Class 9-10 Math Chapter 12 (Simple Simultaneous Equations in Two Variables) Exercise 12.4 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• শব্দ-সমস্যা থেকে সহসমীকরণ গঠন করতে অজানা রাশি দুটিকে $x, y$ ধরে প্রশ্নের দুটি শর্ত থেকে দুটি সমীকরণ লিখি।
• দুই অঙ্কের সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ ও একক স্থানীয় অঙ্ক $y$ হলে সংখ্যাটি $10x + y$; স্থান বিনিময়ে সংখ্যাটি $10y + x$।
• $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ও $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ সমীকরণজোটে $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ হলে জোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল (অসংখ্য সমাধান)।
• আড়গুণন সূত্র: $\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$।

অনুশীলনী ১২.৪

১. নিচের কোন শর্তে $ax + by + c = 0$ ও $px + qy + r = 0$ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল হবে?

ক) $\dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q}$     খ) $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r}$     গ) $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r}$     ঘ) $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}$

সমাধান:

সমীকরণজোট সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল হবে যদি দুটি সমীকরণ আসলে একই সরলরেখা নির্দেশ করে।

অর্থাৎ $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r}$

ব্যাখ্যা: দুটি সমীকরণের সহগ ও ধ্রুবকপদ সমানুপাতিক হলে সমীকরণ দুটি একই সরলরেখা; তখন অসংখ্য সমাধান থাকে। $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r}$ হলে সমীকরণ দুটি সমান্তরাল রেখা, তাই সমাধান নেই (অসমঞ্জস্য)।

উত্তর: খ

২. $x + y = 4, x - y = 2$ হলে $(x, y)$-এর মান নিচের কোনটি?

ক) $(2, 4)$     খ) $(4, 2)$     গ) $(3, 1)$     ঘ) $(1, 3)$

সমাধান:

$x + y = 4 ... (1)$

$x - y = 2 ... (2)$

(১) ও (২) যোগ করে পাই, $2x = 6 \Rightarrow x = 3$

(১) নং-এ $x = 3$ বসিয়ে পাই, $3 + y = 4 \Rightarrow y = 1$

ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটি যোগ করলে $y$ বাদ যায়, তাই $x$ পাওয়া যায়। তারপর $x$-এর মান বসিয়ে $y$ পাওয়া যায়। যাচাই: $3 - 1 = 2$ ✓।

উত্তর: গ

৩. নিচের কোনটির জন্য ছকটি সঠিক? ($x = 0, 2, 4$ হলে $y = -4, 0, 4$)

ক) $y = x - 4$     খ) $y = 8 - x$     গ) $y = 4 - 2x$     ঘ) $y = 2x - 4$

সমাধান:

$x = 0$ হলে $y = -4$; $x = 2$ হলে $y = 0$; $x = 4$ হলে $y = 4$

$y = 2x - 4$ হলে: $x = 0 \Rightarrow y = -4$, $x = 2 \Rightarrow y = 0$, $x = 4 \Rightarrow y = 4$; তিনটি বিন্দুই মেলে।

ব্যাখ্যা: $x$ দুই করে বাড়লে $y$ চার করে বাড়ে, তাই ঢাল $2$ এবং $x = 0$-তে $y = -4$; অতএব $y = 2x - 4$। ক, খ, গ-তে $x = 0$ বসালে যথাক্রমে $-4, 8, 4$ হয়; শুধু $-4$ ক ও ঘ-তে মেলে, কিন্তু ক-তে $x = 2$ বসালে $y = -2$ হয়, যা ছকের সাথে মেলে না।

উত্তর: ঘ

৪. $2x - y = 8$ এবং $x - 2y = 4$ হলে $x + y$ = কত?

ক) $0$     খ) $4$     গ) $8$     ঘ) $12$

সমাধান:

$2x - y = 8 ... (1)$

$x - 2y = 4 ... (2)$

(১) নং কে $2$ দিয়ে গুণ করে: $4x - 2y = 16 ... (3)$

(৩) থেকে (২) বিয়োগ করে: $3x = 12 \Rightarrow x = 4$

(১) নং-এ বসিয়ে: $8 - y = 8 \Rightarrow y = 0$

সুতরাং $x + y = 4 + 0 = 4$

ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটি যোগ করলে $3x - 3y = 12$, অর্থাৎ $x - y = 4$ পাওয়া যায়; কিন্তু $x + y$ চাওয়া হয়েছে, তাই $x, y$ আলাদা করে বের করেছি। যাচাই: দ্বিতীয় সমীকরণে $4 - 0 = 4$ ✓।

উত্তর: খ

সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (৫–১১):

৫. কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সাথে $1$ যোগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{4}{5}$ হবে। আবার, লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে $5$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{1}{2}$ হবে। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, ভগ্নাংশটির লব $x$ ও হর $y$; ভগ্নাংশটি $\dfrac{x}{y}$

১ম শর্তে, $\dfrac{x + 1}{y + 1} = \dfrac{4}{5}$

বা, $5x + 5 = 4y + 4$

বা, $5x - 4y = -1 ... (1)$

২য় শর্তে, $\dfrac{x - 5}{y - 5} = \dfrac{1}{2}$

বা, $2x - 10 = y - 5$

বা, $2x - y = 5 ... (2)$

(২) নং কে $4$ দিয়ে গুণ করে: $8x - 4y = 20 ... (3)$

(৩) থেকে (১) বিয়োগ করে: $3x = 21 \Rightarrow x = 7$

(২) নং-এ $x = 7$ বসিয়ে: $14 - y = 5 \Rightarrow y = 9$

ব্যাখ্যা: লব-হরের ওপর শর্ত দুটি আড়াআড়ি গুণ করে সরল সমীকরণ বানিয়েছি। যাচাই: $\dfrac{7 + 1}{9 + 1} = \dfrac{4}{5}$ ✓ এবং $\dfrac{7 - 5}{9 - 5} = \dfrac{1}{2}$ ✓।

উত্তর: ভগ্নাংশটি $\dfrac{7}{9}$

৬. কোনো ভগ্নাংশের লব থেকে $1$ বিয়োগ ও হরের সাথে $2$ যোগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{1}{2}$ হয়। আর লব থেকে $7$ বিয়োগ এবং হর থেকে $2$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{1}{3}$ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, ভগ্নাংশটি $\dfrac{x}{y}$

১ম শর্তে, $\dfrac{x - 1}{y + 2} = \dfrac{1}{2}$

বা, $2x - 2 = y + 2$

বা, $2x - y = 4 ... (1)$

২য় শর্তে, $\dfrac{x - 7}{y - 2} = \dfrac{1}{3}$

বা, $3x - 21 = y - 2$

বা, $3x - y = 19 ... (2)$

(২) থেকে (১) বিয়োগ করে: $x = 15$

(১) নং-এ বসিয়ে: $30 - y = 4 \Rightarrow y = 26$

ব্যাখ্যা: দুটি সমীকরণে $y$ এর সহগ সমান, তাই বিয়োগ করলেই $x$ পাওয়া যায়। যাচাই: $\dfrac{15 - 1}{26 + 2} = \dfrac{14}{28} = \dfrac{1}{2}$ ✓ এবং $\dfrac{15 - 7}{26 - 2} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$ ✓।

উত্তর: ভগ্নাংশটি $\dfrac{15}{26}$

৭. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ অপেক্ষা $1$ বেশি। কিন্তু অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির আটগুণের সমান। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ ও একক স্থানীয় অঙ্ক $y$; সংখ্যাটি $10x + y$

১ম শর্তে, $y = 3x + 1 ... (1)$

স্থান বিনিময়ে সংখ্যাটি $10y + x$

২য় শর্তে, $10y + x = 8(x + y)$

বা, $10y + x = 8x + 8y$

বা, $2y = 7x ... (2)$

(১) থেকে $y$-এর মান (২) নং-এ বসিয়ে: $2(3x + 1) = 7x$

বা, $6x + 2 = 7x \Rightarrow x = 2$

(১) নং-এ: $y = 3 \times 2 + 1 = 7$

সংখ্যাটি $10 \times 2 + 7 = 27$

ব্যাখ্যা: অঙ্ক দুটিকে $x, y$ ধরলে সংখ্যাটি $10x + y$, তাই স্থান বিনিময়ের পরের সংখ্যা $10y + x$। যাচাই: $72 = 8 \times (2 + 7) = 72$ ✓ এবং $7 = 3 \times 2 + 1$ ✓।

উত্তর: সংখ্যাটি $27$

৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর $4$। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল $110$। সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ ও একক স্থানীয় অঙ্ক $y$; সংখ্যাটি $10x + y$

স্থান বিনিময়ে সংখ্যাটি $10y + x$

২য় শর্তে, $(10y + x) + (10x + y) = 110$

বা, $11x + 11y = 110$

বা, $x + y = 10 ... (1)$

১ম শর্তে, অঙ্কদ্বয়ের অন্তর $4$; ফলে হয় $x - y = 4$, নয়তো $y - x = 4$

ক্ষেত্র ১: $x - y = 4 ... (2)$; (১) ও (২) যোগ করে $2x = 14 \Rightarrow x = 7$, তাই $y = 3$; সংখ্যাটি $73$

ক্ষেত্র ২: $y - x = 4 ... (3)$; (১) ও (৩) যোগ করে $2y = 14 \Rightarrow y = 7$, তাই $x = 3$; সংখ্যাটি $37$

ব্যাখ্যা: অন্তর $4$ বলতে কোন অঙ্ক বড় তা বলা নেই, তাই দুটি ক্ষেত্রই বিবেচনা করতে হয়। যাচাই: $73 + 37 = 110$ ✓ এবং অঙ্কদ্বয়ের অন্তর $7 - 3 = 4$ ✓।

উত্তর: সংখ্যাটি $73$ অথবা $37$

৯. মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চারগুণ। $5$ বছর পর মাতার বয়স ঐ দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:

মনে করি, মাতার বর্তমান বয়স $x$ বছর এবং দুই কন্যার বর্তমান বয়সের সমষ্টি $y$ বছর

১ম শর্তে, $x = 4y ... (1)$

$5$ বছর পর মাতার বয়স $(x + 5)$ বছর এবং দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি $(y + 5 + 5) = (y + 10)$ বছর (প্রত্যেকের বয়স $5$ বছর করে বাড়বে)

২য় শর্তে, $x + 5 = 2(y + 10)$

বা, $x - 2y = 15 ... (2)$

(১) থেকে $x = 4y$ (২) নং-এ বসিয়ে: $4y - 2y = 15$

বা, $2y = 15 \Rightarrow y = 7.5$

$x = 4 \times 7.5 = 30$

ব্যাখ্যা: দুই কন্যার বয়স আলাদা করে জানা যায় না, শুধু সমষ্টি দরকার। $5$ বছর পর দুজনের বয়সই $5$ করে বাড়ে, তাই সমষ্টি $10$ বাড়ে (এটাই এখানকার সূক্ষ্ম বিষয়)। যাচাই: $30 + 5 = 35 = 2(7.5 + 10) = 35$ ✓।

উত্তর: মাতার বর্তমান বয়স $30$ বছর

১০. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $5$ মিটার কম ও প্রস্থ $3$ মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল $9$ বর্গমিটার কম হবে। আবার দৈর্ঘ্য $3$ মিটার বেশি ও প্রস্থ $2$ মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল $67$ বর্গমিটার বেশি হবে। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ও প্রস্থ $y$ মিটার; ক্ষেত্রফল $xy$ বর্গমিটার

১ম শর্তে, $(x - 5)(y + 3) = xy - 9$

বা, $xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$

বা, $3x - 5y = 6 ... (1)$

২য় শর্তে, $(x + 3)(y + 2) = xy + 67$

বা, $xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$

বা, $2x + 3y = 61 ... (2)$

(১) নং কে $3$ ও (২) নং কে $5$ দিয়ে গুণ করে: $9x - 15y = 18 ... (3)$ ও $10x + 15y = 305 ... (4)$

(৩) ও (৪) যোগ করে: $19x = 323 \Rightarrow x = 17$

(২) নং-এ বসিয়ে: $34 + 3y = 61 \Rightarrow y = 9$

ব্যাখ্যা: গুণ করার পর $xy$ পদ দুই পাশে কেটে যায়, ফলে সমীকরণ দুটি সরল হয়ে যায়। যাচাই: $(17 - 5)(9 + 3) = 144 = 153 - 9$ ✓ এবং $(17 + 3)(9 + 2) = 220 = 153 + 67$ ✓।

উত্তর: দৈর্ঘ্য $17$ মিটার ও প্রস্থ $9$ মিটার

১১. একজন গার্মেন্টস শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতিবছর শেষে একটি নির্দিষ্ট বেতনবৃদ্ধি পান। তার মাসিক বেতন $4$ বছর পর $4500$ টাকা ও $8$ বছর পর $5000$ টাকা হয়। তার চাকরির শুরুতে বেতন ও বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, শুরুতে মাসিক বেতন $x$ টাকা এবং প্রতিবছর বেতন বৃদ্ধি $y$ টাকা

$4$ বছর পর বেতন $(x + 4y)$ টাকা; ১ম শর্তে, $x + 4y = 4500 ... (1)$

$8$ বছর পর বেতন $(x + 8y)$ টাকা; ২য় শর্তে, $x + 8y = 5000 ... (2)$

(২) থেকে (১) বিয়োগ করে: $4y = 500 \Rightarrow y = 125$

(১) নং-এ বসিয়ে: $x + 500 = 4500 \Rightarrow x = 4000$

ব্যাখ্যা: প্রতিবছর একই পরিমাণ বাড়ে, তাই $n$ বছর পর বেতন $x + ny$। যাচাই: $4000 + 8 \times 125 = 5000$ ✓।

উত্তর: শুরুতে মাসিক বেতন $4000$ টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি $125$ টাকা

১২. কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে $7$ যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা $2$ হয়। আবার হর হতে $2$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা $1$ হয়।

ক) ভগ্নাংশটি $\dfrac{x}{y}$ ধরে সমীকরণজোট গঠন করো।

সমাধান:

১ম শর্তে, $\dfrac{x + 7}{y} = 2$

বা, $x + 7 = 2y$

বা, $x - 2y = -7 ... (1)$

২য় শর্তে, $\dfrac{x}{y - 2} = 1$

বা, $x = y - 2$

বা, $x - y = -2 ... (2)$

ব্যাখ্যা: শর্ত দুটিকে আড়াআড়ি গুণ করে $x, y$-এর সরল সমীকরণ বানানো হয়েছে।

উত্তর: সমীকরণজোট: $x - 2y = -7$ ও $x - y = -2$

খ) সমীকরণজোটটি আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে $(x, y)$ নির্ণয় করো। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে লিখি: $x - 2y + 7 = 0$ এবং $x - y + 2 = 0$

এখানে $a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = 7$ এবং $a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = 2$

আড়গুণন সূত্রে, $\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

বা, $\dfrac{x}{(-2)(2) - (-1)(7)} = \dfrac{y}{(7)(1) - (2)(1)} = \dfrac{1}{(1)(-1) - (1)(-2)}$

বা, $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{1}{1}$

অতএব $x = 3, y = 5$; ভগ্নাংশটি $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{5}$

ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটি $ax + by + c = 0$ আকারে সাজিয়ে সহগ বসিয়েছি। যাচাই: $\dfrac{3 + 7}{5} = 2$ ✓ এবং $\dfrac{3}{5 - 2} = 1$ ✓।

উত্তর: $(x, y) = (3, 5)$; ভগ্নাংশটি $\dfrac{3}{5}$

গ) সমীকরণজোটটির লেখ অঙ্কন করে $(x, y)$ এর প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই করো।

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $x - 2y = -7$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-7, 0), (-1, 3), (3, 5)$

(২) নং সমীকরণ: $x - y = -2$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-2, 0), (0, 2), (3, 5)$

ছক কাগজে অক্ষ ও মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে লেখ দুটি আঁকি।

লেখ দুটি $P(3, 5)$ বিন্দুতে ছেদ করে; তাই $x = 3, y = 5$। এটি (খ)-তে প্রাপ্ত মানের সাথে মেলে।

ব্যাখ্যা: ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান; এটি আড়গুণন পদ্ধতিতে পাওয়া উত্তরের সাথে মিলে যাওয়ায় সত্যতা যাচাই হলো।

উত্তর: $(3, 5)$; মানের সত্যতা যাচাই হয়েছে

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ১২ নং প্রশ্নের উত্তর নেই; উত্তরগুলো নিজে হিসাব করে ও যাচাই করে দেওয়া হয়েছে।

১৩. শিক্ষক বললেন একটি কাজ একা অথবা ছাত্র-ছাত্রী জুটি করতে পারবে। ছাত্রদের $\dfrac{2}{3}$ এবং ছাত্রীদের $\dfrac{3}{5}$ অংশ জুটি বেঁধে কাজটি করলো। শ্রেণির কত ভাগ ছাত্র-ছাত্রী একা কাজটি করলো?

সমাধান:

মনে করি, ছাত্র $x$ জন ও ছাত্রী $y$ জন

জুটিতে ছাত্র-ছাত্রী সমান সংখ্যক, তাই $\dfrac{2}{3}x = \dfrac{3}{5}y$

বা, $10x = 9y$

বা, $x = \dfrac{9}{10}y$; অর্থাৎ $x : y = 9 : 10$

ধরি $x = 9k, y = 10k$; শ্রেণির মোট ছাত্র-ছাত্রী $19k$ জন

জুটিতে ছাত্র $\dfrac{2}{3} \times 9k = 6k$ জন ও ছাত্রী $\dfrac{3}{5} \times 10k = 6k$ জন

একা কাজ করলো ছাত্র $(9k - 6k) = 3k$ জন ও ছাত্রী $(10k - 6k) = 4k$ জন; মোট $7k$ জন

শ্রেণির একা কাজ করা অংশ $\dfrac{7k}{19k} = \dfrac{7}{19}$

ব্যাখ্যা: জুটিতে ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যা সমান বলেই $\dfrac{2}{3}x = \dfrac{3}{5}y$ সমীকরণ পাওয়া যায়। যাচাই: $x = 9, y = 10$ ধরলে জুটি $6$ জোড়া, একা $3 + 4 = 7$ জন, মোট $19$ জন।

উত্তর: শ্রেণির $\dfrac{7}{19}$ অংশ একা কাজটি করলো

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় এই প্রশ্নের উত্তর $\dfrac{29}{57}$ দেওয়া আছে, কিন্তু প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী আমাদের হিসাবে $\dfrac{7}{19}$ আসে। বইয়ের উত্তর কোন ব্যাখ্যায় পাওয়া যায় তা আমরা মেলাতে পারিনি; উত্তরমালায় মুদ্রণ-ত্রুটি থাকতে পারে বলে মনে হয়। বইয়ের ছাপা উত্তর ও নিজের শিক্ষকের সাথে মিলিয়ে নিন।

১৪. $100$ ও $200$ মিটার দীর্ঘ দুইটি ট্রেন সমবেগে সামনাসামনি অতিক্রম করতে $5$ সেকেন্ড সময় লাগে কিন্তু একই দিকে চলে অতিক্রম করতে $15$ সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুইটির বেগ নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, ট্রেন দুইটির বেগ যথাক্রমে $x$ মি./সে. ও $y$ মি./সে. (ধরি $x > y$)

ট্রেন দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি $100 + 200 = 300$ মিটার

বিপরীত দিকে চলার সময় আপেক্ষিক বেগ $(x + y)$; ১ম শর্তে, $\dfrac{300}{x + y} = 5$

বা, $x + y = 60 ... (1)$

একই দিকে চলার সময় আপেক্ষিক বেগ $(x - y)$; ২য় শর্তে, $\dfrac{300}{x - y} = 15$

বা, $x - y = 20 ... (2)$

(১) ও (২) যোগ করে: $2x = 80 \Rightarrow x = 40$

(১) নং-এ বসিয়ে: $40 + y = 60 \Rightarrow y = 20$

ব্যাখ্যা: একটি ট্রেন অন্যটিকে পুরো অতিক্রম করতে দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টির সমান দূরত্ব আপেক্ষিক বেগে যেতে হয়। বিপরীত দিকে আপেক্ষিক বেগ বেগের যোগফল, একই দিকে বিয়োগফল। যাচাই: $300 \div 60 = 5$ সে. ও $300 \div 20 = 15$ সে. ✓।

উত্তর: ট্রেন দুইটির বেগ $40$ মি./সে. ও $20$ মি./সে.

১৫. কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই $5040$ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:

$5040 = 7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7$; মৌলিক উৎপাদক: $5040 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7$

যেকোনো $n$ সংখ্যক ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল $n!$ দ্বারা বিভাজ্য হয়

অতএব $7$ টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল অবশ্যই $7! = 5040$ দ্বারা বিভাজ্য হবে

$6$ টি নিলে যথেষ্ট নয়: যেমন $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$, যা $7$-এর গুণিতক না থাকায় $5040$ দ্বারা বিভাজ্য নয়

তাই কমপক্ষে $7$ টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা লাগবে

ব্যাখ্যা: $5040$-এর উৎপাদকে মৌলিক সংখ্যা $7$ আছে। $7$-এর গুণিতক অবশ্যই থাকতে হলে অন্তত $7$ টি ক্রমিক সংখ্যা দরকার, কারণ $6$ টি ক্রমিক সংখ্যায় $7$-এর গুণিতক নাও থাকতে পারে। আবার $7$ টি নিলে $2^4, 3^2, 5, 7$ সবই গুণফলে থাকে।

উত্তর: কমপক্ষে $7$ টি

১৬. ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা পরস্পরের সঙ্গে $30$ ডিগ্রি কোণ করে কত বার? সময়গুলো নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, $12$ টার $t$ মিনিট পর কাঁটা দুটির মধ্যে $30°$ কোণ হয়

মিনিটের কাঁটা প্রতি মিনিটে $6°$ ও ঘণ্টার কাঁটা প্রতি মিনিটে $0.5°$ ঘোরে; তাই $t$ মিনিটে আপেক্ষিক ঘূর্ণন $(6 - 0.5)t = 5.5t$ ডিগ্রি

কোণ $30°$ হতে হলে $5.5t = 30n$, যেখানে $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা এবং $n$ কে $12$-এ ভাগ করলে ভাগশেষ $1$ বা $11$ (কারণ কোণ $30°$ বা $330°$)

বা, $t = \dfrac{60n}{11}$ মিনিট

$12$ ঘণ্টায় $t < 720$, অর্থাৎ $n < 132$

$n$-এর সম্ভাব্য মান: $1, 11, 13, 23, 25, 35, 37, 47, 49, 59, 61, 71, 73, 83, 85, 95, 97, 107, 109, 119, 121, 131$ — মোট $22$ টি

সময়গুলো (ঘণ্টা: মিনিট): $12:5\dfrac{5}{11}$, $1:00$, $1:10\dfrac{10}{11}$, $2:5\dfrac{5}{11}$, $2:16\dfrac{4}{11}$, $3:10\dfrac{10}{11}$, $3:21\dfrac{9}{11}$, $4:16\dfrac{4}{11}$

$4:27\dfrac{3}{11}$, $5:21\dfrac{9}{11}$, $5:32\dfrac{8}{11}$, $6:27\dfrac{3}{11}$, $6:38\dfrac{2}{11}$, $7:32\dfrac{8}{11}$, $7:43\dfrac{7}{11}$, $8:38\dfrac{2}{11}$

$8:49\dfrac{1}{11}$, $9:43\dfrac{7}{11}$, $9:54\dfrac{6}{11}$, $10:49\dfrac{1}{11}$, $11:00$, $11:54\dfrac{6}{11}$

ব্যাখ্যা: প্রতি $12$ ঘণ্টায় কাঁটা দুটি $11$ বার মিলিত হয় এবং ফলে প্রতিবার ঘুরে এসে $30°$ কোণ দুইবার করে (এগিয়ে ও পিছিয়ে) হয়, তাই মোট $2 \times 11 = 22$ বার। সময়ের মান $12:5\dfrac{5}{11}$ মানে $12$ টা $5\dfrac{5}{11}$ মিনিট।

উত্তর: $12$ ঘণ্টায় $22$ বার; সময়গুলো উপরে দেওয়া আছে

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. $x + y = 6$ ও $2x = 4$ হলে, $y$ মান কত?

ক) $2$     খ) $4$     গ) $6$     ঘ) $8$

সমাধান:

$2x = 4 \Rightarrow x = 2$

$x + y = 6$ তে $x = 2$ বসিয়ে: $2 + y = 6 \Rightarrow y = 4$

ব্যাখ্যা: $x$-এর মান আগে বের করে প্রথম সমীকরণে বসিয়েছি। যাচাই: $2 + 4 = 6$ ✓।

উত্তর: খ

২. $x - y - 4 = 0$ এবং $3x - 3y - 10 = 0$ সমীকরণদ্বয়— (i) পরস্পর নির্ভরশীল (ii) পরস্পর সমঞ্জস্য (iii) সমাধানযোগ্য নয়। উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) ii     খ) iii     গ) i ও iii     ঘ) ii ও iii

সমাধান:

এখানে $a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -4$ এবং $a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -10$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{3}, \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3}, \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{-4}{-10} = \dfrac{2}{5}$

অর্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$

সুতরাং সমীকরণ দুটি অসমঞ্জস্য ও সমাধানযোগ্য নয় (সমান্তরাল রেখা); কোনোটি পরস্পর নির্ভরশীল নয়

(i) মিথ্যা, (ii) মিথ্যা, (iii) সত্য

ব্যাখ্যা: সহগের অনুপাত সমান হলেও ধ্রুবকপদের অনুপাত আলাদা, তাই সমাধান নেই। শুধু (iii) সঠিক।

উত্তর: খ

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: আয়তাকার একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা $2$ মিটার বেশি এবং মেঝের পরিসীমা $20$ মিটার। ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে প্রতি বর্গমিটারে $900$ টাকা খরচ হয়।

৩. ঘরটির মেঝের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক) $10$     খ) $8$     গ) $6$     ঘ) $4$

সমাধান:

মনে করি, প্রস্থ $x$ মিটার ও দৈর্ঘ্য $y$ মিটার

শর্তে, $y = x + 2 ... (1)$ এবং $2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10 ... (2)$

(১) থেকে $y$-এর মান (২) নং-এ বসিয়ে: $x + x + 2 = 10 \Rightarrow x = 4$

অতএব $y = 4 + 2 = 6$

ব্যাখ্যা: প্রস্থ $4$ ও দৈর্ঘ্য $6$; পরিসীমা $2(4 + 6) = 20$ ✓।

উত্তর: গ

৪. ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে মোট কত খরচ হবে?

ক) $72000$ টাকা     খ) $43200$ টাকা     গ) $28800$ টাকা     ঘ) $21600$ টাকা

সমাধান:

মেঝের ক্ষেত্রফল $6 \times 4 = 24$ বর্গমিটার

মোট খরচ $24 \times 900 = 21600$ টাকা

ব্যাখ্যা: আগের প্রশ্নে পাওয়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দিয়ে ক্ষেত্রফল বের করে প্রতি বর্গমিটারের খরচ দিয়ে গুণ করেছি।

উত্তর: ঘ

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. একটি সরল সমীকরণজোট $x + y = 10, 3x - 2y = 0$।

ক) সরল সমীকরণজোট সমঞ্জস্য কিনা তা যাচাই করো।

সমাধান:

সমীকরণজোট: $x + y - 10 = 0 ... (1)$ ও $3x - 2y = 0 ... (2)$

এখানে $a_1 = 1, b_1 = 1$ এবং $a_2 = 3, b_2 = -2$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{3}$ এবং $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3} \neq -\dfrac{1}{2}$, অর্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

ব্যাখ্যা: সহগের অনুপাত সমান না হলে রেখা দুটি পরস্পরকে ছেদ করে, ফলে একটি অনন্য সমাধান থাকে; এমন জোটকে সমঞ্জস্য বলে।

উত্তর: সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য

খ) আড়গুণন পদ্ধতিতে সমীকরণজোটটি সমাধান করো।

সমাধান:

$x + y - 10 = 0$ ও $3x - 2y + 0 = 0$; এখানে $a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -10$ এবং $a_2 = 3, b_2 = -2, c_2 = 0$

$\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

বা, $\dfrac{x}{(1)(0) - (-2)(-10)} = \dfrac{y}{(-10)(3) - (0)(1)} = \dfrac{1}{(1)(-2) - (3)(1)}$

বা, $\dfrac{x}{-20} = \dfrac{y}{-30} = \dfrac{1}{-5}$

অতএব $x = \dfrac{-20}{-5} = 4$ এবং $y = \dfrac{-30}{-5} = 6$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $4 + 6 = 10$ ✓ এবং $3 \times 4 - 2 \times 6 = 0$ ✓।

উত্তর: $(x, y) = (4, 6)$

গ) লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণজোটটি সমাধান করো।

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $x + y = 10$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, 10), (4, 6), (10, 0)$

(২) নং সমীকরণ: $3x - 2y = 0$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, 0), (2, 3), (4, 6)$

ছক কাগজে অক্ষ ও মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে লেখ দুটি আঁকি।

লেখ দুটি $P(4, 6)$ বিন্দুতে ছেদ করে; তাই $x = 4, y = 6$

ব্যাখ্যা: ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সমাধান; এটি (খ)-এর উত্তরের সাথে মিলে যায়।

উত্তর: $(x, y) = (4, 6)$

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬.

ক) একটি নৌকা দাঁড় বেয়ে স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় $15$ কি.মি. যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় ঘণ্টায় $5$ কি.মি.। নৌকার বেগ নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, স্রোতহীন পানিতে নৌকার বেগ ঘণ্টায় $x$ কি.মি. ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় $y$ কি.মি.

অনুকূলে: $x + y = 15 ... (1)$

প্রতিকূলে: $x - y = 5 ... (2)$

(১) ও (২) যোগ করে: $2x = 20 \Rightarrow x = 10$

(১) নং-এ বসিয়ে: $y = 5$

ব্যাখ্যা: অনুকূলে স্রোতের বেগ যোগ হয়, প্রতিকূলে বিয়োগ হয়। যাচাই: $10 + 5 = 15$ ✓ এবং $10 - 5 = 5$ ✓।

উত্তর: নৌকার বেগ ঘণ্টায় $10$ কি.মি. (স্রোতের বেগ ঘণ্টায় $5$ কি.মি.)

খ) দুইটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা $17$ এবং এদের কর্ণের সংখ্যা $53$ হলে, প্রত্যেক বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:

মনে করি, বহুভুজ দুটির বাহুর সংখ্যা $n$ ও $m$

১ম শর্তে, $n + m = 17 ... (1)$

$n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ সংখ্যা $\dfrac{n(n - 3)}{2}$

২য় শর্তে, $\dfrac{n(n - 3)}{2} + \dfrac{m(m - 3)}{2} = 53$

বা, $n^2 + m^2 - 3(n + m) = 106$

বা, $n^2 + m^2 - 51 = 106 \Rightarrow n^2 + m^2 = 157 ... (2)$

(১) থেকে $m = 17 - n$ (২) নং-এ বসিয়ে: $n^2 + (17 - n)^2 = 157$

বা, $2n^2 - 34n + 289 = 157$

বা, $n^2 - 17n + 66 = 0$

বা, $(n - 6)(n - 11) = 0 \Rightarrow n = 6$ অথবা $n = 11$

$n = 6$ হলে $m = 11$ এবং $n = 11$ হলে $m = 6$

ব্যাখ্যা: $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ সংখ্যা $\dfrac{n(n - 3)}{2}$। যাচাই: $\dfrac{6 \times 3}{2} + \dfrac{11 \times 8}{2} = 9 + 44 = 53$ ✓।

উত্তর: বহুভুজ দুটির বাহুর সংখ্যা $6$ ও $11$

গ) $-x + 2y = 1, 2x + y = 4$ সমীকরণজোট সমঞ্জস কিনা যাচাই করো।

সমাধান:

এখানে $a_1 = -1, b_1 = 2$ এবং $a_2 = 2, b_2 = 1$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$ এবং $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{1} = 2$

$-\dfrac{1}{2} \neq 2$, অর্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

সুতরাং জোটটি সমঞ্জস্য; এর একটি অনন্য সমাধান আছে (যাচাইয়ের জন্য): (১) নং কে $2$ দিয়ে গুণ করে $-2x + 4y = 2$ এবং (২) নং-এর সাথে যোগ করে $5y = 6 \Rightarrow y = \dfrac{6}{5}$, তাই $x = 2y - 1 = \dfrac{7}{5}$

ব্যাখ্যা: $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ হলে জোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর স্বাধীন, অর্থাৎ একটি মাত্র সমাধান থাকে।

উত্তর: জোটটি সমঞ্জস্য; সমাধান $(x, y) = (\dfrac{7}{5}, \dfrac{6}{5})$

ঘ) দুইটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল যথাক্রমে $31$ ও $13$ হলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, বড় সংখ্যা $x$ ও ছোট সংখ্যা $y$

$x + y = 31 ... (1)$

$x - y = 13 ... (2)$

(১) ও (২) যোগ করে: $2x = 44 \Rightarrow x = 22$

(১) নং-এ বসিয়ে: $y = 9$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $22 + 9 = 31$ ✓ এবং $22 - 9 = 13$ ✓।

উত্তর: বড় সংখ্যাটি $22$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালার সাথে নমুনা প্রশ্নের উত্তরগুলো আমরা নিজে হিসাব করে যাচাই করেছি। ৬(গ)-তে প্রশ্নে "সমঞ্জস" লেখা আছে; এখানে এর অর্থ "সমঞ্জস্য" ধরা হয়েছে।