Class 9-10 Math Chapter 14 (Ratio, Similarity and Symmetry) Exercise 14.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে (অনুরূপ কোণগুলো সমান) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ এবং এদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক (উপপাদ্য ৩২)।
• দুইটি ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে অনুরূপ কোণগুলো সমান (উপপাদ্য ৩৩)।
• এক কোণ সমান এবং সংলগ্ন বাহুদ্বয় সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ (উপপাদ্য ৩৪)।
• দুইটি সদৃশ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত এদের যেকোনো দুই অনুরূপ বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান (উপপাদ্য ৩৫)।

অনুশীলনী ১৪.২

১. $\triangle ABC$-এ $BC$-এর সমান্তরাল $DE$ রেখা $AB$ ও $AC$-কে যথাক্রমে $D$ ও $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে— (i) $\triangle ABC$ ও $\triangle ADE$ পরস্পর সদৃশ (ii) $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{CE}{AE}$ (iii) $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle ADE} = \dfrac{BC^2}{DE^2}$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$DE \parallel BC$ হওয়ায় $\angle ADE = \angle ABC$ ও $\angle AED = \angle ACB$ [অনুরূপ কোণ] এবং $\angle A$ সাধারণ; তাই $\triangle ABC \sim \triangle ADE$। (i) সত্য

উপপাদ্য ২৮ অনুযায়ী $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$; কিন্তু (ii)-এ আছে $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{CE}{AE}$, যা ঠিক নয়। (ii) মিথ্যা

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাত (উপপাদ্য ৩৫); $BC$ ও $DE$ অনুরূপ বাহু। (iii) সত্য

ব্যাখ্যা: (ii)-তে $CE$ ও $AE$ এর অবস্থান উল্টে আছে; সঠিক হতো $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AE}{CE}$।

উত্তর: খ

২. $\triangle ABC$-এ $PQ \parallel BC$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক? (এখানে $P, Q$ যথাক্রমে $AB, AC$-এর উপর)

ক) $AP : PB = AQ : QC$     খ) $AB : PQ = AC : PQ$     গ) $AB : AC = PQ : BC$     ঘ) $PQ : BC = BP : BQ$

সমাধান:

$PQ \parallel BC$ হওয়ায় উপপাদ্য ২৮ অনুযায়ী $AP : PB = AQ : QC$

তাই (ক) সঠিক

(খ) সঠিক হতে হলে $AB = AC$ হতে হতো; (গ)-তে $AB : AC = PQ : BC$ সঠিক নয়, সঠিক হতো $AB : AP = BC : PQ$; (ঘ)-তে $BP : BQ$ সম্পর্ক নেই

ব্যাখ্যা: সমান্তরাল রেখার জন্য সরাসরি উপপাদ্য ২৮ ক-কে সমর্থন করে।

উত্তর: ক

৩. প্রমাণ করো যে, দুইটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটি যদি তৃতীয় একটি ত্রিভুজের সদৃশ হয়, তবে তারা পরস্পর সদৃশ।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ এবং $\triangle DEF \sim \triangle PQR$। প্রমাণ করতে হবে $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

প্রমাণ: $\triangle ABC \sim \triangle PQR$; তাই $\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R ... (1)$

আবার $\triangle DEF \sim \triangle PQR$; তাই $\angle D = \angle P, \angle E = \angle Q, \angle F = \angle R ... (2)$

(১) ও (২) থেকে $\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$

অতএব $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ সদৃশকোণী, অর্থাৎ সদৃশ।

ব্যাখ্যা: সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান, আর সমান রাশি দুটির সাথে যেকোনো একটি সমান হলে রাশি দুটি পরস্পর সমান; তাই কোণগুলো সমান হয়।

উত্তর: প্রমাণিত: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

৪. প্রমাণ করো যে, দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির একটি সূক্ষ্মকোণ অপরটির একটি সূক্ষ্মকোণের সমান হলে, ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ হবে।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90\degree$ এবং $\triangle DEF$-এ $\angle E = 90\degree$; আর $\angle A = \angle D$ (সূক্ষ্মকোণ)। প্রমাণ করতে হবে $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

প্রমাণ: $\angle B = \angle E = 90\degree$ এবং $\angle A = \angle D$

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180\degree$; তাই $\angle C = 180\degree - 90\degree - \angle A = 90\degree - \angle A$

একইভাবে $\angle F = 90\degree - \angle D = 90\degree - \angle A$; সুতরাং $\angle C = \angle F$

অতএব $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ সদৃশকোণী, অর্থাৎ সদৃশ।

ব্যাখ্যা: দুটি কোণ সমান হলে তৃতীয় কোণও সমান হয় (কোণ-কোণ সদৃশতা); এখানে একটি সমকোণ ও একটি সূক্ষ্মকোণ সমান ধরা হয়েছে।

উত্তর: প্রমাণিত: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

৫. প্রমাণ করো যে, সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজের উপর লম্ব আঁকলে যে দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সদৃশ।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle ABC$-এ $\angle A = 90\degree$; $A$ থেকে অতিভুজ $BC$-এর উপর লম্ব $AD$। প্রমাণ করতে হবে $\triangle ABD \sim \triangle CAD$ এবং $\triangle ABD \sim \triangle ABC$, $\triangle CAD \sim \triangle ABC$।

প্রমাণ: $\triangle ABD$ ও $\triangle ABC$-এ $\angle B$ সাধারণ এবং $\angle ADB = \angle BAC = 90\degree$

তাই $\triangle ABD \sim \triangle ABC ... (1)$ [কোণ-কোণ]

$\triangle CAD$ ও $\triangle ABC$-এ $\angle C$ সাধারণ এবং $\angle ADC = \angle BAC = 90\degree$

তাই $\triangle CAD \sim \triangle ABC ... (2)$

(১) ও (২) থেকে $\triangle ABD \sim \triangle CAD$ [প্রশ্ন ৩-এর ফল]

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ছোট ত্রিভুজের সাথে মূল ত্রিভুজের একটি সাধারণ কোণ এবং একটি সমকোণ আছে; তাই প্রতিটি মূল ত্রিভুজের সদৃশ, আর দুটি পরস্পর সদৃশ।

উত্তর: প্রমাণিত

৬. চিত্রে $\angle B = \angle D$ এবং $CD = 4AB$। প্রমাণ করো যে, $BD = 5BL$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $AC$ ও $BD$ রেখাংশ পরস্পরকে $L$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $\angle B = \angle D$ এবং $CD = 4AB$। প্রমাণ করতে হবে $BD = 5BL$।

প্রমাণ: $\triangle ABL$ ও $\triangle CDL$-এ $\angle ABL = \angle CDL$ [দেওয়া আছে]

$\angle ALB = \angle CLD$ [বিপ্রতীপ কোণ]

তাই $\triangle ABL \sim \triangle CDL$ [কোণ-কোণ]

অতএব $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{BL}{DL}$

বা, $\dfrac{AB}{4AB} = \dfrac{BL}{DL}$ [$CD = 4AB$]

বা, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{BL}{DL} \Rightarrow DL = 4BL$

$BD = BL + DL = BL + 4BL = 5BL$

ব্যাখ্যা: দুই ত্রিভুজের দুই জোড়া কোণ সমান হওয়ায় ত্রিভুজ দুটি সদৃশ; অনুরূপ বাহুর অনুপাত $AB : CD = 1 : 4$ থেকে $BL : DL = 1 : 4$ পাওয়া যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $BD = 5BL$

৭. $ABCD$ সামান্তরিকের $A$ শীর্ষ দিয়ে অঙ্কিত একটি রেখাংশ $BC$ বাহুকে $M$ বিন্দুতে এবং $DC$ বাহুর বর্ধিতাংশকে $N$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $BM \times DN$ একটি ধ্রুবক।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $ABCD$ সামান্তরিকের $A$ দিয়ে অঙ্কিত রেখা $BC$-কে $M$-এ এবং $DC$-এর বর্ধিতাংশকে $N$-এ ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $BM \times DN$ ধ্রুবক।

প্রমাণ: $\triangle ABM$ ও $\triangle NDA$-এ $\angle ABM = \angle NDA$ [সামান্তরিকের বিপরীত কোণ $\angle B = \angle D$]

$\angle AMB = \angle DAN$ [একান্তর কোণ, কারণ $BC \parallel AD$ এবং $AN$ ছেদক]

তাই $\triangle ABM \sim \triangle NDA$ [কোণ-কোণ]

অতএব $\dfrac{BM}{DA} = \dfrac{AB}{DN}$

বা, $BM \times DN = AB \times DA$

$AB$ ও $DA$ সামান্তরিকের বাহু, তাই $AB \times AD$ একটি নির্দিষ্ট মান; সুতরাং $BM \times DN$ ধ্রুবক।

ব্যাখ্যা: $A$ দিয়ে রেখাটি যেভাবেই আঁকা হোক, দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হয় এবং গুণফল $AB \times AD$-এর সমান থাকে, যা সামান্তরিকের পরিমাপ।

উত্তর: প্রমাণিত: $BM \times DN = AB \times AD$ (ধ্রুবক)

৮. $ABC$ ও $DEF$ সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের উচ্চতা $AM$ ও $DN$। প্রমাণ করো যে, $AM : DN = AB : DE$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ সদৃশকোণী (ধরি $\angle B = \angle E$); $AM \perp BC$ ও $DN \perp EF$। প্রমাণ করতে হবে $AM : DN = AB : DE$।

প্রমাণ: $\triangle ABM$ ও $\triangle DEN$-এ $\angle B = \angle E$ [সদৃশকোণী]

$\angle AMB = \angle DNE = 90\degree$

তাই $\triangle ABM \sim \triangle DEN$ [কোণ-কোণ]

অতএব $\dfrac{AM}{DN} = \dfrac{AB}{DE}$, অর্থাৎ $AM : DN = AB : DE$

ব্যাখ্যা: সদৃশ ত্রিভুজে অনুরূপ উচ্চতার অনুপাত অনুরূপ বাহুর অনুপাতের সমান।

উত্তর: প্রমাণিত: $AM : DN = AB : DE$

৯. চিত্রে $BC \parallel DE$

ক) প্রমাণ করো, $\triangle BOC$ ও $\triangle DOE$ সদৃশ।

সমাধান:

$\triangle BOC$ ও $\triangle DOE$-এ $\angle BOC = \angle DOE$ [বিপ্রতীপ কোণ]

$\angle OCB = \angle ODE$ [একান্তর কোণ, $BC \parallel DE$ এবং $CD$ ছেদক]

$\angle OBC = \angle OED$ [একান্তর কোণ, $BC \parallel DE$ এবং $BE$ ছেদক]

অতএব $\triangle BOC \sim \triangle DOE$ [কোণ-কোণ-কোণ]

ব্যাখ্যা: দুটি রেখা সমান্তরাল হওয়ায় একান্তর কোণগুলো সমান; বিপ্রতীপ কোণও সমান। তাই তিন জোড়া কোণ সমান।

উত্তর: প্রমাণিত

খ) প্রমাণ করো, $AD : BD = AE : CE$।

সমাধান:

$\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$

উপপাদ্য ২৮ অনুযায়ী $AD : DB = AE : EC$

অর্থাৎ $AD : BD = AE : CE$

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের এক বাহুর সমান্তরাল রেখা অপর দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

উত্তর: প্রমাণিত

গ) প্রমাণ করো, $BO : OE = CO : OD$।

সমাধান:

(ক) থেকে $\triangle BOC \sim \triangle EOD$ (অনুরূপ শীর্ষ: $B \leftrightarrow E, O \leftrightarrow O, C \leftrightarrow D$)

অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক: $\dfrac{BO}{EO} = \dfrac{CO}{DO} = \dfrac{BC}{ED}$

অতএব $BO : OE = CO : OD$

ব্যাখ্যা: $B$ ও $E$ এবং $C$ ও $D$ অনুরূপ শীর্ষ (সমান কোণের বিপরীতে অবস্থিত), তাই $BO : OE$ ও $CO : OD$ অনুরূপ বাহুর অনুপাত।

উত্তর: প্রমাণিত

১০. চিত্রে $BD \perp AC$ এবং $DQ = BQ = 2AQ = \dfrac{1}{2}QC$। প্রমাণ করো যে, $DA \perp DC$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $BD \perp AC$; $BD$ ও $AC$ পরস্পরকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $DQ = BQ = 2AQ = \dfrac{1}{2}QC$। প্রমাণ করতে হবে $DA \perp DC$।

ধরি $AQ = x$; তাহলে $DQ = BQ = 2x$ এবং $QC = 4x$

প্রমাণ: $\triangle AQD$ ও $\triangle DQC$-এ $\angle AQD = \angle DQC = 90\degree$

$\dfrac{AQ}{DQ} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$ এবং $\dfrac{DQ}{QC} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2}$

অর্থাৎ $\dfrac{AQ}{DQ} = \dfrac{DQ}{QC}$

তাই $\triangle AQD \sim \triangle DQC$ [এক কোণ সমান ও সংলগ্ন বাহু সমানুপাতিক]

সুতরাং $\angle ADQ = \angle DCQ$

এখন $\triangle DQC$-এ $\angle DCQ + \angle CDQ = 90\degree$ [কারণ $\angle DQC = 90\degree$]

অতএব $\angle ADQ + \angle CDQ = 90\degree$, অর্থাৎ $\angle ADC = 90\degree$

সুতরাং $DA \perp DC$

ব্যাখ্যা: সদৃশতা থেকে $\angle ADQ = \angle DCQ$ পেয়ে ত্রিভুজ $DQC$-এর সূক্ষ্মকোণ দুটির সমষ্টি $90\degree$ ব্যবহার করে $\angle ADC$ বের করা হয়েছে।

উত্তর: প্রমাণিত: $DA \perp DC$

১১. $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এর $\angle A = \angle D$। প্রমাণ করো যে, $\triangle ABC : \triangle DEF = AB \cdot AC : DE \cdot DF$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এ $\angle A = \angle D$। প্রমাণ করতে হবে $\triangle ABC : \triangle DEF = AB \cdot AC : DE \cdot DF$।

অঙ্কন: $B$ থেকে $AC$-এর উপর $BM \perp AC$ এবং $E$ থেকে $DF$-এর উপর $EN \perp DF$ আঁকি।

প্রমাণ: $\triangle ABC = \dfrac{1}{2} \times AC \times BM$ এবং $\triangle DEF = \dfrac{1}{2} \times DF \times EN$

তাই $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{AC}{DF} \times \dfrac{BM}{EN} ... (1)$

$\triangle ABM$ ও $\triangle DEN$-এ $\angle A = \angle D$ এবং $\angle AMB = \angle DNE = 90\degree$

তাই $\triangle ABM \sim \triangle DEN$; সুতরাং $\dfrac{BM}{EN} = \dfrac{AB}{DE} ... (2)$

(১) ও (২) থেকে $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{AC}{DF} \times \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AB \cdot AC}{DE \cdot DF}$

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফলের অনুপাত দুই উচ্চতা ও দুই ভূমির অনুপাতের গুণফল হয়; সদৃশ ত্রিভুজ থেকে উচ্চতার অনুপাত বাহুর অনুপাতে বদলে গেছে। $\angle A$ স্থূলকোণ হলেও $\angle BAM$ ও $\angle EDN$ উভয়ই $180\degree - \angle A$ হয়, তাই যুক্তি একই।

উত্তর: প্রমাণিত: $\triangle ABC : \triangle DEF = AB \cdot AC : DE \cdot DF$

১২. চিত্রে $ABC$ এবং $DEF$ দুইটি সদৃশ ত্রিভুজ।

ক) ত্রিভুজ দুইটির অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলোর নাম লিখ।

সমাধান:

অনুরূপ বাহু: $AB$ ও $DE$; $BC$ ও $EF$; $AC$ ও $DF$

অনুরূপ কোণ: $\angle A$ ও $\angle D$; $\angle B$ ও $\angle E$; $\angle C$ ও $\angle F$

ব্যাখ্যা: সদৃশ ত্রিভুজে সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো অনুরূপ বাহু।

উত্তর: অনুরূপ বাহু: $AB, DE$; $BC, EF$; $AC, DF$ এবং অনুরূপ কোণ: $\angle A, \angle D$; $\angle B, \angle E$; $\angle C, \angle F$

খ) প্রমাণ করো যে, $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{AB^2}{DE^2} = \dfrac{AC^2}{DF^2} = \dfrac{BC^2}{EF^2}$।

সমাধান:

$AM \perp BC$ ও $DN \perp EF$ (চিত্রানুযায়ী)

$\triangle ABC = \dfrac{1}{2} \times BC \times AM$ ও $\triangle DEF = \dfrac{1}{2} \times EF \times DN$

তাই $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{BC}{EF} \times \dfrac{AM}{DN}$

$\triangle ABM \sim \triangle DEN$ (এক সমকোণ ও $\angle B = \angle E$); তাই $\dfrac{AM}{DN} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$ [উপপাদ্য ৩২]

অতএব $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{BC}{EF} \times \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{BC^2}{EF^2}$

আবার সদৃশতা থেকে $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{BC}{EF}$; বর্গ করলে $\dfrac{AB^2}{DE^2} = \dfrac{AC^2}{DF^2} = \dfrac{BC^2}{EF^2}$

সুতরাং $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DEF} = \dfrac{AB^2}{DE^2} = \dfrac{AC^2}{DF^2} = \dfrac{BC^2}{EF^2}$

ব্যাখ্যা: এটি উপপাদ্য ৩৫-এরই বিস্তারিত রূপ: ক্ষেত্রফলের অনুপাত যেকোনো এক জোড়া অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান।

উত্তর: প্রমাণিত

গ) যদি $BC = 3$ সে.মি., $EF = 8$ সে.মি., $\angle B = 60\degree$, $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{2}$ এবং $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল $3$ বর্গ সে.মি. হয়, তবে $\triangle DEF$ অঙ্কন করো এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{2}$ এবং $BC = 3$ হলে $AB = 2$ সে.মি.

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$; তাই $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{8}{3}$

$DE = 2 \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}$ সে.মি. (প্রায় $5.33$ সে.মি.) এবং $\angle E = \angle B = 60\degree$

অঙ্কন: $EF = 8$ সে.মি. আঁকি; $E$ বিন্দুতে $\angle FED = 60\degree$ আঁকি; $ED = \dfrac{16}{3}$ সে.মি. কেটে $D$ নিই; $D, F$ যোগ করি। $\triangle DEF$ অঙ্কিত হলো।

ক্ষেত্রফলের অনুপাত $\dfrac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \dfrac{EF^2}{BC^2} = \dfrac{64}{9}$

$\triangle DEF = 3 \times \dfrac{64}{9} = \dfrac{64}{3} = 21.33$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: অঙ্কনে $ED = AB \times \dfrac{EF}{BC}$ ধরে ত্রিভুজ আঁকা হয়েছে; ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে প্রশ্নে দেওয়া $\triangle ABC = 3$ বর্গ সে.মি. ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: $\triangle DEF$-এর ক্ষেত্রফল $\dfrac{64}{3} \approx 21.33$ বর্গ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১২(গ)-তে প্রশ্নের তথ্যে অসংগতি আছে: $BC = 3$, $AB = 2$, $\angle B = 60\degree$ হলে $\triangle ABC$-এর প্রকৃত ক্ষেত্রফল $\dfrac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \sin 60\degree = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6$ বর্গ সে.মি., $3$ নয়। তাই আঁকা ত্রিভুজ $DEF$-এর প্রকৃত ক্ষেত্রফল $\dfrac{32\sqrt{3}}{3} \approx 18.48$ বর্গ সে.মি.। আমরা প্রশ্নে দেওয়া ক্ষেত্রফল $3$ ধরে $\dfrac{64}{3}$ উত্তর দিয়েছি (ক্ষেত্রফলের অনুপাত পদ্ধতিতে); এটি সম্ভবত বইয়ের একটি ছাপার ভুল।