Class 8 Math Chapter 5 Algebraic Fractions Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) লব ও হরের কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে আছে বলা হয়। লব ও হরকে তাদের গ.সা.গু. দিয়ে ভাগ করলে লঘিষ্ঠ আকার পাওয়া যায়।

খ) $12$ ও $18$ এর গ.সা.গু. $6$, $a^2$ ও $a$ এর গ.সা.গু. $a$, $b^3$ ও $b^2$ এর গ.সা.গু. $b^2$। লব ও হরের গ.সা.গু. $6ab^2$।

$\frac{12a^2b^3}{18ab^2} = \frac{12a^2b^3 \div 6ab^2}{18ab^2 \div 6ab^2} = \frac{2ab}{3}$।

গ) লব $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ এবং হর $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$।

গ.সা.গু. $= x+3$। অতএব $\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+3)} = \frac{x-3}{x+3}$।

ব্যাখ্যা: লব ও হরকে আগে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।

উত্তর: খ) $\frac{2ab}{3}$; গ) $\frac{x-3}{x+3}$

2. তিনটি ভগ্নাংশ $\frac{a}{2b}$, $\frac{c}{3b^2}$ ও $\frac{d}{6b}$।
ক. হরগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (২)
খ. ভগ্নাংশ তিনটিকে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত কর। (৪)
গ. ভগ্নাংশ তিনটির যোগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $2b$, $3b^2$ ও $6b$ এর ল.সা.গু. $= 6b^2$।

খ) $\frac{a}{2b} = \frac{a \times 3b}{2b \times 3b} = \frac{3ab}{6b^2}$।

$\frac{c}{3b^2} = \frac{c \times 2}{3b^2 \times 2} = \frac{2c}{6b^2}$ এবং $\frac{d}{6b} = \frac{d \times b}{6b \times b} = \frac{bd}{6b^2}$।

গ) যোগফল $= \frac{3ab}{6b^2} + \frac{2c}{6b^2} + \frac{bd}{6b^2} = \frac{3ab + 2c + bd}{6b^2}$।

ব্যাখ্যা: সাধারণ হর ল.সা.গু. দিয়ে নেওয়া হয়।

উত্তর: ক) $6b^2$; গ) $\frac{3ab+2c+bd}{6b^2}$

3. দুইটি ভগ্নাংশ $\frac{1}{x-1}$ ও $\frac{1}{x+1}$।
ক. হরগুলোর ল.সা.গু. কত? (২)
খ. ভগ্নাংশ দুইটি যোগ কর। (৪)
গ. প্রথম ভগ্নাংশ থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশ বিয়োগ কর। (৪)

সমাধান:

ক) হর $x-1$ ও $x+1$ এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। ল.সা.গু. $= (x-1)(x+1) = x^2-1$।

খ) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1}$।

গ) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}$।

ব্যাখ্যা: বিয়োগে দ্বিতীয় লবের সব পদের চিহ্ন বদলে যায়।

উত্তর: ক) $x^2-1$; খ) $\frac{2x}{x^2-1}$; গ) $\frac{2}{x^2-1}$

4. $\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-2}$ একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. হরদ্বয়ের ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (২)
খ. রাশিটিকে একটি ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $x = 3$ হলে রাশিটির মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ল.সা.গু. $= (x+2)(x-2) = x^2-4$।

খ) $\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-2} = \frac{2(x-2) + 3(x+2)}{x^2-4}$।

$= \frac{2x-4+3x+6}{x^2-4} = \frac{5x+2}{x^2-4}$।

গ) $x = 3$ হলে মান $= \frac{5 \times 3+2}{9-4} = \frac{17}{5}$।

যাচাই: $\frac{2}{5} + \frac{3}{1} = \frac{2}{5} + 3 = \frac{17}{5}$।

ব্যাখ্যা: মূল রাশিতে মান বসিয়ে যাচাই করা হয়েছে।

উত্তর: খ) $\frac{5x+2}{x^2-4}$; গ) $\frac{17}{5}$

5. $\frac{x}{x-y} - \frac{y}{x+y}$ একটি রাশি।
ক. হরদ্বয়ের ল.সা.গু. কত? (২)
খ. বিয়োগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $x = 3$, $y = 1$ হলে বিয়োগফলের মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ল.সা.গু. $= (x-y)(x+y) = x^2-y^2$।

খ) $\frac{x}{x-y} - \frac{y}{x+y} = \frac{x(x+y) - y(x-y)}{x^2-y^2}$।

$= \frac{x^2+xy-xy+y^2}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$।

গ) মান $= \frac{9+1}{9-1} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$।

যাচাই: $\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6-1}{4} = \frac{5}{4}$।

ব্যাখ্যা: মান বসিয়ে যাচাই করলে ভুলের সম্ভাবনা কমে।

উত্তর: খ) $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$; গ) $\frac{5}{4}$

6. দুইটি ভগ্নাংশ $\frac{x^2-1}{x+2}$ ও $\frac{x+2}{x-1}$।
ক. $x^2-1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (২)
খ. ভগ্নাংশ দুইটির গুণফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $x = 4$ হলে গুণফলের মান কত? (৪)

সমাধান:

ক) $x^2-1 = (x+1)(x-1)$।

খ) গুণফল $= \frac{(x+1)(x-1)}{x+2} \times \frac{x+2}{x-1}$।

লব ও হরের সাধারণ উৎপাদক $(x+2)$ ও $(x-1)$ কেটে পাই $x+1$।

গ) $x = 4$ হলে গুণফল $= 4+1 = 5$।

ব্যাখ্যা: গুণের আগে কাটাকাটি করলে সহজ হয়।

উত্তর: খ) $x+1$; গ) $5$

7. $\frac{x^2-4}{x+3} \div \frac{x-2}{x^2-9}$ একটি রাশি।
ক. ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ কীভাবে করা হয়? (২)
খ. রাশিটির ভাগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $x = 5$ হলে ভাগফলের মান কত? (৪)

সমাধান:

ক) ভাজক ভগ্নাংশের লব ও হর উল্টে নিয়ে গুণ করতে হয়।

খ) ভাগফল $= \frac{x^2-4}{x+3} \times \frac{x^2-9}{x-2}$।

$= \frac{(x+2)(x-2)}{x+3} \times \frac{(x+3)(x-3)}{x-2} = (x+2)(x-3)$।

$= x^2 - x - 6$।

গ) $x = 5$ হলে মান $= (5+2)(5-3) = 7 \times 2 = 14$।

ব্যাখ্যা: বিশ্লেষণ করে কাটাকাটি করা হয়েছে।

উত্তর: খ) $(x+2)(x-3)$; গ) $14$

8. সরল কর: $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2+1}$।
ক. প্রথম দুইটি ভগ্নাংশের বিয়োগফল নির্ণয় কর। (২)
খ. সম্পূর্ণ রাশিটি সরল কর। (৪)
গ. $x = 2$ হলে সরলফলের মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1}$।

খ) রাশি $= \frac{2}{x^2-1} - \frac{2}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1) - 2(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)}$।

$= \frac{2x^2+2-2x^2+2}{x^4-1} = \frac{4}{x^4-1}$।

গ) $x = 2$ হলে $x^4 = 16$। মান $= \frac{4}{16-1} = \frac{4}{15}$।

যাচাই: $1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{15-5-6}{15} = \frac{4}{15}$।

ব্যাখ্যা: ধাপে ধাপে দুইটি করে ভগ্নাংশ নিয়ে সরল করা হয়।

উত্তর: খ) $\frac{4}{x^4-1}$; গ) $\frac{4}{15}$