Class 9-10 Math Chapter 14 (Ratio, Similarity and Symmetry) Exercise 14.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• উপপাদ্য ২৮: ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল রেখা অপর দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে। অর্থাৎ $DE \parallel BC$ হলে $AD : DB = AE : EC$।
• উপপাদ্য ২৯ (বিপরীত): কোনো রেখা ত্রিভুজের দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে রেখাটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল।
• উপপাদ্য ৩০: ত্রিভুজের কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে ভাগ করে। অর্থাৎ $AD$ সমদ্বিখণ্ডক হলে $BD : DC = AB : AC$।
• একই উচ্চতাবিশিষ্ট দুই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের ভূমির অনুপাতের সমান।
• মধ্যবিন্দু উপপাদ্য: ত্রিভুজের এক বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অপর বাহুর সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অনুশীলনী ১৪.১

১. কোনো ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু দুইটিকে $X$ ও $Y$ বিন্দুতে ছেদ করে। $XY$, ভূমির সমান্তরাল হলে প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle ABC$-এর ভূমি $BC$; $\angle B$-এর সমদ্বিখণ্ডক $BX$ বিপরীত বাহু $AC$-কে $X$ বিন্দুতে এবং $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডক $CY$ বিপরীত বাহু $AB$-কে $Y$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $XY \parallel BC$। প্রমাণ করতে হবে $AB = AC$।

প্রমাণ: $\triangle ABC$-এ $BX$ হলো $\angle B$-এর সমদ্বিখণ্ডক।

তাই $AX : XC = AB : BC ... (1)$ [উপপাদ্য ৩০]

আবার $CY$ হলো $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডক; তাই $AY : YB = AC : BC ... (2)$ [উপপাদ্য ৩০]

$\triangle ABC$-এ $XY \parallel BC$, তাই $AX : XC = AY : YB ... (3)$ [উপপাদ্য ২৮]

(১), (২) ও (৩) থেকে $AB : BC = AC : BC$

বা, $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AC}{BC}$

অতএব $AB = AC$; অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

ব্যাখ্যা: দুটি সমদ্বিখণ্ডকের জন্য উপপাদ্য ৩০ এবং সমান্তরাল রেখার জন্য উপপাদ্য ২৮ ব্যবহার করলে দুই অনুপাতই $AX : XC$-এর সমান হয়, ফলে $AB : BC = AC : BC$।

উত্তর: প্রমাণিত: $AB = AC$, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু

২. প্রমাণ করো যে, কতকগুলো পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখাকে দুইটি সরলরেখা ছেদ করলে অনুরূপ অংশগুলো সমানুপাতিক হবে।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $AD \parallel BE \parallel CF$ তিনটি সমান্তরাল রেখাকে $AC$ ও $DF$ দুইটি সরলরেখা যথাক্রমে $A, B, C$ ও $D, E, F$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $AB : BC = DE : EF$।

অঙ্কন: $A, F$ যোগ করি; $AF$ রেখা $BE$-কে $G$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: $\triangle ACF$-এ $BG \parallel CF$ [কারণ $BE \parallel CF$]

তাই $AB : BC = AG : GF ... (1)$ [উপপাদ্য ২৮]

আবার $\triangle AFD$-এ $GE \parallel AD$ [কারণ $BE \parallel AD$]

তাই $AG : GF = DE : EF ... (2)$ [উপপাদ্য ২৮]

(১) ও (২) থেকে $AB : BC = DE : EF$

ব্যাখ্যা: একটি অতিরিক্ত কর্ণ $AF$ টেনে দুটি ত্রিভুজ তৈরি করলে উপপাদ্য ২৮ দুইবার প্রয়োগ করা যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $AB : BC = DE : EF$

৩. প্রমাণ করো যে, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় এদের ছেদবিন্দুতে একই অনুপাতে বিভক্ত হয়।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামে $AB \parallel DC$ এবং কর্ণ $AC$ ও $BD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $AO : OC = BO : OD$।

অঙ্কন: $O$ বিন্দু দিয়ে $AB$-এর সমান্তরাল $OE$ রেখা আঁকি, যা $AD$-কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: $OE \parallel AB$ এবং $AB \parallel DC$, তাই $OE \parallel DC$

$\triangle ADC$-এ $OE \parallel DC$; তাই $AE : ED = AO : OC ... (1)$ [উপপাদ্য ২৮]

$\triangle ABD$-এ $OE \parallel AB$; তাই $DE : EA = DO : OB ... (2)$ [উপপাদ্য ২৮]

(২) থেকে $AE : ED = OB : OD$ [ব্যস্তকরণ ...(3)]

(১) ও (৩) থেকে $AO : OC = BO : OD$

ব্যাখ্যা: $O$ দিয়ে সমান্তরাল রেখা টানার ফলে $AD$ বাহুর উপর $E$ বিন্দুটি দুটি ত্রিভুজেই কাজে লাগে। (২) নং থেকে ব্যস্তকরণ করে (৩) পাওয়া যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $AO : OC = BO : OD$

৪. প্রমাণ করো যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামে $AB \parallel DC$; তির্যক বাহু $AD$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $E$ ও $F$। প্রমাণ করতে হবে $EF \parallel AB \parallel DC$।

অঙ্কন: $AC$ কর্ণ আঁকি এবং এর মধ্যবিন্দু $H$ ধরি। $E, H$ ও $H, F$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle ADC$-এ $E$ ও $H$ যথাক্রমে $AD$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু; তাই $EH \parallel DC$

$\triangle ABC$-এ $H$ ও $F$ যথাক্রমে $AC$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু; তাই $HF \parallel AB$

কিন্তু $AB \parallel DC$; সুতরাং $EH \parallel AB$ এবং $HF \parallel AB$

$H$ বিন্দু দিয়ে $AB$-এর সমান্তরাল একটিই সরলরেখা আঁকা যায়; তাই $E, H, F$ একই সরলরেখায় অবস্থিত, অর্থাৎ $EF \parallel AB \parallel DC$

ব্যাখ্যা: মধ্যবিন্দু উপপাদ্য দুইবার প্রয়োগ করে $EH$ ও $HF$ দুটিকেই $AB$-এর সমান্তরাল পাওয়া যায়; একই বিন্দু $H$ দিয়ে দুটি আলাদা সমান্তরাল রেখা হতে পারে না, তাই $E, H, F$ সমরেখ।

উত্তর: প্রমাণিত: $EF \parallel AB \parallel DC$

৫. $ABC$ ত্রিভুজের $AD$ ও $BE$ মধ্যমাদ্বয় পরস্পর $G$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $G$ বিন্দুর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত $DE$ এর সমান্তরাল $AC$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $AC = 6EF$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এ $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু এবং $E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু; মধ্যমা $AD$ ও $BE$ পরস্পরকে $G$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $G$ দিয়ে $DE$-এর সমান্তরাল রেখা $AC$-কে $F$-এ ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে $AC = 6EF$।

প্রমাণ: $D, E$ যথাক্রমে $BC, AC$-এর মধ্যবিন্দু; তাই $DE \parallel AB$ এবং $DE = \dfrac{1}{2}AB$

$\triangle ABG$ ও $\triangle DEG$-এ $\angle GAB = \angle GDE$ ও $\angle GBA = \angle GED$ [একান্তর কোণ, $AB \parallel DE$]

তাই $\triangle ABG$ ও $\triangle DEG$ সদৃশকোণী; সুতরাং $\dfrac{BG}{GE} = \dfrac{AB}{DE} = 2$; অর্থাৎ $BG = 2GE$ এবং $GE = \dfrac{1}{3}BE$

এখন $GF \parallel DE \parallel AB$

$\triangle ABE$-এ $GF \parallel AB$; তাই $EF : EA = EG : EB$ [উপপাদ্য ২৮-এর অনুসিদ্ধান্ত]

বা, $\dfrac{EF}{EA} = \dfrac{1}{3}$; অর্থাৎ $EF = \dfrac{1}{3}EA$

$E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু; তাই $EA = \dfrac{1}{2}AC$

অতএব $EF = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{6}AC$, অর্থাৎ $AC = 6EF$

ব্যাখ্যা: মধ্যমাদ্বয়ের ছেদবিন্দু $G$ প্রতিটি মধ্যমাকে $2 : 1$ অনুপাতে ভাগ করে; সেটি সদৃশ ত্রিভুজ দিয়ে দেখানো হয়েছে। এরপর $GF \parallel AB$ ব্যবহার করে $EF : EA$ নির্ণয় করা হয়েছে। যাচাই: $AC = 6$ ধরলে $EA = 3$, $EF = 1$ ও $6 \times 1 = 6$ ✓।

উত্তর: প্রমাণিত: $AC = 6EF$

৬. $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুস্থ যেকোনো বিন্দু $X$ এবং $AX$ রেখাস্থ $O$ একটি বিন্দু। প্রমাণ করো যে, $\triangle AOB : \triangle AOC = BX : XC$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর উপর $X$ একটি বিন্দু এবং $AX$-এর উপর $O$ একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $\triangle AOB : \triangle AOC = BX : XC$।

অঙ্কন: $B$ ও $C$ থেকে $AX$ রেখা (বর্ধিত) এর উপর লম্ব আঁকি; লম্বপাদ যথাক্রমে $M$ ও $N$। অর্থাৎ $BM \perp AX$ ও $CN \perp AX$।

প্রমাণ: $\triangle AOB = \dfrac{1}{2} \times AO \times BM$ এবং $\triangle AOC = \dfrac{1}{2} \times AO \times CN$

তাই $\dfrac{\triangle AOB}{\triangle AOC} = \dfrac{BM}{CN} ... (1)$

$\triangle BMX$ ও $\triangle CNX$-এ $\angle BMX = \angle CNX = 90\degree$

$\angle BXM = \angle CXN$ [বিপ্রতীপ কোণ]

তাই $\triangle BMX$ ও $\triangle CNX$ সদৃশকোণী; সুতরাং সদৃশ। অতএব $\dfrac{BM}{CN} = \dfrac{BX}{XC} ... (2)$

(১) ও (২) থেকে $\triangle AOB : \triangle AOC = BX : XC$

ব্যাখ্যা: একই ভূমি $AO$-বিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের উচ্চতা $BM : CN$-এর সমান; আর সদৃশ ত্রিভুজ থেকে $BM : CN = BX : XC$ পাওয়া যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $\triangle AOB : \triangle AOC = BX : XC$

৭. $\triangle ABC$-এর $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $BC$-কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $BC$-এর সমান্তরাল কোনো রেখা $AB$ ও $AC$-কে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $BD : DC = BE : CF$।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$ বাহু $BC$-কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $EF \parallel BC$ এবং $E, F$ যথাক্রমে $AB, AC$-এর উপর অবস্থিত। প্রমাণ করতে হবে $BD : DC = BE : CF$।

প্রমাণ: $AD$ হলো $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক; তাই $BD : DC = AB : AC ... (1)$ [উপপাদ্য ৩০]

$\triangle ABC$-এ $EF \parallel BC$; তাই $AE : EB = AF : FC$ [উপপাদ্য ২৮]

যোজন করে: $\dfrac{AE + EB}{EB} = \dfrac{AF + FC}{FC}$

বা, $\dfrac{AB}{EB} = \dfrac{AC}{FC}$

বা, $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{EB}{FC} ... (2)$

(১) ও (২) থেকে $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BE}{CF}$, অর্থাৎ $BD : DC = BE : CF$

ব্যাখ্যা: সমান্তরাল রেখার অনুপাতে যোজন প্রয়োগ করে $AB : AC = BE : CF$ পাওয়া গেছে; অন্যদিকে সমদ্বিখণ্ডকের উপপাদ্য থেকে $BD : DC = AB : AC$। দুটি একই অনুপাত।

উত্তর: প্রমাণিত: $BD : DC = BE : CF$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: অধ্যায় ১৪-এর প্রমাণ-ধর্মী প্রশ্নগুলোর উত্তর বইয়ের উত্তরমালায় দেওয়া নেই। আমাদের আঁকা চিত্রে সহায়ক রেখা (যেমন ২ নং-এ $AF$, ৩ নং-এ $OE$, ৪ নং-এ $AC$/$H$) দেখানো হয়নি; খাতায় চিত্র এঁকে সেগুলো যোগ করে নিলে প্রমাণ বুঝতে সুবিধা হবে।