$

ব্যাখ্যা: হেরনের সূত্রে $s - a = 17, s - b = 15, s - c = 10$।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 327.26 বর্গ সে.মি. (বইয়ের উত্তরের সাথে মিলেছে)।

৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহু 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল $6\sqrt{3}$ বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, প্রথমে বাহু $a$ মিটার; বাড়ানোর পর $(a + 2)$ মিটার।

বৃদ্ধি: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a+2)^2 - \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 6\sqrt{3}$

বা, $(a+2)^2 - a^2 = 24$

বা, $4a + 4 = 24$

$a = 5$

ব্যাখ্যা: $(a+2)^2 - a^2 = 4a + 4$ ব্যবহার করলে দ্বিঘাত ছাড়াই সহজে সমাধান হয়।

উত্তর: ত্রিভুজটির বাহু 5 মিটার।

৬. একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 26 \times 28 \times \sin \theta = 364 \sin \theta$

$364 \sin \theta = 182$

$\sin \theta = \dfrac{1}{2}$

$\theta = 30\degree$

ব্যাখ্যা: $\sin \theta = 0.5$ হলে $\theta = 30\degree$ অথবা $150\degree$ হতে পারে; বইয়ের উত্তর $30\degree$।

উত্তর: অন্তর্ভুক্ত কোণ $30\degree$।

৭. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, ভূমি $b$ মিটার। ক্ষেত্রফল $= \dfrac{b}{4}\sqrt{4 \times 10^2 - b^2} = 48$

বা, $b\sqrt{400 - b^2} = 192$

বর্গ করে: $b^2(400 - b^2) = 36864$

বা, $b^4 - 400b^2 + 36864 = 0$

বা, $(b^2 - 256)(b^2 - 144) = 0$

$b^2 = 256$ অথবা $b^2 = 144$

$b = 16$ অথবা $b = 12$

ব্যাখ্যা: দুইটি ভিন্ন ভূমিতে একই ক্ষেত্রফল সম্ভব: $b = 12$ হলে উচ্চতা $8$ ও ক্ষেত্রফল $48$; $b = 16$ হলে উচ্চতা $6$ ও ক্ষেত্রফল $48$।

উত্তর: ভূমি 12 মিটার অথবা 16 মিটার (বইয়ের উত্তরের সাথে মিলেছে)।

৮. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা পরস্পর $135\degree$ কোণ করে দুই দিকে চলে গেছে। দুই জন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় 7 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় 5 কিলোমিটার বেগে বিপরীত মুখে রওনা হলো। 4 ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান:

4 ঘণ্টায় প্রথম জন যায় $7 \times 4 = 28$ কিমি; দ্বিতীয় জন যায় $5 \times 4 = 20$ কিমি।

ধরি, দূরত্ব $d$। কোসাইন সূত্র: $d^2 = 28^2 + 20^2 - 2 \times 28 \times 20 \times \cos 135\degree$

$= 784 + 400 + 1120 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ [$\cos 135\degree = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$]

$\approx 1184 + 791.96 = 1975.96$

$d \approx 44.45$

ব্যাখ্যা: কোণ স্থূলকোণ হওয়ায় $\cos 135\degree$ ঋণাত্মক, তাই তৃতীয় বাহুর বর্গে যোগ হয়েছে।

উত্তর: দূরত্ব প্রায় 44.45 কিলোমিটার।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরে 44.44 কিমি দেওয়া আছে; আমাদের গণনায় 44.452 পাওয়া যায়, যা 44.45 হয়। পার্থক্য সম্ভবত গোলাকরণের কারণে।

৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু থেকে তিনটি বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 7 সে.মি. ও 9 সে.মি.। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a$ এবং অভ্যন্তরস্থ বিন্দু $P$; $P$ থেকে লম্ব $6, 7, 9$।

ত্রিভুজকে $P$ থেকে তিন ত্রিভুজে ভাগ করে ক্ষেত্রফল যোগ করি: $\dfrac{1}{2}a(6 + 7 + 9) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

বা, $11a = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

বা, $a = \dfrac{44}{\sqrt{3}} \approx 25.40$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{1936}{3} = \dfrac{484}{\sqrt{3}} \approx 279.44$

ব্যাখ্যা: সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ যেকোনো বিন্দু থেকে তিন বাহুর লম্বের যোগফল সবসময় উচ্চতার সমান ($22$ সে.মি.)।

উত্তর: বাহু প্রায় 25.40 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রায় 279.44 বর্গ সে.মি.।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরে 24.249 সে.মি. ও 254.611 বর্গ সে.মি. দেওয়া আছে। এই মান আসে লম্ব 6, 7 ও 8 (যোগফল 21) হলে। প্রশ্নে 9 লেখা থাকায় আমাদের উত্তর ভিন্ন; সম্ভবত প্রশ্ন বা উত্তরমালায় ছাপার ভুল আছে।

১০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির $\dfrac{11}{12}$ অংশ থেকে 6 সে.মি. কম এবং অতিভুজ ভূমির $\dfrac{4}{3}$ অংশ থেকে 3 সে.মি. কম। (ক) ভূমি $x$ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $x$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করো। (খ) ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। (গ) ত্রিভুজটির ভূমি 12 সে.মি. হলে এর পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) ভূমি $= x$, লম্ব $= \dfrac{11x}{12} - 6$, অতিভুজ $= \dfrac{4x}{3} - 3$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times x \times \left(\dfrac{11x}{12} - 6\right) = \dfrac{11x^2}{24} - 3x$ বর্গ সে.মি.

(খ) পিথাগোরাস: $\left(\dfrac{11x}{12} - 6\right)^2 + x^2 = \left(\dfrac{4x}{3} - 3\right)^2$

বা, $\dfrac{121x^2}{144} - 11x + 36 + x^2 = \dfrac{16x^2}{9} - 8x + 9$

144 দিয়ে গুণ করে: $121x^2 - 1584x + 5184 + 144x^2 = 256x^2 - 1152x + 1296$

বা, $9x^2 - 432x + 3888 = 0$

বা, $x^2 - 48x + 432 = 0$

বা, $(x - 12)(x - 36) = 0$

$x = 12$ অথবা $x = 36$

(গ) ভূমি $12$ হলে লম্ব $= 11 - 6 = 5$ এবং অতিভুজ $= 16 - 3 = 13$

পরিসীমা $= 12 + 5 + 13 = 30$ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $= \dfrac{30}{3} = 10$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: $x = 36$ হলে লম্ব $27$, অতিভুজ $45$ হয় ($27^2 + 36^2 = 45^2$ সত্য), তাই এটিও গ্রহণযোগ্য। তবে (গ) অংশে ভূমি $12$ দেওয়া থাকায় প্রশ্নের উদ্দেশ্য $x = 12$।

উত্তর: (ক) $\dfrac{11x^2}{24} - 3x$ বর্গ সে.মি.; (খ) 12 সে.মি. (অথবা 36 সে.মি.); (গ) 10 সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ১০ নং প্রশ্নের উত্তর নেই। (খ) অংশে x এর দুইটি মান (12 ও 36) পাওয়া যায়; আমরা দুটিই দেখিয়েছি।