Class 9-10 Math Chapter 11 (Algebraic Ratio and Proportion) Exercise 11.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• অনুপাত: $p : q = \dfrac{p}{q}$; সমানুপাত: $a : b = c : d$ হলে $ad = bc$; ক্রমিক সমানুপাতী: $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $b^2 = ac$।
• ব্যস্তকরণ: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ হলে $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$। একান্তরকরণ: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$।
• যোজন: $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$। বিয়োজন: $\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d}$। যোজন-বিয়োজন: $\dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d}$।
• সমান অনুপাতের প্রশ্নে $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ ধরে $a = bk, c = dk$ বসানো সবচেয়ে নিরাপদ পদ্ধতি।
• $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$ হলে প্রতিটি অনুপাত $= \dfrac{a + c + e}{b + d + f}$।

অনুশীলনী ১১.১

১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a$ মিটার এবং $b$ মিটার হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:

প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গমিটার

দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b^2$ বর্গমিটার

অনুপাত $= a^2 : b^2$

ব্যাখ্যা: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহুর বর্গ। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $a^2 : b^2$

২. একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, এদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং বর্গের বাহু $s$

শর্ত: $\pi r^2 = s^2$, তাই $s = r\sqrt{\pi}$

বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$, বর্গের পরিসীমা $= 4s = 4r\sqrt{\pi}$

অনুপাত $= \dfrac{2\pi r}{4r\sqrt{\pi}} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{\pi}}$

অর্থাৎ $\pi : 2\sqrt{\pi}$ (সরল করলে $\sqrt{\pi} : 2$)

ব্যাখ্যা: বইয়ের উত্তরমালায় $\pi : 2\sqrt{\pi}$ আছে, আমাদের উত্তরের সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\pi : 2\sqrt{\pi}$

৩. দুইটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4$ এবং এদের ল.সা.গু. $180$। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $3k$ ও $4k$; এদের ল.সা.গু. $= 12k$ (কারণ $3$ ও $4$-এর ল.সা.গু. $12$)

শর্ত: $12k = 180$, তাই $k = 15$

সংখ্যা দুটি $3 \times 15 = 45$ এবং $4 \times 15 = 60$

ব্যাখ্যা: $3$ ও $4$ সহমৌলিক, তাই $3k$ ও $4k$-এর ল.সা.গু. $12k$। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $45$ এবং $60$

৪. একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত $1 : 4$। অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যাকে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ করো।

সমাধান:

অনুপস্থিত $= k$, উপস্থিত $= 4k$, মোট $= 5k$

অনুপস্থিতের হার $= \dfrac{k}{5k} \times 100$

ব্যাখ্যা: মোট সংখ্যা বের করে ভাগ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $20$

৫. একটি দ্রব্য ক্রয় করে $28$ ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক্রয়মূল্য $100$ টাকা ধরি

$28$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= 100 - 28 = 72$ টাকা

অনুপাত $= 72 : 100 = 18 : 25$

ব্যাখ্যা: ক্ষতি হলে বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে কম। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $18 : 25$

৬. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি $70$ বছর। $7$ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল $5 : 2$। $5$ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:

$7$ বছর আগে তাদের বয়সের সমষ্টি $= 70 - 7 \times 2 = 56$ বছর

ঐ সময় অনুপাত $5 : 2$, অর্থাৎ বয়স $5k$ ও $2k$; $7k = 56$, তাই $k = 8$

$7$ বছর আগে পিতার বয়স $40$, পুত্রের $16$

বর্তমানে পিতা $40 + 7 = 47$ বছর, পুত্র $16 + 7 = 23$ বছর (যোগফল $70$, ঠিক আছে)

$5$ বছর পরে পিতা $52$, পুত্র $28$; অনুপাত $= 52 : 28 = 13 : 7$

ব্যাখ্যা: অতীতের সমষ্টি দুইজনের জন্য $7$ বছর করে কমে। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $13 : 7$

৭. যদি $a : b = b : c$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a : b = b : c$, তাই $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$ এবং $b^2 = ac$

ক) $\dfrac{a}{c} = \dfrac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}$

ডান পক্ষ $= \dfrac{a^2 + ac}{ac + c^2}$ [$b^2 = ac$ বসিয়ে]

$= \dfrac{a(a + c)}{c(a + c)} = \dfrac{a}{c}$ = বাম পক্ষ। (প্রমাণিত)

খ) $a^2b^2c^2 \left(\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3} + \dfrac{1}{c^3}\right) = a^3 + b^3 + c^3$

বাম পক্ষ $= \dfrac{b^2c^2}{a} + \dfrac{a^2c^2}{b} + \dfrac{a^2b^2}{c}$

$\dfrac{b^2c^2}{a} = \dfrac{ac \cdot c^2}{a} = c^3$

$\dfrac{a^2c^2}{b} = \dfrac{(ac)^2}{b} = \dfrac{b^4}{b} = b^3$

$\dfrac{a^2b^2}{c} = \dfrac{a^2 \cdot ac}{c} = a^3$

তাই বাম পক্ষ $= c^3 + b^3 + a^3 = a^3 + b^3 + c^3$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

গ) $\dfrac{abc(a + b + c)^3}{(ab + bc + ca)^3} = 1$

$ab + bc + ca = b(a + c) + ac = b(a + c) + b^2 = b(a + b + c)$

হর $= b^3(a + b + c)^3$; লব $= abc(a + b + c)^3 = b \cdot b^2 (a + b + c)^3 = b^3(a + b + c)^3$ [$ac = b^2$]

সুতরাং বাম পক্ষ $= 1$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: তিনটি অংশেই $b^2 = ac$ ব্যবহার করে $a, c$ বা $b$-র সাহায্যে রাশি বদলেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

৮. সমাধান করো:

সমাধান:

ক) $\dfrac{1 - \sqrt{1 - x}}{1 + \sqrt{1 - x}} = \dfrac{1}{3}$

$s = \sqrt{1 - x}$ ধরি; $\dfrac{1 - s}{1 + s} = \dfrac{1}{3}$

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{(1 - s) + (1 + s)}{(1 - s) - (1 + s)} = \dfrac{1 + 3}{1 - 3}$, অর্থাৎ $\dfrac{2}{-2s} = \dfrac{4}{-2}$

$\dfrac{1}{s} = 2$, তাই $s = \dfrac{1}{2}$, অর্থাৎ $\sqrt{1 - x} = \dfrac{1}{2}$

বর্গ করে $1 - x = \dfrac{1}{4}$, তাই $x = \dfrac{3}{4}$

খ) $\dfrac{a + x - \sqrt{a^2 - x^2}}{a + x + \sqrt{a^2 - x^2}} = \dfrac{b}{x}$, $2a > b > 0$ এবং $x \neq 0$

$R = \sqrt{a^2 - x^2}$ ধরি। যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{(a + x - R) + (a + x + R)}{(a + x - R) - (a + x + R)} = \dfrac{b + x}{b - x}$

$\dfrac{2(a + x)}{-2R} = \dfrac{b + x}{b - x}$, তাই $\dfrac{a + x}{R} = \dfrac{x + b}{x - b}$

বর্গ করে $\dfrac{(a + x)^2}{(a + x)(a - x)} = \dfrac{(x + b)^2}{(x - b)^2}$, অর্থাৎ $\dfrac{a + x}{a - x} = \dfrac{(x + b)^2}{(x - b)^2}$

আবার যোজন-বিয়োজন: $\dfrac{2a}{2x} = \dfrac{2x^2 + 2b^2}{4bx}$, অর্থাৎ $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x^2 + b^2}{2bx}$

$x \neq 0$ বলে $2ab = x^2 + b^2$, তাই $x^2 = 2ab - b^2$

$x = \pm \sqrt{2ab - b^2}$

গ) $81 \left(\dfrac{1 - x}{1 + x}\right)^3 = \dfrac{1 + x}{1 - x}$

$r = \dfrac{1 - x}{1 + x}$ ধরি; $81r^3 = \dfrac{1}{r}$, তাই $r^4 = \dfrac{1}{81}$

$r^2 = \dfrac{1}{9}$ (বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক নয়), তাই $r = \dfrac{1}{3}$ অথবা $r = -\dfrac{1}{3}$

$r = \dfrac{1}{3}$ হলে $3(1 - x) = 1 + x$, তাই $x = \dfrac{1}{2}$

$r = -\dfrac{1}{3}$ হলে $3(1 - x) = -(1 + x)$, তাই $3 - 3x = -1 - x$, অর্থাৎ $x = 2$

যাচাই: $x = 2$ হলে $81 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = -3$ এবং $\dfrac{1 + 2}{1 - 2} = -3$; মিলেছে।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি অংশে যোজন-বিয়োজন বা প্রতিস্থাপন করে সরল সমীকরণে এনেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: ক) $\dfrac{3}{4}$; খ) $\pm \sqrt{2ab - b^2}$; গ) $\dfrac{1}{2}, 2$

৯. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে,

সমাধান:

ধরি $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = k$

$c = dk$, $b = ck = dk^2$, $a = bk = dk^3$

ক) $\dfrac{a^3 + b^3}{b^3 + c^3} = \dfrac{b^3 + c^3}{c^3 + d^3}$

$a^3 + b^3 = d^3k^9 + d^3k^6 = d^3k^6(k^3 + 1)$; $b^3 + c^3 = d^3k^6 + d^3k^3 = d^3k^3(k^3 + 1)$; $c^3 + d^3 = d^3(k^3 + 1)$

বাম পক্ষ $= \dfrac{d^3k^6(k^3 + 1)}{d^3k^3(k^3 + 1)} = k^3$

ডান পক্ষ $= \dfrac{d^3k^3(k^3 + 1)}{d^3(k^3 + 1)} = k^3$। দুই পক্ষ সমান। (প্রমাণিত)

খ) $(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2$

$a^2 + b^2 + c^2 = d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2 = d^2k^2(k^4 + k^2 + 1)$

$b^2 + c^2 + d^2 = d^2k^4 + d^2k^2 + d^2 = d^2(k^4 + k^2 + 1)$

বাম পক্ষ $= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$

$ab + bc + cd = d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k = d^2k(k^4 + k^2 + 1)$

ডান পক্ষ $= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$ = বাম পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: $k$ ধরে সবকিছু $d$ ও $k$-এর মাধ্যমে লিখে মিলিয়েছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

১০. $x = \dfrac{4ab}{a + b}$ হলে, দেখাও যে, $\dfrac{x + 2a}{x - 2a} + \dfrac{x + 2b}{x - 2b} = 2$, $a \neq b$।

সমাধান:

$x = \dfrac{4ab}{a + b}$, তাই $\dfrac{x}{2a} = \dfrac{2b}{a + b}$

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{x + 2a}{x - 2a} = \dfrac{2b + (a + b)}{2b - (a + b)} = \dfrac{a + 3b}{b - a}$

আবার $\dfrac{x}{2b} = \dfrac{2a}{a + b}$, তাই $\dfrac{x + 2b}{x - 2b} = \dfrac{2a + (a + b)}{2a - (a + b)} = \dfrac{3a + b}{a - b}$

যোগ করে $\dfrac{a + 3b}{b - a} + \dfrac{3a + b}{a - b} = \dfrac{a + 3b}{b - a} - \dfrac{3a + b}{b - a} = \dfrac{2b - 2a}{b - a} = 2$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: যোজন-বিয়োজন ব্যবহার করলে ভাগফল দ্রুত সরল হয়। এখানে $a \neq b$ বলে $b - a \neq 0$।

উত্তর: দেখানো হলো।

১১. $x = \dfrac{\sqrt[3]{m + 1} + \sqrt[3]{m - 1}}{\sqrt[3]{m + 1} - \sqrt[3]{m - 1}}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $x^3 - 3mx^2 + 3x - m = 0$।

সমাধান:

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{2\sqrt[3]{m + 1}}{2\sqrt[3]{m - 1}} = \dfrac{\sqrt[3]{m + 1}}{\sqrt[3]{m - 1}}$

ঘন করে $\dfrac{(x + 1)^3}{(x - 1)^3} = \dfrac{m + 1}{m - 1}$

আবার যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{(x + 1)^3 + (x - 1)^3}{(x + 1)^3 - (x - 1)^3} = \dfrac{2m}{2} = m$

$(x + 1)^3 + (x - 1)^3 = 2x^3 + 6x$ এবং $(x + 1)^3 - (x - 1)^3 = 6x^2 + 2$

তাই $\dfrac{2x^3 + 6x}{6x^2 + 2} = m$, অর্থাৎ $x^3 + 3x = m(3x^2 + 1)$

$x^3 - 3mx^2 + 3x - m = 0$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ঘনমূল থাকলে প্রথমে $x$ থেকে একটি অনুপাত বানিয়ে ঘন করা হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১২. $x = \dfrac{\sqrt{2a + 3b} + \sqrt{2a - 3b}}{\sqrt{2a + 3b} - \sqrt{2a - 3b}}$ হলে, দেখাও যে, $3bx^2 - 4ax + 3b = 0$।

সমাধান:

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{\sqrt{2a + 3b}}{\sqrt{2a - 3b}}$

বর্গ করে $\dfrac{(x + 1)^2}{(x - 1)^2} = \dfrac{2a + 3b}{2a - 3b}$

আবার যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{(x + 1)^2 + (x - 1)^2}{(x + 1)^2 - (x - 1)^2} = \dfrac{4a}{6b}$

$\dfrac{2x^2 + 2}{4x} = \dfrac{2a}{3b}$, তাই $3b(x^2 + 1) = 4ax$

$3bx^2 - 4ax + 3b = 0$ (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: বর্গমূল থাকলে বর্গ করে দ্বিতীয়বার যোজন-বিয়োজন করা হয়।

উত্তর: দেখানো হলো।

১৩. $\dfrac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \dfrac{(a + b)^2}{(b + c)^2}$ হলে দেখাও যে, $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী।

সমাধান:

আড়গুণন করে $(a^2 + b^2)(b + c)^2 = (a + b)^2(b^2 + c^2)$

বাম পক্ষ $= a^2b^2 + 2a^2bc + a^2c^2 + b^4 + 2b^3c + b^2c^2$

ডান পক্ষ $= a^2b^2 + a^2c^2 + 2ab^3 + 2abc^2 + b^4 + b^2c^2$

বাম পক্ষ - ডান পক্ষ $= 2a^2bc + 2b^3c - 2ab^3 - 2abc^2 = 2b(a^2c + b^2c - ab^2 - ac^2) = 2b(a - c)(ac - b^2) = 0$

$b \neq 0$ এবং $a \neq c$ হওয়ায় $ac - b^2 = 0$, অর্থাৎ $b^2 = ac$

অতএব $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: প্রশ্নের শর্ত $a = c$ হলেও সমীকরণ সত্য, তাই $a \neq c$ ধরা দরকার।

উত্তর: দেখানো হলো।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে $a \neq c$ শর্তটি দেওয়া নেই। $a = c$ হলে দুই পক্ষই $1$ হয় এবং $b^2 = ac$ বাধ্যতামূলক নয়। তাই প্রমাণে $a \neq c$ ধরা হয়েছে।

১৪. $\dfrac{x}{b + c} = \dfrac{y}{c + a} = \dfrac{z}{a + b}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\dfrac{a}{y + z - x} = \dfrac{b}{z + x - y} = \dfrac{c}{x + y - z}$।

সমাধান:

ধরি $\dfrac{x}{b + c} = \dfrac{y}{c + a} = \dfrac{z}{a + b} = k$; তাহলে $x = k(b + c), y = k(c + a), z = k(a + b)$

$y + z - x = k(c + a + a + b - b - c) = 2ka$, তাই $\dfrac{a}{y + z - x} = \dfrac{1}{2k}$

$z + x - y = k(a + b + b + c - c - a) = 2kb$, তাই $\dfrac{b}{z + x - y} = \dfrac{1}{2k}$

$x + y - z = k(b + c + c + a - a - b) = 2kc$, তাই $\dfrac{c}{x + y - z} = \dfrac{1}{2k}$

তিনটি অনুপাতই $\dfrac{1}{2k}$, অর্থাৎ সমান। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: $k$ বসালে প্রতিটি অনুপাতই $\dfrac{1}{2k}$ হয়ে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৫. $\dfrac{bz - cy}{a} = \dfrac{cx - az}{b} = \dfrac{ay - bx}{c}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$।

সমাধান:

ধরি প্রতিটি অনুপাত $= k$; $bz - cy = ak$, $cx - az = bk$, $ay - bx = ck$

প্রথমটিকে $a$, দ্বিতীয়টিকে $b$, তৃতীয়টিকে $c$ দিয়ে গুণ করে যোগ করি:

বাম পক্ষ $= abz - acy + bcx - abz + acy - bcx = 0$

ডান পক্ষ $= k(a^2 + b^2 + c^2)$

$a^2 + b^2 + c^2 \neq 0$ হওয়ায় $k = 0$

তাই $bz = cy$ এবং $cx = az$, অর্থাৎ $\dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$ এবং $\dfrac{x}{a} = \dfrac{z}{c}$

সুতরাং $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি সমীকরণকে একটি করে বাহু দিয়ে গুণ করে যোগ করলে ডান পক্ষে বাকি পদ কাটা যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৬. $\dfrac{a + b - c}{a + b} = \dfrac{b + c - a}{b + c} = \dfrac{c + a - b}{c + a}$ এবং $a + b + c \neq 0$ হলে, প্রমাণ করো যে, $a = b = c$।

সমাধান:

প্রতিটি অনুপাত $1$ থেকে বিয়োগ করে পাই: $1 - \dfrac{c}{a + b} = 1 - \dfrac{a}{b + c} = 1 - \dfrac{b}{c + a}$

তাই $\dfrac{c}{a + b} = \dfrac{a}{b + c} = \dfrac{b}{c + a} = m$ (ধরি)

সমান অনুপাতের ধর্মে $m = \dfrac{a + b + c}{2(a + b + c)} = \dfrac{1}{2}$ [$a + b + c \neq 0$]

তাই $2c = a + b$, $2a = b + c$, $2b = c + a$

প্রথম দুটি বিয়োগ করে $2c - 2a = a - c$, অর্থাৎ $3(c - a) = 0$, তাই $a = c$

$2c = a + b$ থেকে $2a = a + b$, অর্থাৎ $a = b$

সুতরাং $a = b = c$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি অনুপাতকে $m$ ধরে $a, b, c$-এর সম্পর্ক বের করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৭. $\dfrac{x}{xa + yb + zc} = \dfrac{y}{ya + zb + xc} = \dfrac{z}{za + xb + yc}$ এবং $x + y + z \neq 0$ হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত $= \dfrac{1}{a + b + c}$।

সমাধান:

ধরি প্রতিটি অনুপাত $= k$

সমান অনুপাতের ধর্মে $k = \dfrac{x + y + z}{(xa + yb + zc) + (ya + zb + xc) + (za + xb + yc)}$

হর $= a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z) = (a + b + c)(x + y + z)$

$k = \dfrac{x + y + z}{(a + b + c)(x + y + z)} = \dfrac{1}{a + b + c}$ [$x + y + z \neq 0$]

অতএব প্রতিটি অনুপাত $= \dfrac{1}{a + b + c}$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: হরগুলো যোগ করলে প্রতিটি $x, y, z$-এর সহগে $a, b, c$ একবার করে আসে।

উত্তর: দেখানো হলো।

১৮. যদি $(a + b + c)p = (b + c - a)q = (c + a - b)r = (a + b - c)s$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{p}$।

সমাধান:

ধরি প্রতিটি রাশি $= k$

$(a + b + c)p = k$ হলে $\dfrac{1}{p} = \dfrac{a + b + c}{k}$

$(b + c - a)q = k$ হলে $\dfrac{1}{q} = \dfrac{b + c - a}{k}$; এভাবে $\dfrac{1}{r} = \dfrac{c + a - b}{k}$, $\dfrac{1}{s} = \dfrac{a + b - c}{k}$

বাম পক্ষ $= \dfrac{(b + c - a) + (c + a - b) + (a + b - c)}{k} = \dfrac{a + b + c}{k} = \dfrac{1}{p}$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি রাশির ব্যস্ত বের করে যোগ করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৯. যদি $lx = my = nz$ হয়, তবে দেখাও যে, $\dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{y^2}{zx} + \dfrac{z^2}{xy} = \dfrac{mn}{l^2} + \dfrac{nl}{m^2} + \dfrac{lm}{n^2}$।

সমাধান:

ধরি $lx = my = nz = k$, তাই $x = \dfrac{k}{l}, y = \dfrac{k}{m}, z = \dfrac{k}{n}$

$\dfrac{x^2}{yz} = \dfrac{k^2/l^2}{k^2/(mn)} = \dfrac{mn}{l^2}$

একইভাবে $\dfrac{y^2}{zx} = \dfrac{nl}{m^2}$ এবং $\dfrac{z^2}{xy} = \dfrac{lm}{n^2}$

যোগ করে $\dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{y^2}{zx} + \dfrac{z^2}{xy} = \dfrac{mn}{l^2} + \dfrac{nl}{m^2} + \dfrac{lm}{n^2}$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $k$ বসালে প্রতিটি ভগ্নাংশ আলাদাভাবে সরল হয়ে যায়।

উত্তর: দেখানো হলো।

২০. যদি $\dfrac{p}{q} = \dfrac{a^2}{b^2}$ এবং $\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sqrt{a + q}}{\sqrt{a - q}}$ হয়, তবে দেখাও যে, $\dfrac{p + q}{a} = \dfrac{p - q}{q}$।

সমাধান:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sqrt{a + q}}{\sqrt{a - q}}$; বর্গ করে $\dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a + q}{a - q}$

$\dfrac{p}{q} = \dfrac{a^2}{b^2}$ বলে $\dfrac{p}{q} = \dfrac{a + q}{a - q}$

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{p + q}{p - q} = \dfrac{(a + q) + (a - q)}{(a + q) - (a - q)} = \dfrac{2a}{2q} = \dfrac{a}{q}$

আড়গুণন করে $q(p + q) = a(p - q)$, তাই $\dfrac{p + q}{a} = \dfrac{p - q}{q}$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: এখানে দুটি শর্ত মিলিয়ে $\dfrac{p}{q} = \dfrac{a + q}{a - q}$ পাই, তারপর যোজন-বিয়োজন।

উত্তর: দেখানো হলো।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় এই অনুশীলনীর ৭ ও ৯–২০ নং প্রশ্নের (প্রমাণ জাতীয় বলে) উত্তর নেই; সব প্রমাণ নিজে যাচাই করা হয়েছে।