Class 9-10 Math Chapter 11 (Algebraic Ratio and Proportion) Exercise 11.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী মানে $a : b = b : c$, অর্থাৎ $b^2 = ac$।
• ধারাবাহিক অনুপাত: $a : b$ ও $b : c$ থেকে $a : b : c$ বানাতে $b$-এর মান সমান করতে হয় (ল.সা.গু. দিয়ে)।
• সমানুপাতিক ভাগ: $S$-কে $a : b : c$ অনুপাতে ভাগ করলে প্রথম অংশ $= \dfrac{Sa}{a + b + c}$, ইত্যাদি।
• শতকরা বৃদ্ধি/হ্রাস: $x$ বৃদ্ধি হলে নতুন মান $= (1 + \dfrac{x}{100})$ গুণ। সরল মুনাফা: $I = Pnr$।

অনুশীলনী ১১.২

1. $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $a^2 = bc$     খ) $b^2 = ac$     গ) $ab = bc$     ঘ) $a = b = c$

সমাধান:

$a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $a : b = b : c$, অর্থাৎ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$

আড়গুণন করে $b^2 = ac$

ব্যাখ্যা: মধ্যরাশির বর্গ = প্রথম ও তৃতীয় রাশির গুণফল।

উত্তর: খ) $b^2 = ac$

2. আরিফ ও আকিবের বয়সের অনুপাত $5 : 3$, আরিফের বয়স $20$ বছর হলে, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত $7 : 5$ হবে?

ক) 5 বছর     খ) 6 বছর     গ) 8 বছর     ঘ) 10 বছর

সমাধান:

আরিফের বয়স $20$, তাই আকিবের বয়স $= 20 \times \dfrac{3}{5} = 12$

$t$ বছর পরে $\dfrac{20 + t}{12 + t} = \dfrac{7}{5}$

$100 + 5t = 84 + 7t$, তাই $2t = 16$, অর্থাৎ $t = 8$

ব্যাখ্যা: $8$ বছর পরে বয়স $28$ ও $20$, অনুপাত $7 : 5$; মিলেছে।

উত্তর: গ) 8 বছর

3. $x : y = 7 : 5, y : z = 5 : 7$ হলে, $x : z$ কত?

ক) 35 : 49     খ) 35 : 35     গ) 25 : 49     ঘ) 49 : 25

সমাধান:

$y$-এর মান দুই অনুপাতে $5$, তাই সরাসরি $x : y : z = 7 : 5 : 7$

$x : z = 7 : 7 = 35 : 35$

ব্যাখ্যা: $y$ একই হওয়ায় ল.সা.গু. লাগে না।

উত্তর: খ) $35 : 35$

4. $x : y = 2 : 1$ এবং $y : z = 2 : 1$ হলে— (i) $x, y, z$ ক্রমিক সমানুপাতী (ii) $z : x = 1 : 4$ (iii) $y^2 + zx = 4yz$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$x : y : z = 4 : 2 : 1$ (কারণ $y$ কে $2$-এ সমান করতে প্রথম অনুপাত $4 : 2$ হয়)

(i) $y^2 = 4 = xz$ (কারণ $x = 4, z = 1$), সত্য।

(ii) $z : x = 1 : 4$, সত্য।

(iii) $y^2 + zx = 4 + 4 = 8$ এবং $4yz = 4 \times 2 \times 1 = 8$, সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটিই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

5. $\dfrac{a}{x} = \dfrac{m^2 + n^2}{2mn}$ হলে, $\dfrac{\sqrt{a + x}}{\sqrt{a - x}}$ = কত?

ক) $\dfrac{m}{n}$     খ) $\dfrac{m + n}{m - n}$     গ) $\dfrac{m - n}{m + n}$     ঘ) $\dfrac{n}{m}$

সমাধান:

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{a + x}{a - x} = \dfrac{m^2 + n^2 + 2mn}{m^2 + n^2 - 2mn} = \dfrac{(m + n)^2}{(m - n)^2}$

বর্গমূল নিয়ে $\dfrac{\sqrt{a + x}}{\sqrt{a - x}} = \dfrac{m + n}{m - n}$

ব্যাখ্যা: যোজন-বিয়োজন করলে হর ও লব পূর্ণবর্গ হয়ে যায়।

উত্তর: খ) $\dfrac{m + n}{m - n}$

৬. ১ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন $7$ ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান:

১ ঘন সে.মি. পানির ওজন $= 1$ গ্রাম $= 10$ ডেসিগ্রাম

কাঠের ওজন : পানির ওজন $= 7 : 10$

শতকরা $= \dfrac{7}{10} \times 100$

ব্যাখ্যা: একক একই করে নিয়ে তুলনা করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $70$

৭. ক, খ, গ, ঘ-এর মধ্যে $300$ টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন, ক-এর অংশ : খ-এর অংশ $= 2 : 3$, খ-এর অংশ : গ-এর অংশ $= 1 : 2$ এবং গ-এর অংশ : ঘ-এর অংশ $= 3 : 2$ হয়।

সমাধান:

ক : খ $= 2 : 3$, খ : গ $= 1 : 2 = 3 : 6$ (খ-কে $3$ করে)

গ : ঘ $= 3 : 2 = 6 : 4$ (গ-কে $6$ করে)

ক : খ : গ : ঘ $= 2 : 3 : 6 : 4$, অনুপাতের যোগফল $= 15$

ক $= 300 \times \dfrac{2}{15} = 40$ টাকা; খ $= 300 \times \dfrac{3}{15} = 60$ টাকা

গ $= 300 \times \dfrac{6}{15} = 120$ টাকা; ঘ $= 300 \times \dfrac{4}{15} = 80$ টাকা

ব্যাখ্যা: অনুপাত তিনটির সংযোগ স্থাপন করতে মধ্যবর্তী রাশির মান সমান করা হয়েছে। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: ক $40$ টাকা, খ $60$ টাকা, গ $120$ টাকা, ঘ $80$ টাকা

৮. তিনজন জেলে $690$ টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত $\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{5}$ এবং $\dfrac{5}{6}$ হলে, কে কয়টি মাছ পেল?

সমাধান:

হর $3, 5, 6$-এর ল.সা.গু. $30$; প্রতিটি ভগ্নাংশকে $30$ দিয়ে গুণ করে অনুপাত $= 20 : 24 : 25$

যোগফল $= 20 + 24 + 25 = 69$

প্রথম জন $= 690 \times \dfrac{20}{69} = 200$, দ্বিতীয় জন $= 690 \times \dfrac{24}{69} = 240$, তৃতীয় জন $= 690 \times \dfrac{25}{69} = 250$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশের অনুপাতে ল.সা.গু. দিয়ে গুণ করলে পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হয়। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $200, 240, 250$ টি

৯. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা $45$ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত $3 : 5 : 7$ হলে, প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

বাহু তিনটি $3k, 5k, 7k$; $3k + 5k + 7k = 45$, তাই $15k = 45$, অর্থাৎ $k = 3$

বাহু তিনটি $9, 15, 21$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $9, 15, 21$ সে.মি.

১০. ক্রিকেট খেলায় সাকিব, মুশফিকুর ও মাশরাফী $171$ রান করলো। সাকিব ও মুশফিকুরের এবং মুশফিকুর ও মাশরাফীর রানের অনুপাত যথাক্রমে $3 : 2$ হলে কে কত রান করেছে?

সমাধান:

সাকিব : মুশফিকুর $= 3 : 2 = 9 : 6$ (মুশফিকুরকে $6$ করে)

মুশফিকুর : মাশরাফী $= 3 : 2 = 6 : 4$

সাকিব : মুশফিকুর : মাশরাফী $= 9 : 6 : 4$, যোগফল $19$

সাকিব $= 171 \times \dfrac{9}{19} = 81$, মুশফিকুর $= 171 \times \dfrac{6}{19} = 54$, মাশরাফী $= 171 \times \dfrac{4}{19} = 36$

ব্যাখ্যা: $171 \div 19 = 9$ ধরে প্রতিটি অংশকে $9$ দিয়ে গুণ করা যায়। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: সাকিব $81$, মুশফিকুর $54$, মাশরাফী $36$ রান

১১. একটি অফিসে $2$ জন কর্মকর্তা, $7$ জন অফিস সহকারী এবং $3$ জন অফিস সহায়ক আছে। একজন অফিস সহায়ক $1$ টাকা পেলে একজন অফিস সহকারী পায় $2$ টাকা, একজন কর্মকর্তা পায় $4$ টাকা। তাদের সকলের মোট বেতন $150,000$ টাকা হলে, কে কত বেতন পায়?

সমাধান:

সহায়কের বেতন $x$ টাকা ধরলে সহকারীর $2x$ এবং কর্মকর্তার $4x$ টাকা

মোট বেতন $= 2 \times 4x + 7 \times 2x + 3 \times x = 8x + 14x + 3x = 25x$

$25x = 150000$, তাই $x = 6000$

অফিস সহায়ক $6000$ টাকা, অফিস সহকারী $2 \times 6000 = 12000$ টাকা, কর্মকর্তা $4 \times 6000 = 24000$ টাকা (প্রত্যেকে)

ব্যাখ্যা: জনসংখ্যা দিয়ে গুণ করে মোট বেতনের সমীকরণ বানিয়েছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: কর্মকর্তা $24000$ টাকা, অফিস সহকারী $12000$ টাকা, অফিস সহায়ক $6000$ টাকা (প্রতিজন)

১২. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ $20$ বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:

প্রথমে বাহু $a$, ক্ষেত্রফল $a^2$

$20$ বৃদ্ধিতে নতুন বাহু $= 1.2a$, নতুন ক্ষেত্রফল $= 1.44a^2$

বৃদ্ধি $= 1.44a^2 - a^2 = 0.44a^2$

শতকরা বৃদ্ধি $= \dfrac{0.44a^2}{a^2} \times 100$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $44$

১৩. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $10$ বৃদ্ধি এবং প্রস্থ $10$ হ্রাস পেলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?

সমাধান:

দৈর্ঘ্য $l$, প্রস্থ $w$, ক্ষেত্রফল $lw$

নতুন দৈর্ঘ্য $= 1.1l$, নতুন প্রস্থ $= 0.9w$, নতুন ক্ষেত্রফল $= 0.99lw$

হ্রাস $= lw - 0.99lw = 0.01lw$

শতকরা হ্রাস $= \dfrac{0.01lw}{lw} \times 100$

ব্যাখ্যা: একটি বাড়লে অন্যটি কমায় ক্ষেত্রফল সামান্য কমেছে। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $1$ হ্রাস

১৪. একটি মাঠের জমিতে সেচের সুযোগ আসার আগের ও পরের ফলনের অনুপাত $4 : 7$। ঐ মাঠে যে জমিতে আগে $304$ কুইন্টাল ধান ফলতো, সেচ পাওয়ার পরে তার ফলন কত হবে?

সমাধান:

আগের ফলন : পরের ফলন $= 4 : 7$

পরের ফলন $= 304 \times \dfrac{7}{4} = 76 \times 7 = 532$ কুইন্টাল

ব্যাখ্যা: অনুপাত ধরে সরাসরি গুণ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $532$ কুইন্টাল

১৫. ধান ও ধান থেকে উৎপন্ন চালের অনুপাত $3 : 2$ এবং গম ও গম থেকে উৎপন্ন সুজির অনুপাত $4 : 3$ হলে, সমান পরিমাণ ধান ও গম থেকে উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত বের করো।

সমাধান:

মনে করি ধান ও গম প্রত্যেকে $12$ একক (৩ ও ৪-এর ল.সা.গু.)

ধান : চাল $= 3 : 2$, তাই চাল $= 12 \times \dfrac{2}{3} = 8$ একক

গম : সুজি $= 4 : 3$, তাই সুজি $= 12 \times \dfrac{3}{4} = 9$ একক

চাল : সুজি $= 8 : 9$

ব্যাখ্যা: সমান পরিমাণ ধরার জন্য $12$ একক নিয়েছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $8 : 9$

১৬. একটি জমির ক্ষেত্রফল $432$ বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে $3 : 4$ এবং $2 : 5$ হলে, অপর জমির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

প্রথম জমির দৈর্ঘ্য $3x$, প্রস্থ $2y$; দ্বিতীয় জমির দৈর্ঘ্য $4x$, প্রস্থ $5y$

প্রথম জমির ক্ষেত্রফল $= 3x \times 2y = 6xy = 432$, তাই $xy = 72$

দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল $= 4x \times 5y = 20xy = 20 \times 72 = 1440$ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্যের অনুপাত $3 : 4$ এবং প্রস্থের অনুপাত $2 : 5$ আলাদা করে ধরেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $1440$ বর্গমিটার

১৭. জেমি ও সিমি একই ব্যাংক থেকে একই দিনে $10$ সরল মুনাফায় আলাদা আলাদা পরিমাণ অর্থ ঋণ নেয়। জেমি $2$ বছর পর মুনাফা-আসলে যত টাকা শোধ করে $3$ বছর পর সিমি মুনাফা-আসলে তত টাকা শোধ করে। তাদের ঋণের অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

জেমির ঋণ $P_1$, সিমির ঋণ $P_2$

জেমির মুনাফা-আসল $= P_1 + P_1 \times 0.1 \times 2 = 1.2P_1$

সিমির মুনাফা-আসল $= P_2 + P_2 \times 0.1 \times 3 = 1.3P_2$

শর্ত: $1.2P_1 = 1.3P_2$, তাই $\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{1.3}{1.2} = \dfrac{13}{12}$

ব্যাখ্যা: সরল মুনাফায় মুনাফা-আসল $= P(1 + nr)$। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $13 : 12$

১৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $x, y$ ও $z$ ($x > y > z$) এবং $\dfrac{y^2 + z^2}{(y + z)^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{(x + y)^2}$। ঘনবস্তুটির উচ্চতা $10$ হ্রাস করা হলো।

সমাধান:

ক) $10$ লাভে কোন দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয়

ক্রয়মূল্য $100$ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য $= 100 + 10 = 110$ টাকা

বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য $= 110 : 100 = 11 : 10$

খ) দেখাও যে, $y^2 = zx$

দেওয়া আছে $\dfrac{y^2 + z^2}{(y + z)^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{(x + y)^2}$, তাই $\dfrac{z^2 + y^2}{y^2 + x^2} = \dfrac{(z + y)^2}{(y + x)^2}$

আড়গুণন করে $(z^2 + y^2)(y + x)^2 = (z + y)^2(y^2 + x^2)$

প্রসারিত করে বিয়োগ করলে $2y(z - x)(zx - y^2) = 0$ পাওয়া যায় (১১.১-এর ১৩ নং প্রশ্নের মতো, এখানে $a = z, b = y, c = x$)

$y \neq 0$ এবং $x > z$, তাই $z - x \neq 0$; অতএব $zx - y^2 = 0$, অর্থাৎ $y^2 = zx$ (দেখানো হলো)

গ) ঘনবস্তুটির আয়তন শতকরা কত হ্রাস পাবে

আগের আয়তন $V = xyz$

উচ্চতা $10$ কমলে নতুন উচ্চতা $= 0.9z$, নতুন আয়তন $= xy \times 0.9z = 0.9xyz = 0.9V$

আয়তন কমেছে $V - 0.9V = 0.1V$, অর্থাৎ $10$ হ্রাস পাবে।

ব্যাখ্যা: গ-তে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ অপরিবর্তিত থাকায় আয়তন উচ্চতার সমানুপাতে কমে।

উত্তর: ক) $11 : 10$; খ) দেখানো হলো; গ) $10$ হ্রাস

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ১১.২-এর ১–৫ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর নেই; নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) 2 গুণ     খ) 3 গুণ     গ) 4 গুণ     ঘ) 6 গুণ

সমাধান:

বাহু $a$ হলে ক্ষেত্রফল $a^2$

বাহু দ্বিগুণ হলে নতুন বাহু $2a$ এবং নতুন ক্ষেত্রফল $(2a)^2 = 4a^2$

বৃদ্ধি $= 4a^2 - a^2 = 3a^2$, অর্থাৎ আগের ক্ষেত্রফলের $3$ গুণ বৃদ্ধি

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল $4$ গুণ হয়, তবে প্রশ্নে "কতগুণ বৃদ্ধি" চাওয়ায় বৃদ্ধির পরিমাণ $3$ গুণ।

উত্তর: খ) 3 গুণ

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: "কতগুণ বৃদ্ধি পাবে" প্রশ্নে ক্ষেত্রফল $4$ গুণ হয়, কিন্তু বৃদ্ধির পরিমাণ $3$ গুণ। বিকল্পে $4$ (গ) এবং $3$ (খ) দুটিই আছে, তাই এখানে বৃদ্ধির পরিমাণ ধরে খ) নেওয়া হয়েছে। বইয়ের উত্তরমালায় এর উত্তর নেই; "কতগুণ হবে" ধরলে উত্তর গ) হতো।

2. $b, a, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে— (i) $a^2 = bc$ (ii) $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a}$ (iii) $\dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + a}{c - a}$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) i ও ii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$b : a = a : c$ হওয়ায় $a^2 = bc$। (i) সত্য।

(ii) এ $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a}$ হলে $b = c$ হবে, যা সব সময় সত্য নয়। (সঠিক সম্পর্ক $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{c}$)। (ii) মিথ্যা।

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{c}$ থেকে যোজন-বিয়োজনে $\dfrac{b + a}{b - a} = \dfrac{a + c}{a - c}$

$\dfrac{a + b}{a - b} = -\dfrac{a + b}{b - a} = -\dfrac{a + c}{a - c} = \dfrac{c + a}{c - a}$। (iii) সত্য।

ব্যাখ্যা: বইয়ের (ii) এ সম্ভবত ছাপার ভুল আছে; যেভাবে ছাপা আছে সেভাবে ধরলে (ii) সত্য নয়।

উত্তর: গ) i ও iii

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (ii) নং উক্তিতে $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a}$ ছাপা আছে, যা সম্ভবত $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{c}$ হওয়ার কথা ছিল (মুদ্রণ ত্রুটি)। যেভাবে ছাপা আছে সেভাবে ধরে উত্তর গ) i ও iii।

পরের দুটি প্রশ্নের শর্ত: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত $3 : 4 : 5$ এবং এর পরিসীমা $36$ সে.মি.। বাহুগুলো হলো $3k + 4k + 5k = 36$, তাই $k = 3$ এবং বাহু $9, 12, 15$ সে.মি.।

3. ত্রিভুজটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যের বিয়োগফল কত একক?

ক) 9     খ) 6     গ) 5     ঘ) 2

সমাধান:

বৃহত্তম বাহু $= 15$, ক্ষুদ্রতম বাহু $= 9$

বিয়োগফল $= 15 - 9 = 6$

ব্যাখ্যা: আগে বাহুগুলো বের করেছি।

উত্তর: খ) 6

4. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) 6     খ) 54     গ) 67     ঘ) 90

সমাধান:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী (সমকোণ সংলগ্ন বাহু $9$ ও $12$)

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা: $3 : 4 : 5$ অনুপাতের ত্রিভুজ সমকোণী। বিকল্পে হেরনের সূত্রেও $54$ আসে।

উত্তর: খ) 54

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. দৃশ্যকল্প ১: একদিন কোনো শ্রেণিতে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপাত $1 : 4$। ওই দিন আরও $5$ জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত থাকলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপাত হতো $1 : 9$। দৃশ্যকল্প ২: একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $336$ বর্গ একর। জমিটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে অপর একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে $2 : 3$ এবং $4 : 5$।

সমাধান:

ক) একটি দ্রব্য $400$ টাকায় ক্রয় করে $10$ ক্ষতিতে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয়

ক্ষতি $= 400 \times 10$ টাকা, তাই বিক্রয়মূল্য $= 400 - 40 = 360$ টাকা

অনুপাত $= 360 : 400 = 9 : 10$

খ) দৃশ্যকল্প ১-এ উল্লেখিত শ্রেণির শিক্ষার্থী সংখ্যা নির্ণয়

অনুপস্থিত $a$ জন হলে উপস্থিত $4a$ জন, মোট $5a$ জন

আরও $5$ জন বেশি উপস্থিত থাকলে (মোট সংখ্যা অপরিবর্তিত) অনুপস্থিত $a - 5$ জন এবং উপস্থিত $4a + 5$ জন

শর্ত: $\dfrac{a - 5}{4a + 5} = \dfrac{1}{9}$, তাই $9a - 45 = 4a + 5$

$5a = 50$, অর্থাৎ $a = 10$

মোট শিক্ষার্থী $= 5a = 50$ জন (যাচাই: $5 : 45 = 1 : 9$)

গ) দৃশ্যকল্প ২-এ উল্লেখিত ২য় জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রথম জমির দৈর্ঘ্য $2x$, প্রস্থ $4y$; দ্বিতীয় জমির দৈর্ঘ্য $3x$, প্রস্থ $5y$

প্রথম জমির ক্ষেত্রফল $= 2x \times 4y = 8xy = 336$, তাই $xy = 42$

দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল $= 3x \times 5y = 15xy = 15 \times 42 = 630$ বর্গ একর

ব্যাখ্যা: খ-তে ধরে নিয়েছি যে শ্রেণির মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা একই থাকে (অতিরিক্ত $5$ জন অনুপস্থিতদের মধ্য থেকে আসতো)।

উত্তর: ক) $9 : 10$; খ) $50$ জন; গ) $630$ বর্গ একর

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৫(খ)-তে "আরও ৫ জন বেশি উপস্থিত" বলতে মোট সংখ্যা অপরিবর্তিত ধরে অনুপস্থিতদের থেকে ৫ জন কমানো হয়েছে। অনুপস্থিত সংখ্যা অপরিবর্তিত ধরলে $\dfrac{a}{4a + 5} = \dfrac{1}{9}$ থেকে $a = 1$ পাওয়া যায়, যা শ্রেণির জন্য অবাস্তব, তাই প্রথম ব্যাখ্যাই সঠিক।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

সমাধান:

ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $5 : 7$ এবং এদের গ.সা.গু. $4$ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. কত?

সংখ্যা দুটি $5k$ ও $7k$; গ.সা.গু. $= k = 4$

সংখ্যা দুটি $20$ ও $28$; ল.সা.গু. $= 5 \times 7 \times 4 = 140$

খ) $\dfrac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = \dfrac{x}{z}$ এবং $z \neq x$ হলে দেখাও যে, $x, y$ ও $z$ ক্রমিক সমানুপাতী

আড়গুণন করে $z(x^2 + y^2) = x(y^2 + z^2)$, অর্থাৎ $zx^2 + zy^2 = xy^2 + xz^2$

$zx^2 - xz^2 - xy^2 + zy^2 = 0$, অর্থাৎ $zx(x - z) - y^2(x - z) = 0$

$(x - z)(zx - y^2) = 0$

$x \neq z$ হওয়ায় $zx - y^2 = 0$, অর্থাৎ $y^2 = zx$

সুতরাং $x, y, z$ ক্রমিক সমানুপাতী। (দেখানো হলো)

গ) এক ঘন সে.মি. কাঠের ভর $700$ মিলিগ্রাম হলে সমআয়তনের কাঠের ভর ও পানির ভরের অনুপাত নির্ণয়

এক ঘন সে.মি. পানির ভর $= 1$ গ্রাম $= 1000$ মিলিগ্রাম

কাঠের ভর : পানির ভর $= 700 : 1000 = 7 : 10$

ঘ) $x : y = 3 : 4$ এবং $y : z = 2 : 3$ হলে দেখাও যে, $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6}$

$y : z = 2 : 3 = 4 : 6$ (সমান $y$ করার জন্য)

$x : y : z = 3 : 4 : 6$, তাই $x = 3k, y = 4k, z = 6k$ এবং $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6} = k$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি অংশে আলাদা কৌশল: ক-তে গ.সা.গু./ল.সা.গু. সম্পর্ক, খ-তে উৎপাদকে বিশ্লেষণ, গ-তে একক রূপান্তর, ঘ-তে অনুপাত সংযোগ।

উত্তর: ক) $140$; খ) দেখানো হলো; গ) $7 : 10$; ঘ) দেখানো হলো

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় নমুনা প্রশ্নের উত্তর নেই; সব নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে।