Class 9-10 Math Chapter 14 (Ratio, Similarity and Symmetry) Exercise 14.3 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• কোনো চিত্রকে একটি সরলরেখা বরাবর ভাঁজ করলে দুই অংশ পুরোপুরি মিলে গেলে সেই রেখাকে প্রতিসাম্য রেখা বলে।
• সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের $n$ টি প্রতিসাম্য রেখা এবং ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $n$।
• ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $n$ হলে ঘূর্ণন কোণ $\dfrac{360\degree}{n}$।
• যেকোনো চিত্রের অন্তত $1$ মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতা থাকে (পূর্ণ $360\degree$ ঘুরলে)।

অনুশীলনী ১৪.৩

১. বিষমবাহু ত্রিভুজের মোট কতটি প্রতিসাম্য রেখা আছে?

ক) শূন্যটি     খ) একটি     গ) তিনটি     ঘ) অসংখ্য

সমাধান:

বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুই অসমান এবং তিনটি কোণও অসমান

কোনো রেখা বরাবর ভাঁজ করলে দুই অংশ মেলে না

তাই প্রতিসাম্য রেখা নেই

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি ও সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি প্রতিসাম্য রেখা থাকে; বিষমবাহুর কোনোটিই নেই।

উত্তর: ক

পাশের চিত্রের বহুভুজটির (সুষম ষড়ভুজ) প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $6$ সে.মি.। এই তথ্য অনুসারে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

২. বহুভুজটির মোট কতটি প্রতিসাম্য রেখা আছে?

ক) ৩টি     খ) ৬টি     গ) ৭টি     ঘ) অসংখ্য

সমাধান:

বহুভুজটি সুষম ষড়ভুজ (সব বাহু ও সব কোণ সমান)

সুষম $n$ বাহুর বহুভুজের $n$ টি প্রতিসাম্য রেখা থাকে

$n = 6$, তাই প্রতিসাম্য রেখা $6$ টি (তিনটি বিপরীত শীর্ষ-সংযোগী এবং তিনটি বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু-সংযোগী)

ব্যাখ্যা: ষড়ভুজটির $3$ টি কর্ণ (বিপরীত শীর্ষ যোগ করে) ও $3$ টি বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করে মোট $6$ টি প্রতিসাম্য রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: খ

৩. বহুভুজটির— (i) ঘূর্ণন মাত্রা $4$ (ii) ঘূর্ণন কোণ $60\degree$ (iii) প্রতিটি কোণ সমান। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) ii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $6$, $4$ নয়। (i) মিথ্যা

ঘূর্ণন কোণ $\dfrac{360\degree}{6} = 60\degree$। (ii) সত্য

সুষম বহুভুজে প্রতিটি কোণ সমান ($120\degree$)। (iii) সত্য

ব্যাখ্যা: শুধু (ii) ও (iii) সঠিক।

উত্তর: গ

৪. নিচের কোনটির প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে? (ক) বাড়ির চিত্র (খ) মসজিদের চিত্র (গ) মন্দিরের চিত্র (ঘ) গির্জার চিত্র (ঙ) প্যাগোডার চিত্র (চ) পার্লামেন্ট ভবনের চিত্র

ক) বাড়ি     খ) মসজিদ     গ) মন্দির     ঘ) গির্জা     ঙ) প্যাগোডা     চ) পার্লামেন্ট ভবন

সমাধান:

এসব স্থাপনার সামনের দিকের চিত্র মাঝ বরাবর একটি উল্লম্ব রেখার দুই পাশে হুবহু একই

অর্থাৎ প্রত্যেকটির কমপক্ষে একটি উল্লম্ব প্রতিসাম্য রেখা আছে

ব্যাখ্যা: বইয়ের প্রশ্নে ছয়টি বিকল্প ক থেকে চ পর্যন্ত দেওয়া আছে এবং চিত্রগুলো সাধারণভাবে প্রতিসম স্থাপনার। তাই সবগুলোতেই প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে।

উত্তর: সবগুলোর (ক থেকে চ) প্রতিসাম্য রেখা আছে

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৪ নং প্রশ্নে ছয়টি বিকল্প আছে এবং বইয়ের চিত্র আমাদের পাঠে স্পষ্টভাবে মেলানো যায়নি। আমরা সাধারণ নকশা ধরে উত্তর দিয়েছি। যদি আপনার বইয়ে কোনো নির্দিষ্ট চিত্র অসম হয়, তবে নিজের বইয়ের চিত্র দেখে মিলিয়ে নিন।

৫. প্রতিসাম্য রেখা দেওয়া আছে (ড্যাশযুক্ত রেখা), জ্যামিতিক চিত্র সম্পূর্ণ করো এবং সনাক্ত করো:

সমাধান:

আঁকার নিয়ম: প্রতিসাম্য রেখা (দর্পণ) থেকে চিত্রের প্রতিটি শীর্ষের লম্ব দূরত্ব মেপে রেখার অপর পাশে ঠিক সমান দূরত্বে প্রতিবিম্ব বিন্দু বসাই; বিন্দুগুলো আগের মতো যোগ করি।

১ম চিত্র (সমকোণী ত্রিভুজ, লম্ব বাহুই প্রতিসাম্য রেখা): প্রতিবিম্ব নিলে পূর্ণ চিত্র হয় একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

২য় চিত্র (ত্রিভুজ, এক বাহুই প্রতিসাম্য রেখা): প্রতিবিম্ব নিলে পূর্ণ চিত্র হয় একটি রম্বস (বা ঘুড়ি আকৃতির চতুর্ভুজ)।

৩য় চিত্র (অর্ধবৃত্ত, ব্যাসই প্রতিসাম্য রেখা): প্রতিবিম্ব নিলে পূর্ণ চিত্র হয় একটি বৃত্ত।

৪র্থ ও ৫ম চিত্র (বহুভুজের অর্ধাংশ): রেখার ওপর অবস্থিত শীর্ষগুলো স্থির রেখে বাকি শীর্ষগুলোর প্রতিবিম্ব নিলে পূর্ণ চিত্র হয় যথাক্রমে একটি প্রতিসম ষড়ভুজ ও একটি প্রতিসম অষ্টভুজ আকৃতির বহুভুজ।

ব্যাখ্যা: যেকোনো বিন্দু ও তার প্রতিবিম্ব প্রতিসাম্য রেখা থেকে সমান দূরে থাকে এবং তাদের সংযোজক রেখা প্রতিসাম্য রেখার উপর লম্ব হয়।

উত্তর: প্রতিবিম্ব এঁকে চিত্র সম্পূর্ণ করা হলো (নিয়ম উপরে দেওয়া আছে)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৫ নং প্রশ্নের পাঁচটি ছোট চিত্র বইয়ে সামান্য অস্পষ্ট; ৪র্থ ও ৫ম চিত্রের সম্পূর্ণ আকার (ষড়ভুজ/অষ্টভুজ) আমরা আনুমানিকভাবে লিখেছি। আপনি নিজের বইয়ের চিত্র দেখে আঁকার সময় শীর্ষের সংখ্যা মিলিয়ে নেবেন।

৬. নিচের জ্যামিতিক চিত্রে প্রতিসাম্য রেখা নির্দেশ করো:

সমাধান:

১ম চিত্র (তিনটি বৃত্ত-অংশ ও মাঝে সমবাহু ত্রিভুজ): সমবাহু ত্রিভুজের মতো $3$ টি প্রতিসাম্য রেখা (প্রতিটি শীর্ষ ও বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করে)

২য় চিত্র (বর্গের ভিতরে দুটি অর্ধবৃত্ত): $2$ টি প্রতিসাম্য রেখা (অনুভূমিক ও উল্লম্ব মধ্যরেখা)

৩য় চিত্র (সমবাহু ত্রিভুজের ভিতরে তিনটি বৃত্তচাপ): $3$ টি প্রতিসাম্য রেখা

৪র্থ চিত্র (বর্গের ভিতরে বক্ররেখা): $2$ টি (দুই কর্ণ বরাবর)

৫ম চিত্র (বর্গের ভিতরে দুটি কর্ণ ও বৃত্তচাপ): $4$ টি (দুই কর্ণ, অনুভূমিক ও উল্লম্ব মধ্যরেখা)

৬ষ্ঠ চিত্র (বাটির মতো আকৃতি): $1$ টি (উল্লম্ব মধ্যরেখা)

৭ম চিত্র (বর্গের চারপাশে চারটি বৃত্তাংশ): $4$ টি (দুই কর্ণ, অনুভূমিক ও উল্লম্ব মধ্যরেখা)

ব্যাখ্যা: প্রতিসাম্য রেখা বরাবর ভাঁজ করলে চিত্রের দুই অংশ হুবহু মিলে যায়। বর্গের মূল প্রতিসাম্য রেখা $4$ টি (দুই কর্ণ ও দুই মধ্যরেখা); চিত্রের সাজানো নকশা অনুযায়ী যেগুলো টিকে থাকে সেগুলোই গণনা করা হয়েছে।

উত্তর: প্রতিসাম্য রেখা: ১ম $3$, ২য় $2$, ৩য় $3$, ৪র্থ $2$, ৫ম $4$, ৬ষ্ঠ $1$, ৭ম $4$ টি

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৬ নং প্রশ্নের চিত্রগুলো ছোট ও জটিল; প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা আমরা চিত্র দেখে নির্ণয় করেছি। নিজের বইয়ের চিত্রে ভাঁজ করে একবার মিলিয়ে নেবেন।

৭. নিচের অসম্পূর্ণ জ্যামিতিক চিত্র সম্পূর্ণ করো যেন আয়না রেখা সাপেক্ষে প্রতিসম হয়:

সমাধান:

প্রতিটি অসম্পূর্ণ চিত্রে ছক কাগজ ও আয়না রেখা দেওয়া আছে।

আঁকার নিয়ম: চিত্রের প্রতিটি শীর্ষের (বা বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুর) আয়না রেখা থেকে লম্ব দূরত্ব ছকের ঘর গুনে মাপি এবং রেখার অপর পাশে একই লম্ব দূরত্বে সমসংখ্যক ঘর গুনে প্রতিবিম্ব বিন্দু বসাই।

১ম চিত্র (সিঁড়ির মতো রেখা, আয়না রেখা ঢালু): সিঁড়ির প্রতিটি ধাপের প্রতিবিম্ব আয়না রেখার অপর পাশে একই ঘরে বসালে একটি সিঁড়ির প্রতিবিম্ব তৈরি হয়।

২য় চিত্র (ছাদের মতো অংশ): ছাদ-আকৃতির অংশের প্রতিবিম্ব আয়না রেখার অন্য পাশে সমান কোণ ও সমান দৈর্ঘ্যে আঁকি।

৩য় চিত্র (বক্ররেখা): বক্ররেখার কয়েকটি বিন্দুর প্রতিবিম্ব নিয়ে মসৃণভাবে যোগ করি; ফলে বক্ররেখার প্রতিবিম্ব আয়না রেখার অপর পাশে সমান আকারে পাওয়া যাবে।

ব্যাখ্যা: আয়না রেখা সাপেক্ষে প্রতিসমতার অর্থ হলো প্রতিটি বিন্দু ও তার প্রতিবিম্ব আয়না রেখা থেকে সমদূরবর্তী এবং তাদের সংযোজক রেখা আয়না রেখার উপর লম্ব।

উত্তর: প্রতিবিম্ব এঁকে চিত্র সম্পূর্ণ করা হলো (নিয়ম উপরে দেওয়া আছে)

৮. চিত্রের ঘূর্ণন প্রতিসমতা নির্ণয় করো:

সমাধান:

(ক) যোগ চিহ্নের মতো চিত্র: ঘূর্ণন মাত্রা $4$, ঘূর্ণন কোণ $90\degree$

(খ) সুষম পঞ্চভুজ: ঘূর্ণন মাত্রা $5$, ঘূর্ণন কোণ $72\degree$

(গ) ছয় কোণা তারা: ঘূর্ণন মাত্রা $6$, ঘূর্ণন কোণ $60\degree$

(ঘ) তিন বাহুবিশিষ্ট পাখার মতো চিত্র: ঘূর্ণন মাত্রা $3$, ঘূর্ণন কোণ $120\degree$

(ঙ) বৃত্তের ভিতর যোগ চিহ্ন: ঘূর্ণন মাত্রা $4$, ঘূর্ণন কোণ $90\degree$ (শুধু বৃত্ত হলে অসীম)

(চ) সমবাহু ত্রিভুজ: ঘূর্ণন মাত্রা $3$, ঘূর্ণন কোণ $120\degree$

ব্যাখ্যা: ঘূর্ণন মাত্রা বলতে বোঝায়, একবার পূর্ণ ঘূর্ণনে (কেন্দ্র $x$ ঘিরে) চিত্রটি কতবার মূল অবস্থানের মতো দেখায়। ঘূর্ণন কোণ $= \dfrac{360\degree}{n}$ (এখানে $n$ হলো ঘূর্ণন মাত্রা)।

উত্তর: মাত্রা: ক $4$, খ $5$, গ $6$, ঘ $3$, ঙ $4$, চ $3$

৯. ইংরেজি বর্ণমালার যে সকল বর্ণের: (ক) অনুভূমিক আয়না (খ) উল্লম্ব আয়না (গ) অনুভূমিক ও উল্লম্ব উভয় আয়না সাপেক্ষে প্রতিফলন প্রতিসমতা রয়েছে সেগুলো আঁকো।

সমাধান:

(ক) অনুভূমিক আয়না সাপেক্ষে (উপর-নিচ প্রতিসম): $B, C, D, E, H, I, K, O, X$

(খ) উল্লম্ব আয়না সাপেক্ষে (বাম-ডান প্রতিসম): $A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y$

(গ) উভয় আয়না সাপেক্ষে: $H, I, O, X$

এই বর্ণগুলো ছক কাগজে বা খাতায় বড় করে এঁকে তাতে অনুভূমিক ও উল্লম্ব মধ্যরেখা টানলে প্রতিসমতা দেখা যায়।

ব্যাখ্যা: (গ) হলো (ক) ও (খ)-এর সাধারণ বর্ণ: $H, I, O, X$। $S, N, Z$ বর্ণে আবার ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে (মাত্রা $2$), কিন্তু কোনো প্রতিফলন প্রতিসমতা নেই।

উত্তর: (ক) $B, C, D, E, H, I, K, O, X$; (খ) $A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y$; (গ) $H, I, O, X$

১০. প্রতিসমতা নেই এমন তিনটি চিত্র অঙ্কন করো।

সমাধান:

প্রতিসমতা নেই (রেখা বা ঘূর্ণন কোনো ধরনের নয়) এমন তিনটি চিত্র:

১. বিষমবাহু ত্রিভুজ (যেমন বাহু $3, 4, 6$ সে.মি.)

২. অনিয়মিত চতুর্ভুজ (চার বাহু ও কোণ সবই আলাদা)

৩. ইংরেজি বর্ণ $F$ (বা $G$, $R$)

এগুলো খাতায় এঁকে ভাঁজ করলে কোনো রেখাতেই দুই অংশ মেলে না এবং কেন্দ্র ঘুরিয়ে $360\degree$-এর আগে মূল অবস্থানে আসে না।

ব্যাখ্যা: সামান্তরিক ও $Z$ আকৃতিতে রেখা প্রতিসমতা নেই কিন্তু ঘূর্ণন প্রতিসমতা (মাত্রা $2$) আছে, তাই সেগুলো এখানে নেওয়া হয়নি; এমন চিত্র দিতে হবে যেখানে উভয় প্রতিসমতাই অনুপস্থিত।

উত্তর: বিষমবাহু ত্রিভুজ, অনিয়মিত চতুর্ভুজ ও $F$ বর্ণ

১১. একটি লেবু আড়াআড়ি কেটে চিত্রের ন্যায় আকার পাওয়া গেল। সমতলীয় চিত্রটির ঘূর্ণন প্রতিসমতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

চিত্রে লেবুর কাটা অংশে কেন্দ্র থেকে ছড়ানো সমান আকারের ফালি (কোয়া) আছে; গণনা করে পাই $8$ টি ফালি

কেন্দ্র সাপেক্ষে এক ফালি করে ঘোরালে চিত্রটি মূল অবস্থানের মতো দেখায়

ঘূর্ণন কোণ $= \dfrac{360\degree}{8} = 45\degree$

অতএব ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $8$

ব্যাখ্যা: সমান আকারের $n$ টি অংশ কেন্দ্রের চারপাশে সাজানো থাকলে ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $n$। ছবিতে ফালির সংখ্যা $8$ ধরা হয়েছে।

উত্তর: ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $8$ (ঘূর্ণন কোণ $45\degree$)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১১ নং প্রশ্নে লেবুর কাটা অংশের ফালির সংখ্যা চিত্র দেখে $8$ ধরা হয়েছে; সংখ্যা ভিন্ন হলে মাত্রা সেই সংখ্যা হবে।

১২. শূন্যস্থান পূরণ করো:

সমাধান:

চিত্র | ঘূর্ণন কেন্দ্র | ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা | ঘূর্ণন প্রতিসমতার কোণ

বর্গ | কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু | $4$ | $90\degree$

আয়ত | কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু | $2$ | $180\degree$

রম্বস | কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু | $2$ | $180\degree$

সমবাহু ত্রিভুজ | মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু (ভরকেন্দ্র) | $3$ | $120\degree$

অর্ধবৃত্ত | নেই | $1$ | $360\degree$

সুষম পঞ্চভুজ | কেন্দ্র (শীর্ষগুলো থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু) | $5$ | $72\degree$

ব্যাখ্যা: মাত্রা $n$ হলে কোণ $\dfrac{360\degree}{n}$। অর্ধবৃত্তে কোনো কেন্দ্র ঘিরে ঘুরালে শুধু পূর্ণ ঘূর্ণনেই মূল অবস্থানে ফিরে আসে, তাই মাত্রা $1$।

উত্তর: উপরের তালিকা অনুযায়ী

১৩. যে সকল চতুর্ভুজের রেখা প্রতিসমতা ও $1$ এর অধিক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতা রয়েছে, এদের তালিকা করো।

সমাধান:

চতুর্ভুজ | প্রতিসাম্য রেখা | ঘূর্ণন মাত্রা

বর্গ | $4$ | $4$

আয়ত | $2$ | $2$

রম্বস | $2$ | $2$

অন্য চতুর্ভুজ: সামান্তরিকে (আয়ত বা রম্বস নয়) ঘূর্ণন মাত্রা $2$ কিন্তু রেখা প্রতিসমতা নেই; ঘুড়ি ও সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামে রেখা প্রতিসমতা আছে কিন্তু $1$-এর বেশি ঘূর্ণন মাত্রা নেই

ব্যাখ্যা: দুই ধরনের প্রতিসমতাই আছে এমন চতুর্ভুজ হলো বর্গ, আয়ত ও রম্বস।

উত্তর: বর্গ, আয়ত ও রম্বস

১৪. $1$ এর অধিক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতা রয়েছে এরূপ চিত্রের ঘূর্ণন কোণ $18\degree$ হতে পারে কি? তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

সমাধান:

ঘূর্ণন মাত্রা $n$ এবং ঘূর্ণন কোণ $\theta$ হলে $\theta = \dfrac{360\degree}{n}$

$\theta = 18\degree$ হলে $n = \dfrac{360\degree}{18\degree} = 20$

$n = 20$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $1$-এর চেয়ে বড়

উদাহরণ: সুষম বিংশভুজের (২০ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজ) ঘূর্ণন কোণ $18\degree$

ব্যাখ্যা: ঘূর্ণন কোণ $360\degree$-এর একটি উৎপাদক-ভাগ হলে (অর্থাৎ $360$ কে ভাগ করলে পূর্ণসংখ্যা পাওয়া গেলে) এমন কোণ সম্ভব; $360 \div 18 = 20$।

উত্তর: হ্যাঁ, হতে পারে; তখন ঘূর্ণন মাত্রা $20$

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. $\triangle ABC$ ও $\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক। $\triangle ABC$-এর উচ্চতা $a$ একক হলে, $\triangle PQR$-এর উচ্চতা কত একক?

ক) $a$     খ) $2a$     গ) $3a$     ঘ) $4a$

সমাধান:

দুই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক হলে $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle PQR} = \dfrac{BC}{QR}$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times b \times h$

তাই $\dfrac{BC \times a}{QR \times h} = \dfrac{BC}{QR}$ (যেখানে $h$ হলো $\triangle PQR$-এর উচ্চতা)

বা, $\dfrac{a}{h} = 1 \Rightarrow h = a$

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক হওয়ার একমাত্র উপায় হলো দুই ত্রিভুজের উচ্চতা সমান।

উত্তর: ক

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের প্রশ্নটিতে "ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা সমানুপাতিক" ছাপা আছে বলে মনে হচ্ছে; কিন্তু তখন ভূমি সমান হয় এবং $\triangle PQR$-এর উচ্চতা নির্ণয় করা যায় না। তাই আমরা এটিকে "ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক" ধরে $a$ উত্তর দিয়েছি (বিকল্প ক-ই একমাত্র নির্ণেয়)।

২. সমতলীয় জ্যামিতিতে— (i) ত্রিভুজ হলো সবচেয়ে কম সংখ্যক রেখাংশ দিয়ে গঠিত বহুভুজ (ii) চার বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজ হলো রম্বস (iii) সুষম পঞ্চভুজের বাহুগুলো সমান হলেও কোণগুলো অসমান। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) i ও ii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i): ত্রিভুজই সবচেয়ে কম (তিনটি) রেখাংশে গঠিত বদ্ধ বহুভুজ। সত্য

(ii): চার বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের বাহু ও কোণ সব সমান, তাই এটি বর্গ; রম্বসের কোণ সমান হতে হয় না। মিথ্যা

(iii): সুষম পঞ্চভুজের সব বাহু ও সব কোণ ($108\degree$) সমান। মিথ্যা

ব্যাখ্যা: শুধু (i) সঠিক।

উত্তর: ক

পাশের চিত্রের তথ্যানুসারে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: (চিত্রে $AB = 5, AC = 8, BC = 10, AD = 4$, $AD \perp BC$)

৩. $\triangle ABC$-এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{4}{5}$     গ) $\dfrac{2}{5}$     ঘ) $\dfrac{5}{4}$

সমাধান:

ভূমি $BC = 10$, উচ্চতা $AD = 4$

উচ্চতা : ভূমি $= 4 : 10 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

ব্যাখ্যা: ভূমি $BC$ এবং এর উপর লম্ব $AD$ উচ্চতা। অনুপাতকে সরল করলে $\dfrac{2}{5}$।

উত্তর: গ

৪. $\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক) $6$     খ) $20$     গ) $40$     ঘ) $50$

সমাধান:

$\triangle ABD$-এ $\angle ADB = 90\degree$, $AB = 5$, $AD = 4$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times BD \times AD = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

ব্যাখ্যা: $\triangle ABD$ সমকোণী ত্রিভুজ, তাই ভূমি $BD$ ও উচ্চতা $AD$ দিয়ে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।

উত্তর: ক

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৪ নং প্রশ্নে চিত্রের মান অনুযায়ী $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল $\dfrac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$, যা বিকল্প খ-তে আছে; প্রশ্নে স্পষ্ট $\triangle ABD$ লেখা আছে বলে উত্তর ক ($6$)। যদি বইয়ের প্রশ্নে আসলে $\triangle ABC$ হয়, তবে উত্তর খ হবে। (চিত্রের $AC = 8$ ও $BC = 10$ পুরোপুরি সংগত নয়: $AB = 5, AD = 4 \Rightarrow BD = 3, DC = \sqrt{48} \approx 6.93$, তাই $BC \approx 9.93$।)

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. $\triangle ABC$-এর $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$, $BC$-কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $DA$-এর সমান্তরাল $CE$ রেখাংশ বর্ধিত $BA$ বাহুকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) $\triangle PQR$ ও $\triangle LMN$-এর ভূমি যথাক্রমে $QR$ ও $MN$ এবং $QR = MN$। দেখাও যে, ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের উচ্চতাদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

সমাধান:

মনে করি, $\triangle PQR$-এর উচ্চতা $h_1$ এবং $\triangle LMN$-এর উচ্চতা $h_2$

$\triangle PQR = \dfrac{1}{2} \times QR \times h_1$ এবং $\triangle LMN = \dfrac{1}{2} \times MN \times h_2$

$\dfrac{\triangle PQR}{\triangle LMN} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \times QR \times h_1}{\dfrac{1}{2} \times MN \times h_2} = \dfrac{QR}{MN} \times \dfrac{h_1}{h_2}$

$QR = MN$ হওয়ায় $\dfrac{\triangle PQR}{\triangle LMN} = \dfrac{h_1}{h_2}$

ব্যাখ্যা: ভূমি সমান হলে ভূমি কেটে যায়, তাই ক্ষেত্রফলের অনুপাত কেবল উচ্চতার অনুপাত।

উত্তর: প্রমাণিত: $\triangle PQR : \triangle LMN = h_1 : h_2$

খ) প্রমাণ করো যে, $BD : DC = BA : AC$।

সমাধান:

প্রমাণ: $\triangle BCE$-এ $DA \parallel CE$

তাই $BD : DC = BA : AE ... (1)$ [উপপাদ্য ২৮]

$DA \parallel CE$ এবং $BE$ ছেদক; $\angle AEC = \angle BAD$ [অনুরূপ কোণ]

$DA \parallel CE$ এবং $AC$ ছেদক; $\angle ACE = \angle CAD$ [একান্তর কোণ]

কিন্তু $\angle BAD = \angle CAD$ [$AD$ সমদ্বিখণ্ডক]; তাই $\angle AEC = \angle ACE$

অতএব $AC = AE$ [সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]

(১) নং-এ $AE = AC$ বসিয়ে $BD : DC = BA : AC$

ব্যাখ্যা: $E$ বিন্দু এমনভাবে নেওয়া যে $CE \parallel DA$; এতে $\triangle ACE$ সমদ্বিবাহু হয়, ফলে $AE = AC$ হয়ে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $BD : DC = BA : AC$

গ) $BC$-এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ $AB$ ও $AC$-কে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করো যে, $BD : DC = BP : CQ$।

সমাধান:

$AD$ সমদ্বিখণ্ডক; তাই $BD : DC = AB : AC ... (1)$ [খ থেকে]

$PQ \parallel BC$; তাই $AP : PB = AQ : QC$ [উপপাদ্য ২৮]

যোজন করে: $\dfrac{AP + PB}{PB} = \dfrac{AQ + QC}{QC}$, অর্থাৎ $\dfrac{AB}{PB} = \dfrac{AC}{QC}$

বা, $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{PB}{QC} ... (2)$

(১) ও (২) থেকে $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BP}{CQ}$, অর্থাৎ $BD : DC = BP : CQ$

ব্যাখ্যা: (খ)-এর ফল ও সমান্তরাল রেখার অনুপাত মিলিয়ে ফল পাওয়া গেছে (ঠিক ১৪.১-এর ৭ নং প্রশ্নের মতো)।

উত্তর: প্রমাণিত: $BD : DC = BP : CQ$

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬.

ক) $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল $DE$ রেখাংশ $AB$ ও $AC$ বাহুকে যথাক্রমে $D$ ও $E$ বিন্দুতে ছেদ করে $AB : AD = 2 : 1$ হলে দেখাও যে, $DE : BC = 1 : 2$।

সমাধান:

$DE \parallel BC$; তাই $\triangle ADE$ ও $\triangle ABC$-এ $\angle ADE = \angle ABC$, $\angle AED = \angle ACB$ [অনুরূপ কোণ] এবং $\angle A$ সাধারণ

তাই $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

অতএব $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$

$AB : AD = 2 : 1$ হলে $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}$

সুতরাং $DE : BC = 1 : 2$

ব্যাখ্যা: সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান; $DE$ ও $BC$ অনুরূপ বাহু, $AD$ ও $AB$-ও তাই।

উত্তর: প্রমাণিত: $DE : BC = 1 : 2$

খ) $\triangle PQR$ ও $\triangle LMN$-এর উচ্চতা সমান হলে দেখাও যে, তাদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত তাদের ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

সমাধান:

মনে করি, সাধারণ উচ্চতা $h$; $\triangle PQR$-এর ভূমি $QR$ এবং $\triangle LMN$-এর ভূমি $MN$

$\triangle PQR = \dfrac{1}{2} \times QR \times h$ ও $\triangle LMN = \dfrac{1}{2} \times MN \times h$

$\dfrac{\triangle PQR}{\triangle LMN} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \times QR \times h}{\dfrac{1}{2} \times MN \times h} = \dfrac{QR}{MN}$

ব্যাখ্যা: উচ্চতা সমান হওয়ায় $\dfrac{1}{2}h$ কেটে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $\triangle PQR : \triangle LMN = QR : MN$

গ) $ABC$ এবং $DEF$ সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয় এবং একজোড়া অনুরূপ বাহু $AB$ ও $DE$-এর অনুপাত $3 : 4$ হলে, $\triangle ABC : \triangle DEF$ নির্ণয় করো।

সমাধান:

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাত (উপপাদ্য ৩৫)

$\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{AB^2}{DE^2} = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}$

ব্যাখ্যা: অনুরূপ বাহুর অনুপাত $3 : 4$ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত $3^2 : 4^2 = 9 : 16$।

উত্তর: $\triangle ABC : \triangle DEF = 9 : 16$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: অধ্যায় ১৪-এর নমুনা প্রশ্নের উত্তরও বইয়ের উত্তরমালায় নেই; উপরের উত্তরগুলো নিজে হিসাব করে ও যাচাই করে দেওয়া হয়েছে।