Class 7 Math Chapter 9 Triangle Creative Suggestions with Solutions

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বহিঃস্থ কোণ। বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টির সমান এবং প্রত্যেকটির চেয়ে বড়।

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^\circ$। সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি পরস্পর পূরক (সমষ্টি $90^\circ$)। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান।

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় এবং বিয়োগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট।

শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর লম্ব দূরত্ব ত্রিভুজের উচ্চতা। শীর্ষবিন্দু ও বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু যোগকারী রেখাংশ মধ্যমা। ত্রিভুজের তিনটি উচ্চতা ও তিনটি মধ্যমা থাকে।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $ABC$ ত্রিভুজে $\angle A = 50^\circ$ এবং $\angle B = 60^\circ$।
ক. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কত? (২)
খ. $\angle C$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. কোণ বিবেচনায় ত্রিভুজটি কোন ধরনের? (৪)

সমাধান:

ক) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

খ) $\angle C = 180^\circ-(50^\circ+60^\circ) = 180^\circ-110^\circ = 70^\circ$।

গ) কোণ তিনটি $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$, সবগুলোই $90^\circ$ এর চেয়ে ছোট।

তাই ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $50+60+70 = 180$।

উত্তর: ক) $180^\circ$, খ) $70^\circ$, গ) সূক্ষ্মকোণী

2. $ABC$ ত্রিভুজের $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। $\angle A = 65^\circ$ এবং $\angle B = 45^\circ$।
ক. বহিঃস্থ কোণ কাকে বলে? (২)
খ. বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle ACB$ এর মান নির্ণয় কর এবং তিন কোণের সমষ্টি যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) ত্রিভুজের কোনো বাহু বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে বহিঃস্থ কোণ বলে।

খ) বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ $\angle A$ ও $\angle B$ এর সমষ্টির সমান।

$\angle ACD = 65^\circ+45^\circ = 110^\circ$।

গ) $\angle ACB = 180^\circ-110^\circ = 70^\circ$ (সরলরেখার উপর সন্নিহিত কোণ)।

যাচাই: $65^\circ+45^\circ+70^\circ = 180^\circ$।

ব্যাখ্যা: বহিঃস্থ কোণ সবসময় বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির প্রত্যেকটির চেয়ে বড়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $110^\circ$, গ) $70^\circ$

3. $ABC$ ত্রিভুজের $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD = 125^\circ$ এবং $\angle A = 75^\circ$।
ক. $\angle ACD$ কোন কোণ দুইটির বিপরীত বহিঃস্থ কোণ? (২)
খ. $\angle B$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle ACB$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $\angle ACD$ হলো $\angle A$ ও $\angle B$ এর বিপরীত বহিঃস্থ কোণ।

খ) $\angle ACD = \angle A+\angle B$, বা $125^\circ = 75^\circ+\angle B$।

$\angle B = 125^\circ-75^\circ = 50^\circ$।

গ) $\angle ACB = 180^\circ-125^\circ = 55^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $75^\circ+50^\circ+55^\circ = 180^\circ$।

উত্তর: ক) $\angle A$ ও $\angle B$, খ) $50^\circ$, গ) $55^\circ$

4. কয়েকটি বিশেষ ত্রিভুজের কোণ নিয়ে প্রশ্ন।
ক. সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত ডিগ্রি? (২)
খ. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ $50^\circ$ হলে ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন প্রতিটি কোণ $40^\circ$ হলে শীর্ষকোণ কত? (৪)

সমাধান:

ক) সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণ সমান, তাই প্রতিটি কোণ $\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$।

খ) ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান। প্রতিটি কোণ $\frac{180^\circ-50^\circ}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$।

গ) শীর্ষকোণ $= 180^\circ-(40^\circ+40^\circ) = 100^\circ$।

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ সমান।

উত্তর: ক) $60^\circ$, খ) $65^\circ$ ও $65^\circ$, গ) $100^\circ$

5. সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রশ্ন।
ক. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির সম্পর্ক কী? (২)
খ. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি সূক্ষ্মকোণ $35^\circ$ হলে অপর সূক্ষ্মকোণ কত? (৪)
গ. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির অনুপাত $4 : 5$ হলে কোণ দুইটি নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি পরস্পর পূরক, অর্থাৎ তাদের সমষ্টি $90^\circ$।

খ) অপর সূক্ষ্মকোণ $= 90^\circ-35^\circ = 55^\circ$।

গ) কোণ দুইটি $4x^\circ$ ও $5x^\circ$ হলে $4x+5x = 90$, বা $9x = 90$, তাই $x = 10$।

কোণ দুইটি $4 \times 10 = 40^\circ$ ও $5 \times 10 = 50^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $90^\circ+40^\circ+50^\circ = 180^\circ$।

উত্তর: ক) পূরক, খ) $55^\circ$, গ) $40^\circ$ ও $50^\circ$

6. ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত প্রশ্ন।
ক. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি ও তৃতীয় বাহুর মধ্যে সম্পর্ক কী? (২)
খ. $3$ সেমি, $4$ সেমি, $5$ সেমি এবং $1$ সেমি, $2$ সেমি, $3$ সেমি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব কি না যুক্তিসহ লেখ। (৪)
গ. ত্রিভুজের দুই বাহু $4$ সেমি ও $7$ সেমি হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত সীমার মধ্যে থাকবে? (৪)

সমাধান:

ক) ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়।

খ) $3+4 = 7 > 5$, $3+5 = 8 > 4$, $4+5 = 9 > 3$। তাই $3, 4, 5$ দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

$1+2 = 3$, যা তৃতীয় বাহু $3$ এর চেয়ে বড় নয়। তাই $1, 2, 3$ দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

গ) তৃতীয় বাহু $x$ হলে $x < 4+7 = 11$ এবং $x > 7-4 = 3$।

অতএব $3 < x < 11$ সেমি।

ব্যাখ্যা: দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান হলেও ত্রিভুজ হয় না।

উত্তর: ক) সমষ্টি বড়, খ) প্রথমটি সম্ভব ও দ্বিতীয়টি সম্ভব নয়, গ) $3 < x < 11$

7. একটি ত্রিভুজের ভূমি $12$ সেমি এবং উচ্চতা $5$ সেমি।
ক. ত্রিভুজের উচ্চতা ও মধ্যমা কাকে বলে? (২)
খ. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? (৪)
গ. মধ্যমা ত্রিভুজটিকে যে দুই অংশে ভাগ করে তাদের প্রতিটির ক্ষেত্রফল কত? (৪)

সমাধান:

ক) শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব দূরত্ব হলো উচ্চতা। শীর্ষবিন্দু ও বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু যোগকারী রেখাংশ হলো মধ্যমা।

খ) ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ বর্গসেমি।

গ) মধ্যমা ভূমিকে $6$ সেমি ও $6$ সেমি অংশে ভাগ করে এবং উচ্চতা একই থাকে।

প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$ বর্গসেমি।

ব্যাখ্যা: মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলের দুই অংশে ভাগ করে।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $30$ বর্গসেমি, গ) প্রতিটি $15$ বর্গসেমি

8. ত্রিভুজ অঙ্কন নিয়ে প্রশ্ন।
ক. একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকতে কী কী উপাত্ত জানা থাকা দরকার? দুইটি লেখ। (২)
খ. দুইটি কোণ $140^\circ$ ও $70^\circ$ এবং একটি বাহু দেওয়া থাকলে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব কি না? (৪)
গ. দুইটি কোণ $50^\circ$ ও $60^\circ$ এবং তাদের বিপরীত একটি বাহু $7$ সেমি দিয়ে ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণ কত এবং ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব কি না? (৪)

সমাধান:

ক) যেমন: তিনটি বাহু; অথবা দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ।

খ) কোণ দুইটির সমষ্টি $140^\circ+70^\circ = 210^\circ$, যা $180^\circ$ এর চেয়ে বড়।

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$, তাই এমন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

গ) কোণ দুইটির সমষ্টি $50^\circ+60^\circ = 110^\circ < 180^\circ$। তাই আঁকা সম্ভব।

তৃতীয় কোণ $= 180^\circ-110^\circ = 70^\circ$।

ব্যাখ্যা: দুই কোণের সমষ্টি $180^\circ$ এর চেয়ে কম হলে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

উত্তর: ক) তিন বাহু বা দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ, খ) সম্ভব নয়, গ) $70^\circ$; সম্ভব