Class 9-10 Math Chapter 13 (Finite Series) Exercise 13.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারণ অনুপাত $r$ হলে $n$ তম পদ $ar^{n-1}$।
• প্রথম $n$ পদের সমষ্টি: $r > 1$ হলে $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ এবং $r < 1$ হলে $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$; $r = 1$ হলে $S_n = na$।
• $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left\{\dfrac{n(n + 1)}{2}\right\}^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2$।
• $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ এবং $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।

অনুশীলনী ১৩.২

১. $a, b, c$ ও $d$ সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $b = \dfrac{c + d}{2}$     খ) $a = \dfrac{b + c}{2}$     গ) $c = \dfrac{b + d}{2}$     ঘ) $d = \dfrac{a + c}{2}$

সমাধান:

সমান্তর ধারায় ক্রমিক তিনটি পদের মাঝেরটি বাকি দুটির গড়

$a, b, c, d$ ক্রমিক হলে $b$ হলো $a$ ও $c$-এর মাঝের পদ: $b = \dfrac{a + c}{2}$

$c$ হলো $b$ ও $d$-এর মাঝের পদ: $c = \dfrac{b + d}{2}$

ব্যাখ্যা: ক্রমিক পদের পার্থক্য সমান, অর্থাৎ $c - b = d - c$; এ থেকে $2c = b + d$। ক-তে $b$ এর সূত্রে $c + d$ আছে, যা ঠিক নয়। খ-তে $a$ ও ঘ-তে $d$ প্রান্তের পদ, তাদের এভাবে লেখা যায় না।

উত্তর: গ

২. $64 + 32 + 16 + 8 + \cdots$ ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে $a = 64, r = \dfrac{32}{64} = \dfrac{1}{2}$

$8$ তম পদ $= ar^{8-1} = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^7$

$= 2^6 \times \dfrac{1}{2^7} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: $64 = 2^6$ লিখে ঘাতের সূত্রে সরল করেছি। যাচাই: পদগুলো $64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, \dfrac{1}{2}$; অষ্টম পদ $\dfrac{1}{2}$ ✓।

উত্তর: অষ্টম পদ $\dfrac{1}{2}$

৩. $3 + 9 + 27 + \cdots$ ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে $a = 3, r = \dfrac{9}{3} = 3 > 1, n = 14$

$S_{14} = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$= \dfrac{3(3^{14} - 1)}{3 - 1}$

$= \dfrac{3}{2}(3^{14} - 1)$

ব্যাখ্যা: $r > 1$ হওয়ায় $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ সূত্র ব্যবহার করেছি। সংখ্যায় $3^{14} = 4782969$, তাই সমষ্টি $\dfrac{3}{2} \times 4782968 = 7174452$।

উত্তর: $\dfrac{3}{2}(3^{14} - 1)$ (সংখ্যায় $7174452$)

৪. $128 + 64 + 32 + \cdots$ ধারাটির কোন পদ $\dfrac{1}{2}$?

সমাধান:

এখানে $a = 128, r = \dfrac{64}{128} = \dfrac{1}{2}$

ধরি, $n$ তম পদ $\dfrac{1}{2}$

$ar^{n-1} = \dfrac{1}{2}$

বা, $128 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{1}{2}$

বা, $2^7 \times 2^{-(n-1)} = 2^{-1}$

বা, $2^{7 - n + 1} = 2^{-1}$

বা, $8 - n = -1 \Rightarrow n = 9$

ব্যাখ্যা: ভিত্তি সমান করে ঘাত সমান ধরেছি। যাচাই: $128 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 = 2^7 \times 2^{-8} = \dfrac{1}{2}$ ✓।

উত্তর: $9$ তম পদ

৫. একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ এবং দশম পদ $\dfrac{8\sqrt{2}}{81}$ হলে, ধারাটির তৃতীয় পদ কত?

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$

$5$ ম পদ $ar^4 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} ... (1)$

$10$ ম পদ $ar^9 = \dfrac{8\sqrt{2}}{81} ... (2)$

(২) কে (১) দিয়ে ভাগ করে: $r^5 = \dfrac{8\sqrt{2}}{81} \times \dfrac{9}{2\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$

বা, $r^5 = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{5/2}$

বা, $r = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/2} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

(১) নং-এ বসিয়ে: $a \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ [কারণ $r^4 = \dfrac{4}{9}$]

বা, $a = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

তৃতীয় পদ $= ar^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

ব্যাখ্যা: পদ দুটির ভাগফল থেকে $r^5$ পেয়ে $r$ বের করেছি (ধনাত্মক বাস্তব মূল)। যাচাই: $a r^9 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{9/2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{16}{81} \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{8\sqrt{2}}{81}$ ✓।

উত্তর: তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

৬. $\dfrac{1}{\sqrt{2}} - 1 + \sqrt{2} - \cdots$ ধারাটির কোন পদ $8\sqrt{2}$?

সমাধান:

এখানে $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, r = -1 \div \dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

ধরি, $n$ তম পদ $8\sqrt{2}$

$ar^{n-1} = 8\sqrt{2}$

বা, $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times (-\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$

বা, $(-\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 16$

বা, $(-\sqrt{2})^{n-1} = (\sqrt{2})^8$

$n - 1 = 8$ হলে বামপক্ষে $(-\sqrt{2})^8 = (\sqrt{2})^8 = 16$ (জোড় ঘাত, তাই চিহ্ন ধনাত্মক)

অতএব $n = 9$

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক অনুপাতে জোড় ঘাতে পদ ধনাত্মক হয়; $8\sqrt{2}$ ধনাত্মক, তাই $n - 1$ জোড় হতে হবে। $16 = (\sqrt{2})^8$ থেকে $n - 1 = 8$।

উত্তর: $9$ তম পদ

৭. $5 + x + y + 135$ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 5$ এবং চতুর্থ পদ $= 135$

মনে করি, সাধারণ অনুপাত $r$; $ar^3 = 135$

বা, $5r^3 = 135$

বা, $r^3 = 27 \Rightarrow r = 3$

$x = ar = 5 \times 3 = 15$

$y = ar^2 = 5 \times 9 = 45$

ব্যাখ্যা: $r^3 = 27$ এর বাস্তব সমাধান শুধু $r = 3$। যাচাই: $5, 15, 45, 135$ ধারার প্রতিটি পদ আগেরটির তিনগুণ ✓।

উত্তর: $x = 15$ এবং $y = 45$

৮. $3 + x + y + z + 243$ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, $x, y$ এবং $z$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথম পদ $a = 3$ এবং পঞ্চম পদ $= 243$

মনে করি, সাধারণ অনুপাত $r$; $ar^4 = 243$

বা, $3r^4 = 243$

বা, $r^4 = 81 = 3^4 \Rightarrow r = 3$ (ধনাত্মক অনুপাত ধরে)

$x = ar = 3 \times 3 = 9$

$y = ar^2 = 3 \times 9 = 27$

$z = ar^3 = 3 \times 27 = 81$

ব্যাখ্যা: $r^4 = 81$ থেকে $r = 3$ বা $r = -3$; বইয়ের উত্তরমালা অনুযায়ী ধনাত্মক অনুপাত $r = 3$ নেওয়া হয়েছে। যাচাই: $3, 9, 27, 81, 243$ ✓।

উত্তর: $x = 9, y = 27, z = 81$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৮ নং প্রশ্নে $r^4 = 81$ থেকে $r = -3$ নিলেও শর্ত মেলে (তখন $x = -9, y = 27, z = -81$)। বইয়ের উত্তরমালায় শুধু $r = 3$-এর উত্তর দেওয়া আছে; আমরা বইয়ের উত্তরটিকেই মূল উত্তর ধরেছি। প্রশ্নে কোনো শর্ত না থাকায় দ্বিতীয় উত্তরটিও গ্রহণযোগ্য হতে পারে। শিক্ষকের সাথে মিলিয়ে নিন।

৯. $2 - 4 + 8 - 16 + \cdots$ ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

এখানে $a = 2, r = \dfrac{-4}{2} = -2 < 1, n = 7$

$S_7 = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$= \dfrac{2\{1 - (-2)^7\}}{1 - (-2)}$

$= \dfrac{2(1 + 128)}{3}$

$= \dfrac{2 \times 129}{3} = 86$

ব্যাখ্যা: $r < 1$ হওয়ায় $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ ব্যবহার করেছি। যাচাই: $2 - 4 + 8 - 16 + 32 - 64 + 128 = 86$ ✓।

উত্তর: $86$

১০. $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ ধারাটির $(2n + 1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধারাটির পদগুলো একটি করে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পর্যায়ক্রমে আসে; $a = 1, r = -1$

$(2n + 1)$ সংখ্যক পদকে সাজাই: $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots + (1 - 1) + 1$

এখানে $n$ জোড়া $(1 - 1) = 0$ এবং শেষে একটি অতিরিক্ত $1$

সমষ্টি $= n \times 0 + 1 = 1$

অথবা সূত্রে: $S_{2n+1} = \dfrac{1 \times \{1 - (-1)^{2n+1}\}}{1 - (-1)} = \dfrac{1 + 1}{2} = 1$

ব্যাখ্যা: বিজোড় সংখ্যক পদ নিলে শেষ পদ $+1$ হয় এবং আগের পদগুলো জোড়ায় জোড়ায় কেটে যায়।

উত্তর: $1$

১১. $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

$\log 4 = \log 2^2 = 2\log 2$, $\log 8 = \log 2^3 = 3\log 2$

ধারাটি $\log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \cdots = \log 2(1 + 2 + 3 + \cdots)$

প্রথম দশটি পদের সমষ্টি $= \log 2(1 + 2 + 3 + \cdots + 10)$

$= \log 2 \times \dfrac{10 \times 11}{2} = 55\log 2$

ব্যাখ্যা: ধারাটি সমান্তর (অন্তর $\log 2$), তাই $1 + 2 + \cdots + 10$ সূত্র কাজে লেগেছে। যাচাই: সমান্তর সূত্রে $S_{10} = \dfrac{10}{2}(2 \log 2 + 9 \log 2) = 55 \log 2$ ✓।

উত্তর: $55\log 2$

১২. $2 + 4 + 8 + 16 + \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $254$ হলে, $n$ এর মান কত?

সমাধান:

এখানে $a = 2, r = 2 > 1$

$S_n = \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 254$

বা, $2^n - 1 = 127$

বা, $2^n = 128 = 2^7$

বা, $n = 7$

ব্যাখ্যা: $2^n = 128$ থেকে ভিত্তি তুলনা করে $n = 7$। যাচাই: $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 254$ ✓।

উত্তর: $n = 7$

১৩. $2 - 2 + 2 - 2 + \cdots$ ধারাটির $(2n + 2)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

$a = 2, r = -1$; পদ সংখ্যা $2n + 2$ (জোড় সংখ্যা)

$S = \dfrac{2\{1 - (-1)^{2n+2}\}}{1 - (-1)} = \dfrac{2(1 - 1)}{2} = 0$

অথবা জোড়া করে: $(2 - 2) + (2 - 2) + \cdots$ মোট $(n + 1)$ জোড়া, প্রতিটি $0$; সমষ্টি $0$

ব্যাখ্যা: জোড় সংখ্যক পদে $+2$ ও $-2$ ঠিক সমান সংখ্যক থাকে, তাই সমষ্টি শূন্য।

উত্তর: $0$

১৪. প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $441$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো এবং ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\dfrac{n(n + 1)}{2}\right\}^2$

শর্তে, $\left\{\dfrac{n(n + 1)}{2}\right\}^2 = 441 = 21^2$

বা, $\dfrac{n(n + 1)}{2} = 21$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)

বা, $n^2 + n - 42 = 0$

বা, $(n + 7)(n - 6) = 0$

$n = 6$ (ঋণাত্মক $n = -7$ গ্রহণযোগ্য নয়)

ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $1 + 2 + \cdots + 6 = \dfrac{6 \times 7}{2} = 21$

ব্যাখ্যা: ঘনের সমষ্টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির বর্গের সমান; তাই আসলে $n(n + 1)/2 = 21$ আর সেটিই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি।

উত্তর: $n = 6$ এবং সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $21$

১৫. দেখাও যে, $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + 10^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + 10)^2$।

সমাধান:

বামপক্ষ: প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্রে $n = 10$ বসাই:

$1^3 + 2^3 + \cdots + 10^3 = \left\{\dfrac{10 \times 11}{2}\right\}^2 = 55^2 = 3025$

ডানপক্ষ: $1 + 2 + 3 + \cdots + 10 = \dfrac{10 \times 11}{2} = 55$

সুতরাং $(1 + 2 + \cdots + 10)^2 = 55^2 = 3025$

অতএব বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষই $55^2$ হয়। সরাসরি যোগ করেও মেলে: $1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3025$ ✓।

উত্তর: দেখানো হলো (উভয় পক্ষ $3025$)

১৬. $\dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{1 + 2 + 3 + \cdots + n} = 210$ হলে, $n$ এর মান কত?

সমাধান:

লব $= \left\{\dfrac{n(n + 1)}{2}\right\}^2$ এবং হর $= \dfrac{n(n + 1)}{2}$

শর্তে, $\dfrac{\left\{\dfrac{n(n + 1)}{2}\right\}^2}{\dfrac{n(n + 1)}{2}} = 210$

বা, $\dfrac{n(n + 1)}{2} = 210$

বা, $n^2 + n - 420 = 0$

বা, $n^2 + 21n - 20n - 420 = 0$

বা, $(n + 21)(n - 20) = 0$

$n = 20$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

ব্যাখ্যা: লবকে হর দিয়ে ভাগ করলে $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ থাকে। যাচাই: $\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$ ✓।

উত্তর: $n = 20$

১৭. দুপুর $1$ টা $15$ মিনিটে $1$ জন এস.এস.সি পরীক্ষার ফলাফল জানতে পারল। $1$ টা $20$ মিনিটে জানল $8$ জন, $1$ টা $25$ মিনিটে জানল $27$ জন। এভাবে ফলাফল ছড়িয়ে পড়ল।

ক) উদ্দীপকের আলোকে প্যাটার্ন দুইটি লিখ।

সমাধান:

$5$ মিনিট পর পর নতুন যারা ফলাফল জানল তাদের সংখ্যা: $1, 8, 27, \cdots$; অর্থাৎ $1^3, 2^3, 3^3, \cdots$

প্যাটার্ন ১: $k$ তম ধাপে (প্রতি $5$ মিনিট অন্তর) নতুন $k^3$ জন ফলাফল জানে; সময় $1$ টা $(10 + 5k)$ মিনিট

প্যাটার্ন ২: $k$ তম ধাপ পর্যন্ত মোট জন $= 1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \left\{\dfrac{k(k + 1)}{2}\right\}^2$; অর্থাৎ $1, 9, 36, 100, \cdots$

ব্যাখ্যা: প্রথম প্যাটার্নটি পূর্ণসংখ্যার ঘনের (অনুক্রম), দ্বিতীয়টি তাদের ক্রমযোজিত সমষ্টির (ধারা)।

উত্তর: প্যাটার্ন ১: নতুন জন $k^3$; প্যাটার্ন ২: মোট জন $\left\{\dfrac{k(k + 1)}{2}\right\}^2$

খ) ঠিক $2$ টা $10$ মিনিটে কত জন এবং $2$ টা $10$ মিনিট পর্যন্ত মোট কত জন ফলাফল জানতে পারবে?

সমাধান:

$1$ টা $15$ মিনিট ধাপ ১; $2$ টা $10$ মিনিট মানে $1$ টা $70$ মিনিট

$10 + 5k = 70 \Rightarrow k = 12$, অর্থাৎ $12$ তম ধাপ

ঠিক $2$ টা $10$ মিনিটে ফলাফল জানবে $12^3 = 1728$ জন

$2$ টা $10$ মিনিট পর্যন্ত মোট জন $= 1^3 + 2^3 + \cdots + 12^3 = \left\{\dfrac{12 \times 13}{2}\right\}^2 = 78^2 = 6084$ জন

ব্যাখ্যা: ধাপ সংখ্যা $k$ বের করে প্রথম প্যাটার্ন থেকে ঠিক ঐ সময়ের জন এবং দ্বিতীয় প্যাটার্ন থেকে মোট জন পাওয়া গেছে। $1$ টা $15$ মিনিট থেকে $2$ টা $10$ মিনিট পর্যন্ত $11 \times 5 = 55$ মিনিট, তাই $12$ ধাপ ✓।

উত্তর: ঠিক $2$ টা $10$ মিনিটে $1728$ জন; মোট $6084$ জন

গ) কয়টার সময় $6175225$ জন ফলাফল জানতে পারবে?

সমাধান:

মনে করি, $k$ তম ধাপ পর্যন্ত মোট $6175225$ জন

$\left\{\dfrac{k(k + 1)}{2}\right\}^2 = 6175225$

$\sqrt{6175225} = 2485$, কারণ $2485^2 = 6175225$

বা, $\dfrac{k(k + 1)}{2} = 2485$

বা, $k^2 + k - 4970 = 0$

বা, $(k + 71)(k - 70) = 0$

$k = 70$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

সময় $1$ টা $(10 + 5 \times 70) = 1$ টা $360$ মিনিট $= 7$ টা

ব্যাখ্যা: মোট জনসংখ্যাকে $\left\{\dfrac{k(k+1)}{2}\right\}^2$ এর সমান ধরে $k$ বের করেছি। $360$ মিনিট মানে $6$ ঘণ্টা, তাই $1$ টা + $6$ ঘণ্টা $= 7$ টা। যাচাই: $70 \times 71 = 4970 = 2 \times 2485$ ✓।

উত্তর: দুপুর $1$ টার পর $6$ ঘণ্টা, অর্থাৎ সন্ধ্যা $7$ টায়

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর নেই; উত্তরগুলো নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে। ১৭(ক)-তে "প্যাটার্ন" কীভাবে লিখতে হবে তা প্রশ্নে স্পষ্ট নেই, আমরা দুটি স্বাভাবিক প্যাটার্ন (নতুন জন ও মোট জন) দিয়েছি। শিক্ষকের নির্দেশ অনুযায়ী সামান্য ভিন্নভাবে লেখা লাগতে পারে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. $5, 8, 11, \ldots, 99$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?

ক) $2n + 1$     খ) $3n - 1$     গ) $3n + 1$     ঘ) $3n + 2$

সমাধান:

এখানে $a = 5, d = 8 - 5 = 3$

সাধারণ পদ $= a + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \times 3 = 3n + 2$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $n = 1$ হলে $5$, $n = 2$ হলে $8$, $n = 3$ হলে $11$ ✓। অন্য বিকল্পে $n = 1$ বসালে ক-তে $3$, খ-তে $2$, গ-তে $4$ আসে, যা প্রথম পদ $5$-এর সাথে মেলে না।

উত্তর: ঘ

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে অনুক্রমের শেষ পদ $99$ দেওয়া আছে, কিন্তু $3n + 2 = 99$ থেকে $n$ পূর্ণসংখ্যা হয় না ($99$ এই অনুক্রমের পদ নয়)। সাধারণ পদ নির্ণয়ে এতে উত্তর বদলায় না, তবে এটি বইয়ের প্রশ্নের একটি অসংগতি; সম্ভবত $98$ হবে।

২. $3 + 8 + 13 + \cdots + 73$ ধারাটি— (i) একটি সসীম ধারা (ii) একটি সমান্তর ধারা (iii) এর $11$ তম পদ $53$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট ($73$ পর্যন্ত), তাই ধারাটি সসীম। (i) সত্য

পাশাপাশি পদের অন্তর $8 - 3 = 13 - 8 = 5$ সমান, তাই সমান্তর ধারা। (ii) সত্য

$11$ তম পদ $= 3 + (11 - 1) \times 5 = 3 + 50 = 53$। (iii) সত্য

ব্যাখ্যা: তিনটি তথ্যই সঠিক। এখানে $73 = 3 + 14 \times 5$, তাই শেষ পদ সত্যিই ধারাটির একটি পদ (১৫ তম)।

উত্তর: ঘ

নিচের ধারার ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

ক) $2$     খ) $4$     গ) $\log 2$     ঘ) $2\log 2$

সমাধান:

$\log 4 = 2\log 2$, $\log 8 = 3\log 2$; ধারাটি $\log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \cdots$

সাধারণ অন্তর $= \log 4 - \log 2 = 2\log 2 - \log 2 = \log 2$

ব্যাখ্যা: পরের দুটি পদের অন্তরও $3\log 2 - 2\log 2 = \log 2$, তাই ধারাটি সমান্তর।

উত্তর: গ

৪. ধারাটির সপ্তম পদ কোনটি?

ক) $\log 32$     খ) $\log 64$     গ) $\log 128$     ঘ) $\log 256$

সমাধান:

$a = \log 2, d = \log 2$

সপ্তম পদ $= a + 6d = \log 2 + 6\log 2 = 7\log 2 = \log 2^7 = \log 128$

ব্যাখ্যা: অথবা সরাসরি: $n$ তম পদ $n\log 2 = \log 2^n$, তাই $7$ তম পদ $\log 128$।

উত্তর: গ

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. কোনো শিক্ষার্থী প্রথম সপ্তাহে $10$ টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রত্যেক সপ্তাহে এর পূর্ববর্তী সপ্তাহের তুলনায় $5$ টাকা বেশি সঞ্চয় করে।

ক) প্রথম $20$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

$1 + 2 + 3 + \cdots + 20 = \dfrac{20(20 + 1)}{2}$

$= 10 \times 21 = 210$

ব্যাখ্যা: প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $\dfrac{n(n + 1)}{2}$।

উত্তর: $210$

খ) শিক্ষার্থীর সঞ্চয়ের হিসাবটিকে $n$ সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর এবং প্রথম $21$ সপ্তাহে সঞ্চিত টাকার পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধান:

সঞ্চয়: $10, 15, 20, \cdots$ টাকা; এটি সমান্তর ধারা, $a = 10, d = 5$

$n$ তম পদ $= 10 + (n - 1) \times 5 = 5n + 5$

ধারাটি: $10 + 15 + 20 + \cdots + (5n + 5)$

$S_{21} = \dfrac{21}{2}\{2 \times 10 + (21 - 1) \times 5\}$

$= \dfrac{21}{2}(20 + 100) = \dfrac{21}{2} \times 120 = 1260$

ব্যাখ্যা: প্রতি সপ্তাহে সমান $5$ টাকা করে বাড়ে, তাই সমান্তর ধারা। যাচাই: $21$ তম সপ্তাহে $5 \times 21 + 5 = 110$; গড় $\dfrac{10 + 110}{2} = 60$ ও $21$ সপ্তাহে $60 \times 21 = 1260$ ✓।

উত্তর: ধারা: $10 + 15 + 20 + \cdots + (5n + 5)$; প্রথম $21$ সপ্তাহে $1260$ টাকা

গ) শিক্ষার্থীর প্রথম সপ্তাহের সঞ্চিত টাকার পরিমাণকে ১ম পদ এবং সাধারণ অনুপাত $10$ ধরে একটি নতুন ধারা তৈরি করো এবং সূত্র প্রয়োগ করে ধারাটির প্রথম $4$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথম পদ $a = 10$, সাধারণ অনুপাত $r = 10$

নতুন ধারাটি: $10 + 10 \times 10 + 10 \times 10^2 + 10 \times 10^3 + \cdots = 10 + 100 + 1000 + 10000 + \cdots$

এখানে $r = 10 > 1, n = 4$

$S_4 = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \dfrac{10(10^4 - 1)}{10 - 1}$

$= \dfrac{10 \times 9999}{9} = 10 \times 1111 = 11110$

ব্যাখ্যা: $r > 1$ হওয়ায় $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ সূত্র ব্যবহার করেছি। সরাসরি যোগ করেও মেলে: $10 + 100 + 1000 + 10000 = 11110$ ✓।

উত্তর: নতুন ধারা: $10 + 100 + 1000 + 10000 + \cdots$; প্রথম $4$ টি পদের সমষ্টি $11110$

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬.

ক) $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots$ ধারার পদগুলো নিয়ে গঠিত অনুক্রমটির সাধারণ পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে $a = 3, d = 7 - 3 = 4$

সাধারণ পদ $= a + (n - 1)d = 3 + (n - 1) \times 4 = 4n - 1$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $n = 1, 2, 3, 4$ বসালে $3, 7, 11, 15$ পাওয়া যায় ✓।

উত্তর: সাধারণ পদ $4n - 1$

খ) $256 + 128 + 64 + \cdots$ ধারাটির কোন পদ $\dfrac{1}{32}$ তা নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে $a = 256, r = \dfrac{128}{256} = \dfrac{1}{2}$

ধরি, $n$ তম পদ $\dfrac{1}{32}$

$ar^{n-1} = \dfrac{1}{32}$

বা, $256 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{1}{32}$

বা, $2^8 \times 2^{-(n-1)} = 2^{-5}$

বা, $2^{9 - n} = 2^{-5}$

বা, $9 - n = -5 \Rightarrow n = 14$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $256 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{13} = 2^8 \times 2^{-13} = 2^{-5} = \dfrac{1}{32}$ ✓।

উত্তর: $14$ তম পদ

গ) সূত্র প্রয়োগ করে $8^2 + 9^2 + 10^2 + \cdots + 15^2$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

$8^2 + 9^2 + \cdots + 15^2 = (1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2) - (1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)$

$1^2 + \cdots + 15^2 = \dfrac{15 \times 16 \times 31}{6} = 1240$

$1^2 + \cdots + 7^2 = \dfrac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$

নির্ণেয় সমষ্টি $= 1240 - 140 = 1100$

ব্যাখ্যা: $15$ পর্যন্ত মোট থেকে $7$ পর্যন্ত বাদ দিলে $8$ থেকে $15$ পর্যন্ত বর্গের সমষ্টি পাওয়া যায়।

উত্তর: $1100$

ঘ) কোনো সমান্তর ধারার $17$ তম পদ $43$ হলে, এর প্রথম $33$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$

শর্তে, $a + 16d = 43 ... (1)$

$S_{33} = \dfrac{33}{2}\{2a + (33 - 1)d\}$

$= \dfrac{33}{2}(2a + 32d)$

$= 33(a + 16d)$

$= 33 \times 43 = 1419$

ব্যাখ্যা: $33$ টি পদের মাঝের পদ $17$ তম, তাই সমষ্টি $= 33 \times 17$ তম পদ।

উত্তর: $1419$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় নমুনা প্রশ্নের উত্তর দেওয়া নেই; সব উত্তর নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে।