Class 9-10 Math - Chapter 1 (Real Numbers) Exercise 1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• মূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ (q ≠ 0, p ও q পূর্ণসংখ্যা) আকারে লেখা যায়। সসীম দশমিক ও আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা মূলদ।
• অমূলদ সংখ্যা: যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় না। অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা অমূলদ, যেমন $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$।
• শুধু আবৃত্ত দশমিক → ভগ্নাংশ: আবৃত্ত অংশ ÷ (আবৃত্ত অঙ্ক যতটি, ততটি ৯)। যেমন $0.\dot{3}\dot{5} = \frac{35}{99}$।
• মিশ্র আবৃত্ত দশমিক → ভগ্নাংশ: (অনাবৃত্ত ও আবৃত্ত অঙ্ক মিলিয়ে সংখ্যা − অনাবৃত্ত অঙ্কের সংখ্যা) ÷ (আবৃত্ত অঙ্ক যতটি ততটি ৯, তার পরে অনাবৃত্ত অঙ্ক যতটি ততটি ০)।
• সদৃশ আবৃত্ত দশমিক: যাদের অনাবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যা সমান এবং আবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যাও সমান।
• পূর্ণবর্গ সংখ্যা: কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ, যেমন 1, 4, 9, 16 …

অনুশীলনী-১

১. নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

ক) $0.\dot{3}$     খ) $\sqrt{\frac{16}{9}}$     গ) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$     ঘ) $\frac{5}{\sqrt{3}}$

সমাধান:

$0.\dot{3} = \frac{1}{3}$

$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

$\frac{5}{\sqrt{3}}$

ব্যাখ্যা: ক, খ ও গ—তিনটিকেই $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায়, তাই এরা মূলদ। কিন্তু $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা, আর কোনো মূলদ সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল অমূলদই হয়। তাই $\frac{5}{\sqrt{3}}$ অমূলদ।

উত্তর: ঘ) $\frac{5}{\sqrt{3}}$

২. a, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?

ক) abcd     খ) ab + cd     গ) abcd + 1     ঘ) abcd − 1

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা চারটি $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3$

$abcd + 1 = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

$= n(n+3)\,(n+1)(n+2) + 1$

$= (n^2+3n)(n^2+3n+2) + 1$

$n^2+3n = k$ ধরলে,

$= k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$

$= (n^2+3n+1)^2$

ব্যাখ্যা: চারটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে সবসময় একটি পূর্ণসংখ্যার বর্গ পাওয়া যায়। উদাহরণ: $1\times2\times3\times4 + 1 = 25 = 5^2$।

উত্তর: গ) $abcd + 1$

৩. 1 থেকে 10 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক) 3     খ) 4     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

$2,\ 3,\ 5,\ 7$

ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যা হলো যে সংখ্যার শুধু দুটি গুণনীয়ক আছে—1 ও সংখ্যাটি নিজে। 1 মৌলিক নয় (এর গুণনীয়ক একটিই)। 4, 6, 8, 9, 10 বিভাজ্য, তাই মৌলিক নয়। তাই মৌলিক সংখ্যা 4টি।

উত্তর: খ) 4

৪. a ও b দুইটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a^2+b^2$ এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) $-ab$     খ) $ab$     গ) $2ab$     ঘ) $\frac{ab}{2}$

সমাধান:

$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$

ব্যাখ্যা: বীজগণিতের সূত্র $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$। তাই $a^2+b^2$ এর সাথে $2ab$ যোগ করলেই পূর্ণবর্গ $(a+b)^2$ হয়।

উত্তর: গ) $2ab$

৫. প্রমাণ করো যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ।

ক) $\sqrt{5}$     খ) $\sqrt{7}$     গ) $\sqrt{10}$

সমাধান:

ক) মনে করি, $\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$, যেখানে p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক (কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই)।

$5 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 5q^2$

সুতরাং $p^2$ সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য। 5 মৌলিক সংখ্যা, তাই p-ও 5 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি, $p = 5k$

$(5k)^2 = 5q^2 \Rightarrow 25k^2 = 5q^2 \Rightarrow q^2 = 5k^2$

সুতরাং $q^2$, তাই q-ও 5 দ্বারা বিভাজ্য।

p ও q উভয়েই 5 দ্বারা বিভাজ্য—এটি “p, q সহমৌলিক” ধারণার বিরোধী। অতএব $\sqrt{5}$ মূলদ নয়, অর্থাৎ অমূলদ।

খ) মনে করি, $\sqrt{7}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে $\sqrt{7} = \frac{p}{q}$, যেখানে p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক (কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই)।

$7 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 7q^2$

সুতরাং $p^2$ সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য। 7 মৌলিক সংখ্যা, তাই p-ও 7 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি, $p = 7k$

$(7k)^2 = 7q^2 \Rightarrow 49k^2 = 7q^2 \Rightarrow q^2 = 7k^2$

সুতরাং $q^2$, তাই q-ও 7 দ্বারা বিভাজ্য।

p ও q উভয়েই 7 দ্বারা বিভাজ্য—এটি “p, q সহমৌলিক” ধারণার বিরোধী। অতএব $\sqrt{7}$ মূলদ নয়, অর্থাৎ অমূলদ।

গ) মনে করি, $\sqrt{10}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে $\sqrt{10} = \frac{p}{q}$, যেখানে p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক (কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই)।

$10 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 10q^2$

সুতরাং $p^2$ সংখ্যাটি 2 দ্বারা এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য। 2 ও 5 মৌলিক, তাই p-ও 2 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ p, 10 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি, $p = 10k$

$(10k)^2 = 10q^2 \Rightarrow 100k^2 = 10q^2 \Rightarrow q^2 = 10k^2$

সুতরাং $q^2$, তাই q-ও 10 দ্বারা বিভাজ্য।

p ও q উভয়েই 10 দ্বারা বিভাজ্য—এটি “p, q সহমৌলিক” ধারণার বিরোধী। অতএব $\sqrt{10}$ মূলদ নয়, অর্থাৎ অমূলদ।

ব্যাখ্যা: এটিকে বলে বিরোধ পদ্ধতিতে প্রমাণ। প্রথমে ধরে নিই সংখ্যাটি মূলদ, তারপর হিসাব করে দেখাই এতে অসম্ভব একটি ফল (p, q দুটিই 5 দ্বারা বিভাজ্য অথচ আমরা ধরেছিলাম তাদের কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই) পাওয়া যায়। তাই আমাদের ধারণা ভুল—সংখ্যাটি অমূলদ।

৬. ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান:

$0.12^2 = 0.0144,\quad 0.31^2 = 0.0961$

$0.0144 < 0.05 < 0.06 < 0.0961$

$0.12 < \sqrt{0.05} < \sqrt{0.06} < 0.31$

$\sqrt{0.05} = 0.2236\ldots$

$\sqrt{0.06} = 0.2449\ldots$

ব্যাখ্যা: 0.12 ও 0.31-এর বর্গ বের করে এমন দুটি সংখ্যা বেছে নিলাম, যেগুলো এই দুই বর্গের মাঝখানে আছে এবং যাদের বর্গমূল মূলদ নয়। তাই $\sqrt{0.05}$ ও $\sqrt{0.06}$ অমূলদ এবং 0.12 ও 0.31-এর মাঝে অবস্থিত।

উত্তর: $\sqrt{0.05}$ ও $\sqrt{0.06}$ (অন্য উত্তরও হতে পারে)

৬. খ) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\sqrt{2}$ এর মধ্যে একটি মূলদ এবং একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.7071\ldots$

$\sqrt{2} = 1.4142\ldots$

$0.7071\ldots < 1 < 1.4142\ldots$

$\left(\sqrt{1.5}\right)^2 = 1.5$

$0.7071\ldots < \sqrt{1.5} = 1.2247\ldots < 1.4142\ldots$

ব্যাখ্যা: দুই সংখ্যার দশমিক মান বের করে দেখলাম, 1 তাদের মাঝে আছে এবং 1 একটি মূলদ সংখ্যা। আবার $\sqrt{1.5}$ (≈ 1.2247) ও মাঝে আছে এবং 1.5 কোনো মূলদ সংখ্যার বর্গ নয়, তাই $\sqrt{1.5}$ অমূলদ।

উত্তর: মূলদ সংখ্যা 1 এবং অমূলদ সংখ্যা $\sqrt{1.5}$ (অন্য উত্তরও হতে পারে)

৭. প্রমাণ করো যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধান:

ধরি, ক্রমিক জোড় সংখ্যা দুইটি $2n$ ও $2n+2$ (n একটি পূর্ণসংখ্যা)।

$2n(2n+2) = 4n(n+1)$

n ও n+1 ক্রমিক দুইটি সংখ্যা, এদের একটি অবশ্যই জোড়। তাই $n(n+1) = 2k$ (k পূর্ণসংখ্যা)।

$4n(n+1) = 4 \times 2k = 8k$

ব্যাখ্যা: ক্রমিক দুই জোড় সংখ্যাকে $2n$ ও $2n+2$ লিখে গুণ করলে $4n(n+1)$ পাই। যেকোনো দুই ক্রমিক সংখ্যার একটি জোড় হয়, তাই $n(n+1)$ সবসময় জোড় অর্থাৎ 2-এর গুণিতক। ফলে $4 \times 2k = 8k$ এবং এটি 8 দ্বারা বিভাজ্য। উদাহরণ: 4 × 6 = 24 = 8 × 3।

উত্তর: প্রমাণিত

৮. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক) $\frac{1}{6}$     খ) $\frac{7}{11}$     গ) $3\frac{2}{9}$     ঘ) $3\frac{8}{15}$

সমাধান:

ক) $\frac{1}{6}$ কে ভাগ করে:

$1 \div 6:\ 10 = 6 \times 1 + 4,\quad 40 = 6 \times 6 + 4$

$40 = 6 \times 6 + 4 \ldots$

$\frac{1}{6} = 0.1666\ldots = 0.1\dot{6}$

খ)

$7 \div 11:\ 70 = 11 \times 6 + 4$

$40 = 11 \times 3 + 7,\quad 70 = 11 \times 6 + 4 \ldots$

$\frac{7}{11} = 0.6363\ldots = 0.\dot{6}\dot{3}$

গ)

$3\frac{2}{9} = 3 + \frac{2}{9} = 3 + 0.\dot{2} = 3.\dot{2}$

ঘ)

$\frac{8}{15}:\ 80 = 15 \times 5 + 5$

$50 = 15 \times 3 + 5,\ \ldots$

$3\frac{8}{15} = 3 + 0.5333\ldots = 3.5\dot{3}$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করতে লবকে হর দিয়ে ভাগ করি। ভাগ করতে করতে যে ভাগশেষটি আবার ফিরে আসে, সেখান থেকেই অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্ত হতে থাকে। যেমন ক)-তে ভাগশেষ বারবার 4 আসছে, তাই 6 বারবার আসে। যে অঙ্কগুলো বারবার আসে তার উপরে বিন্দু (বা প্রথম ও শেষ অঙ্কের উপরে বিন্দু) দিয়ে আবৃত্ত দশমিক লিখি।

উত্তর: ক) $0.1\dot{6}$ খ) $0.\dot{6}\dot{3}$ গ) $3.\dot{2}$ ঘ) $3.5\dot{3}$

৯. সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক) $0.\dot{2}$     খ) $0.\dot{3}\dot{5}$     গ) $0.1\dot{3}$     ঘ) $3.7\dot{8}$     ঙ) $6.2\dot{3}0\dot{9}$

সমাধান:

ক)

$0.\dot{2} = \frac{2}{9}$

খ)

$0.\dot{3}\dot{5} = \frac{35}{99}$

গ) ধরি $x = 0.1\dot{3} = 0.1333\ldots$

$10x = 1.333\ldots$

$100x = 13.333\ldots$

$100x - 10x = 13.333\ldots - 1.333\ldots = 12$

$90x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

ঘ) ধরি $x = 3.7\dot{8} = 3.7888\ldots$

$10x = 37.888\ldots$

$100x = 378.888\ldots$

$90x = 378 - 37 = 341 \Rightarrow x = \frac{341}{90}$

$= 3\frac{71}{90}$

ঙ) ধরি $x = 6.2\dot{3}0\dot{9} = 6.2309309\ldots$

$10x = 62.309309\ldots$

$10000x = 62309.309309\ldots$

$9990x = 62309 - 62 = 62247$

$x = \frac{62247}{9990} = \frac{20749}{3330}$

$= 6\frac{769}{3330}$

ব্যাখ্যা: আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশ করার সহজ কৌশল: শুধু আবৃত্ত হলে আবৃত্ত অঙ্কগুলো লবে বসে, হরে বসে ততটি 9। মিশ্র আবৃত্ত হলে (গ, ঘ, ঙ) দুইটি সমীকরণ বানিয়ে বিয়োগ করি, যাতে দশমিকের পরের অসীম অংশটা কেটে যায়। যেমন গ)-তে $100x$ ও $10x$ বিয়োগ করায় $0.333\ldots$ বাদ পড়ে গেল।

উত্তর: ক) $\frac{2}{9}$ খ) $\frac{35}{99}$ গ) $\frac{2}{15}$ ঘ) $3\frac{71}{90}$ ঙ) $6\frac{769}{3330}$

১০. সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক) $2.2\dot{3},\ 5.2\dot{3}\dot{5}$

খ) $7.2\dot{6},\ 4.2\dot{3}\dot{7}$

গ) $5.\dot{7},\ 8.\dot{3}\dot{4},\ 6.\dot{2}4\dot{5}$

ঘ) $12.32,\ 2.1\dot{9},\ 4.32\dot{5}\dot{6}$

সমাধান:

ক) প্রথমটির অনাবৃত্ত অঙ্ক 1টি (2), আবৃত্ত অঙ্ক 1টি (3); দ্বিতীয়টির অনাবৃত্ত 1টি (2), আবৃত্ত 2টি (35)। আবৃত্ত অঙ্ক 2টি করতে হবে:

$2.2\dot{3} = 2.2\dot{3}\dot{3},\qquad 5.2\dot{3}\dot{5}$

খ) দুটিরই অনাবৃত্ত অঙ্ক 1টি; আবৃত্ত অঙ্ক 1টি ও 2টি:

$7.2\dot{6} = 7.2\dot{6}\dot{6},\qquad 4.2\dot{3}\dot{7}$

গ) কোনোটিরই অনাবৃত্ত অঙ্ক নেই। আবৃত্ত অঙ্ক যথাক্রমে 1, 2, 3টি; ল.সা.গু. = 6, তাই সবগুলোতে আবৃত্ত অঙ্ক 6টি করি:

$5.\dot{7} = 5.\dot{7}7777\dot{7}$

$8.\dot{3}\dot{4} = 8.\dot{3}4343\dot{4}$

$6.\dot{2}4\dot{5} = 6.\dot{2}4524\dot{5}$

ঘ) অনাবৃত্ত অঙ্ক সর্বোচ্চ 2টি (12.32 ও 4.32-এ), আবৃত্ত অঙ্ক সর্বোচ্চ 2টি (56-এ)। তাই সবগুলোতে অনাবৃত্ত 2টি ও আবৃত্ত 2টি করি:

$12.32 = 12.32\dot{0}\dot{0}$

$2.1\dot{9} = 2.19\dot{9}\dot{9}$

$4.32\dot{5}\dot{6}$

ব্যাখ্যা: $সদৃশ$ মানে দেখতে একই ছাঁচের: দশমিক বিন্দুর পরে অনাবৃত্ত অংশে একই সংখ্যক অঙ্ক এবং আবৃত্ত অংশেও একই সংখ্যক অঙ্ক। সংখ্যার মান না বদলিয়ে অঙ্কগুলো বাড়িয়ে লিখে এটি করা হয়। যেমন $2.2\dot{3} = 2.2333\ldots = 2.2\dot{3}\dot{3}$। সসীম দশমিক 12.32-এর পরে অসীম শূন্য $000…$ আছে ধরা যায়, তাই $12.32\dot{0}\dot{0}$। আর $2.1\dot{9} = 2.1999\ldots = 2.19\dot{9}\dot{9}$।

উত্তর: ক) $2.2\dot{3}\dot{3},\ 5.2\dot{3}\dot{5}$ খ) $7.2\dot{6}\dot{6},\ 4.2\dot{3}\dot{7}$ গ) $5.\dot{7}7777\dot{7},\ 8.\dot{3}4343\dot{4},\ 6.\dot{2}4524\dot{5}$ ঘ) $12.32\dot{0}\dot{0},\ 2.19\dot{9}\dot{9},\ 4.32\dot{5}\dot{6}$

১১. যোগ করো:

ক) $0.4\dot{5} + 0.1\dot{3}\dot{4}$

খ) $2.0\dot{5} + 8.0\dot{4} + 7.018$

গ) $0.00\dot{6} + 0.\dot{9}\dot{2} + 0.\dot{1}3\dot{4}$

সমাধান:

ক) সদৃশ করি (অনাবৃত্ত 1টি, আবৃত্ত 2টি): $0.4\dot{5} = 0.4\dot{5}\dot{5}$

$0.4555555\ldots + 0.1343434\ldots = 0.5898989\ldots$

$= 0.5\dot{8}\dot{9}$

খ) সবগুলোকে অনাবৃত্ত 3টি ও আবৃত্ত 1টি করি:

$2.0\dot{5} = 2.055\dot{5},\quad 8.0\dot{4} = 8.044\dot{4}$

$7.018 = 7.018\dot{0}$

$2.0555\ldots + 8.0444\ldots + 7.0180\ldots$

$= 17.117\dot{9}$ (আবৃত্ত অঙ্কগুলোর যোগফল: 5 + 4 + 0 = 9)

$17.117\dot{9} = 17.117 + 0.000\dot{9}$

$= 17.117 + 0.001 = 17.118$

গ) ভগ্নাংশে রূপান্তর করে যোগ করি:

$0.00\dot{6} = \frac{6}{900} = \frac{1}{150}$

$0.\dot{9}\dot{2} = \frac{92}{99}$

$0.\dot{1}3\dot{4} = \frac{134}{999}$

হরগুলোর ল.সা.গু. = 549450:

$\frac{1}{150} + \frac{92}{99} + \frac{134}{999} = \frac{3663 + 510600 + 73700}{549450}$

$= \frac{587963}{549450}$

$= 1.0700937300937\ldots = 1.07\dot{0}0937\dot{3}$

ব্যাখ্যা: ক)-তে দুটি সংখ্যার আবৃত্ত অংশ একই ছাঁচে সাজালে অঙ্কের নিচে অঙ্ক বসিয়ে যোগ করা যায়, অনেকটা সাধারণ দশমিক যোগের মতো। খ)-তে আবৃত্ত অঙ্কগুলোর যোগফল 9 আসায় $0.\dot{9} = 1$ ব্যবহার করে উত্তর সসীম 17.118 হয়ে গেছে। যেখানে ছাঁচ মেলানো কঠিন (গ), সেখানে সবগুলোকে ভগ্নাংশ করে হরগুলো এক করে যোগ করাই নিরাপদ।

উত্তর: ক) $0.5\dot{8}\dot{9}$ খ) $17.118$ (= $17.117\dot{9}$) গ) $1.07\dot{0}0937\dot{3}$ (≈ 1.0700937300937…)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১১(গ)-এর উত্তরমালায় শেষ অংশ …372 ছাপা আছে, কিন্তু ভগ্নাংশ থেকে হিসাব করলে সঠিক মান $1.07\dot{0}0937\dot{3}$ (শেষ অঙ্ক 3)। এটি উত্তরমালার ছাপার ভুল হতে পারে।

১২. বিয়োগ করো:

ক) $3.\dot{4} - 2.1\dot{3}$

খ) $5.\dot{1}\dot{2} - 3.4\dot{5}$

গ) $8.49 - 5.3\dot{5}\dot{6}$

ঘ) $19.34\dot{5} - 13.2\dot{3}4\dot{9}$

সমাধান:

ক) $3.\dot{4} = 3.4\dot{4}$ (অনাবৃত্ত 1টি, আবৃত্ত 1টি):

$3.4444\ldots - 2.1333\ldots = 1.3111\ldots$

$= 1.3\dot{1}$

খ) অনাবৃত্ত 1টি, আবৃত্ত 2টি করি:

$5.\dot{1}\dot{2} = 5.1212\ldots = 5.1\dot{2}\dot{1}$

$3.4\dot{5} = 3.4\dot{5}\dot{5}$

$5.1212121\ldots - 3.4555555\ldots = 1.6656565\ldots$

$= 1.6\dot{6}\dot{5}$

গ) অনাবৃত্ত 2টি, আবৃত্ত 2টি করি:

$8.49 = 8.49\dot{0}\dot{0}$

$5.3\dot{5}\dot{6} = 5.3565656\ldots = 5.35\dot{6}\dot{5}$

$8.4900000\ldots - 5.3565656\ldots = 3.1334343\ldots$

$= 3.13\dot{3}\dot{4}$

ঘ) অনাবৃত্ত 2টি, আবৃত্ত 3টি করি:

$19.34\dot{5} = 19.3455555\ldots = 19.34\dot{5}5\dot{5}$

$13.2\dot{3}4\dot{9} = 13.2349349\ldots = 13.23\dot{4}9\dot{3}$

$19.3455555\ldots - 13.2349349\ldots = 6.1106206\ldots$

$= 6.11\dot{0}6\dot{2}$

ব্যাখ্যা: বিয়োগেও আগের মতো প্রথমে সদৃশ করি, তারপর ডান দিক থেকে অঙ্কের নিচে অঙ্ক বিয়োগ করি, হাতের ধার নিয়ে। ছাঁচ একই হওয়ায় ফলাফলেও আবৃত্ত অংশ পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $1.3\dot{1}$ খ) $1.6\dot{6}\dot{5}$ গ) $3.13\dot{3}\dot{4}$ ঘ) $6.11\dot{0}6\dot{2}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১২(ঘ)-এর উত্তরমালায় 6.11602 (বিন্দুসহ) ছাপা আছে। অঙ্কে অঙ্কে বিয়োগ করে ও ভগ্নাংশ থেকে যাচাই করে পাই $6.11\dot{0}6\dot{2}$ = 6.11062062…। উত্তরমালায় অঙ্কের ক্রম ভুল ছাপা হয়েছে বলে মনে হয়।

১৩. গুণ করো:

ক) $0.\dot{3} \times 0.\dot{6}$

খ) $2.\dot{4} \times 0.\dot{8}\dot{1}$

গ) $0.6\dot{2} \times 0.\dot{3}$

ঘ) $42.\dot{1}\dot{8} \times 0.2\dot{8}$

সমাধান:

গুণ ও ভাগের সময় আবৃত্ত দশমিককে আগে সাধারণ ভগ্নাংশ করে নিই।

ক)

$0.\dot{3} \times 0.\dot{6} = \frac{3}{9} \times \frac{6}{9}$

$= \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9} = 0.\dot{2}$

খ)

$2.\dot{4} = \frac{24-2}{9} = \frac{22}{9}$

$0.\dot{8}\dot{1} = \frac{81}{99} = \frac{9}{11}$

$\frac{22}{9} \times \frac{9}{11} = 2$

গ)

$0.6\dot{2} = \frac{62-6}{90} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$

$0.\dot{3} = \frac{1}{3}$

$\frac{28}{45} \times \frac{1}{3} = \frac{28}{135} = 0.2\dot{0}7\dot{4}$

ঘ)

$42.\dot{1}\dot{8} = 42 + \frac{18}{99} = \frac{4176}{99}$

$= \frac{464}{11}$

$0.2\dot{8} = \frac{28-2}{90} = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}$

$\frac{464}{11} \times \frac{13}{45} = \frac{6032}{495}$

$= 12.1\dot{8}\dot{5}$

ব্যাখ্যা: সরাসরি আবৃত্ত দশমিক গুণ করা কঠিন, কারণ অঙ্ক শেষ হয় না। তাই আগে প্রতিটিকে ভগ্নাংশ বানাই, ভগ্নাংশ গুণ করি (লব × লব, হর × হর), এবং শেষে আবার দশমিকে ফিরিয়ে আনি। ফলাফল খ)-তে পূর্ণসংখ্যা 2 হয়েছে, কারণ $\frac{22}{9}$ ও $\frac{9}{11}$ এর 9 ও 11 কেটে যায়।

উত্তর: ক) $0.\dot{2}$ খ) $2$ গ) $0.2\dot{0}7\dot{4}$ ঘ) $12.1\dot{8}\dot{5}$

১৪. ভাগ করো:

ক) $0.\dot{3} \div 0.\dot{6}$

খ) $0.3\dot{5} \div 1.\dot{7}$

গ) $2.3\dot{7} \div 0.4\dot{5}$

ঘ) $1.\dot{1}8\dot{5} \div 0.\dot{2}\dot{4}$

সমাধান:

ক)

$\frac{1}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

$= 0.5$

খ)

$0.3\dot{5} = \frac{35-3}{90} = \frac{32}{90} = \frac{16}{45}$

$1.\dot{7} = \frac{17-1}{9} = \frac{16}{9}$

$\frac{16}{45} \div \frac{16}{9} = \frac{16}{45} \times \frac{9}{16}$

$= \frac{1}{5} = 0.2$

গ)

$2.3\dot{7} = \frac{237-23}{90} = \frac{214}{90}$

$0.4\dot{5} = \frac{45-4}{90} = \frac{41}{90}$

$\frac{214}{90} \div \frac{41}{90} = \frac{214}{41}$

$= 5.\dot{2}195\dot{1}$

ঘ)

$1.\dot{1}8\dot{5} = 1 + \frac{185}{999} = \frac{1184}{999}$

$0.\dot{2}\dot{4} = \frac{24}{99} = \frac{8}{33}$

$\frac{1184}{999} \times \frac{33}{8} = \frac{148 \times 33}{999}$

$= \frac{4884}{999} = \frac{44}{9} = 4.\dot{8}$

ব্যাখ্যা: ভাগের নিয়ম: ভাজক ভগ্নাংশকে উল্টে (অর্থাৎ হর ও লব বদলে) গুণ করি। গ)-তে $\frac{214}{41}$ কে ভাগ করে দশমিক বের করলে অঙ্ক $21951$ বারবার আসে, তাই আবৃত্ত অংশে পাঁচটি অঙ্ক।

উত্তর: ক) $0.5$ খ) $0.2$ গ) $5.\dot{2}195\dot{1}$ ঘ) $4.\dot{8}$

১৫. চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত সেগুলোর আসন্ন মান লিখ:

ক) $12$     খ) $0.\dot{2}\dot{5}$     গ) $1.\dot{3}\dot{4}$     ঘ) $5.13\dot{0}\dot{2}$

সমাধান:

বর্গমূল নির্ণয়ের ভাগ পদ্ধতিতে (দশমিকের পরে জোড়ায় জোড়ায় অঙ্ক নামিয়ে) অঙ্কগুলো বের করি।

ক)

$\sqrt{12} = 3.46410\ldots$

চার দশমিক স্থান পর্যন্ত $3.4641$; পরের অঙ্ক 1 < 5, তাই তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $3.464$।

খ)

$0.\dot{2}\dot{5} = 0.252525\ldots$

$\sqrt{0.252525\ldots} = 0.50251\ldots$

চার দশমিক স্থান পর্যন্ত $0.5025$; পরের অঙ্ক 5 ≥ 5 হওয়ায় তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $0.503$।

গ)

$1.\dot{3}\dot{4} = 1.343434\ldots$

$\sqrt{1.343434\ldots} = 1.15906\ldots$

চার দশমিক স্থান পর্যন্ত $1.1590$; পরের অঙ্ক 0 < 5, তাই তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $1.159$।

ঘ)

$5.13\dot{0}\dot{2} = 5.130202\ldots$

$\sqrt{5.130202\ldots} = 2.26499\ldots$

চার দশমিক স্থান পর্যন্ত $2.2649$ (প্রায় 2.2650); তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $2.265$।

ব্যাখ্যা: বর্গমূল অনেক সময় অসীম অনাবৃত্ত দশমিক হয়, তাই আমরা কয়েক দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নিই। $আসন্ন মান$ হলো কাছাকাছি মান: নির্দিষ্ট স্থানের পরের অঙ্ক 5 বা তার বেশি হলে আগের অঙ্ক 1 বাড়াই, কম হলে একই রাখি। আবৃত্ত দশমিকের বর্গমূল নিতে হলে সংখ্যাটির অঙ্কগুলো (পুনরাবৃত্তি সহ) প্রয়োজনমতো কয়েক ঘর পর্যন্ত লিখে নিই।

উত্তর: ক) 3.4641; 3.464 খ) 0.5025; 0.503 গ) 1.1590; 1.159 ঘ) 2.2649; 2.265

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১৫(গ)-এর উত্তরমালায় তিন দশমিক স্থানের আসন্ন মান 1.160 ছাপা আছে; কিন্তু চার দশমিক স্থানের মান 1.1590 হলে আসন্ন মান 1.159 হয় (পরের অঙ্ক 0)। ১৫(ঘ)-এ উত্তরমালা 2.2650 দিয়েছে; আমাদের হিসাবে বর্গমূল 2.26499… , তাই চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 2.2649 (গোল করলে 2.2650)। এসব জায়গায় উত্তরমালায় ছাপার ভুল বা ভিন্ন গোলকরণ থাকতে পারে।

১৬. নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লিখ:

ক) $0.\dot{4}$

খ) $\sqrt{9}$

গ) $\sqrt{11}$

ঘ) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

ঙ) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}}$

চ) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}$

ছ) $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{7}}$

জ) $5.6\dot{3}\dot{9}$

সমাধান:

ক) $0.\dot{4} = \frac{4}{9}$ আবৃত্ত দশমিক, তাই মূলদ।

খ) $\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$, তাই মূলদ।

গ) 11 কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ নয় (9 < 11 < 16), তাই $\sqrt{11}$ অমূলদ।

ঘ) $\sqrt{6}$ অমূলদ (6 পূর্ণবর্গ নয়), তাই $\frac{\sqrt{6}}{3}$ অমূলদ।

ঙ) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$; $\frac{8}{7}$ কোনো মূলদ সংখ্যার বর্গ নয়, তাই অমূলদ।

চ)

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}} = \sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

তাই মূলদ।

ছ)

$\frac{2}{3} \div \frac{3}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{9}$

তাই মূলদ।

জ) $5.6\dot{3}\dot{9}$ আবৃত্ত দশমিক, যা সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায়, তাই মূলদ।

ব্যাখ্যা: একটি সংখ্যা মূলদ কি না বোঝার সহজ উপায়: সংখ্যাটি যদি পূর্ণসংখ্যা, সসীম দশমিক, আবৃত্ত দশমিক বা পূর্ণবর্গ সংখ্যার (বা পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশের) বর্গমূল হয়, তবে মূলদ। আর যদি $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{11}$ এর মতো বর্গমূলের ভেতরের সংখ্যা পূর্ণবর্গ না হয়, তবে অমূলদ।

উত্তর: মূলদ: ক, খ, চ, ছ, জ। অমূলদ: গ, ঘ, ঙ।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক) 5     খ) 6     গ) 7     ঘ) 11

সমাধান:

তিনটি ক্রমিক সংখ্যা $n,\ n+1,\ n+2$

$n(n+1)(n+2)$

ব্যাখ্যা: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি জোড় (2 দ্বারা বিভাজ্য) এবং ঠিক একটি 3-এর গুণিতক থাকে। তাই গুণফল 2 ও 3 উভয় দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 6 দ্বারা বিভাজ্য। উদাহরণ: 2 × 3 × 4 = 24 = 6 × 4।

উত্তর: খ) 6

২. a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?

ক) $a^2$     খ) $b^2$     গ) $a^2+1$     ঘ) $b^2+2$

সমাধান:

ব্যাখ্যা: a জোড় হলে $a^2$ জোড়; তাই $a^2+1$ = জোড় + 1 = বিজোড়। অন্যদিকে $b^2$ জোড় এবং $b^2+2$ = জোড় + জোড় = জোড়।

উত্তর: গ) $a^2+1$

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $a = \sqrt{3}$ এবং $b = \sqrt{12}$

$b = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

৩. উপরিউক্ত তথ্যানুসারে—

i. ab একটি মূলদ সংখ্যা

ii. $\frac{a}{b}$ একটি মূলদ সংখ্যা

iii. (a + b) একটি বাস্তব সংখ্যা।

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$ab = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 2 \times 3 = 6$

$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$a + b = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: i) 6 একটি মূলদ সংখ্যা—সঠিক। ii) $\frac{1}{2}$ মূলদ সংখ্যা—সঠিক। iii) $3\sqrt{3}$ একটি বাস্তব সংখ্যা (অমূলদ বাস্তব সংখ্যা)—সঠিক। তিনটিই সঠিক।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

৪. নিচের কোনটি a ও b এর মধ্যবর্তী অমূলদ সংখ্যা?

ক) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$     খ) $\frac{3\sqrt{3}}{4}$     গ) $\frac{\sqrt{3}}{2}$     ঘ) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

সমাধান:

$a = \sqrt{3} \approx 1.732$ এবং $b = 2\sqrt{3} \approx 3.464$। প্রতিটি বিকল্পের মান:

$\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598$

$\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$

ব্যাখ্যা: $\sqrt{3}$ ও $2\sqrt{3}$ এর মান 1.732 ও 3.464। যে সংখ্যাটি এই দুইয়ের মাঝে পড়ে সেটিই উত্তর। শুধু 2.598 (ক) এই সীমার মধ্যে আছে। এটি অমূলদও, কারণ $\frac{3}{2}$ মূলদ আর $\sqrt{3}$ অমূলদ। আরেকটি সহজ উপায়: a ও b এর গড় $\frac{a+b}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$—দুই সংখ্যার গড় সবসময় তাদের মাঝে থাকে।

উত্তর: ক) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. $n = 2m - 1$, যেখানে $m \in \mathbb{N}$।

ক) যোগ করো: $0.\dot{7} + 0.1\dot{5}$

খ) দেখাও যে, $n^2$ থেকে 1 বিয়োগ করলে বিয়োগফল সর্বদা 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

গ) $m = 3$ হলে প্রমাণ করো যে, $\sqrt{n}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধান:

ক)

$0.\dot{7} = \frac{7}{9}$

$0.1\dot{5} = \frac{15-1}{90} = \frac{14}{90}$

$\frac{7}{9} + \frac{14}{90} = \frac{70}{90} + \frac{14}{90}$

$= \frac{84}{90} = \frac{14}{15} = 0.9333\ldots$

$= 0.9\dot{3}$

খ)

$n^2 - 1 = (2m-1)^2 - 1 = 4m^2 - 4m + 1 - 1$

$= 4m^2 - 4m = 4m(m-1)$

m ও m−1 দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই এদের একটি জোড়। সুতরাং $m(m-1) = 2k$ (k পূর্ণসংখ্যা)।

$n^2 - 1 = 4 \times 2k = 8k$

অতএব $n^2 - 1$ সর্বদা 8 দ্বারা বিভাজ্য।

গ) $m = 3$ হলে

$n = 2 \times 3 - 1 = 5$

তাই $\sqrt{n} = \sqrt{5}$। এখন প্রমাণ করি $\sqrt{5}$ অমূলদ।

মনে করি, $\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$, যেখানে p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক (কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই)।

$5 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 5q^2$

সুতরাং $p^2$ সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য। 5 মৌলিক সংখ্যা, তাই p-ও 5 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি, $p = 5k$

$(5k)^2 = 5q^2 \Rightarrow 25k^2 = 5q^2 \Rightarrow q^2 = 5k^2$

সুতরাং $q^2$, তাই q-ও 5 দ্বারা বিভাজ্য।

p ও q উভয়েই 5 দ্বারা বিভাজ্য—এটি “p, q সহমৌলিক” ধারণার বিরোধী। অতএব $\sqrt{5}$ মূলদ নয়, অর্থাৎ অমূলদ।

ব্যাখ্যা: ক) আবৃত্ত দশমিক দুটিকে ভগ্নাংশ করে যোগ করেছি, শেষে আবার দশমিকে এনেছি। খ) বীজগণিতের সূত্রে $(2m-1)^2$ ভেঙে দেখি $4m(m-1)$ পাওয়া যায়; ক্রমিক দুই সংখ্যার গুণফল জোড় হওয়ায় 4 × জোড় = 8-এর গুণিতক। গ) n-এর মান বসালে $\sqrt{5}$ পাই; এটি অমূলদ—এই প্রমাণ অনুশীলনী ৫(ক)-এর মতোই বিরোধ পদ্ধতিতে করা হয়।

উত্তর: ক) $0.9\dot{3}$ খ) প্রমাণিত গ) প্রমাণিত

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) $a = 0.\dot{2}$ এবং $b = 0.\dot{3}$ হলে দেখাও যে, $(a+b)$ একটি মূলদ সংখ্যা।

সমাধান:

$a + b = 0.\dot{2} + 0.\dot{3} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$

ব্যাখ্যা: $\frac{5}{9}$ আকারে $\frac{p}{q}$ (p = 5, q = 9 ≠ 0) লেখা যায়। যে সংখ্যাকে এভাবে লেখা যায় সেটিই মূলদ। (সরাসরি: 0.222… + 0.333… = 0.555… = $0.\dot{5}$ = $\frac{5}{9}$)

উত্তর: প্রমাণিত

৬. খ) বর্গমূল নির্ণয় না করে দেখাও যে, $\sqrt{10}$ সংখ্যাটি 3 ও 4 এর মধ্যে অবস্থিত।

সমাধান:

$3^2 = 9,\quad 4^2 = 16,\quad 9 < 10 < 16 \Rightarrow \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$

$3 < \sqrt{10} < 4$

ব্যাখ্যা: বর্গমূল না বের করেও আমরা বুঝতে পারি: 10 সংখ্যাটি 9 ও 16 এর মাঝখানে, আর 9 ও 16 এর বর্গমূল যথাক্রমে 3 ও 4। বড় সংখ্যার বর্গমূলও বড় হয়, তাই $\sqrt{10}$ 3 ও 4 এর মাঝে পড়বে।

উত্তর: প্রমাণিত

৬. গ) $1.25\dot{7}\dot{4}$ ও $0.3\dot{6}1\dot{2}$ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশদ্বয়কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

সমাধান:

প্রথমটিতে অনাবৃত্ত অঙ্ক 2টি (25), আবৃত্ত অঙ্ক 2টি (74); দ্বিতীয়টিতে অনাবৃত্ত অঙ্ক 1টি (3), আবৃত্ত অঙ্ক 3টি (612)।

অনাবৃত্ত অঙ্ক সর্বোচ্চ 2টি এবং আবৃত্ত অঙ্ক 2 ও 3-এর ল.সা.গু. = 6টি। তাই সবগুলোতে অনাবৃত্ত 2টি ও আবৃত্ত 6টি করি:

$1.25\dot{7}\dot{4} = 1.25747474\ldots$

$= 1.25\dot{7}4747\dot{4}$

$0.3\dot{6}1\dot{2} = 0.3612612612\ldots$

$= 0.36\dot{1}2612\dot{6}$

ব্যাখ্যা: দুটি সংখ্যাকে $সদৃশ$ করতে হলে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্কসংখ্যা এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্কসংখ্যা সমান করতে হয়। আবৃত্ত অঙ্ক 2টি ও 3টি—দুটিকে সমান করার জন্য ল.সা.গু. 6 ধরেছি। দ্বিতীয় সংখ্যায় $0.3 612 612…$ থেকে একটি অঙ্ক (6) অনাবৃত্ত অংশে নিয়ে এলে অনাবৃত্ত অংশ হয় $0.36$ এবং তারপর আবৃত্ত হয় $126 126…$।

উত্তর: $1.25\dot{7}4747\dot{4}$ ও $0.36\dot{1}2612\dot{6}$