Class 8 Math Chapter 4 Algebraic Formulae Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$।

খ) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8^2 - 2 \times 15 = 64-30 = 34$।

গ) $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 64 - 4 \times 15 = 64-60 = 4$।

ব্যাখ্যা: $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ অনুসিদ্ধান্ত।

উত্তর: খ) $34$; গ) $4$

2. $x - \frac{1}{x} = 3$।
ক. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ কে $x - \frac{1}{x}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। (২)
খ. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $x^4 + \frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2$।

খ) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 + 2 = 9+2 = 11$।

গ) $x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 11^2 - 2 = 121-2 = 119$।

ব্যাখ্যা: $x \times \frac{1}{x} = 1$ বলে সূত্রে $2ab = 2$ আসে।

উত্তর: খ) $11$; গ) $119$

3. $a - b = 5$ এবং $ab = 14$।
ক. $a^2 + b^2$ কে $a - b$ ও $ab$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। (২)
খ. $a^2 + b^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $a, b$ ধনাত্মক হলে $a + b$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$।

খ) $a^2 + b^2 = 5^2 + 2 \times 14 = 25+28 = 53$।

গ) $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 25 + 56 = 81$।

$a, b$ ধনাত্মক হওয়ায় $a + b = \sqrt{81} = 9$।

ব্যাখ্যা: $(a+b)^2$ ও $(a-b)^2$ এর সম্পর্ক ব্যবহার হয়েছে।

উত্তর: খ) $53$; গ) $9$

4. তিনটি রাশি: $(3x-2y)$, $(2x+3)(2x-5)$ এবং $(5a+3b)(5a-3b)$।
ক. $(3x-2y)^2$ এর বিস্তৃতি লেখ। (২)
খ. $(2x+3)(2x-5)$ কে সূত্রের সাহায্যে গুণ কর। (৪)
গ. $a = 2$ ও $b = 1$ হলে $(5a+3b)(5a-3b)$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(3x-2y)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2y + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$।

খ) $2x$ কে $x$ ধরে $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ প্রয়োগ করি: $a = 3$, $b = -5$।

$(2x+3)(2x-5) = (2x)^2 + (3-5)(2x) + 3 \times (-5) = 4x^2 - 4x - 15$।

গ) $(5a+3b)(5a-3b) = (5a)^2 - (3b)^2 = 25a^2 - 9b^2$।

$a = 2$, $b = 1$ হলে $= 25 \times 4 - 9 \times 1 = 100-9 = 91$।

ব্যাখ্যা: দুই রাশির যোগফল ও বিয়োগফলের গুণফল বর্গের অন্তর।

উত্তর: খ) $4x^2 - 4x - 15$; গ) $91$

5. $a + b = 4$ এবং $ab = 3$।
ক. $a^3 + b^3$ এর সূত্র $a + b$ ও $ab$ এর মাধ্যমে লেখ। (২)
খ. $a^3 + b^3$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ সূত্র ব্যবহার করে খ-এর ফল যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।

খ) $a^3 + b^3 = 4^3 - 3 \times 3 \times 4 = 64-36 = 28$।

গ) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 16-6 = 10$।

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 4 \times (10-3) = 4 \times 7 = 28$। ফল মিলেছে।

ব্যাখ্যা: দুই সূত্রে একই উত্তর পাওয়া গেছে।

উত্তর: খ) $28$

6. $a - b = 2$ এবং $ab = 15$।
ক. $(a-b)^3$ এর সূত্র লেখ। (২)
খ. $a^3 - b^3$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $a, b$ ধনাত্মক হলে $a$ ও $b$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$।

খ) $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) = 2^3 + 3 \times 15 \times 2 = 8+90 = 98$।

গ) $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 4+60 = 64$। তাই $a + b = 8$।

$a - b = 2$ যোগ করে $2a = 10$, অর্থাৎ $a = 5$। তাহলে $b = 8-5 = 3$। যাচাই: $5^3 - 3^3 = 125-27 = 98$।

ব্যাখ্যা: যাচাইয়ে খ এর ফলের সাথে মিলেছে।

উত্তর: খ) $98$; গ) $a = 5$, $b = 3$

7. উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্পর্কিত কিছু রাশি দেওয়া আছে।
ক. $x^2 + 5x + 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (২)
খ. $8x^3 - 27y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (৪)
গ. $x^4 - 16$ কে সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x^2 + 5x + 6 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x(x+3) + 2(x+3) = (x+2)(x+3)$।

খ) $8x^3 - 27y^3 = (2x)^3 - (3y)^3$।

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ সূত্রে $= (2x-3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$।

গ) $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2+4)(x^2-4)$।

আবার $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$। অতএব $x^4 - 16 = (x^2+4)(x+2)(x-2)$।

ব্যাখ্যা: যতক্ষণ সম্ভব বিশ্লেষণ চালিয়ে যেতে হয়।

উত্তর: ক) $(x+2)(x+3)$; গ) $(x^2+4)(x+2)(x-2)$

8. দুইটি বীজগণিতীয় রাশি $x^2 - 4$ এবং $x^2 + 5x + 6$।
ক. $x^2 - 4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (২)
খ. রাশি দুইটির গ.সা.গু. নির্ণয় কর। (৪)
গ. রাশি দুইটির ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x+2)(x-2)$।

খ) $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$।

দুইটি রাশির সাধারণ উৎপাদক $(x+2)$। অতএব গ.সা.গু. $= x+2$।

গ) ল.সা.গু. হলো সব উৎপাদকের গুণফল (সাধারণ উৎপাদক একবার)।

ল.সা.গু. $= (x+2)(x-2)(x+3)$।

ব্যাখ্যা: গ.সা.গু. সাধারণ উৎপাদক, ল.সা.গু. সব উৎপাদক।

উত্তর: খ) $x+2$; গ) $(x+2)(x-2)(x+3)$