Class 9-10 Math Chapter 13 (Finite Series) Exercise 13.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারণ অন্তর $d$ হলে $n$ তম পদ $a + (n - 1)d$।
• প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$; শেষ পদ $l$ জানা থাকলে $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$।
• $n$ তম পদ $= S_n - S_{n-1}$ (ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি জানা থাকলে)।
• প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ এবং প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $n^2$।

অনুশীলনী ১৩.১

১. $13 + 20 + 27 + 34 + \cdots + 111$ ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক) $10$     খ) $13$     গ) $15$     ঘ) $20$

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 13$, সাধারণ অন্তর $d = 20 - 13 = 7$, শেষ পদ $l = 111$

ধরি, পদ সংখ্যা $n$; $n$ তম পদ $= a + (n - 1)d$

বা, $111 = 13 + (n - 1) \times 7$

বা, $(n - 1) \times 7 = 98$

বা, $n - 1 = 14 \Rightarrow n = 15$

ব্যাখ্যা: শেষ পদকে $n$ তম পদের সূত্রে বসিয়ে $n$ বের করেছি। যাচাই: $13 + 14 \times 7 = 111$ ✓।

উত্তর: গ

২. $5 + 8 + 11 + 14 + \cdots + 62$ ধারাটি (i) একটি সসীম ধারা (ii) একটি গুণোত্তর ধারা (iii) এর $19$ তম পদ $59$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট ($62$ পর্যন্ত), তাই এটি সসীম ধারা। (i) সত্য

পাশাপাশি পদের অন্তর সমান: $8 - 5 = 11 - 8 = 3$; এটি সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা নয়। (ii) মিথ্যা

$19$ তম পদ $= 5 + (19 - 1) \times 3 = 5 + 54 = 59$। (iii) সত্য

ব্যাখ্যা: অনুপাত $\dfrac{8}{5} \neq \dfrac{11}{8}$, তাই ধারাটি গুণোত্তর নয়। (i) ও (iii) সঠিক।

উত্তর: খ

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ৩ - ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $7 + 13 + 19 + 25 + \cdots$ একটি ধারা।

৩. ধারাটির $15$ তম পদ কোনটি?

ক) $85$     খ) $91$     গ) $97$     ঘ) $104$

সমাধান:

এখানে $a = 7, d = 13 - 7 = 6$

$15$ তম পদ $= 7 + (15 - 1) \times 6 = 7 + 84 = 91$

ব্যাখ্যা: $n$ তম পদের সূত্রে $n = 15$ বসিয়েছি।

উত্তর: খ

৪. ধারাটির প্রথম $20$ টি পদের সমষ্টি কত?

ক) $141$     খ) $1210$     গ) $1280$     ঘ) $2560$

সমাধান:

$S_{20} = \dfrac{20}{2}\{2 \times 7 + (20 - 1) \times 6\}$

$= 10(14 + 114) = 10 \times 128 = 1280$

ব্যাখ্যা: সমষ্টির সূত্রে $a = 7, d = 6, n = 20$ বসিয়েছি।

উত্তর: গ

৫. $2 - 5 - 12 - 19 - \cdots$ ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং $12$ তম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে প্রথম পদ $a = 2$

সাধারণ অন্তর $d = -5 - 2 = -7$

$12$ তম পদ $= a + (12 - 1)d = 2 + 11 \times (-7) = 2 - 77 = -75$

ব্যাখ্যা: পরপর দুই পদের বিয়োগফলই সাধারণ অন্তর। $-12 - (-5) = -7$ ✓ ও $-19 - (-12) = -7$ ✓।

উত্তর: সাধারণ অন্তর $-7$ এবং $12$ তম পদ $-75$

৬. $8 + 11 + 14 + 17 + \cdots$ ধারাটির কোন পদ $392$?

সমাধান:

এখানে $a = 8, d = 11 - 8 = 3$

ধরি, $n$ তম পদ $392$

$a + (n - 1)d = 392$

বা, $8 + (n - 1) \times 3 = 392$

বা, $3(n - 1) = 384$

বা, $n - 1 = 128 \Rightarrow n = 129$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $8 + 128 \times 3 = 392$ ✓।

উত্তর: $129$ তম পদ

৭. $4 + 7 + 10 + 13 + \cdots$ ধারাটির কোন পদ $301$?

সমাধান:

এখানে $a = 4, d = 7 - 4 = 3$

ধরি, $n$ তম পদ $301$

$4 + (n - 1) \times 3 = 301$

বা, $3(n - 1) = 297$

বা, $n - 1 = 99 \Rightarrow n = 100$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $4 + 99 \times 3 = 301$ ✓।

উত্তর: $100$ তম পদ

৮. কোনো সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $n$ এবং $n$ তম পদ $m$ হলে, ধারাটির $(m + n)$ তম পদ কত?

সমাধান:

মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$

১ম শর্তে, $a + (m - 1)d = n ... (1)$

২য় শর্তে, $a + (n - 1)d = m ... (2)$

(১) থেকে (২) বিয়োগ করে: $(m - n)d = n - m$

বা, $(m - n)d = -(m - n)$

বা, $d = -1$ (কারণ $m \neq n$)

(১) নং-এ বসিয়ে: $a - (m - 1) = n \Rightarrow a = m + n - 1$

$(m + n)$ তম পদ $= a + (m + n - 1)d = (m + n - 1) - (m + n - 1) = 0$

ব্যাখ্যা: দুটি সমীকরণ বিয়োগ করে $d$ বের হয়, তারপর $a$ বের করে $(m + n)$ তম পদের সূত্রে বসানো হয়েছে।

উত্তর: $(m + n)$ তম পদ $0$

৯. $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots$ ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

এখানে $a = 1, d = 3 - 1 = 2$

$S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$

$= \dfrac{n}{2}\{2 \times 1 + (n - 1) \times 2\}$

$= \dfrac{n}{2}(2 + 2n - 2) = \dfrac{n}{2} \times 2n = n^2$

ব্যাখ্যা: প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি সবসময় $n^2$। যেমন $n = 3$ হলে $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$ ✓।

উত্তর: $n^2$

১০. $8 + 16 + 24 + \cdots$ ধারাটির প্রথম $9$ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

এখানে $a = 8, d = 16 - 8 = 8, n = 9$

$S_9 = \dfrac{9}{2}\{2 \times 8 + (9 - 1) \times 8\}$

$= \dfrac{9}{2}(16 + 64) = \dfrac{9}{2} \times 80 = 360$

ব্যাখ্যা: ধারাটি সমান্তর (অন্তর $8$ সমান), তাই সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করেছি। যাচাই: $8 + 16 + \cdots + 72$, গড় $40$ ও পদ $9$ টি; $40 \times 9 = 360$ ✓।

উত্তর: $360$

১১. $5 + 11 + 17 + 23 + \cdots + 59 =$ কত?

সমাধান:

এখানে $a = 5, d = 11 - 5 = 6, l = 59$

ধরি, পদ সংখ্যা $n$; $5 + (n - 1) \times 6 = 59$

বা, $6(n - 1) = 54 \Rightarrow n = 10$

$S_{10} = \dfrac{n}{2}(a + l) = \dfrac{10}{2}(5 + 59) = 5 \times 64 = 320$

ব্যাখ্যা: শেষ পদ জানা থাকলে $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ সূত্রটি সুবিধাজনক; আগে পদ সংখ্যা বের করে নিতে হয়।

উত্তর: $320$

১২. $29 + 25 + 21 + \cdots - 23 =$ কত?

সমাধান:

এখানে $a = 29, d = 25 - 29 = -4, l = -23$

ধরি, পদ সংখ্যা $n$; $29 + (n - 1)(-4) = -23$

বা, $-4(n - 1) = -52$

বা, $n - 1 = 13 \Rightarrow n = 14$

$S_{14} = \dfrac{14}{2}(29 + (-23)) = 7 \times 6 = 42$

ব্যাখ্যা: সাধারণ অন্তর ঋণাত্মক, তাই পদগুলো কমছে। পদ সংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $14$ পাওয়ায় $-23$ ধারাটির একটি পদ।

উত্তর: $42$

১৩. কোনো সমান্তর ধারার $12$ তম পদ $77$ হলে, এর প্রথম $23$ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$

শর্তে, $a + 11d = 77 ... (1)$

$S_{23} = \dfrac{23}{2}\{2a + (23 - 1)d\}$

$= \dfrac{23}{2}(2a + 22d)$

$= 23(a + 11d)$

$= 23 \times 77 = 1771$ [(১) নং থেকে]

ব্যাখ্যা: $23$ পদের মাঝের পদ হলো $12$ তম পদ। সমান্তর ধারার মাঝের পদ গড়ের সমান, তাই সমষ্টি $= 23 \times 77$।

উত্তর: $1771$

১৪. একটি সমান্তর ধারার $16$ তম পদ $-20$ হলে, এর প্রথম $31$ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$

শর্তে, $a + 15d = -20 ... (1)$

$S_{31} = \dfrac{31}{2}\{2a + (31 - 1)d\}$

$= \dfrac{31}{2}(2a + 30d)$

$= 31(a + 15d)$

$= 31 \times (-20) = -620$

ব্যাখ্যা: $31$ পদের মাঝের পদ $16$ তম পদ, তাই সমষ্টি $= 31 \times 16$ তম পদ।

উত্তর: $-620$

১৫. $9 + 7 + 5 + \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $-144$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে $a = 9, d = 7 - 9 = -2$

শর্তে, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2 \times 9 + (n - 1)(-2)\} = -144$

বা, $n(18 - 2n + 2) = -288$

বা, $n(20 - 2n) = -288$

বা, $20n - 2n^2 + 288 = 0$

বা, $n^2 - 10n - 144 = 0$

বা, $n^2 - 18n + 8n - 144 = 0$

বা, $(n - 18)(n + 8) = 0$

অর্থাৎ, $n = 18$ অথবা $n = -8$

পদ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না; তাই $n = 18$

ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়ায় দুটি মান আসে, কিন্তু পদ সংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $n = -8$ বাদ। যাচাই: $S_{18} = \dfrac{18}{2}\{2 \times 9 + 17 \times (-2)\} = 9(18 - 34) = -144$ ✓।

উত্তর: $n = 18$

১৬. $2 + 4 + 6 + 8 + \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $2550$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে $a = 2, d = 2$

শর্তে, $\dfrac{n}{2}\{2 \times 2 + (n - 1) \times 2\} = 2550$

বা, $n(2 + n - 1) = 2550$

বা, $n^2 + n - 2550 = 0$

বা, $n^2 + 51n - 50n - 2550 = 0$

বা, $n(n + 51) - 50(n + 51) = 0$

বা, $(n + 51)(n - 50) = 0$

$n = 50$ অথবা $n = -51$; ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়

ব্যাখ্যা: প্রথম $n$ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি $n(n + 1)$; তাই $n(n + 1) = 2550 = 50 \times 51 \Rightarrow n = 50$।

উত্তর: $n = 50$

১৭. কোনো ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $n(n + 1)$ হলে, ধারাটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $S_n = n(n + 1)$

প্রথম পদ $= S_1 = 1 \times 2 = 2$

প্রথম দুই পদের সমষ্টি $S_2 = 2 \times 3 = 6$; দ্বিতীয় পদ $= S_2 - S_1 = 6 - 2 = 4$

$S_3 = 3 \times 4 = 12$; তৃতীয় পদ $= S_3 - S_2 = 12 - 6 = 6$

সাধারণভাবে, $n$ তম পদ $= S_n - S_{n-1} = n(n + 1) - (n - 1)n = n(n + 1 - n + 1) = 2n$

অতএব ধারাটি $2 + 4 + 6 + \cdots$

ব্যাখ্যা: $n$ তম পদ $= S_n - S_{n-1}$ সূত্রে সাধারণ পদ $2n$ পাওয়া যায়; এটি $a = 2, d = 2$ বিশিষ্ট সমান্তর ধারা।

উত্তর: ধারাটি $2 + 4 + 6 + \cdots$

১৮. কোনো ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $n(n + 1)$। ধারাটির $10$ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

$S_n = n(n + 1)$

সুতরাং $S_{10} = 10 \times (10 + 1) = 10 \times 11 = 110$

ব্যাখ্যা: এখানে সরাসরি $n = 10$ বসালেই হয়। ধারাটি (১৭) নং প্রশ্নের ধারা $2 + 4 + \cdots + 20$; যাচাই: গড় $11$ ও পদ $10$ টি, $11 \times 10 = 110$ ✓।

উত্তর: $110$

১৯. একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $560$ হলে, এর প্রথম $6$ পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$

১ম শর্তে, $\dfrac{12}{2}\{2a + 11d\} = 144$

বা, $2a + 11d = 24 ... (1)$

২য় শর্তে, $\dfrac{20}{2}\{2a + 19d\} = 560$

বা, $2a + 19d = 56 ... (2)$

(২) থেকে (১) বিয়োগ করে: $8d = 32 \Rightarrow d = 4$

(১) নং-এ বসিয়ে: $2a + 44 = 24 \Rightarrow 2a = -20 \Rightarrow a = -10$

$S_6 = \dfrac{6}{2}\{2 \times (-10) + 5 \times 4\} = 3(-20 + 20) = 0$

ব্যাখ্যা: দুটি শর্ত থেকে $a$ ও $d$ বের করে $S_6$ নির্ণয় করেছি। যাচাই: ধারাটি $-10, -6, -2, 2, 6, 10, \cdots$; প্রথম ছয় পদের সমষ্টি $0$ ✓।

উত্তর: $0$

২০. কোনো সমান্তর ধারার প্রথম $m$ পদের সমষ্টি $n$ এবং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $m$ হলে, এর প্রথম $(m + n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$; $m \neq n$

১ম শর্তে, $\dfrac{m}{2}\{2a + (m - 1)d\} = n$

বা, $2a + (m - 1)d = \dfrac{2n}{m} ... (1)$

২য় শর্তে, $\dfrac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} = m$

বা, $2a + (n - 1)d = \dfrac{2m}{n} ... (2)$

(১) থেকে (২) বিয়োগ করে: $(m - n)d = \dfrac{2n}{m} - \dfrac{2m}{n} = \dfrac{2(n^2 - m^2)}{mn}$

বা, $(m - n)d = -\dfrac{2(m - n)(m + n)}{mn}$

বা, $d = -\dfrac{2(m + n)}{mn}$

এখন, $S_{m+n} = \dfrac{m + n}{2}\{2a + (m + n - 1)d\}$

$2a + (m + n - 1)d = \{2a + (m - 1)d\} + nd$

$= \dfrac{2n}{m} + n \times \left(-\dfrac{2(m + n)}{mn}\right)$ [(১) নং থেকে]

$= \dfrac{2n}{m} - \dfrac{2(m + n)}{m} = \dfrac{2n - 2m - 2n}{m} = -2$

অতএব $S_{m+n} = \dfrac{m + n}{2} \times (-2) = -(m + n)$

ব্যাখ্যা: $2a + (m + n - 1)d$-কে $(2a + (m - 1)d) + nd$ আকারে ভেঙে (১) নং ব্যবহার করলে হিসাব ছোট হয়। যাচাই: $m = 1, n = 2$ ধরে $a = 2, S_2 = 1 \Rightarrow d = -3$; $S_1 = 2 = n$ ✓, $S_2 = 2 + (-1) = 1 = m$ ✓, $S_3 = 2 - 1 - 4 = -3 = -(1 + 2)$ ✓।

উত্তর: $-(m + n)$

২১. কোনো সমান্তর ধারায় $p$ তম, $q$ তম ও $r$ তম পদ যথাক্রমে $a, b, c$ হলে, দেখাও যে, $a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0$।

সমাধান:

মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ $A$ ও সাধারণ অন্তর $D$

শর্তে, $a = A + (p - 1)D$, $b = A + (q - 1)D$, $c = A + (r - 1)D$

বামপক্ষ $= a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$

$= A\{(q - r) + (r - p) + (p - q)\} + D\{(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)\}$

$(q - r) + (r - p) + (p - q) = 0$, তাই প্রথম অংশ $0$

দ্বিতীয় অংশের ভিতরে: $p(q - r) + q(r - p) + r(p - q) - \{(q - r) + (r - p) + (p - q)\}$

$= (pq - pr + qr - pq + pr - qr) - 0 = 0 - 0 = 0$

অতএব বামপক্ষ $= A \times 0 + D \times 0 = 0 =$ ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: প্রতিটি পদকে $A, D$ দিয়ে প্রকাশ করে $A$ ও $D$-এর সহগ আলাদা করলে দুটিই শূন্য হয়ে যায়।

উত্তর: দেখানো হলো: $a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0$

২২. দেখাও যে, $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 125 = 169 + 171 + 173 + \cdots + 209$।

সমাধান:

বামপক্ষ: $1 + 3 + 5 + \cdots + 125$ একটি সমান্তর ধারা; $a = 1, d = 2, l = 125$

পদ সংখ্যা $n$: $1 + (n - 1) \times 2 = 125 \Rightarrow n = 63$

বামপক্ষ $= \dfrac{63}{2}(1 + 125) = 63 \times 63 = 3969$

ডানপক্ষ: $169 + 171 + \cdots + 209$ সমান্তর ধারা; $a = 169, d = 2, l = 209$

পদ সংখ্যা $m$: $169 + (m - 1) \times 2 = 209 \Rightarrow m = 21$

ডানপক্ষ $= \dfrac{21}{2}(169 + 209) = 21 \times 189 = 3969$

সুতরাং বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ $= 3969$

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষেই সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করে আলাদা মান বের করেছি; দুটির মান সমান।

উত্তর: দেখানো হলো (দুই পক্ষের মানই $3969$)

২৩. এক ব্যক্তি $2500$ টাকার একটি ঋণ কিছুসংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজি হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে $2$ টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি $1$ টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?

সমাধান:

কিস্তিগুলো $1, 3, 5, \cdots$ টাকা; এটি সমান্তর ধারা যার $a = 1, d = 2$

ধরি, $n$ টি কিস্তিতে ঋণ শোধ হবে

$S_n = \dfrac{n}{2}\{2 \times 1 + (n - 1) \times 2\} = 2500$

বা, $n^2 = 2500$

বা, $n = 50$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

ব্যাখ্যা: প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $n^2$; তাই $n^2 = 2500$ থেকে $n = 50$।

উত্তর: $50$ টি কিস্তিতে

২৪. কোন সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, $l$ তম পদ $l^2$ এবং $k$ তম পদ $k^2$।

ক) ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি করো।

সমাধান:

$l$ তম পদ $= a + (l - 1)d = l^2$; অর্থাৎ $a + (l - 1)d = l^2 ... (1)$

$k$ তম পদ $= a + (k - 1)d = k^2$; অর্থাৎ $a + (k - 1)d = k^2 ... (2)$

ব্যাখ্যা: $n$ তম পদের সূত্র $a + (n - 1)d$-তে $n = l$ ও $n = k$ বসিয়ে সমীকরণ দুটি পাওয়া গেছে।

উত্তর: $a + (l - 1)d = l^2$ এবং $a + (k - 1)d = k^2$

খ) $(l + k)$ তম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

(১) থেকে (২) বিয়োগ করে: $(l - k)d = l^2 - k^2 = (l - k)(l + k)$

বা, $d = l + k$ (কারণ $l \neq k$)

(১) নং-এ বসিয়ে: $a = l^2 - (l - 1)(l + k) = l^2 - l^2 - lk + l + k = l + k - lk$

$(l + k)$ তম পদ $= a + (l + k - 1)d$

$= (l + k - lk) + (l + k - 1)(l + k)$

$= (l + k - lk) + (l + k)^2 - (l + k)$

$= (l + k)^2 - lk = l^2 + 2lk + k^2 - lk = l^2 + lk + k^2$

ব্যাখ্যা: $l^2 - k^2$-কে $(l - k)(l + k)$ আকারে ভেঙে $l - k$ দিয়ে ভাগ করে $d$ পাওয়া যায়। যাচাই: $l = 1, k = 2$ ধরলে $a = 1, d = 3$ ও $3$ তম পদ $7 = 1 + 2 + 4$ ✓।

উত্তর: $(l + k)$ তম পদ $l^2 + lk + k^2$

গ) প্রমাণ করো ধারাটির প্রথম $(l + k)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\dfrac{l + k}{2}(l^2 + k^2 + l + k)$।

সমাধান:

(খ) থেকে প্রথম পদ $a = l + k - lk$ এবং $(l + k)$ তম (শেষ) পদ $= l^2 + lk + k^2$

$S_{l+k} = \dfrac{l + k}{2}(a + L)$, যেখানে $L$ হলো শেষ পদ

$= \dfrac{l + k}{2}\{(l + k - lk) + (l^2 + lk + k^2)\}$

$= \dfrac{l + k}{2}(l + k - lk + l^2 + lk + k^2)$

$= \dfrac{l + k}{2}(l^2 + k^2 + l + k)$

ব্যাখ্যা: $-lk$ ও $+lk$ পদ দুটি কাটাকাটি হয়ে যায়, ফলে প্রমাণযোগ্য রূপটি পাওয়া যায়।

উত্তর: প্রমাণিত: $S_{l+k} = \dfrac{l + k}{2}(l^2 + k^2 + l + k)$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর নেই; উত্তরগুলো নিজে সমাধান করে যাচাই করা হয়েছে। ২০ নং প্রশ্নের জন্য $m \neq n$ ধরা হয়েছে (নইলে সাধারণ অন্তর নির্ণয় সম্ভব নয়); ২৪(খ)-তে $l \neq k$ ধরা হয়েছে।