Class 7 Math Chapter 5 Algebraic Formulae and Applications Creative Suggestions with Solutions

অনুসিদ্ধান্ত: $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = (a-b)^2+2ab$। আরও $(a+b)^2 = (a-b)^2+4ab$ এবং $(a-b)^2 = (a+b)^2-4ab$।

$(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$ এবং $(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab$।

দুই বা ততোধিক রাশি গুণ করে যে গুণফল পাওয়া যায়, সেই রাশিগুলোর প্রত্যেকটি ওই গুণফলের উৎপাদক। বণ্টনবিধি ও সূত্র ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়।

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) হলো রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম। বীজগণিতে সংখ্যা অংশের গ.সা.গু. এবং চলকের সর্বনিম্ন সূচক নিতে হয়।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. বর্গের সূত্র নিয়ে প্রশ্ন।
ক. $(a+b)^2$ এর সূত্রটি লেখ। (২)
খ. $(3x+4)^2$ ও $(5x-3y)^2$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর। (৪)
গ. সূত্র প্রয়োগ করে $105$ ও $98$ এর বর্গ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$।

খ) $(3x+4)^2 = (3x)^2+2 \times 3x \times 4+4^2 = 9x^2+24x+16$।

$(5x-3y)^2 = (5x)^2-2 \times 5x \times 3y+(3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2$।

গ) $105^2 = (100+5)^2 = 10000+2 \times 100 \times 5+25 = 10000+1000+25 = 11025$।

$98^2 = (100-2)^2 = 10000-2 \times 100 \times 2+4 = 10000-400+4 = 9604$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যাকে $100$ এর কাছের সংখ্যার যোগ বা বিয়োগে লিখলে বর্গ নির্ণয় সহজ হয়।

উত্তর: ক) $a^2+2ab+b^2$, খ) $9x^2+24x+16$ ও $25x^2-30xy+9y^2$, গ) $11025$ ও $9604$

2. $a+b = 7$ এবং $ab = 12$।
ক. $a^2+b^2$ কে $(a+b)$ ও $ab$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। (২)
খ. $a^2+b^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $(a-b)^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$।

খ) $a^2+b^2 = 7^2-2 \times 12 = 49-24 = 25$।

গ) $(a-b)^2 = (a+b)^2-4ab$।

$(a-b)^2 = 49-4 \times 12 = 49-48 = 1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $a = 4,\ b = 3$ নিলে $a+b = 7$, $ab = 12$, $a^2+b^2 = 25$ এবং $(a-b)^2 = 1$।

উত্তর: ক) $(a+b)^2-2ab$, খ) $25$, গ) $1$

3. $a-b = 3$ এবং $ab = 10$।
ক. $a^2+b^2$ কে $(a-b)$ ও $ab$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। (২)
খ. $a^2+b^2$ এর মান কত? (৪)
গ. $(a+b)^2$ ও $a+b$ ($a, b$ ধনাত্মক) এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$।

খ) $a^2+b^2 = 3^2+2 \times 10 = 9+20 = 29$।

গ) $(a+b)^2 = (a-b)^2+4ab = 9+40 = 49$।

$a, b$ ধনাত্মক হলে $a+b = \sqrt{49} = 7$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $a = 5,\ b = 2$ হলে $a-b = 3$, $ab = 10$, $a^2+b^2 = 29$ এবং $a+b = 7$।

উত্তর: ক) $(a-b)^2+2ab$, খ) $29$, গ) $49$ ও $7$

4. বর্গের অন্তর সূত্র: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$।
ক. $a^2-b^2$ এর উৎপাদকগুলো লেখ। (২)
খ. সূত্র প্রয়োগ করে $101^2-99^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $8.5^2-1.5^2$ এবং $75^2-25^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^2-b^2$ এর উৎপাদক $(a+b)$ ও $(a-b)$।

খ) $101^2-99^2 = (101+99)(101-99) = 200 \times 2 = 400$।

গ) $8.5^2-1.5^2 = (8.5+1.5)(8.5-1.5) = 10 \times 7 = 70$।

$75^2-25^2 = (75+25)(75-25) = 100 \times 50 = 5000$।

ব্যাখ্যা: সূত্র ছাড়া সরাসরি বর্গ করে বিয়োগ করা সময়সাপেক্ষ।

উত্তর: ক) $(a+b)$ ও $(a-b)$, খ) $400$, গ) $70$ ও $5000$

5. $(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$ সূত্রটি ব্যবহার করে কয়েকটি গুণ।
ক. সূত্রে $a = 3,\ b = 5$ বসাও। (২)
খ. $(x-2)(x+7)$ ও $(x-4)(x-6)$ এর গুণফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $103 \times 97$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(x+3)(x+5) = x^2+(3+5)x+3 \times 5 = x^2+8x+15$।

খ) $(x-2)(x+7) = x^2+(-2+7)x+(-2) \times 7 = x^2+5x-14$।

$(x-4)(x-6) = x^2+(-4-6)x+(-4)(-6) = x^2-10x+24$।

গ) $103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2-3^2$।

$= 10000-9 = 9991$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9991 = 103 \times 97$ যা সংখ্যা গুণ করে মিলিয়ে নেওয়া যায়।

উত্তর: ক) $x^2+8x+15$, খ) $x^2+5x-14$ ও $x^2-10x+24$, গ) $9991$

6. সূত্রের প্রয়োগে সরল করার প্রশ্ন।
ক. $(a-b)^2$ এর সূত্রটি লেখ। (২)
খ. সরল কর: $(2a+1)^2-4a(2a+1)+4a^2$। (৪)
গ. $x = 7,\ y = 6$ হলে $16x^2-40xy+25y^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$।

খ) মনে করি, $2a+1 = m$ এবং $2a = n$। প্রদত্ত রাশি $= m^2-2mn+n^2 = (m-n)^2$।

$m-n = (2a+1)-2a = 1$। রাশিটির মান $= 1^2 = 1$।

গ) $16x^2-40xy+25y^2 = (4x)^2-2 \times 4x \times 5y+(5y)^2 = (4x-5y)^2$।

$x = 7,\ y = 6$ বসিয়ে $(4 \times 7-5 \times 6)^2 = (28-30)^2 = (-2)^2 = 4$।

ব্যাখ্যা: রাশিকে সূত্রের আকারে এনে প্রয়োগ করলে হিসাব ছোট হয়।

উত্তর: ক) $a^2-2ab+b^2$, খ) $1$, গ) $4$

7. উৎপাদকে বিশ্লেষণের প্রশ্ন।
ক. উৎপাদক কাকে বলে? (২)
খ. $12a^2b-18ab^2$ ও $9x^2-16y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (৪)
গ. $x^2+7x+12$ ও $p^2-15p+56$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (৪)

সমাধান:

ক) দুই বা ততোধিক রাশি গুণ করে যে গুণফল পাওয়া যায়, সেই রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে ওই গুণফলের উৎপাদক বলে।

খ) $12a^2b-18ab^2 = 6ab(2a-3b)$ (সাধারণ উৎপাদক $6ab$)।

$9x^2-16y^2 = (3x)^2-(4y)^2 = (3x+4y)(3x-4y)$।

গ) $x^2+7x+12$ এ যোগফল $7$ এবং গুণফল $12$ এমন দুই সংখ্যা $3$ ও $4$। তাই $= (x+3)(x+4)$।

$p^2-15p+56$ এ যোগফল $-15$ ও গুণফল $56$ এমন দুই সংখ্যা $-7$ ও $-8$। তাই $= (p-7)(p-8)$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(x+3)(x+4) = x^2+7x+12$ এবং $(p-7)(p-8) = p^2-15p+56$।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $6ab(2a-3b)$ ও $(3x+4y)(3x-4y)$, গ) $(x+3)(x+4)$ ও $(p-7)(p-8)$

8. গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) নিয়ে প্রশ্ন।
ক. $10 \div 2 = 5$ এ ভাজ্য, ভাজক ও ভাগফল কোনটি? (২)
খ. $12, 18$ ও $24$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর। (৪)
গ. $12x^2y,\ 18xy^2$ ও $24xy$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ভাজ্য $= 10$, ভাজক $= 2$ এবং ভাগফল $= 5$।

খ) $12$ এর গুণনীয়ক: $1, 2, 3, 4, 6, 12$। $18$ এর গুণনীয়ক: $1, 2, 3, 6, 9, 18$। $24$ এর গুণনীয়ক: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$।

সাধারণ গুণনীয়ক $1, 2, 3, 6$। এদের মধ্যে বৃহত্তম $6$, তাই গ.সা.গু. $6$।

গ) সংখ্যা অংশের গ.সা.গু. $6$।

$x$ এর সর্বনিম্ন সূচক $1$ এবং $y$ এর সর্বনিম্ন সূচক $1$। তাই গ.সা.গু. $= 6xy$।

ব্যাখ্যা: চলকের সূচক যেটি সবচেয়ে ছোট সেটি গ.সা.গু. এ আসে।

উত্তর: ক) ভাজ্য $10$, ভাজক $2$ ও ভাগফল $5$, খ) $6$, গ) $6xy$