Class 8 Math Chapter 9 Pythagoras Theorem Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ $c^2 = a^2 + b^2$।

খ) অতিভুজ $c$ হলে $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$।

$c = \sqrt{100} = 10$ সেমি।

গ) লম্ব $a$ হলে $13^2 = a^2 + 5^2$, অর্থাৎ $a^2 = 169 - 25 = 144$।

$a = 12$ সেমি। ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: $6, 8, 10$ ও $5, 12, 13$ পিথাগোরীয় ত্রয়ী।

উত্তর: খ) $10$ সেমি; গ) $12$ সেমি, $30$ বর্গ সেমি

2. কয়েকটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য: $(7, 24, 25)$, $(9, 12, 15)$ ও $(8, 10, 12)$।
ক. পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যটি লেখ। (২)
খ. প্রথম ত্রিভুজটি সমকোণী কি না যাচাই কর। (৪)
গ. বাকি দুইটির মধ্যে কোনটি সমকোণী ত্রিভুজ? (৪)

সমাধান:

ক) কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান হলে, শেষোক্ত বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমকোণ হবে।

খ) বৃহত্তম বাহু $25$। $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$।

অতএব ত্রিভুজটি সমকোণী।

গ) $(9, 12, 15)$: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$। তাই সমকোণী।

$(8, 10, 12)$: $8^2 + 10^2 = 164 \neq 144 = 12^2$। তাই সমকোণী নয়।

ব্যাখ্যা: বৃহত্তম বাহুর বর্গ অন্য দুইটির বর্গের যোগফলের সাথে মিলিয়ে দেখতে হয়।

উত্তর: খ) সমকোণী; গ) $(9, 12, 15)$

3. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $24$ সেমি এবং কর্ণ $25$ সেমি।
ক. কর্ণ আয়তক্ষেত্রকে কোন ধরনের ত্রিভুজে বিভক্ত করে এবং অতিভুজ কোনটি? (২)
খ. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ নির্ণয় কর। (৪)
গ. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) কর্ণ আয়তক্ষেত্রকে দুইটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে এবং কর্ণই অতিভুজ।

খ) প্রস্থ $b$ হলে $25^2 = 24^2 + b^2$।

$b^2 = 625 - 576 = 49$, তাই $b = 7$ সেমি।

গ) ক্ষেত্রফল $= 24 \times 7 = 168$ বর্গ সেমি।

পরিসীমা $= 2(24 + 7) = 62$ সেমি।

ব্যাখ্যা: আয়তের কর্ণ অতিভুজ হয়।

উত্তর: খ) $7$ সেমি; গ) $168$ বর্গ সেমি, $62$ সেমি

4. একটি মই দেয়ালের গায়ে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের দৈর্ঘ্য $17$ মিটার এবং মইয়ের গোড়া দেয়াল থেকে $8$ মিটার দূরে।
ক. মই, দেয়াল ও মাটি কোন ধরনের ত্রিভুজ গঠন করে এবং এর অতিভুজ কোনটি? (২)
খ. মইয়ের মাথা দেয়ালের কত উপরে স্পর্শ করে? (৪)
গ. মইয়ের মাথা দেয়ালের $8$ মিটার উচ্চতায় থাকলে গোড়ার দূরত্ব কত হবে? (৪)

সমাধান:

ক) দেয়াল ও মাটির মধ্যে কোণ সমকোণ, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়। মই এর অতিভুজ।

খ) উচ্চতা $h$ হলে $17^2 = h^2 + 8^2$।

$h^2 = 289 - 64 = 225$, তাই $h = 15$ মিটার।

গ) গোড়ার দূরত্ব $d$ হলে $17^2 = 8^2 + d^2$।

$d^2 = 289 - 64 = 225$, তাই $d = 15$ মিটার।

ব্যাখ্যা: মই সর্বদা অতিভুজ, তাই ডানদিকে অতিভুজের বর্গ থাকে।

উত্তর: খ) $15$ মিটার; গ) $15$ মিটার

5. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটি প্রতিটি $13$ সেমি এবং ভূমি $10$ সেমি।
ক. শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে কীভাবে বিভক্ত করে? (২)
খ. ত্রিভুজটির উচ্চতা নির্ণয় কর। (৪)
গ. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) শীর্ষ থেকে ভূমির উপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই প্রতি অংশ $\frac{10}{2} = 5$ সেমি।

খ) উচ্চতা $h$ হলে সমকোণী ত্রিভুজে $13^2 = h^2 + 5^2$।

$h^2 = 169 - 25 = 144$, তাই $h = 12$ সেমি।

গ) ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তর: খ) $12$ সেমি; গ) $60$ বর্গ সেমি

6. একটি রম্বসের কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য $16$ সেমি ও $30$ সেমি।
ক. রম্বসের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে কীভাবে ছেদ করে? (২)
খ. রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪)
গ. রম্বসের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) রম্বসের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

খ) অর্ধকর্ণ $8$ সেমি ও $15$ সেমি। বাহু $= \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ সেমি।

গ) পরিসীমা $= 4 \times 17 = 68$ সেমি।

ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 16 \times 30 = 240$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: অর্ধকর্ণ দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু।

উত্তর: খ) $17$ সেমি; গ) $68$ সেমি, $240$ বর্গ সেমি

7. একটি বড় বর্গক্ষেত্রের বাহু $(a+b)$। এর ভিতরে $a$ ও $b$ বাহুবিশিষ্ট চারটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং মাঝে অতিভুজ $c$ বাহুবিশিষ্ট একটি ছোট বর্গক্ষেত্র আছে।
ক. বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? (২)
খ. বীজগণিতের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $c^2 = a^2 + b^2$। (৪)
গ. $a = 5$, $b = 12$ হলে $c$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (a+b)^2$।

খ) চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= 4 \times \frac{1}{2} ab = 2ab$ এবং ছোট বর্গের ক্ষেত্রফল $= c^2$।

বড় বর্গ $=$ ত্রিভুজ চারটি $+$ ছোট বর্গ, তাই $(a+b)^2 = 2ab + c^2$।

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, অর্থাৎ $c^2 = a^2 + b^2$। (প্রমাণিত)

গ) $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, তাই $c = 13$।

ব্যাখ্যা: $(a+b)^2$ এর বিস্তৃতি ব্যবহার হয়েছে।

উত্তর: গ) $c = 13$

8. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle A = 90^\circ$, $AB = 3$ সেমি ও $AC = 4$ সেমি। $AC$ বাহুর উপর $D$ এমন একটি বিন্দু যেন $AD = 1$ সেমি।
ক. $BC$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (২)
খ. $BD^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. দেখাও যে, $BC^2 + AD^2 = BD^2 + AC^2$। (৪)

সমাধান:

ক) $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25$, তাই $BC = 5$ সেমি।

খ) $\triangle ABD$ সমকোণী ($\angle A = 90^\circ$)। $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 9 + 1 = 10$।

গ) বামপক্ষ $= BC^2 + AD^2 = 25 + 1 = 26$।

ডানপক্ষ $= BD^2 + AC^2 = 10 + 16 = 26$।

অতএব $BC^2 + AD^2 = BD^2 + AC^2$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: দুইটি সমকোণী ত্রিভুজে আলাদা আলাদা পিথাগোরাস প্রয়োগ।

উত্তর: ক) $5$ সেমি; খ) $10$