Class 8 Math Chapter 1 Pattern Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য $11-4 = 7$, $18-11 = 7$ ইত্যাদি। প্রতিবার $7$ করে বাড়ছে।

খ) পঞ্চম পদ $32$। ষষ্ঠ পদ $= 32+7 = 39$ এবং সপ্তম পদ $= 39+7 = 46$।

গ) $k$-তম পদ $= 4 + (k-1) \times 7 = 7k-3$।

$k = 20$ হলে ২০তম পদ $= 7 \times 20 - 3 = 137$।

ব্যাখ্যা: সমান পার্থক্য থাকলে $k$-তম পদের রাশি পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $39$ ও $46$; গ) $137$

2. স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল নিয়ে একটি সূত্র আছে।
ক. $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র লেখ। (২)
খ. $1$ থেকে $40$ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $11$ থেকে $30$ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) যোগফল $= \frac{n(n+1)}{2}$।

খ) $n = 40$ হলে যোগফল $= \frac{40 \times 41}{2} = 820$।

গ) $1$ থেকে $30$ পর্যন্ত যোগফল $= \frac{30 \times 31}{2} = 465$।

$1$ থেকে $10$ পর্যন্ত যোগফল $= \frac{10 \times 11}{2} = 55$।

অতএব $11$ থেকে $30$ পর্যন্ত যোগফল $= 465-55 = 410$।

ব্যাখ্যা: অংশ বাদ দিয়ে বের করা সহজ।

উত্তর: খ) $820$; গ) $410$

3. প্রথম কয়েকটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল একটি বিশেষ প্যাটার্ন তৈরি করে।
ক. প্রথম $10$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত? (২)
খ. $1+3+5+7+9+11$ এর যোগফল নির্ণয় কর এবং প্যাটার্নটি ব্যাখ্যা কর। (৪)
গ. $1+3+5+\ldots+49$ এর যোগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) প্রথম $10$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল $10^2 = 100$।

খ) $1+3+5+7+9+11 = 36 = 6^2$।

$1+3 = 4 = 2^2$, $1+3+5 = 9 = 3^2$, $1+3+5+7 = 16 = 4^2$। অর্থাৎ প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল $n^2$।

গ) $49 = 2n-1$ হলে $n = 25$। অর্থাৎ $49$ হলো ২৫তম বিজোড় সংখ্যা।

অতএব যোগফল $= 25^2 = 625$।

ব্যাখ্যা: প্রতিবার যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

উত্তর: ক) $100$; খ) $36$; গ) $625$

4. কিছু সংখ্যাকে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায়।
ক. $13$ কে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর। (২)
খ. $65$ কে দুইভাবে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $130$ কে দুইভাবে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর। (৪)

সমাধান:

ক) $13 = 4+9 = 2^2+3^2$।

খ) $65 = 1+64 = 1^2+8^2$।

আবার $65 = 16+49 = 4^2+7^2$।

গ) $130 = 9+121 = 3^2+11^2$।

আবার $130 = 49+81 = 7^2+9^2$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9+121 = 130$ ও $49+81 = 130$।

উত্তর: ক) $2^2+3^2$; খ) $1^2+8^2 = 4^2+7^2$; গ) $3^2+11^2 = 7^2+9^2$

5. $3 \times 3$ ম্যাজিক বর্গে $1$ থেকে $9$ পর্যন্ত সংখ্যা এমনভাবে বসানো হয় যেন প্রতি সারি, স্তম্ভ ও কর্ণের যোগফল সমান হয়।
ক. ম্যাজিক বর্গের প্রতি সারির যোগফল কত? (২)
খ. বর্গটির বামে উপরে $2$, ডানে উপরে $4$, মাঝখানে $5$, ডানে নিচে $8$ থাকলে বাকি ঘরগুলো পূরণ কর। (৪)
গ. কেন মাঝের ঘরে $5$ বসে তা ব্যাখ্যা কর। (৪)

সমাধান:

ক) $1$ থেকে $9$ এর যোগফল $= 45$। তিন সারিতে ভাগ করলে প্রতি সারির যোগফল $\frac{45}{3} = 15$।

খ) উপরের সারি: $2 + x + 4 = 15$, তাই $x = 9$।

ডান স্তম্ভ: $4 + y + 8 = 15$, তাই $y = 3$।

মাঝের সারি: $a + 5 + 3 = 15$, তাই $a = 7$।

বাম স্তম্ভ: $2 + 7 + b = 15$, তাই $b = 6$। নিচের সারি: $6 + c + 8 = 15$, তাই $c = 1$।

বর্গটি: সারি $2, 9, 4$; সারি $7, 5, 3$; সারি $6, 1, 8$।

গ) মাঝের সারি, মাঝের স্তম্ভ ও দুই কর্ণ মিলে চারটি রেখা মাঝের ঘর দিয়ে যায়। এদের যোগফল $4 \times 15 = 60$।

এতে মাঝের সংখ্যা চারবার এবং বাকি সব সংখ্যা একবার করে আছে। তাই $45 + 3 \times m = 60$, অর্থাৎ $m = 5$।

ব্যাখ্যা: প্রতি সারি, স্তম্ভ ও কর্ণের যোগফল $15$।

উত্তর: ক) $15$; গ) মাঝের সংখ্যা $5$

6. দিয়াশলাইয়ের কাঠি দিয়ে ত্রিভুজ বসিয়ে একটি প্যাটার্ন গঠন করা হলো: ১ম চিত্রে $1$ টি ত্রিভুজ ($3$ টি কাঠি), ২য় চিত্রে পাশাপাশি $2$ টি ত্রিভুজ ($5$ টি কাঠি), ৩য় চিত্রে পাশাপাশি $3$ টি ত্রিভুজ ($7$ টি কাঠি)।
ক. ৪র্থ চিত্রে কয়টি কাঠি লাগবে? (২)
খ. $k$-তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা বীজগাণিতিক রাশিতে প্রকাশ কর। (৪)
গ. প্রথম $20$ টি চিত্র তৈরিতে মোট কয়টি কাঠি লাগবে? (৪)

সমাধান:

ক) প্রতিবার $2$ টি করে বাড়ে। ৪র্থ চিত্রে $7+2 = 9$ টি কাঠি।

খ) ১ম: $3 = 2 \times 1 + 1$, ২য়: $5 = 2 \times 2 + 1$, ৩য়: $7 = 2 \times 3 + 1$।

অতএব $k$-তম চিত্রে কাঠি $= 2k+1$।

গ) ২০তম চিত্রে কাঠি $= 2 \times 20+1 = 41$।

পদগুলো $3, 5, 7, \ldots, 41$ এবং পদসংখ্যা $20$। যোগফল $= \frac{3+41}{2} \times 20 = 440$।

যোগফল = (প্রথম পদ + শেষ পদ) ÷ ২ × পদসংখ্যা।

উত্তর: ক) $9$; খ) $2k+1$; গ) $440$

7. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যা ও তার অঙ্ক দুইটির স্থান বিনিময়ে প্রাপ্ত সংখ্যা নিয়ে কিছু প্যাটার্ন আছে।
ক. $47$ ও $74$ এর যোগফল কত এবং তা $11$ দ্বারা বিভাজ্য কি না লেখ। (২)
খ. সাধারণভাবে প্রমাণ কর যে, এরূপ দুই সংখ্যার যোগফল $11$ দ্বারা বিভাজ্য। (৪)
গ. $82$ ও $28$ এর বিয়োগফল নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, এরূপ বিয়োগফল $9$ দ্বারা বিভাজ্য। (৪)

সমাধান:

ক) $47+74 = 121 = 11 \times 11$। তাই $11$ দ্বারা বিভাজ্য।

খ) সংখ্যাটি $10a+b$ ও বিনিময়ে $10b+a$ ধরি।

যোগফল $= (10a+b)+(10b+a) = 11a+11b = 11(a+b)$।

এটি $11$ এর গুণিতক, তাই $11$ দ্বারা বিভাজ্য। (প্রমাণিত)

গ) $82-28 = 54 = 9 \times 6$।

সাধারণভাবে $(10a+b)-(10b+a) = 9a-9b = 9(a-b)$, যা $9$ এর গুণিতক। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সংখ্যাটিকে $10a+b$ আকারে লেখা কাজের চাবিকাঠি।

উত্তর: ক) $121$, বিভাজ্য; গ) $54$

8. মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য ইরাটোস্থিনিসের চালনি পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
ক. $1$ কি মৌলিক সংখ্যা? কারণ লেখ। (২)
খ. $1$ থেকে $30$ পর্যন্ত সব মৌলিক সংখ্যা লেখ। (৪)
গ. $1$ থেকে $30$ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) না। কারণ মৌলিক সংখ্যার ঠিক দুইটি উৎপাদক থাকে ($1$ ও সংখ্যাটি নিজে), কিন্তু $1$ এর উৎপাদক একটিই।

খ) $2$ এর গুণিতক, $3$ এর গুণিতক ও $5$ এর গুণিতক ($2, 3, 5$ বাদে) কেটে দিলে থাকে: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$।

গ) $2+3+5+7 = 17$, $17+11 = 28$, $28+13 = 41$, $41+17 = 58$।

$58+19 = 77$, $77+23 = 100$, $100+29 = 129$।

অতএব যোগফল $129$।

ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যা $10$ টি।

উত্তর: খ) $10$ টি মৌলিক সংখ্যা; গ) $129$