Class 7 Math Chapter 10 Congruence and Similarity Creative Suggestions with Solutions

সমাধান:

ক) দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান। তাই বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য প্রযোজ্য।

খ) $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ এ $AB = DE$ (দেওয়া আছে)।

$\angle A = \angle D$ (দেওয়া আছে) এবং $AC = DF$ (দেওয়া আছে)।

অতএব বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle ABC \cong \triangle DEF$। (প্রমাণিত)

গ) সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও কোণ সমান। $BC$ এর অনুরূপ বাহু $EF$, তাই $EF = BC = 6$ সেমি।

$\angle B$ এর অনুরূপ কোণ $\angle E$, তাই $\angle E = 80^\circ$।

ব্যাখ্যা: অনুরূপ বাহু ও কোণ মেলানো প্রধান কাজ।

উত্তর: ক) বাহু-কোণ-বাহু; গ) $EF = 6$ সেমি, $\angle E = 80^\circ$

2. $ABC$ ত্রিভুজে $AB = AC$ এবং $\angle A$ এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$, যা $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
ক. $\angle BAD$ ও $\angle CAD$ এর সম্পর্ক কী? (২)
খ. প্রমাণ কর যে, $\triangle ABD \cong \triangle ACD$। (৪)
গ. $\angle B = 70^\circ$ ও $BD = 4$ সেমি হলে $\angle BAC$ ও $BC$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $AD$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle BAD = \angle CAD$।

খ) $\triangle ABD$ ও $\triangle ACD$ এ $AB = AC$ (দেওয়া আছে)।

$\angle BAD = \angle CAD$ এবং $AD$ সাধারণ বাহু।

অতএব বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle ABD \cong \triangle ACD$। (প্রমাণিত)

গ) $AB = AC$ বলে $\angle C = \angle B = 70^\circ$। তাই $\angle BAC = 180^\circ-(70^\circ+70^\circ) = 40^\circ$।

সর্বসমতা থেকে $CD = BD = 4$ সেমি। অতএব $BC = 4+4 = 8$ সেমি।

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান।

উত্তর: গ) $\angle BAC = 40^\circ$, $BC = 8$ সেমি

3. $ABC$ ত্রিভুজে $AB = AC$ এবং $BC$ কে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। শীর্ষকোণ $\angle A = 36^\circ$।
ক. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্যটি লেখ। (২)
খ. $\angle B$ ও $\angle C$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$ এর মান নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা $\angle A + \angle B$ এর সমান। (৪)

সমাধান:

ক) কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান।

খ) $AB = AC$ বলে $\angle B = \angle C$। তাই $\angle B + \angle C = 180^\circ-36^\circ = 144^\circ$।

প্রতিটি $= \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$। অতএব $\angle B = \angle C = 72^\circ$।

গ) $\angle ACD = 180^\circ-\angle ACB = 180^\circ-72^\circ = 108^\circ$।

আবার $\angle A+\angle B = 36^\circ+72^\circ = 108^\circ$। অতএব $\angle ACD = \angle A + \angle B$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: বহিঃস্থ কোণ দুই বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।

উত্তর: খ) $72^\circ$ ও $72^\circ$; গ) $108^\circ$

4. $ABC$ ও $DEF$ ত্রিভুজে $\angle B = \angle E = 60^\circ$, $\angle C = \angle F = 50^\circ$ এবং $BC = EF = 8$ সেমি। আরও $AB = 7$ সেমি।
ক. $\angle A$ এর মান কত? (২)
খ. প্রমাণ কর যে, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$। (৪)
গ. $DE$ এবং $\angle D$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $\angle A = 180^\circ-(60^\circ+50^\circ) = 70^\circ$।

খ) $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ এ $\angle B = \angle E$ (দেওয়া আছে)।

$BC = EF$ (দেওয়া আছে) এবং $\angle C = \angle F$ (দেওয়া আছে)।

অতএব কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle ABC \cong \triangle DEF$। (প্রমাণিত)

গ) $AB$ এর অনুরূপ বাহু $DE$, তাই $DE = AB = 7$ সেমি।

$\angle A$ এর অনুরূপ কোণ $\angle D$, তাই $\angle D = 70^\circ$।

ব্যাখ্যা: BC দুই কোণের অন্তর্ভুক্ত বাহু, তাই কোণ-বাহু-কোণ প্রযোজ্য।

উত্তর: ক) $70^\circ$; গ) $DE = 7$ সেমি, $\angle D = 70^\circ$

5. $ABC$ ত্রিভুজের বাহুগুলো $AB = 6$ সেমি, $BC = 8$ সেমি, $CA = 10$ সেমি। $DEF$ ত্রিভুজের $DE = 6$ সেমি, $EF = 8$ সেমি, $FD = 10$ সেমি।
ক. ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হওয়ার শর্তটির নাম লেখ। (২)
খ. দেখাও যে, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$। (৪)
গ. $\angle B$ কত ডিগ্রি? ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) তিন বাহু যথাক্রমে সমান, তাই বাহু-বাহু-বাহু শর্ত।

খ) $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ এ $AB = DE = 6$, $BC = EF = 8$, $CA = FD = 10$।

অতএব বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle ABC \cong \triangle DEF$। (দেখানো হলো)

গ) $6^2+8^2 = 36+64 = 100 = 10^2$। অর্থাৎ $AB^2 + BC^2 = CA^2$, তাই $\angle B = 90^\circ$।

ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: $6, 8, 10$ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী।

উত্তর: গ) $\angle B = 90^\circ$, ক্ষেত্রফল $24$ বর্গ সেমি

6. $AB$ ও $CD$ রেখাংশ $O$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $AO = OB$, $CO = OD$। $A$ ও $D$ এবং $B$ ও $C$ যোগ করা হলো।
ক. $\angle AOD$ ও $\angle BOC$ এর সম্পর্ক কী এবং কেন? (২)
খ. প্রমাণ কর যে, $\triangle AOD \cong \triangle BOC$। (৪)
গ. $AD = 5$ সেমি ও $\angle ADO = 35^\circ$ হলে $BC$ ও $\angle BCO$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $\angle AOD = \angle BOC$, কারণ এরা বিপ্রতীপ কোণ।

খ) $\triangle AOD$ ও $\triangle BOC$ এ $AO = OB$ এবং $CO = OD$ (দেওয়া আছে)।

অন্তর্ভুক্ত $\angle AOD = \angle BOC$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

অতএব বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle AOD \cong \triangle BOC$। (প্রমাণিত)

গ) অনুরূপ বাহু $AD$ ও $BC$, তাই $BC = AD = 5$ সেমি।

অনুরূপ কোণ $\angle ADO$ ও $\angle BCO$, তাই $\angle BCO = 35^\circ$।

ব্যাখ্যা: বিপ্রতীপ কোণ সমান, এটিই অন্তর্ভুক্ত কোণ।

উত্তর: গ) $BC = 5$ সেমি, $\angle BCO = 35^\circ$

7. $ABC$ ত্রিভুজের $AB = 3$ সেমি, $BC = 4$ সেমি, $CA = 5$ সেমি। $DEF$ ত্রিভুজের $DE = 6$ সেমি, $EF = 8$ সেমি, $FD = 10$ সেমি।
ক. $AB : DE$ অনুপাতটি নির্ণয় কর। (২)
খ. প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ। (৪)
গ. $\angle A = 37^\circ$ হলে $\angle D$ ও $\angle F$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $AB : DE = 3 : 6 = 1 : 2$।

খ) $\frac{AB}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{BC}{EF} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $\frac{CA}{FD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।

তিন বাহু সমানুপাতিক। তাই বাহু-বাহু-বাহু শর্তে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ। (প্রমাণিত)

গ) সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান, তাই $\angle D = \angle A = 37^\circ$।

$AB^2 + BC^2 = 9+16 = 25 = CA^2$, তাই $\angle B = 90^\circ$ ও $\angle E = 90^\circ$।

অতএব $\angle F = 180^\circ-(37^\circ+90^\circ) = 53^\circ$।

ব্যাখ্যা: অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান হলে ত্রিভুজ সদৃশ।

উত্তর: ক) $1 : 2$; গ) $\angle D = 37^\circ$, $\angle F = 53^\circ$

8. $\triangle ABC$ ও $\triangle PQR$ সদৃশ, যেখানে $A$, $B$, $C$ যথাক্রমে $P$, $Q$, $R$ এর অনুরূপ। $AB = 4$ সেমি, $PQ = 6$ সেমি, $BC = 6$ সেমি, $CA = 5$ সেমি, $\angle A = 60^\circ$ ও $\angle B = 50^\circ$।
ক. সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত কীরূপ হয়? (২)
খ. $QR$ ও $RP$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle R$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান হয়।

খ) $\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$। তাই $\frac{BC}{QR} = \frac{2}{3}$, অর্থাৎ $QR = 6 \times \frac{3}{2} = 9$ সেমি।

$\frac{CA}{RP} = \frac{2}{3}$, অর্থাৎ $RP = 5 \times \frac{3}{2} = 7.5$ সেমি।

গ) $\angle C = 180^\circ-(60^\circ+50^\circ) = 70^\circ$।

অনুরূপ কোণ সমান, তাই $\angle R = \angle C = 70^\circ$।

ব্যাখ্যা: অনুপাত $\frac{2}{3}$ থেকে বড় ত্রিভুজের বাহু পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $QR = 9$ সেমি, $RP = 7.5$ সেমি; গ) $\angle R = 70^\circ$