Class 9-10 Math Chapter 10 (Distance and Elevation) Exercise 10 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• ভূ-রেখা (শয়নরেখা): ভূমির সমান্তরাল রেখা। উর্ধ্বরেখা (উল্লম্বরেখা): ভূমির উপর লম্ব রেখা। উল্লম্বতল: ভূ-রেখা ও উর্ধ্বরেখা যে তল তৈরি করে।
• উন্নতি কোণ: ভূ-রেখার উপরে থাকা কোনো বিন্দুর দিকে তাকালে দৃষ্টিরেখা ভূ-রেখার সাথে যে কোণ করে। অবনতি কোণ: ভূ-রেখার নিচে থাকা বিন্দুর দিকে তাকালে যে কোণ হয়। (একান্তর কোণ বলে অবনতি কোণ = সংশ্লিষ্ট উন্নতি কোণ)
• সমকোণী ত্রিভুজে $\sin \theta = \dfrac{লম্ব}{অতিভুজ}$, $\cos \theta = \dfrac{ভূমি}{অতিভুজ}$, $\tan \theta = \dfrac{লম্ব}{ভূমি}$।
• সুবিধাজনক মান: $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$, $\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45\degree = 1$, $\tan 60\degree = \sqrt{3}$।
• $30\degree$ কোণে ভূমি > লম্ব, $45\degree$-এ ভূমি = লম্ব, $60\degree$-এ ভূমি < লম্ব হয়, এটি দিয়ে চিত্র ঠিক হয়েছে কি না যাচাই করা যায়।

অনুশীলনী ১০

1. একটি দণ্ডের দৈর্ঘ্যের বর্গ তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের বর্গের এক তৃতীয়াংশ হলে, ছায়ার প্রান্ত বিন্দুতে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

ক) 15°     খ) 30°     গ) 45°     ঘ) 60°

সমাধান:

দণ্ডের দৈর্ঘ্য $h$, ছায়া $s$; শর্ত: $h^2 = \dfrac{1}{3}s^2$

$\dfrac{h^2}{s^2} = \dfrac{1}{3}$, তাই $\dfrac{h}{s} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

উন্নতি কোণ $\theta$ হলে $\tan \theta = \dfrac{h}{s} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$, অতএব $\theta = 30\degree$

ব্যাখ্যা: দণ্ড ও ছায়ার অনুপাতই সূর্যের উন্নতি কোণের $\tan$।

উত্তর: খ) 30°

2. পাশের চিত্রে $x$-এর মান নিচের কোনটি?

ক) $\dfrac{\sqrt{3}}{60}$     খ) $\dfrac{60}{\sqrt{3}}$     গ) $60\sqrt{2}$     ঘ) $60\sqrt{3}$

সমাধান:

চিত্রে $\angle BCD = 60\degree, BD = 60$ মি., $CB = x$ মি. এবং $\angle B = 90\degree$

$\tan 60\degree = \dfrac{BD}{CB}$, অর্থাৎ $\sqrt{3} = \dfrac{60}{x}$

$x = \dfrac{60}{\sqrt{3}}$

ব্যাখ্যা: $60\degree$ কোণের বিপরীত বাহু $BD$, সন্নিহিত বাহু $x$।

উত্তর: খ) $\dfrac{60}{\sqrt{3}}$

3. পাশের চিত্রে $O$ বিন্দুতে $P$ বিন্দুর উন্নতি কোণ কোনটি?

ক) $\angle QOB$     খ) $\angle POA$     গ) $\angle QOA$     ঘ) $\angle POB$

সমাধান:

উন্নতি কোণ হলো ভূ-রেখা $AB$ ও দৃষ্টিরেখা $OP$-এর মধ্যবর্তী কোণ, যা $P$-এর দিকে ভূ-রেখার যে পাশে $P$ আছে সে পাশে মাপা হয়।

$P$ বিন্দু $O$-এর বাম দিকে, তাই কোণটি $OP$ ও $OA$-এর মাঝে: $\angle POA$।

ব্যাখ্যা: চিত্রে $P$ বাম দিকে ও $Q$ ডান দিকে উপরে আছে। কাজেই $P$-এর উন্নতি কোণ $\angle POA$ এবং $Q$-এর $\angle QOB$।

উত্তর: খ) $\angle POA$

4. অবনতি কোণের মান কত ডিগ্রি হলে, একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

ক) 30°     খ) 45°     গ) 60°     ঘ) 90°

সমাধান:

খুঁটির দৈর্ঘ্য = ছায়ার দৈর্ঘ্য হলে $\tan \theta = \dfrac{খুঁটি}{ছায়া} = 1$

$\tan 45\degree = 1$, তাই $\theta = 45\degree$

ব্যাখ্যা: অবনতি কোণ ও সংশ্লিষ্ট উন্নতি কোণ সমান (একান্তর কোণ), তাই উন্নতি কোণ নির্ণয় করলেই হলো।

উত্তর: খ) 45°

৫. একটি মিনারের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে মিনারটির শীর্ষের উন্নতি কোণ $30\degree$ এবং মিনারটির উচ্চতা $26$ মিটার হলে, মিনার থেকে ঐ স্থানটির দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, মিনার $AB = 26$ মিটার, স্থান $C$ থেকে দূরত্ব $BC = x$ মিটার, $\angle ACB = 30\degree$

সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে $\tan 30\degree = \dfrac{AB}{BC}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{26}{x}$

$x = 26\sqrt{3} = 26 \times 1.7320508 = 45.033$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: উন্নতি কোণের $\tan$ = উচ্চতা ÷ দূরত্ব। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: দূরত্ব $45.033$ মিটার (প্রায়)

৬. একটি গাছের পাদদেশ থেকে $20$ মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ $60\degree$ হলে, গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, গাছের উচ্চতা $AB = h$ মিটার, $BC = 20$ মিটার, $\angle ACB = 60\degree$

$\tan 60\degree = \dfrac{AB}{BC}$, তাই $\sqrt{3} = \dfrac{h}{20}$

$h = 20\sqrt{3} = 34.641$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: গাছটির উচ্চতা $34.641$ মিটার (প্রায়)

৭. $18$ মিটার দৈর্ঘ্য একটি মই ভূমির সাথে $45\degree$ কোণ উৎপন্ন করে দেওয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, দেওয়ালের উচ্চতা $AB = h$ মিটার, মই $AC = 18$ মিটার, $\angle ACB = 45\degree$

$\sin 45\degree = \dfrac{AB}{AC}$, তাই $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{h}{18}$

$h = \dfrac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2} = 12.728$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: মই অতিভুজ, তাই $\sin$ ব্যবহার করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: দেওয়ালের উচ্চতা $12.728$ মিটার (প্রায়)

৮. একটি ঘরের ছাদের কোনো বিন্দু থেকে ঐ বিন্দু থেকে $20$ মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ $30\degree$ হলে, ঘরটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, ছাদের বিন্দু $A$, ঘরের উচ্চতা $AB = h$ মিটার, ভূতলের বিন্দু $C$ এবং $AC = 20$ মিটার

অবনতি কোণ $\angle DAC = 30\degree$; একান্তর কোণ বলে $\angle ACB = 30\degree$

$\sin 30\degree = \dfrac{AB}{AC}$, তাই $\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{20}$

$h = 10$

ব্যাখ্যা: এখানে $20$ মিটার হলো সরাসরি দৃষ্টিরেখার দূরত্ব (অতিভুজ)। উত্তরমালার $10$ মিটারের সাথে মিলেছে।

উত্তর: ঘরটির উচ্চতা $10$ মিটার

৯. ভূতলে কোনো স্থানে একটি স্তম্ভের শীর্ষের উন্নতি কোণ $60\degree$। ঐ স্থান থেকে $25$ মিটার পিছিয়ে গেলে স্তম্ভটির উন্নতি কোণ $30\degree$ হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, স্তম্ভ $AB = h$ মিটার, প্রথম স্থান $C$, $BC = x$ মিটার, $CD = 25$ মিটার, $\angle ACB = 60\degree, \angle ADB = 30\degree$

$\triangle ABC$ থেকে $\tan 60\degree = \dfrac{h}{x}$, তাই $x = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$। (১)

$\triangle ABD$ থেকে $\tan 30\degree = \dfrac{h}{x + 25}$, তাই $x + 25 = \sqrt{3}h$। (২)

(১) থেকে $x$ বসিয়ে $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + 25 = \sqrt{3}h$

$h + 25\sqrt{3} = 3h$, তাই $2h = 25\sqrt{3}$

$h = \dfrac{25\sqrt{3}}{2} = 21.651$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: দুটি ত্রিভুজ থেকে দুটি সমীকরণ করে $x$ বাদ দিয়েছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: স্তম্ভের উচ্চতা $21.651$ মিটার (প্রায়)

১০. কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে $60$ মিটার এগিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি $45\degree$ থেকে $60\degree$ হয়। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, মিনার $AB = h$ মিটার, প্রথম স্থান $D$, $BD = d$ মিটার; $60$ মিটার এগিয়ে $C$ স্থানে এলে $CD = 60$, $BC = d - 60$

$\angle ADB = 45\degree, \angle ACB = 60\degree$

$\triangle ABD$ থেকে $\tan 45\degree = \dfrac{h}{d}$, তাই $h = d$। (১)

$\triangle ABC$ থেকে $\tan 60\degree = \dfrac{h}{d - 60}$, তাই $h = \sqrt{3}(d - 60)$। (২)

(১) ও (২) থেকে $d = \sqrt{3}d - 60\sqrt{3}$, অর্থাৎ $(\sqrt{3} - 1)d = 60\sqrt{3}$

$d = \dfrac{60\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{60\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2} = 90 + 30\sqrt{3} = 141.962$ (প্রায়)

(১) থেকে $h = d = 141.962$

ব্যাখ্যা: $45\degree$-তে উচ্চতা ও দূরত্ব সমান, তাই $h = d$ দিয়ে শুরু করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: মিনারের উচ্চতা $141.962$ মিটার (প্রায়)

১১. একটি নদীর তীর কোনো এক স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসুজি অপর তীরে অবস্থিত একটি টাওয়ারের উন্নতি কোণ $60\degree$। ঐ স্থান থেকে $32$ মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ $30\degree$ হয়। টাওয়ারের উচ্চতা এবং নদীর বিস্তার নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, টাওয়ার $AB = h$ মিটার, নদীর বিস্তার $BC = x$ মিটার, $CD = 32$ মিটার; $\angle ACB = 60\degree, \angle ADB = 30\degree$

$\triangle ABC$ থেকে $\tan 60\degree = \dfrac{h}{x}$, তাই $h = \sqrt{3}x$। (১)

$\triangle ABD$ থেকে $\tan 30\degree = \dfrac{h}{x + 32}$, তাই $x + 32 = \sqrt{3}h$। (২)

(১) থেকে $h$ বসিয়ে $x + 32 = \sqrt{3} \times \sqrt{3}x = 3x$

$2x = 32$, তাই $x = 16$

$h = \sqrt{3} \times 16 = 16\sqrt{3} = 27.713$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: নদীর বিস্তার $BC$ এবং টাওয়ারের উচ্চতা $AB$। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা $27.713$ মিটার (প্রায়); নদীর বিস্তার $16$ মিটার

১২. $64$ মিটার লম্বা একটি খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে $60\degree$ উৎপন্ন করে। খুঁটিটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, খুঁটি $B$ বিন্দুতে ভূমিতে দাঁড়ানো, $C$ বিন্দুতে ভেঙে $D$ বিন্দুতে ভূমি স্পর্শ করেছে।

$BC = x$ মিটার (দণ্ডায়মান অংশ), $CD = y$ মিটার (ভাঙা অংশ), $x + y = 64$। (১)

$\angle CDB = 60\degree$; $\triangle BCD$ থেকে $\sin 60\degree = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{x}{y}$

$x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}y$। (২)

(১)-এ বসিয়ে $\dfrac{\sqrt{3}}{2}y + y = 64$, অর্থাৎ $y \left(\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}\right) = 64$

$y = \dfrac{128}{2 + \sqrt{3}} = 128(2 - \sqrt{3}) = 34.298$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: ভাঙা অংশ অতিভুজ, দণ্ডায়মান অংশ লম্ব। $\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ দিয়ে মূলদীকরণ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $34.298$ মিটার (প্রায়)

১৩. একটি গাছ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30\degree$ কোণ করে গাছের গোড়া থেকে $12$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, গাছ $AB$, $C$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $CD$ হয়ে $D$ বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে। $BD = 12$ মিটার, $\angle BCD = 30\degree$

$\triangle BCD$ থেকে $\tan 30\degree = \dfrac{BD}{BC}$, তাই $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{12}{BC}$

$BC = 12\sqrt{3}$

$\sin 30\degree = \dfrac{BD}{CD}$, তাই $\dfrac{1}{2} = \dfrac{12}{CD}$, অর্থাৎ $CD = 24$

গাছের দৈর্ঘ্য $AB = BC + CD = 12\sqrt{3} + 24 = 20.785 + 24 = 44.785$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $CD$ ও দণ্ডায়মান অংশ $BC$-এর যোগফলই পুরো গাছের উচ্চতা। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: গাছের দৈর্ঘ্য $44.785$ মিটার (প্রায়)

১৪. চিত্রে, $CD = 96$ মিটার।

সমাধান:

ক) $\angle CAD$-এর ডিগ্রি পরিমাপ নির্ণয়

চিত্র অনুযায়ী $\angle ACB = 60\degree$ এবং $\angle ADC = 30\degree$

$\angle ACB$ হলো $\triangle ACD$-এর বহিঃস্থ কোণ, তাই $\angle ACB = \angle CAD + \angle ADC$

$\angle CAD = 60\degree - 30\degree = 30\degree$

খ) $BC$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

$\angle CAD = \angle ADC = 30\degree$, তাই $AC = CD = 96$ মিটার

$\triangle ABC$-এ $\cos 60\degree = \dfrac{BC}{AC}$, তাই $BC = 96 \times \dfrac{1}{2} = 48$ মিটার

গ) $\triangle ACD$-এর পরিসীমা নির্ণয়

$AB = AC \sin 60\degree = 96 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3}$, $BD = BC + CD = 48 + 96 = 144$

$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{6912 + 20736} = \sqrt{27648} = 96\sqrt{3}$

পরিসীমা $= AC + CD + AD = 96 + 96 + 96\sqrt{3} = 192 + 96\sqrt{3} = 358.28$ (প্রায়) মিটার

ব্যাখ্যা: ক-তে বহিঃস্থ কোণের ধর্ম, খ-তে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও $\cos$, গ-তে পিথাগোরাস ব্যবহার হয়েছে।

উত্তর: ক) $30\degree$; খ) $48$ মিটার; গ) $358.28$ মিটার (প্রায়)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ১–৪ ও ১৪ নং প্রশ্নের উত্তর নেই; নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে। ৮ নং প্রশ্নে "২০ মিটার দূরের" বলতে দৃষ্টিরেখার দূরত্ব ধরা হয়েছে, কারণ তাতেই উত্তরমালার ১০ মিটার আসে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. ভূ-রেখার অপর নাম কী?

ক) লম্বরেখা     খ) সমান্তরাল রেখা     গ) শয়নরেখা     ঘ) ঊর্ধ্বরেখা

সমাধান:

ভূমির সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখাকে ভূ-রেখা বা শয়নরেখা বলে।

ব্যাখ্যা: ঊর্ধ্বরেখা বা লম্বরেখা হলো ভূমির উপর লম্ব রেখা, যা ভূ-রেখা থেকে আলাদা।

উত্তর: গ) শয়নরেখা

2. পাশের চিত্রে— (i) $\angle DAC$ অবনতি কোণ (ii) $\angle ACB$ উন্নতি কোণ (iii) $\angle DAC = \angle ACB$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) ii ও iii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$AD$ ভূমির সমান্তরাল এবং $A$ থেকে নিচের $C$-কে দেখলে $\angle DAC$ অবনতি কোণ। (i) সত্য।

$C$ থেকে উপরের $A$-কে দেখলে $\angle ACB$ উন্নতি কোণ। (ii) সত্য।

$AD \parallel CB$ এবং $AC$ ছেদক হওয়ায় $\angle DAC = \angle ACB$ (একান্তর কোণ)। (iii) সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটি উক্তিই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

3. পাশের চিত্র অনুযায়ী $BC$-এর দৈর্ঘ্য হবে?

ক) $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ মিটার     খ) 4 মিটার     গ) $4\sqrt{2}$ মিটার     ঘ) $4\sqrt{3}$ মিটার

সমাধান:

চিত্রে $\angle B = 90\degree, \angle C = 60\degree, AC = 8$ মিটার

$\cos 60\degree = \dfrac{BC}{AC}$, তাই $\dfrac{1}{2} = \dfrac{BC}{8}$

$BC = 4$ মিটার

ব্যাখ্যা: ভূমি $BC$ আর অতিভুজ $AC$-এর সম্পর্ক $\cos$ দিয়ে পাই।

উত্তর: খ) 4 মিটার

4. পাশের চিত্র অনুযায়ী $AB$-এর দৈর্ঘ্য হবে?

ক) $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ মিটার     খ) 4 মিটার     গ) $4\sqrt{2}$ মিটার     ঘ) $4\sqrt{3}$ মিটার

সমাধান:

$\sin 60\degree = \dfrac{AB}{AC}$, তাই $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{AB}{8}$

$AB = 4\sqrt{3}$ মিটার

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $AB^2 = 64 - 16 = 48$, তাই $AB = 4\sqrt{3}$।

উত্তর: ঘ) $4\sqrt{3}$ মিটার

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. দৃশ্যকল্প ১: $16$ মিটার দীর্ঘ একটি মইকে লম্বভাবে দণ্ডায়মান $15$ মিটার উঁচু একটি দেওয়ালের শীর্ষবিন্দু থেকে কিছুটা নিচে ঠেস দিয়ে রাখা হলো। মইটি ভূমির সাথে $60\degree$ কোণ উৎপন্ন করে। দৃশ্যকল্প ২: ঝড়ে একটি গাছ এমনভাবে ভেঙে গেল যেন ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $60\degree$ কোণ করে গাছের গোড়া থেকে $7$ মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করে।

সমাধান:

ক) ভূ-রেখা ও উল্লম্বরেখা অঙ্কন করে উল্লম্বতল দেখাও

নিচের চিত্রে $PQ$ ভূ-রেখা, $QR$ উল্লম্বরেখা (যা $PQ$-এর উপর লম্ব) এবং এ দুটি রেখা দিয়ে তৈরি তল $PQRS$ হলো উল্লম্বতল।

খ) মইটিকে দেওয়ালের শীর্ষ থেকে কত মিটার নিচে ঠেস দিয়ে রাখা হয়েছিল

মনে করি, দেওয়াল $AB = 15$ মিটার, মই $CD = 16$ মিটার, $C$ বিন্দু দেওয়ালে ঠেস দেওয়া, $\angle CDB = 60\degree$

$\sin 60\degree = \dfrac{BC}{CD}$, তাই $BC = 16 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} = 13.856$ মিটার

শীর্ষ থেকে নিচে $AC = AB - BC = 15 - 8\sqrt{3} = 15 - 13.856 = 1.144$ মিটার (প্রায়)

গ) সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয়

$BD = 7$ মিটার, $\angle BCD = 60\degree$; $\triangle BCD$ থেকে $\tan 60\degree = \dfrac{BD}{BC}$, তাই $BC = \dfrac{7}{\sqrt{3}}$

$\sin 60\degree = \dfrac{BD}{CD}$, তাই $CD = \dfrac{7}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$

গাছের দৈর্ঘ্য $= BC + CD = \dfrac{7}{\sqrt{3}} + \dfrac{14}{\sqrt{3}} = \dfrac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} = 12.124$ মিটার (প্রায়)

ব্যাখ্যা: খ-তে মই অতিভুজ বলে $\sin$, গ-তে দণ্ডায়মান ও ভাঙা অংশ যোগ করেছি।

উত্তর: ক) উল্লম্বতল $PQRS$; খ) $1.144$ মিটার (প্রায়); গ) $7\sqrt{3} = 12.124$ মিটার (প্রায়)

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

সমাধান:

ক) ভূতলে অবস্থিত $P$ বিন্দুতে ভূমির উপরে থাকা $O$ বিন্দুর উন্নতি কোণ চিত্র অঙ্কন করে চিহ্নিত করো

$P$ বিন্দু থেকে ভূমির সমান্তরাল ভূ-রেখা $PQ$ আঁকি এবং $O$ বিন্দুতে $P$-এর সংযোজক রেখা $PO$ আঁকি।

$PQ$ ও $PO$-এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle OPQ = \theta$ হলো $P$ বিন্দুতে $O$-এর উন্নতি কোণ (চিত্রে লাল চিহ্নিত)।

খ) একটি খুঁটির উচ্চতা এর ছায়ার দৈর্ঘ্যের $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয়

খুঁটির উচ্চতা $h$, ছায়া $s$, তাই $h = \dfrac{1}{\sqrt{3}}s$

উন্নতি কোণ $\theta$ হলে $\tan \theta = \dfrac{h}{s} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$

$\theta = 30\degree$

গ) $3$ মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে $60\degree$ কোণ উৎপন্ন করে দেওয়ালের শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে আছে; দেওয়ালের উচ্চতা নির্ণয়

দেওয়ালের উচ্চতা $AB = h$ মিটার, মই $AC = 3$ মিটার, $\angle ACB = 60\degree$

$\sin 60\degree = \dfrac{AB}{AC}$, তাই $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{3}$

$h = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 2.598$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: প্রশ্নের তিনটি অংশ আলাদা: ক-তে শুধু চিত্র, খ-তে $\tan$, গ-তে $\sin$ ব্যবহার করেছি।

উত্তর: ক) চিত্র দেখো; খ) $30\degree$; গ) $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 2.598$ মিটার (প্রায়)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় নমুনা প্রশ্নের উত্তর নেই; সব নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে।