Class 7 Math Chapter 8 Parallel Lines Creative Suggestions with Solutions

অনুরূপ কোণ জোড়া: $(\angle 1, \angle 5)$, $(\angle 2, \angle 6)$, $(\angle 3, \angle 7)$, $(\angle 4, \angle 8)$। একান্তর কোণ জোড়া: $(\angle 3, \angle 6)$ ও $(\angle 4, \angle 5)$। ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ জোড়া: $(\angle 3, \angle 5)$ ও $(\angle 4, \angle 6)$।

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে: প্রতিটি অনুরূপ কোণ জোড়া সমান, প্রতিটি একান্তর কোণ জোড়া সমান এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টি $180^\circ$।

এর বিপরীতও সত্য। অনুরূপ কোণ সমান হলে, একান্তর কোণ সমান হলে অথবা একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $180^\circ$ হলে রেখা দুইটি সমান্তরাল।

বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান এবং সরলরেখার উপর সন্নিহিত কোণ দুইটির সমষ্টি $180^\circ$।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $AB \parallel CD$ এবং $EF$ ছেদক। উপরের নিয়মে বর্ণিত $\angle 1$ থেকে $\angle 8$ কোণগুলো উৎপন্ন হয়েছে।
ক. ছেদক কাকে বলে? (২)
খ. অনুরূপ কোণ জোড়াগুলো লেখ। (৪)
গ. একান্তর কোণ জোড়া ও ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ জোড়া লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) কোনো সরলরেখা দুই বা ততোধিক সরলরেখাকে বিভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করলে তাকে ছেদক বলে।

খ) অনুরূপ কোণ জোড়া: $(\angle 1, \angle 5)$, $(\angle 2, \angle 6)$, $(\angle 3, \angle 7)$ ও $(\angle 4, \angle 8)$।

গ) একান্তর কোণ জোড়া: $(\angle 3, \angle 6)$ ও $(\angle 4, \angle 5)$।

ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ জোড়া: $(\angle 3, \angle 5)$ ও $(\angle 4, \angle 6)$।

ব্যাখ্যা: অনুরূপ কোণের একটি সমান্তরাল রেখার উপরে ও অন্যটির উপরে, ছেদকের একই পাশে থাকে।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)$, গ) একান্তর $(3,6), (4,5)$ ও অন্তঃস্থ $(3,5), (4,6)$

2. $AB \parallel CD$ এবং $\angle 1 = 70^\circ$।
ক. $\angle 5$ এর মান কত এবং কেন? (২)
খ. $\angle 3$ ও $\angle 6$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle 4+\angle 6$ এর মান নির্ণয় কর এবং $\angle 8$ এর মান লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) $\angle 1$ ও $\angle 5$ অনুরূপ কোণ। $AB \parallel CD$ হওয়ায় $\angle 5 = 70^\circ$।

খ) $\angle 1$ ও $\angle 3$ সরলরেখার উপর সন্নিহিত কোণ, তাই $\angle 3 = 180^\circ-70^\circ = 110^\circ$।

$\angle 3$ ও $\angle 6$ একান্তর কোণ, তাই $\angle 6 = 110^\circ$।

গ) $\angle 4 = \angle 1 = 70^\circ$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

$\angle 4+\angle 6 = 70^\circ+110^\circ = 180^\circ$।

$\angle 8$ ও $\angle 4$ অনুরূপ কোণ, তাই $\angle 8 = 70^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $180^\circ$ হয়েছে।

উত্তর: ক) $70^\circ$, খ) $110^\circ$ ও $110^\circ$, গ) $180^\circ$ ও $70^\circ$

3. $AB \parallel CD$। $\angle 3 = (2x+10)^\circ$ এবং $\angle 6 = (3x-20)^\circ$।
ক. $\angle 3$ ও $\angle 6$ কোন ধরনের কোণ জোড়া? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle 3$ ও $\angle 5$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $\angle 3$ ও $\angle 6$ একান্তর কোণ জোড়া।

খ) সমান্তরাল রেখার একান্তর কোণ সমান: $2x+10 = 3x-20$।

$10+20 = 3x-2x$, তাই $x = 30$।

গ) $\angle 3 = 2 \times 30+10 = 70^\circ$।

$\angle 3$ ও $\angle 5$ ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ, তাই $\angle 5 = 180^\circ-70^\circ = 110^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\angle 6 = 3 \times 30-20 = 70^\circ = \angle 3$।

উত্তর: ক) একান্তর, খ) $x = 30$, গ) $\angle 3 = 70^\circ$ ও $\angle 5 = 110^\circ$

4. $AB \parallel CD$ এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ দুইটি কোণ $\angle 4 = (4x+5)^\circ$ ও $\angle 6 = (5x+4)^\circ$।
ক. কোণ দুইটির সমষ্টি কত? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টি $180^\circ$।

খ) $(4x+5)+(5x+4) = 180$, বা $9x+9 = 180$।

$9x = 171$, তাই $x = 19$।

গ) $\angle 4 = 4 \times 19+5 = 81^\circ$ এবং $\angle 6 = 5 \times 19+4 = 99^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $81^\circ+99^\circ = 180^\circ$।

উত্তর: ক) $180^\circ$, খ) $x = 19$, গ) $81^\circ$ ও $99^\circ$

5. দুইটি সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে যে কোণগুলো উৎপন্ন হয় তার কয়েকটি মান দেওয়া আছে।
ক. অনুরূপ কোণ সমান হলে রেখা দুইটি সম্পর্কে কী বলা যায়? (২)
খ. $\angle 1 = 65^\circ$ ও $\angle 5 = 65^\circ$ হলে রেখা দুইটি সমান্তরাল কি না যুক্তিসহ লেখ। (৪)
গ. $\angle 3 = 70^\circ$ ও $\angle 5 = 100^\circ$ হলে রেখা দুইটি সমান্তরাল কি না যুক্তিসহ লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) দুইটি সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে অনুরূপ কোণগুলো সমান হলে রেখা দুইটি সমান্তরাল।

খ) $\angle 1$ ও $\angle 5$ অনুরূপ কোণ এবং $\angle 1 = \angle 5 = 65^\circ$।

অনুরূপ কোণ সমান, তাই রেখা দুইটি সমান্তরাল।

গ) $\angle 3$ ও $\angle 5$ ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ। তাদের সমষ্টি $70^\circ+100^\circ = 170^\circ$।

সমষ্টি $180^\circ$ নয়, তাই রেখা দুইটি সমান্তরাল নয়।

ব্যাখ্যা: সমান্তরালের শর্ত তিনটির যেকোনো একটি সত্য হলে রেখা দুইটি সমান্তরাল।

উত্তর: ক) সমান্তরাল, খ) সমান্তরাল, গ) সমান্তরাল নয়

6. $ABC$ ত্রিভুজে $D$ বিন্দুটি $AB$ বাহুর উপর এবং $E$ বিন্দুটি $AC$ বাহুর উপর অবস্থিত। $DE \parallel BC$, $\angle ADE = 50^\circ$ এবং $\angle C = 60^\circ$।
ক. $\angle ABC$ এর মান কত এবং কেন? (২)
খ. $\angle A$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle AED$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $DE \parallel BC$ এবং $AB$ ছেদক হওয়ায় $\angle ADE$ ও $\angle ABC$ অনুরূপ কোণ। তাই $\angle ABC = 50^\circ$।

খ) ত্রিভুজ $ABC$ এ $\angle A+\angle B+\angle C = 180^\circ$।

$\angle A = 180^\circ-50^\circ-60^\circ = 70^\circ$।

গ) $AC$ ছেদক হওয়ায় $\angle AED$ ও $\angle ACB$ অনুরূপ কোণ। তাই $\angle AED = 60^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ত্রিভুজ $ADE$ এ $70^\circ+50^\circ+60^\circ = 180^\circ$।

উত্তর: ক) $50^\circ$, খ) $70^\circ$, গ) $60^\circ$

7. $AB \parallel CD$ এবং $\angle 1 = (2x+20)^\circ$, $\angle 2 = (3x-10)^\circ$।
ক. $\angle 1$ ও $\angle 2$ এর সম্পর্ক কী? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle 5$ ও $\angle 6$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $\angle 1$ ও $\angle 2$ সরলরেখা $AB$ এর উপর সন্নিহিত কোণ, তাই তাদের সমষ্টি $180^\circ$।

খ) $(2x+20)+(3x-10) = 180$, বা $5x+10 = 180$।

$5x = 170$, তাই $x = 34$।

গ) $\angle 1 = 2 \times 34+20 = 88^\circ$ এবং $\angle 2 = 3 \times 34-10 = 92^\circ$।

$\angle 5$ ও $\angle 6$ যথাক্রমে $\angle 1$ ও $\angle 2$ এর অনুরূপ কোণ, তাই $\angle 5 = 88^\circ$ এবং $\angle 6 = 92^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $88^\circ+92^\circ = 180^\circ$।

উত্তর: ক) সমষ্টি $180^\circ$, খ) $x = 34$, গ) $88^\circ$ ও $92^\circ$

8. দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করেছে। ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটির অনুপাত $2 : 3$।
ক. কোণ দুইটির সমষ্টি কত? (২)
খ. কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. ছোট কোণটির একান্তর কোণ এবং বড় কোণটির অনুরূপ কোণ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

খ) কোণ দুইটি $2x^\circ$ ও $3x^\circ$ হলে $2x+3x = 180$, বা $5x = 180$, তাই $x = 36$।

কোণ দুইটি $2 \times 36 = 72^\circ$ ও $3 \times 36 = 108^\circ$।

গ) একান্তর কোণ সমান, তাই ছোট কোণ $72^\circ$ এর একান্তর কোণ $72^\circ$।

অনুরূপ কোণ সমান, তাই বড় কোণ $108^\circ$ এর অনুরূপ কোণ $108^\circ$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $72^\circ+108^\circ = 180^\circ$ এবং $72 : 108 = 2 : 3$।

উত্তর: ক) $180^\circ$, খ) $72^\circ$ ও $108^\circ$, গ) $72^\circ$ ও $108^\circ$