Class 9-10 Math Chapter 12 (Simple Simultaneous Equations in Two Variables) Exercise 12.3 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• দুই চলকের একটি সরল সমীকরণের লেখ একটি সরলরেখা। সহসমীকরণের লেখ দুটি যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্কই সমাধান।
• লেখচিত্র আঁকতে প্রতিটি সমীকরণ থেকে $x$-এর কয়েকটি মান নিয়ে $y$-এর মান বের করে ছক তৈরি করতে হয়।
• সমীকরণকে $y = mx + c$ আকারে লিখলে $y$-এর মান বের করা সহজ হয়।
• এক চলকের সমীকরণ $f(x) = g(x)$ সমাধানে $y = f(x)$ ও $y = g(x)$ দুটি লেখ আঁকি; ছেদবিন্দুর $x$ হলো সমাধান।

অনুশীলনী ১২.৩

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করো:

১. $3x + 4y = 14$, $4x - 3y = 2$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $3x + 4y = 14$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-2, 5), (2, 2), (6, -1)$

(২) নং সমীকরণ: $4x - 3y = 2$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-1, -2), (2, 2), (5, 6)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(2, 2)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 2)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = (2, 2)$

২. $2x - y = 1$, $5x + y = 13$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $2x - y = 1 \quad (y = 2x - 1)$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, -1), (2, 3), (3, 5)$

(২) নং সমীকরণ: $5x + y = 13 \quad (y = 13 - 5x)$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(1, 8), (2, 3), (3, -2)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(2, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 3)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = (2, 3)$

৩. $2x + 5y = 1$, $x + 3y = 2$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $2x + 5y = 1$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-7, 3), (-2, 1), (3, -1)$

(২) নং সমীকরণ: $x + 3y = 2$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-7, 3), (-1, 1), (2, 0)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(-7, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-7, 3)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = (-7, 3)$

৪. $3x - 2y = 2$, $5x - 3y = 5$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $3x - 2y = 2$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, -1), (2, 2), (4, 5)$

(২) নং সমীকরণ: $5x - 3y = 5$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-2, -5), (1, 0), (4, 5)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(4, 5)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 5)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = (4, 5)$

৫. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2$, $2x + 3y = 13$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2 \Rightarrow 3x + 2y = 12$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, 6), (2, 3), (4, 0)$

(২) নং সমীকরণ: $2x + 3y = 13$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-1, 5), (2, 3), (5, 1)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(2, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 3)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = (2, 3)$

৬. $3x + y = 6$, $5x + 3y = 12$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $3x + y = 6 \quad (y = 6 - 3x)$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, 6), (1, 3), (2, 0)$

(২) নং সমীকরণ: $5x + 3y = 12$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-3, 9), (0, 4), (3, -1)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2})$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2})$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = \left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$

৭. $3x + 2y = 4$, $3x - 4y = 1$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $3x + 2y = 4$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-2, 5), (0, 2), (2, -1)$

(২) নং সমীকরণ: $3x - 4y = 1$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-3, -5/2), (1, 1/2), (5, 7/2)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(1, \dfrac{1}{2})$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1, \dfrac{1}{2})$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = \left(1, \dfrac{1}{2}\right)$

৮. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 3$, $x + \dfrac{y}{6} = 3$

সমাধান:

(১) নং সমীকরণ: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 3 \Rightarrow 3x + 2y = 18$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, 9), (2, 6), (6, 0)$

(২) নং সমীকরণ: $x + \dfrac{y}{6} = 3 \Rightarrow 6x + y = 18$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(1, 12), (2, 6), (3, 0)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(2, 6)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 6)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $(x, y) = (2, 6)$

৯. $3x + 2 = x - 2$

সমাধান:

ধরি, $y = 3x + 2 = x - 2$; তাহলে সমীকরণ দুটি $y = 3x + 2 ... (1)$ এবং $y = x - 2 ... (2)$

(১) নং সমীকরণ: $y = 3x + 2$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-2, -4), (-1, -1), (0, 2)$

(২) নং সমীকরণ: $y = x - 2$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(-2, -4), (0, -2), (2, 0)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(-2, -4)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2, -4)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $x = -2$

১০. $3x - 7 = 3 - 2x$

সমাধান:

ধরি, $y = 3x - 7 = 3 - 2x$; তাহলে সমীকরণ দুটি $y = 3x - 7 ... (1)$ এবং $y = 3 - 2x ... (2)$

(১) নং সমীকরণ: $y = 3x - 7$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, -7), (2, -1), (3, 2)$

(২) নং সমীকরণ: $y = 3 - 2x$। এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু: $(0, 3), (2, -1), (4, -5)$

ছক কাগজে আনুভূমিক ও উল্লম্ব অক্ষ এবং মূলবিন্দু $O$ ধরে বিন্দুগুলো বসিয়ে প্রতিটি সমীকরণের লেখ (সরলরেখা) আঁকি।

লেখ দুটি পরস্পর $P(2, -1)$ বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, -1)$

ব্যাখ্যা: সরলরেখা আঁকতে অন্তত দুটি বিন্দু লাগে; তৃতীয় বিন্দুটি আঁকার শুদ্ধতা যাচাইয়ের জন্য। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কই সহসমীকরণের সমাধান।

উত্তর: $x = 2$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৯ ও ১০ নং প্রশ্নে লেখের ছেদবিন্দুর শুধু $x$ স্থানাঙ্কই সমাধান। যেমন ৯ নং-এ ছেদবিন্দু $(-2, -4)$ হলেও সমাধান $x = -2$।