Class 9-10 Math Chapter 12 (Simple Simultaneous Equations in Two Variables) Exercise 12.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• সহসমীকরণজোট $a_1x + b_1y = c_1$ ও $a_2x + b_2y = c_2$ হলে:
• (i) $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ হলে জোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল; একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।
• (ii) $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ হলে জোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল; অসংখ্য সমাধান আছে।
• (iii) $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ হলে জোটটি অসমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল; কোনো সমাধান নেই।

অনুশীলনী ১২.১

নিচের সরল সহসমীকরণগুলো সমঞ্জস্য/অসমঞ্জস্য, পরস্পর নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কিনা যুক্তিসহ উল্লেখ করো এবং এগুলোর সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ করো:

১. $x - y = 4$, $x + y = 10$

সমাধান:

$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = 4$ এবং $a_2 = 1, b_2 = 1, c_2 = 10$

$\dfrac{a_1}{a_2} = 1$, $\dfrac{b_1}{b_2} = -1$, অর্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

ব্যাখ্যা: সহগের অনুপাত সমান নয়, তাই একটিমাত্র সমাধান আছে। (সমাধান: $x = 7, y = 3$)

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, একটিমাত্র সমাধান

২. $2x + y = 3$, $4x + 2y = 6$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

তিনটি অনুপাতই সমান।

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথমটির দ্বিগুণ, তাই দুটি আসলে একই সমীকরণ।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর নির্ভরশীল, অসংখ্য সমাধান

৩. $x - y - 4 = 0$, $3x - 3y - 10 = 0$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{-4}{-10} = \dfrac{2}{5}$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$

ব্যাখ্যা: সহগ সমান কিন্তু ধ্রুবকের অনুপাত আলাদা, তাই রেখা দুটি সমান্তরাল; সমাধান নেই।

উত্তর: অসমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, কোনো সমাধান নেই

৪. $3x + 2y = 0$, $6x + 4y = 0$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

দুই সমীকরণেই ধ্রুবক পদ $0$ (অর্থাৎ $c_1 = c_2 = 0$), তাই $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ হওয়াই যথেষ্ট।

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণ প্রথমটির দ্বিগুণ, তাই দুটি একই রেখা। বইয়ের উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর নির্ভরশীল, অসংখ্য সমাধান

৫. $3x + 2y = 0$, $9x - 6y = 0$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{-6} = -\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

ব্যাখ্যা: অনুপাত দুটি সমান নয়, তাই একটিমাত্র সমাধান আছে (সমাধান: $x = 0, y = 0$)।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, একটিমাত্র সমাধান

৬. $5x - 2y - 16 = 0$, $3x - \dfrac{6}{5}y = 2$

সমাধান:

দ্বিতীয় সমীকরণ $3x - \dfrac{6}{5}y - 2 = 0$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{5}{3}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-2}{-6/5} = \dfrac{5}{3}$, $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{-16}{-2} = 8$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$

ব্যাখ্যা: সহগের অনুপাত সমান, কিন্তু ধ্রুবকের অনুপাত আলাদা। সুতরাং সমান্তরাল রেখা, কোনো সমাধান নেই।

উত্তর: অসমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, কোনো সমাধান নেই

৭. $-\dfrac{1}{2}x + y = -1$, $x - 2y = 2$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{-1/2}{1} = -\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$

তিনটি অনুপাতই সমান।

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণ প্রথমটির $-2$ গুণ।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর নির্ভরশীল, অসংখ্য সমাধান

৮. $-\dfrac{1}{2}x - y = 0$, $x - 2y = 0$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = -\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

ব্যাখ্যা: অনুপাত সমান নয়; অনন্য সমাধান $x = 0, y = 0$।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, একটিমাত্র সমাধান

৯. $-\dfrac{1}{2}x + y = -1$, $x + y = 5$

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = -\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = 1$

$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

ব্যাখ্যা: অনুপাত সমান নয়, তাই একটিমাত্র সমাধান আছে (সমাধান: $x = 4, y = 1$)।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, একটিমাত্র সমাধান

১০. $ax - cy = 0$, $cx - ay = c^2 - a^2$

সমাধান:

$a_1 = a, b_1 = -c, c_1 = 0$ এবং $a_2 = c, b_2 = -a, c_2 = c^2 - a^2$

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{a}{c}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-c}{-a} = \dfrac{c}{a}$

$a^2 \neq c^2$ হলে $\dfrac{a}{c} \neq \dfrac{c}{a}$, অর্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

ব্যাখ্যা: যখন $a^2 \neq c^2$, তখন একটিমাত্র সমাধান আছে। প্রথম সমীকরণ থেকে $y = \dfrac{ax}{c}$, দ্বিতীয়টিতে বসিয়ে $x(c^2 - a^2) = c(c^2 - a^2)$, তাই $x = c, y = a$।

উত্তর: সমঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল, একটিমাত্র সমাধান

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১০ নং প্রশ্নে $a^2 = c^2$ হলে অনুপাত $\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{a}$ সমান হয়ে যেত এবং ফলাফল বদলে যেত। বইয়ের উত্তরমালায় শুধু "একটি সমাধান" আছে, তাই এখানে $a^2 \neq c^2$ ধরা হয়েছে।