Class 8 Math Chapter 10 Circle Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) ব্যাস $= 2r = 2 \times 7 = 14$ সেমি।

খ) পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ সেমি।

গ) ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 154$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

উত্তর: ক) $14$ সেমি; খ) $44$ সেমি; গ) $154$ বর্গ সেমি

2. একটি বৃত্তাকার মাঠের পরিধি $88$ মিটার। ($\pi = \frac{22}{7}$ ধর)
ক. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কী নির্দেশ করে? (২)
খ. মাঠের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। (৪)
গ. মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত একটি ধ্রুবক, যাকে $\pi$ (পাই) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ $\frac{c}{d} = \pi$।

খ) $2\pi r = 88$, অর্থাৎ $2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$।

$r = 88 \times \frac{7}{44} = 14$ মিটার।

গ) ক্ষেত্রফল $= \frac{22}{7} \times 14^2 = \frac{22}{7} \times 196 = 616$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: পরিধি থেকে আগে ব্যাসার্ধ বের করতে হয়।

উত্তর: খ) $14$ মিটার; গ) $616$ বর্গমিটার

3. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $10$ সেমি এবং $AB$ একটি জ্যা, যার দৈর্ঘ্য $16$ সেমি। $OM \perp AB$।
ক. কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে কীভাবে বিভক্ত করে? (২)
খ. কেন্দ্র থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব নির্ণয় কর। (৪)
গ. কেন্দ্র থেকে একই দূরত্বে আরেকটি জ্যা $CD$ থাকলে $CD$ এর দৈর্ঘ্য কত? কারণসহ লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

খ) $AM = \frac{16}{2} = 8$ সেমি। সমকোণী $\triangle OAM$ এ $OA^2 = OM^2 + AM^2$।

$OM^2 = 100 - 64 = 36$, তাই $OM = 6$ সেমি।

গ) কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা পরস্পর সমান। $OM = 6$ সেমি হওয়ায় $CD = AB = 16$ সেমি।

ব্যাখ্যা: জ্যা-এর অর্ধেক, কেন্দ্র থেকে দূরত্ব ও ব্যাসার্ধ সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।

উত্তর: খ) $6$ সেমি; গ) $16$ সেমি

4. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $13$ সেমি। বৃত্তের একটি জ্যা কেন্দ্র থেকে $5$ সেমি দূরে আছে।
ক. কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা-এর মধ্যে কী সম্পর্ক? (২)
খ. জ্যাটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪)
গ. জ্যা-এর প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও কেন্দ্র যোগ করে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।

খ) জ্যা-এর অর্ধেক $= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ সেমি।

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $= 2 \times 12 = 24$ সেমি।

গ) ত্রিভুজের ভূমি $24$ সেমি এবং উচ্চতা $5$ সেমি।

ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

উত্তর: খ) $24$ সেমি; গ) $60$ বর্গ সেমি

5. দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $9$ সেমি ও $4$ সেমি। ($\pi = 3.14$ ধর)
ক. সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলতে কী বোঝ? (২)
খ. বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. বৃত্তদ্বয়ের মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) যেসব বৃত্তের কেন্দ্র একই বিন্দু কিন্তু ব্যাসার্ধ ভিন্ন, তাদের সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে।

খ) বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= 3.14 \times 9^2 = 3.14 \times 81 = 254.34$ বর্গ সেমি।

গ) ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= 3.14 \times 16 = 50.24$ বর্গ সেমি।

মধ্যবর্তী এলাকা $= 254.34 - 50.24 = 204.10$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে $\pi (R^2 - r^2) = 3.14 \times 65 = 204.10$।

উত্তর: খ) $254.34$ বর্গ সেমি; গ) $204.10$ বর্গ সেমি

6. একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ব্যাসার্ধ $7$ সেমি এবং উচ্চতা $10$ সেমি। ($\pi = \frac{22}{7}$ ধর)
ক. বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র লেখ। (২)
খ. বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r h$ বর্গ একক।

খ) $2\pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440$ বর্গ সেমি।

গ) সমগ্রতল $= 2\pi r (r + h) = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10)$।

$= 44 \times 17 = 748$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: সমগ্রতল $=$ বক্রতল $+$ দুই প্রান্তের দুইটি বৃত্ত।

উত্তর: খ) $440$ বর্গ সেমি; গ) $748$ বর্গ সেমি

7. একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস $28$ মিটার। রহিম পার্কের চারদিকে $5$ বার ঘুরে হাঁটল। ($\pi = \frac{22}{7}$ ধর)
ক. পার্কের ব্যাসার্ধ কত? (২)
খ. পার্কের পরিসীমা নির্ণয় কর। (৪)
গ. রহিম মোট কত মিটার হাঁটল এবং পার্কের ক্ষেত্রফল কত? (৪)

সমাধান:

ক) ব্যাসার্ধ $= \frac{28}{2} = 14$ মিটার।

খ) পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 88$ মিটার।

গ) $5$ বারে হাঁটা $= 5 \times 88 = 440$ মিটার।

ক্ষেত্রফল $= \frac{22}{7} \times 14^2 = \frac{22}{7} \times 196 = 616$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: চারদিকে একবার ঘোরা মানে একবার পরিধি।

উত্তর: খ) $88$ মিটার; গ) $440$ মিটার, $616$ বর্গমিটার

8. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা এবং $M$ এর মধ্যবিন্দু। $O, A$ এবং $O, B$ ও $O, M$ যোগ করা হলো।
ক. $\triangle OAM$ ও $\triangle OBM$ কোন শর্তে সর্বসম? (২)
খ. প্রমাণ কর যে, $OM \perp AB$। (৪)
গ. $AB = 12$ সেমি ও $OM = 8$ সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? (৪)

সমাধান:

ক) $AM = BM$, $OA = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) ও $OM$ সাধারণ বাহু। তাই বাহু-বাহু-বাহু শর্তে সর্বসম।

খ) সর্বসমতা থেকে $\angle OMA = \angle OMB$।

এরা রৈখিক যুগল কোণ, তাই এদের সমষ্টি $180^\circ$। সুতরাং প্রতিটি $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$।

অতএব $OM \perp AB$। (প্রমাণিত)

গ) $AM = 6$ সেমি। $OA^2 = OM^2 + AM^2 = 64 + 36 = 100$, তাই $OA = 10$ সেমি।

ব্যাখ্যা: সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান।

উত্তর: গ) ব্যাসার্ধ $10$ সেমি