Class 8 Math Chapter 11 Information and Data Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) উপাত্তের সর্বোচ্চ সাংখ্যিক মান ও সর্বনিম্ন সাংখ্যিক মানের পার্থক্যের সঙ্গে $1$ যোগ করে যা পাওয়া যায় তাকে পরিসর বলে।

খ) নম্বরগুলোর যোগফল $= 12 + 15 + 18 + 20 + 15 + 25 + 15 + 30 + 22 + 18 = 190$।

গড় $= \frac{190}{10} = 19$।

গ) মানের ক্রমানুসারে সাজালে: $12, 15, 15, 15, 18, 18, 20, 22, 25, 30$।

$n = 10$ জোড়, তাই মধ্যক $=$ ৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের গড় $= \frac{18 + 18}{2} = 18$।

$15$ সংখ্যাটি $3$ বার আছে, যা সবচেয়ে বেশি। তাই প্রচুরক $= 15$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যাগুলোকে আগে ক্রমানুসারে সাজাতে হয়।

উত্তর: খ) $19$; গ) মধ্যক $18$, প্রচুরক $15$

2. কোনো উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা $54$ এবং সর্বনিম্ন সংখ্যা $20$।
ক. শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র লেখ। (২)
খ. উপাত্তের পরিসর নির্ণয় কর। (৪)
গ. শ্রেণিব্যাপ্তি $5$ হলে শ্রেণিসংখ্যা কত হবে? (৪)

সমাধান:

ক) শ্রেণিসংখ্যা $= \frac{P}{I}$ (দশমিক হলে পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যা)। এখানে $P$ হলো পরিসর এবং $I$ হলো শ্রেণিব্যাপ্তি।

খ) পরিসর $= (54 - 20) + 1 = 35$।

গ) শ্রেণিসংখ্যা $= \frac{35}{5} = 7$।

ব্যাখ্যা: পরিসরে সবসময় $1$ যোগ করতে হয়।

উত্তর: খ) $35$; গ) $7$

3. $40$ জন শিক্ষার্থীর প্রিয় খেলা: ক্রিকেট $18$ জন, ফুটবল $12$ জন, ব্যাডমিন্টন $6$ জন এবং অন্যান্য $4$ জন।
ক. পাইচিত্রে কেন্দ্রে মোট কত ডিগ্রি কোণ থাকে? (২)
খ. ক্রিকেটের জন্য পাইচিত্রে কোণ নির্ণয় কর। (৪)
গ. বাকি খেলাগুলোর কোণ নির্ণয় করে যাচাই কর যে কোণগুলোর যোগফল $360^\circ$। (৪)

সমাধান:

ক) বৃত্তের কেন্দ্রে মোট কোণ $360^\circ$।

খ) ক্রিকেটের কোণ $= \frac{18}{40} \times 360^\circ = 162^\circ$।

গ) ফুটবলের কোণ $= \frac{12}{40} \times 360^\circ = 108^\circ$।

ব্যাডমিন্টনের কোণ $= \frac{6}{40} \times 360^\circ = 54^\circ$ এবং অন্যান্যের কোণ $= \frac{4}{40} \times 360^\circ = 36^\circ$।

যোগফল $= 162^\circ + 108^\circ + 54^\circ + 36^\circ = 360^\circ$। (যাচাই হলো)

ব্যাখ্যা: কোণ $= \frac{a}{n}$ এর সূত্রে $360^\circ$ দিয়ে গুণ করা হয়েছে।

উত্তর: খ) $162^\circ$; গ) $108^\circ$, $54^\circ$, $36^\circ$

4. $20$ জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: নম্বর $40$ এর গণসংখ্যা $3$, নম্বর $50$ এর গণসংখ্যা $5$, নম্বর $60$ এর গণসংখ্যা $8$ এবং নম্বর $70$ এর গণসংখ্যা $4$।
ক. গণসংখ্যা বলতে কী বোঝ? (২)
খ. নম্বরগুলোর গড় নির্ণয় কর। (৪)
গ. নম্বরগুলোর মধ্যক নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) কোনো সংখ্যা উপাত্তে যতবার আসে, সেই সংখ্যাকে ঐ সংখ্যার গণসংখ্যা বা ঘটনসংখ্যা বলে।

খ) $\sum fx = 3 \times 40 + 5 \times 50 + 8 \times 60 + 4 \times 70 = 120 + 250 + 480 + 280 = 1130$।

গড় $= \frac{1130}{20} = 56.5$।

গ) যোজিত গণসংখ্যা যথাক্রমে $3, 8, 16, 20$।

$n = 20$ জোড়, তাই মধ্যক $=$ ১০ম ও ১১শ পদের গড়।

১০ম ও ১১শ পদ দুইটিই $60$ এর মধ্যে পড়ে। তাই মধ্যক $= \frac{60 + 60}{2} = 60$।

ব্যাখ্যা: যোজিত গণসংখ্যা থেকে পদের অবস্থান বের হয়।

উত্তর: খ) $56.5$; গ) $60$

5. কয়েকটি সংখ্যা: $7, 3, 9, 5, 11, 8, 4$।
ক. মধ্যক কাকে বলে? (২)
খ. সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় কর। (৪)
গ. উপাত্তে আরেকটি সংখ্যা $6$ যোগ করা হলে নতুন মধ্যক কত হবে? (৪)

সমাধান:

ক) উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে সমান দুই ভাগে ভাগ করলে মাঝখানের সংখ্যাকে মধ্যক বলে।

খ) ক্রমানুসারে সাজালে: $3, 4, 5, 7, 8, 9, 11$।

$n = 7$ বিজোড়, তাই মধ্যক $= \frac{7 + 1}{2} = 4$র্থ পদ $= 7$।

গ) $6$ যোগ করে সাজালে: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11$। এখন $n = 8$ জোড়।

মধ্যক $=$ ৪র্থ ও ৫ম পদের গড় $= \frac{6 + 7}{2} = 6.5$।

ব্যাখ্যা: বিজোড় হলে একটি মধ্যপদ, জোড় হলে দুইটি মধ্যপদের গড়।

উত্তর: খ) $7$; গ) $6.5$

6. কোনো উপাত্ত: $4, 6, 4, 8, 6, 4, 9, 4, 7, 8$।
ক. প্রচুরক কাকে বলে? (২)
খ. উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় কর। (৪)
গ. উপাত্তের গড় ও মধ্যক নির্ণয় করে তুলনা কর। (৪)

সমাধান:

ক) কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার থাকে তাকে প্রচুরক বলে।

খ) $4$ আছে $4$ বার, $6$ আছে $2$ বার, $8$ আছে $2$ বার। তাই প্রচুরক $= 4$।

গ) যোগফল $= 4 + 6 + 4 + 8 + 6 + 4 + 9 + 4 + 7 + 8 = 60$। গড় $= \frac{60}{10} = 6$।

ক্রমানুসারে: $4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9$। মধ্যক $= \frac{6 + 6}{2} = 6$।

তাই গড় ও মধ্যক সমান ($6$), কিন্তু প্রচুরক $4$, যা এদের চেয়ে ছোট।

ব্যাখ্যা: তিনটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপই বের করা হলো।

উত্তর: খ) $4$; গ) গড় $6$, মধ্যক $6$

7. $20$ জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বরের শ্রেণিব্যাপ্তি ও গণসংখ্যা: $11-20$ এ $4$ জন, $21-30$ এ $6$ জন, $31-40$ এ $8$ জন এবং $41-50$ এ $2$ জন।
ক. শ্রেণি মধ্যমান নির্ণয়ের সূত্র লেখ। (২)
খ. প্রতিটি শ্রেণির শ্রেণি মধ্যমান নির্ণয় কর। (৪)
গ. নম্বরগুলোর গড় নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) শ্রেণি মধ্যমান $= \frac{L + U}{2}$, যেখানে $L$ শ্রেণির নিম্নসীমা এবং $U$ ঊর্ধ্বসীমা।

খ) মধ্যমান: $\frac{11 + 20}{2} = 15.5$, $\frac{21 + 30}{2} = 25.5$, $\frac{31 + 40}{2} = 35.5$, $\frac{41 + 50}{2} = 45.5$।

গ) $\sum fx = 4 \times 15.5 + 6 \times 25.5 + 8 \times 35.5 + 2 \times 45.5$।

$= 62 + 153 + 284 + 91 = 590$।

গড় $= \frac{590}{20} = 29.5$।

ব্যাখ্যা: শ্রেণিব্যাপ্তি দেওয়া থাকলে গড়ে মধ্যমান ব্যবহার করতে হয়।

উত্তর: খ) $15.5, 25.5, 35.5, 45.5$; গ) $29.5$

8. কোনো পরীক্ষায় $20$ জনের নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: $20-24$ এ $4$ জন, $25-29$ এ $6$ জন, $30-34$ এ $5$ জন, $35-39$ এ $3$ জন এবং $40-44$ এ $2$ জন।
ক. এখানে শ্রেণিব্যাপ্তি কত? (২)
খ. কোন শ্রেণিতে গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি? আয়তলেখে ঐ শ্রেণির আয়তের উচ্চতা কত? (৪)
গ. কতজন $30$ বা তার বেশি নম্বর পেয়েছে? (৪)

সমাধান:

ক) শ্রেণিব্যাপ্তি $= (24 - 20) + 1 = 5$।

খ) সবচেয়ে বেশি গণসংখ্যা $6$, যা $25-29$ শ্রেণিতে।

আয়তলেখে ভূমি হয় শ্রেণিব্যাপ্তি এবং উচ্চতা হয় গণসংখ্যা। তাই ঐ আয়তের উচ্চতা $6$ একক।

গ) $30$ বা তার বেশি নম্বর পেয়েছে $30-34$, $35-39$ ও $40-44$ শ্রেণির শিক্ষার্থীরা।

সংখ্যা $= 5 + 3 + 2 = 10$ জন।

ব্যাখ্যা: আয়তলেখে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যাপ্তি এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নেওয়া হয়।

উত্তর: ক) $5$; খ) $25-29$, উচ্চতা $6$; গ) $10$ জন