Class 8 Math Chapter 7 Set Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) সু-সংজ্ঞায়িত বস্তু বা সংগ্রহের সমাবেশকে সেট বলে।

খ) $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$। গুণনীয়কগুলো $1, 2, 3, 4, 6, 12$।

নির্ণেয় সেট $= \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$।

গ) সেটের উপাদানগুলো $3$ এর গুণিতক এবং $15$ এর চেয়ে বড় নয়।

সেট গঠন পদ্ধতিতে $= \{x : x, 3$ এর গুণিতক এবং $x \leq 15\}$।

ব্যাখ্যা: $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ধরা হয়।

উত্তর: খ) $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

2. $A = \{x : x$ বিজোড় মৌলিক সংখ্যা, $x < 10\}$ একটি সেট।
ক. ফাঁকা সেট কাকে বলে? (২)
খ. $A$ কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং উপাদান সংখ্যা লেখ। (৪)
গ. $A$ এর সবগুলো উপসেট লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) যে সেটের কোনো উপাদান নেই, তাকে ফাঁকা সেট বলে। এটি $\emptyset$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

খ) $10$ এর ছোট বিজোড় মৌলিক সংখ্যা $3, 5, 7$। অতএব $A = \{3, 5, 7\}$ এবং উপাদান সংখ্যা $3$।

গ) $3$ টি উপাদানের সেটের উপসেট সংখ্যা $2^3 = 8$।

উপসেটগুলো: $\emptyset$, $\{3\}$, $\{5\}$, $\{7\}$, $\{3, 5\}$, $\{3, 7\}$, $\{5, 7\}$ ও $\{3, 5, 7\}$।

ব্যাখ্যা: $n$ টি উপাদান থাকলে উপসেট $2^n$ টি।

উত্তর: খ) $\{3, 5, 7\}$; গ) $8$ টি উপসেট

3. $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ একটি সার্বিক সেট এবং $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$।
ক. পূরক সেট কাকে বলে? (২)
খ. $A^c$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $A \cup A^c$ ও $A \cap A^c$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $U$ সার্বিক সেট ও $A$ সেটটি $U$ এর উপসেট হলে, $U$ এর যেসব উপাদান $A$ এ নেই তাদের সেটকে $A$ এর পূরক সেট বলে।

খ) $A^c = U$ এর যেসব উপাদান $A$ এ নেই $= \{1, 3, 5, 7, 9\}$।

গ) $A \cup A^c = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = U$।

$A \cap A^c$ এ কোনো সাধারণ উপাদান নেই। তাই $A \cap A^c = \emptyset$।

ব্যাখ্যা: $A \cup A^c = U$ ও $A \cap A^c = \emptyset$ সবসময় সত্য।

উত্তর: খ) $\{1, 3, 5, 7, 9\}$

4. $P = \{2, 3, 5, 7\}$ এবং $Q = \{1, 3, 5, 9\}$।
ক. $P \cup Q$ নির্ণয় কর। (২)
খ. $P \cap Q$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $n(P \cup Q) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q)$ সূত্রটি যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) $P \cup Q = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ (সব উপাদান, পুনরাবৃত্তি ছাড়া)।

খ) $P \cap Q = \{3, 5\}$ (সাধারণ উপাদান)।

গ) $n(P) = 4$, $n(Q) = 4$, $n(P \cap Q) = 2$।

ডানপক্ষ $= 4 + 4 - 2 = 6$ এবং বামপক্ষ $n(P \cup Q) = 6$। অতএব সূত্রটি যাচাই হলো।

ব্যাখ্যা: সংযোগ সেটে সাধারণ উপাদান একবারই লেখা হয়।

উত্তর: ক) $\{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$; খ) $\{3, 5\}$

5. একটি শ্রেণির $40$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $25$ জন ক্রিকেট, $20$ জন ফুটবল এবং $8$ জন দুইটিই খেলে।
ক. ছেদ সেট কাকে বলে? (২)
খ. কতজন কমপক্ষে একটি খেলা খেলে? (৪)
গ. কতজন কোনোটিই খেলে না এবং কতজন শুধু ফুটবল খেলে? (৪)

সমাধান:

ক) দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে।

খ) ক্রিকেট $A$ ও ফুটবল $B$ ধরি। $n(A) = 25$, $n(B) = 20$, $n(A \cap B) = 8$।

$n(A \cup B) = 25 + 20 - 8 = 37$। কমপক্ষে একটি খেলে $37$ জন।

গ) কোনোটিই খেলে না $= 40 - 37 = 3$ জন।

শুধু ফুটবল খেলে $= n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$ জন।

ব্যাখ্যা: সবাই মিলে সার্বিক সেট, এখানে $n(U) = 40$।

উত্তর: খ) $37$ জন; গ) $3$ জন, $12$ জন

6. $A = \{x : x$ জোড় মৌলিক সংখ্যা$\}$ এবং $B = \{x : x$ বিজোড় মৌলিক সংখ্যা, $x < 8\}$।
ক. নিস্পেদ সেট কাকে বলে? (২)
খ. $A \cap B$ নির্ণয় কর এবং সেট দুইটি নিস্পেদ কি না লেখ। (৪)
গ. $A \cup B$ নির্ণয় কর এবং এর উপাদান সংখ্যা লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) দুইটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকলে সেট দুইটিকে পরস্পর নিস্পেদ সেট বলে।

খ) একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা $2$। তাই $A = \{2\}$ এবং $B = \{3, 5, 7\}$।

$A \cap B = \emptyset$ (কোনো সাধারণ উপাদান নেই)। অতএব সেট দুইটি পরস্পর নিস্পেদ।

গ) $A \cup B = \{2, 3, 5, 7\}$ এবং উপাদান সংখ্যা $4$।

ব্যাখ্যা: নিস্পেদ সেটের ছেদ সেট ফাঁকা সেট।

উত্তর: খ) নিস্পেদ; গ) $\{2, 3, 5, 7\}$, $4$ টি

7. $P = \{x : x, 2$ এর গুণিতক এবং $x \leq 8\}$ ও $Q = \{x : x, 4$ এর গুণিতক এবং $x \leq 12\}$।
ক. $P$ কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। (২)
খ. $P \cap Q$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $P \cup Q$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $2$ এর গুণিতক যা $8$ এর বেশি নয়: $P = \{2, 4, 6, 8\}$।

খ) $Q = \{4, 8, 12\}$।

সাধারণ উপাদান $4$ ও $8$। অতএব $P \cap Q = \{4, 8\}$।

গ) $P \cup Q = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{4, 8, 12\} = \{2, 4, 6, 8, 12\}$।

ব্যাখ্যা: সংযোগ সেটে প্রতিটি উপাদান একবার লেখা হয়।

উত্তর: খ) $\{4, 8\}$; গ) $\{2, 4, 6, 8, 12\}$

8. অষ্টম শ্রেণির $60$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $9$ জন অনুপস্থিত। আরও একটি ঘটনা: $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{2, 4, 6\}$ ও $B = \{1, 2, 3\}$।
ক. সার্বিক সেট কাকে বলে? (২)
খ. উপস্থিত শিক্ষার্থীর সেটের উপাদান সংখ্যা কত? (৪)
গ. $(A \cup B)^c$ নির্ণয় কর এবং $A^c \cap B^c$ এর সাথে তুলনা কর। (৪)

সমাধান:

ক) আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয়, তবে ঐ সেটকে সার্বিক সেট বলে। এটি $U$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

খ) সার্বিক সেট $60$ জনের। অনুপস্থিত সেটের পূরক সেটই উপস্থিত শিক্ষার্থীর সেট। উপাদান সংখ্যা $60 - 9 = 51$।

গ) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$। তাই $(A \cup B)^c = \{5\}$।

আবার $A^c = \{1, 3, 5\}$ এবং $B^c = \{4, 5, 6\}$। অতএব $A^c \cap B^c = \{5\}$।

দেখা যায় $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$।

ব্যাখ্যা: এটি দ্য মরগানের সূত্র।

উত্তর: খ) $51$ জন; গ) $\{5\}$