Class 8 Math Chapter 6 Simultaneous Equations Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) যোগ করে পাই $2x = 16$।

খ) $2x = 16$ থেকে $x = 8$।

$x + y = 12$ এ $x = 8$ বসিয়ে $y = 12-8 = 4$। সমাধান $(x, y) = (8, 4)$।

গ) $xy = 8 \times 4 = 32$।

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 12 \times 4 = 48$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $8+4 = 12$ ও $8-4 = 4$।

উত্তর: খ) $x = 8$, $y = 4$; গ) $32$ ও $48$

2. দুইটি সমীকরণ: $y = 2x - 1$ এবং $3x + 2y = 12$।
ক. দ্বিতীয় সমীকরণে $y$ এর মান বসিয়ে $x$ এর সমীকরণ গঠন কর। (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $y$ এর মান নির্ণয় কর এবং সমাধান যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) $3x + 2(2x-1) = 12$, অর্থাৎ $7x - 2 = 12$।

খ) $7x = 14$, তাই $x = 2$।

গ) $y = 2x-1 = 2 \times 2 - 1 = 3$।

যাচাই: $3 \times 2 + 2 \times 3 = 6+6 = 12$ এবং $2 \times 2 - 1 = 3$। সমাধান $(2, 3)$।

ব্যাখ্যা: এটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতি।

উত্তর: খ) $x = 2$; গ) $y = 3$

3. $2x + 3y = 12$ এবং $4x - 3y = 6$।
ক. কোন চলকের সহগ সংখ্যাগতভাবে সমান এবং এটি অপনয়নের জন্য যোগ না বিয়োগ করতে হবে? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $y$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $y$ এর সহগ $3$ ও $-3$, সংখ্যাগতভাবে সমান কিন্তু চিহ্ন বিপরীত। তাই সমীকরণ দুইটি যোগ করতে হবে।

খ) যোগ করে $6x = 18$, তাই $x = 3$।

গ) $2x + 3y = 12$ এ $x = 3$ বসিয়ে $6 + 3y = 12$।

$3y = 6$, তাই $y = 2$। সমাধান $(3, 2)$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $4 \times 3 - 3 \times 2 = 12-6 = 6$।

উত্তর: খ) $x = 3$; গ) $y = 2$

4. $3x + 2y = 12$ ...(১) এবং $2x - y = 1$ ...(২)।
ক. (২) নং সমীকরণকে $2$ দ্বারা গুণ করার কারণ কী? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $y$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) (২) কে $2$ দ্বারা গুণ করলে $y$ এর সহগ $-2$ হয়, যা (১) এর $y$ এর সহগ $2$ এর বিপরীত। তখন যোগ করে $y$ অপনয়ন করা যায়।

খ) $4x - 2y = 2$ ...(৩)।

(১) ও (৩) যোগ করে $7x = 14$, তাই $x = 2$।

গ) (২) এ $x = 2$ বসিয়ে $4 - y = 1$, তাই $y = 3$।

যাচাই: $3 \times 2 + 2 \times 3 = 12$।

ব্যাখ্যা: সহগ সমান বা বিপরীত করাই অপনয়নের মূল কথা।

উত্তর: খ) $x = 2$; গ) $y = 3$

5. দুইটি সংখ্যার যোগফল $50$ এবং বিয়োগফল $12$ (বড় সংখ্যা থেকে ছোটটি)।
ক. সংখ্যা দুইটিকে $x, y$ ধরে সমীকরণ গঠন কর। (২)
খ. সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর। (৪)
গ. সংখ্যা দুইটির গুণফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) বড় সংখ্যা $x$ ও ছোট সংখ্যা $y$ হলে $x + y = 50$ এবং $x - y = 12$।

খ) যোগ করে $2x = 62$, তাই $x = 31$।

$y = 50-31 = 19$। সংখ্যা দুইটি $31$ ও $19$।

গ) গুণফল $= 31 \times 19 = 589$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $31-19 = 12$।

উত্তর: খ) $31$ ও $19$; গ) $589$

6. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি $50$ বছর। $5$ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ হবে।
ক. পিতার বর্তমান বয়স $x$ ও পুত্রের $y$ ধরে প্রথম শর্তের সমীকরণ লেখ। (২)
খ. দ্বিতীয় শর্ত থেকে সমীকরণ গঠন কর। (৪)
গ. তাদের বর্তমান বয়স নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x + y = 50$ ...(১)।

খ) $5$ বছর পর পিতার বয়স $x+5$ ও পুত্রের বয়স $y+5$।

শর্ত অনুসারে $x + 5 = 3(y+5)$, অর্থাৎ $x + 5 = 3y + 15$, তাই $x - 3y = 10$ ...(২)।

গ) (১) থেকে (২) বিয়োগ করে $4y = 40$, তাই $y = 10$।

$x = 50-10 = 40$। পিতার বয়স $40$ বছর ও পুত্রের বয়স $10$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $5$ বছর পর $45 = 3 \times 15$।

উত্তর: গ) পিতা $40$ বছর, পুত্র $10$ বছর

7. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $9$। অঙ্ক দুইটির স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি আগের চেয়ে $27$ বেশি হয়।
ক. দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ ও একক স্থানীয় অঙ্ক $y$ হলে সংখ্যাটি $x, y$ এর মাধ্যমে লেখ। (২)
খ. সমীকরণ গঠন কর। (৪)
গ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) সংখ্যাটি $10x + y$।

খ) প্রথম শর্তে $x + y = 9$ ...(১)।

স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যা $10y + x$। শর্তে $(10y+x) - (10x+y) = 27$, অর্থাৎ $9y - 9x = 27$, তাই $y - x = 3$ ...(২)।

গ) (১) ও (২) যোগ করে $2y = 12$, তাই $y = 6$।

$x = 9-6 = 3$। সংখ্যাটি $10 \times 3 + 6 = 36$।

যাচাই: $63-36 = 27$।

ব্যাখ্যা: অঙ্কের স্থান বিনিময়ে সংখ্যা $10y + x$ হয়।

উত্তর: গ) সংখ্যাটি $36$

8. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$ এবং $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$।
ক. $\frac{1}{x} = u$ ও $\frac{1}{y} = v$ ধরে সমীকরণ দুইটি লেখ। (২)
খ. $u$ ও $v$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $u + v = 5$ ...(১) এবং $u - v = 1$ ...(২)।

খ) যোগ করে $2u = 6$, তাই $u = 3$।

(১) এ $u = 3$ বসিয়ে $v = 5-3 = 2$।

গ) $\frac{1}{x} = 3$ থেকে $x = \frac{1}{3}$।

$\frac{1}{y} = 2$ থেকে $y = \frac{1}{2}$।

ব্যাখ্যা: চলকের বিপরীত ধরে রৈখিক সমীকরণে রূপান্তর করা হয়েছে।

উত্তর: খ) $u = 3$, $v = 2$; গ) $x = \frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{2}$