Class 7 Math Chapter 6 Algebraic Fractions Creative Suggestions with Solutions

লঘিষ্ঠকরণ: লব ও হরের সাধারণ উৎপাদক কেটে ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে আনা হয়। বহুপদী হলে আগে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।

সাধারণ হরবিশিষ্ট করার নিয়ম: হরগুলোর ল.সা.গু. বের করে প্রতিটি ভগ্নাংশের লব ও হরকে সেই অনুযায়ী গুণ করতে হয়।

যোগ-বিয়োগ: ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ সাধারণ হরবিশিষ্ট করে হর একই রেখে লবগুলো যোগ বা বিয়োগ করতে হয়। $\frac{a}{x} \pm \frac{b}{x} = \frac{a \pm b}{x}$।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. সমতুল ভগ্নাংশ নিয়ে প্রশ্ন।
ক. সমতুল ভগ্নাংশ কাকে বলে? (২)
খ. $\frac{3}{4}$ এর তিনটি সমতুল ভগ্নাংশ লেখ। (৪)
গ. $\frac{a}{x}$ এর তিনটি সমতুল ভগ্নাংশ লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) যেসব ভগ্নাংশের মান সমান কিন্তু লব ও হর ভিন্ন, তাদের সমতুল ভগ্নাংশ বলে।

খ) $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$, $\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ এবং $\frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}$।

গ) $\frac{a}{x} = \frac{a \times 2}{x \times 2} = \frac{2a}{2x}$, $\frac{3a}{3x}$ এবং $\frac{ab}{bx}$ ($b \neq 0$)।

ব্যাখ্যা: লব ও হরকে একই শূন্যবিহীন রাশি দিয়ে গুণ করলে সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $\frac{6}{8}, \frac{9}{12}, \frac{12}{16}$, গ) $\frac{2a}{2x}, \frac{3a}{3x}, \frac{ab}{bx}$

2. লঘিষ্ঠ আকারের প্রশ্ন।
ক. ভগ্নাংশ লঘিষ্ঠ আকারে আছে বলতে কী বোঝ? (২)
খ. $\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3}$ ও $\frac{15x^2yz}{25xy^2z}$ কে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $\frac{2a^2+3ab}{4a^2-9b^2}$ কে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর। (৪)

সমাধান:

ক) লব ও হরের মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে আছে বলা হয়।

খ) $\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3} = \frac{12}{18} \times \frac{a^3}{a^2} \times \frac{b^2}{b^3} = \frac{2}{3} \times a \times \frac{1}{b} = \frac{2a}{3b}$।

$\frac{15x^2yz}{25xy^2z} = \frac{15}{25} \times \frac{x^2}{x} \times \frac{y}{y^2} \times \frac{z}{z} = \frac{3x}{5y}$।

গ) লব $= a(2a+3b)$ এবং হর $= (2a)^2-(3b)^2 = (2a+3b)(2a-3b)$।

$\frac{a(2a+3b)}{(2a+3b)(2a-3b)} = \frac{a}{2a-3b}$।

ব্যাখ্যা: বহুপদীর ক্ষেত্রে আগে উৎপাদকে বিশ্লেষণ, তারপর সাধারণ উৎপাদক কাটতে হয়।

উত্তর: ক) সাধারণ উৎপাদক নেই, খ) $\frac{2a}{3b}$ ও $\frac{3x}{5y}$, গ) $\frac{a}{2a-3b}$

3. দুইটি ভগ্নাংশ: $\frac{x^2+5x+6}{x^2+3x+2}$ ও $\frac{x^2-9}{x^2+x-6}$।
ক. $x^2+5x+6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (২)
খ. প্রথম ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর। (৪)
গ. দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6 = x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3)$।

খ) $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$। ভগ্নাংশ $= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+3}{x+1}$।

গ) $x^2-9 = (x+3)(x-3)$ এবং $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$।

ভগ্নাংশ $= \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{x-3}{x-2}$।

ব্যাখ্যা: সাধারণ উৎপাদক কাটার আগে অবশ্যই লব ও হর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

উত্তর: ক) $(x+2)(x+3)$, খ) $\frac{x+3}{x+1}$, গ) $\frac{x-3}{x-2}$

4. সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করার প্রশ্ন।
ক. সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ কাকে বলে? (২)
খ. $\frac{3}{4x}$ ও $\frac{5}{6y}$ কে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $\frac{2}{a+1}$ ও $\frac{3}{a^2-1}$ কে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (৪)

সমাধান:

ক) যেসব ভগ্নাংশের হর একই, তাদের সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলে।

খ) $4x$ ও $6y$ এর ল.সা.গু. $12xy$।

$\frac{3}{4x} = \frac{3 \times 3y}{4x \times 3y} = \frac{9y}{12xy}$ এবং $\frac{5}{6y} = \frac{5 \times 2x}{6y \times 2x} = \frac{10x}{12xy}$।

গ) $a^2-1 = (a+1)(a-1)$, তাই ল.সা.গু. $(a+1)(a-1)$।

$\frac{2}{a+1} = \frac{2(a-1)}{(a+1)(a-1)}$ এবং $\frac{3}{a^2-1} = \frac{3}{(a+1)(a-1)}$।

ব্যাখ্যা: হরগুলোর ল.সা.গু. বের করে লব ও হরকে গুণ করতে হয়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $\frac{9y}{12xy}, \frac{10x}{12xy}$, গ) $\frac{2(a-1)}{(a+1)(a-1)}, \frac{3}{(a+1)(a-1)}$

5. বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ নিয়ে প্রশ্ন।
ক. যোগের নিয়মটি লেখ। (২)
খ. $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}$ ও $\frac{5a}{x}+\frac{2a}{x}$ এর যোগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\frac{2}{3x}+\frac{5}{4y}$ এর যোগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ সাধারণ হরবিশিষ্ট করে হর একই রেখে লবগুলোর যোগফল লিখতে হয়।

খ) $\frac{x}{a}+\frac{y}{a} = \frac{x+y}{a}$ এবং $\frac{5a}{x}+\frac{2a}{x} = \frac{5a+2a}{x} = \frac{7a}{x}$।

গ) $3x$ ও $4y$ এর ল.সা.গু. $12xy$।

$\frac{2}{3x} = \frac{8y}{12xy}$ এবং $\frac{5}{4y} = \frac{15x}{12xy}$।

যোগফল $= \frac{8y+15x}{12xy}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 1,\ y = 1$ হলে $\frac{2}{3}+\frac{5}{4} = \frac{8+15}{12} = \frac{23}{12}$ এবং সূত্রে $\frac{8+15}{12}$।

উত্তর: ক) নিয়ম, খ) $\frac{x+y}{a}$ ও $\frac{7a}{x}$, গ) $\frac{8y+15x}{12xy}$

6. বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের বিয়োগ নিয়ে প্রশ্ন।
ক. বিয়োগের নিয়মটি লেখ। (২)
খ. $\frac{a}{x}-\frac{b}{x}$ ও $\frac{5}{2m}-\frac{3}{4n}$ এর বিয়োগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\frac{2a}{3x}-\frac{b}{3y}$ এর বিয়োগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ সাধারণ হরবিশিষ্ট করে হর একই রেখে লবগুলোর বিয়োগফল লিখতে হয়।

খ) $\frac{a}{x}-\frac{b}{x} = \frac{a-b}{x}$।

$2m$ ও $4n$ এর ল.সা.গু. $4mn$। $\frac{5}{2m} = \frac{10n}{4mn}$ এবং $\frac{3}{4n} = \frac{3m}{4mn}$। বিয়োগফল $= \frac{10n-3m}{4mn}$।

গ) $3x$ ও $3y$ এর ল.সা.গু. $3xy$।

$\frac{2a}{3x}-\frac{b}{3y} = \frac{2ay}{3xy}-\frac{bx}{3xy} = \frac{2ay-bx}{3xy}$।

ব্যাখ্যা: বিয়োগে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লবের চিহ্ন বদলে যায়, তাই বন্ধনী ব্যবহার করা ভালো।

উত্তর: ক) নিয়ম, খ) $\frac{a-b}{x}$ ও $\frac{10n-3m}{4mn}$, গ) $\frac{2ay-bx}{3xy}$

7. $A = \frac{1}{x-1}$ এবং $B = \frac{1}{x+1}$।
ক. $A$ ও $B$ এর সাধারণ হর কত? (২)
খ. $A+B$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $A-B$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(x-1)$ ও $(x+1)$ এর ল.সা.গু. $(x-1)(x+1) = x^2-1$।

খ) $A+B = \frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1}$।

গ) $A-B = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 2$ হলে $A = 1$, $B = \frac{1}{3}$, $A+B = \frac{4}{3}$ এবং $\frac{2 \times 2}{4-1} = \frac{4}{3}$।

উত্তর: ক) $x^2-1$, খ) $\frac{2x}{x^2-1}$, গ) $\frac{2}{x^2-1}$

8. $\frac{x^2-y^2}{x+y}$ এবং $\frac{x^2-xy}{xy-y^2}$ দুইটি ভগ্নাংশ।
ক. $x^2-y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (২)
খ. প্রথম ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $x = 6,\ y = 3$ হলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$।

খ) $\frac{x^2-y^2}{x+y} = \frac{(x+y)(x-y)}{x+y} = x-y$।

গ) $x^2-xy = x(x-y)$ এবং $xy-y^2 = y(x-y)$।

$\frac{x(x-y)}{y(x-y)} = \frac{x}{y}$। $x = 6,\ y = 3$ হলে মান $= \frac{6}{3} = 2$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 6,\ y = 3$ বসিয়ে $\frac{36-18}{18-9} = \frac{18}{9} = 2$।

উত্তর: ক) $(x+y)(x-y)$, খ) $x-y$, গ) $2$