Class 9-10 Math Chapter 12 (Simple Simultaneous Equations in Two Variables) Exercise 12.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• প্রতিস্থাপন: একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান অপরটির মাধ্যমে লিখে অন্য সমীকরণে বসাই।
• অপনয়ন: সমীকরণ দুটিকে উপযুক্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করে একটি চলকের সহগ সমান করে যোগ বা বিয়োগ করি।
• আড়গুণন: $a_1x + b_1y + c_1 = 0$, $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ হলে $\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$।
• আড়গুণনে সমীকরণগুলোকে আগে $ax + by + c = 0$ আকারে সাজিয়ে নিতে হয়।

অনুশীলনী ১২.২

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করো (১–৩):

১. $7x - 3y = 31$, $9x - 5y = 41$

সমাধান:

$7x - 3y = 31 ... (1)$, $9x - 5y = 41 ... (2)$

(1) থেকে $3y = 7x - 31$, তাই $y = \dfrac{7x - 31}{3} ... (3)$

(2)-এ $y$-এর মান বসিয়ে $9x - 5 \times \dfrac{7x - 31}{3} = 41$

$27x - 35x + 155 = 123$ [উভয় পক্ষকে $3$ দিয়ে গুণ করে]

$-8x = -32$, তাই $x = 4$

(3)-এ $x = 4$ বসিয়ে $y = \dfrac{28 - 31}{3} = -1$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $7 \times 4 - 3 \times (-1) = 31$ এবং $9 \times 4 - 5 \times (-1) = 41$; মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (4, -1)$

২. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 1$, $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$

সমাধান:

প্রথমটিকে $6$ এবং দ্বিতীয়টিকে $6$ দিয়ে গুণ করে $3x + 2y = 6 ... (1)$ এবং $2x + 3y = 6 ... (2)$

(1) থেকে $y = \dfrac{6 - 3x}{2} ... (3)$

(2)-এ বসিয়ে $2x + 3 \times \dfrac{6 - 3x}{2} = 6$, তাই $4x + 18 - 9x = 12$

$-5x = -6$, অর্থাৎ $x = \dfrac{6}{5}$

(3)-এ $y = \dfrac{6 - 3 \times 6/5}{2} = \dfrac{12/5}{2} = \dfrac{6}{5}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3 \times \dfrac{6}{5} + 2 \times \dfrac{6}{5} = 6$ এবং $2 \times \dfrac{6}{5} + 3 \times \dfrac{6}{5} = 6$; মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = \left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{6}{5}\right)$

৩. $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 2$, $ax + by = a^2 + b^2$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণকে $ab$ দিয়ে গুণ করে $bx + ay = 2ab ... (1)$; দ্বিতীয়: $ax + by = a^2 + b^2 ... (2)$

(1) থেকে $y = \dfrac{2ab - bx}{a} ... (3)$

(2)-এ বসিয়ে $ax + b \times \dfrac{2ab - bx}{a} = a^2 + b^2$

$a^2x + 2ab^2 - b^2x = a^3 + ab^2$ [$a$ দিয়ে গুণ করে]

$(a^2 - b^2)x = a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2)$, তাই $x = a$ [$a^2 \neq b^2$]

(3)-এ $y = \dfrac{2ab - ab}{a} = b$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{a}{a} + \dfrac{b}{b} = 2$ এবং $a \cdot a + b \cdot b = a^2 + b^2$; মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (a, b)$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৩ নং প্রশ্নে $a \neq 0, b \neq 0$ এবং $a^2 \neq b^2$ ধরা হয়েছে; না হলে ভাগ করা যেত না। বইয়ের উত্তরমালার $(a, b)$-এর সাথে মিলেছে।

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো (৪–৬):

৪. $7x - 3y = 31$, $9x - 5y = 41$

সমাধান:

$7x - 3y = 31 ... (1)$, $9x - 5y = 41 ... (2)$

(1)-কে $5$ এবং (2)-কে $3$ দিয়ে গুণ করে $35x - 15y = 155 ... (3)$, $27x - 15y = 123 ... (4)$

(3) থেকে (4) বিয়োগ করে $8x = 32$, অর্থাৎ $x = 4$

(1)-এ $x = 4$ বসিয়ে $28 - 3y = 31$, তাই $y = -1$

ব্যাখ্যা: $y$-এর সহগ সমান করে বিয়োগ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (4, -1)$

৫. $7x - 8y = -9$, $5x - 4y = -3$

সমাধান:

$7x - 8y = -9 ... (1)$, $5x - 4y = -3 ... (2)$

(2)-কে $2$ দিয়ে গুণ করে $10x - 8y = -6 ... (3)$

(1) থেকে (3) বিয়োগ করে $-3x = -3$, তাই $x = 1$

(2)-এ $x = 1$ বসিয়ে $5 - 4y = -3$, তাই $y = 2$

ব্যাখ্যা: শুধু (2)-কে গুণ করলেই $y$-এর সহগ সমান হয়। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (1, 2)$

৬. $ax + by = c$, $a^2x + b^2y = c^2$

সমাধান:

$ax + by = c ... (1)$, $a^2x + b^2y = c^2 ... (2)$

$x$ নির্ণয়: (1)-কে $b$ দিয়ে গুণ করে $abx + b^2y = bc ... (3)$

(2) থেকে (3) বিয়োগ করে $(a^2 - ab)x = c^2 - bc$, তাই $a(a - b)x = c(c - b)$

$x = \dfrac{c(c - b)}{a(a - b)} = \dfrac{c(b - c)}{a(b - a)}$

$y$ নির্ণয়: (1)-কে $a$ দিয়ে গুণ করে $a^2x + aby = ac ... (4)$

(2) থেকে (4) বিয়োগ করে $(b^2 - ab)y = c^2 - ac$, তাই $b(b - a)y = c(c - a)$

$y = \dfrac{c(c - a)}{b(b - a)}$

ব্যাখ্যা: $x$ ও $y$ আলাদা করে বের করতে দুইবার অপনয়ন করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = \left(\dfrac{c(b - c)}{a(b - a)}, \dfrac{c(c - a)}{b(b - a)}\right)$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৬ নং প্রশ্নে $a \neq b$, $a \neq 0$ এবং $b \neq 0$ ধরা হয়েছে।

আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করো (৭–১৫):

৭. $2x + 3y + 5 = 0$, $4x + 7y + 6 = 0$

সমাধান:

$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$; $a_2 = 4, b_2 = 7, c_2 = 6$

$\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

$\dfrac{x}{18 - 35} = \dfrac{y}{20 - 12} = \dfrac{1}{14 - 12}$, অর্থাৎ $\dfrac{x}{-17} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{1}{2}$

$x = -\dfrac{17}{2}$, $y = 4$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = \left(-\dfrac{17}{2}, 4\right)$

৮. $3x - 5y + 9 = 0$, $5x - 3y - 1 = 0$

সমাধান:

$a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = 9$; $a_2 = 5, b_2 = -3, c_2 = -1$

$b_1c_2 - b_2c_1 = 5 + 27 = 32$, $c_1a_2 - c_2a_1 = 45 + 3 = 48$, $a_1b_2 - a_2b_1 = -9 + 25 = 16$

$\dfrac{x}{32} = \dfrac{y}{48} = \dfrac{1}{16}$, তাই $x = 2$, $y = 3$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (2, 3)$

৯. $x + 2y = 7$, $2x - 3y = 0$

সমাধান:

সাজিয়ে $x + 2y - 7 = 0$, $2x - 3y + 0 = 0$; $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -7$; $a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = 0$

$b_1c_2 - b_2c_1 = 0 - 21 = -21$, $c_1a_2 - c_2a_1 = -14 - 0 = -14$, $a_1b_2 - a_2b_1 = -3 - 4 = -7$

$\dfrac{x}{-21} = \dfrac{y}{-14} = \dfrac{1}{-7}$, তাই $x = 3$, $y = 2$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (3, 2)$

১০. $4x + 3y = -12$, $2x = 5$

সমাধান:

সাজিয়ে $4x + 3y + 12 = 0$, $2x + 0 \cdot y - 5 = 0$; $a_1 = 4, b_1 = 3, c_1 = 12$; $a_2 = 2, b_2 = 0, c_2 = -5$

$b_1c_2 - b_2c_1 = -15 - 0 = -15$, $c_1a_2 - c_2a_1 = 24 + 20 = 44$, $a_1b_2 - a_2b_1 = 0 - 6 = -6$

$\dfrac{x}{-15} = \dfrac{y}{44} = \dfrac{1}{-6}$, তাই $x = \dfrac{5}{2}$, $y = -\dfrac{22}{3}$

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণে $y$ নেই, তাই $b_2 = 0$ ধরেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = \left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{22}{3}\right)$

১১. $-7x + 8y = 9$, $5x - 4y = -3$

সমাধান:

সাজিয়ে $-7x + 8y - 9 = 0$, $5x - 4y + 3 = 0$; $a_1 = -7, b_1 = 8, c_1 = -9$; $a_2 = 5, b_2 = -4, c_2 = 3$

$b_1c_2 - b_2c_1 = 24 - 36 = -12$, $c_1a_2 - c_2a_1 = -45 + 21 = -24$, $a_1b_2 - a_2b_1 = 28 - 40 = -12$

$\dfrac{x}{-12} = \dfrac{y}{-24} = \dfrac{1}{-12}$, তাই $x = 1$, $y = 2$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (1, 2)$

১২. $3x - y - 7 = 0$, $2x + y - 3 = 0$

সমাধান:

$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -7$; $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = -3$

$b_1c_2 - b_2c_1 = 3 + 7 = 10$, $c_1a_2 - c_2a_1 = -14 + 9 = -5$, $a_1b_2 - a_2b_1 = 3 + 2 = 5$

$\dfrac{x}{10} = \dfrac{y}{-5} = \dfrac{1}{5}$, তাই $x = 2$, $y = -1$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (2, -1)$

১৩. $ax + by = a^2 + b^2$, $2bx - ay = ab$

সমাধান:

সাজিয়ে $ax + by - (a^2 + b^2) = 0$, $2bx - ay - ab = 0$; $a_1 = a, b_1 = b, c_1 = -(a^2 + b^2)$; $a_2 = 2b, b_2 = -a, c_2 = -ab$

$b_1c_2 - b_2c_1 = -ab^2 - a(a^2 + b^2) = -a(a^2 + 2b^2)$

$c_1a_2 - c_2a_1 = -2b(a^2 + b^2) + a^2b = -b(a^2 + 2b^2)$

$a_1b_2 - a_2b_1 = -a^2 - 2b^2 = -(a^2 + 2b^2)$

$\dfrac{x}{-a(a^2 + 2b^2)} = \dfrac{y}{-b(a^2 + 2b^2)} = \dfrac{1}{-(a^2 + 2b^2)}$, তাই $x = a$, $y = b$

ব্যাখ্যা: সাধারণ উৎপাদক $(a^2 + 2b^2)$ কেটে সরল করেছি; উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (a, b)$

১৪. $y(3 + x) = x(6 + y)$, $3(3 + x) = 5(y - 1)$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণ: $3y + xy = 6x + xy$, তাই $3y = 6x$, অর্থাৎ $2x - y = 0$

দ্বিতীয় সমীকরণ: $9 + 3x = 5y - 5$, তাই $3x - 5y + 14 = 0$

$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 0$; $a_2 = 3, b_2 = -5, c_2 = 14$

$b_1c_2 - b_2c_1 = -14 - 0 = -14$, $c_1a_2 - c_2a_1 = 0 - 28 = -28$, $a_1b_2 - a_2b_1 = -10 + 3 = -7$

$\dfrac{x}{-14} = \dfrac{y}{-28} = \dfrac{1}{-7}$, তাই $x = 2$, $y = 4$

ব্যাখ্যা: প্রথমে $xy$ পদ কেটে সরল সমীকরণে এনেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (2, 4)$

১৫. $(x + 2)(y - 3) = y(x - 1)$, $5x - 11y - 8 = 0$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণ: $xy - 3x + 2y - 6 = xy - y$, তাই $-3x + 3y - 6 = 0$, অর্থাৎ $x - y + 2 = 0$

$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = 2$; $a_2 = 5, b_2 = -11, c_2 = -8$

$b_1c_2 - b_2c_1 = 8 + 22 = 30$, $c_1a_2 - c_2a_1 = 10 + 8 = 18$, $a_1b_2 - a_2b_1 = -11 + 5 = -6$

$\dfrac{x}{30} = \dfrac{y}{18} = \dfrac{1}{-6}$, তাই $x = -5$, $y = -3$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $(x, y) = (-5, -3)$