Class 7 Math Chapter 4 Algebraic Multiplication and Division Creative Suggestions with Solutions

চিহ্নের নিয়ম: $(+) \times (+) = +$, $(-) \times (-) = +$, $(+) \times (-) = -$ এবং $(-) \times (+) = -$।

একপদী রাশিকে একপদী রাশি দিয়ে গুণ করতে সাংখ্যিক সহগ আলাদা এবং চলকের সূচক আলাদা করে গুণ করতে হয়।

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দিয়ে গুণে বণ্টনবিধি ব্যবহার হয়: $m(a+b+c) = ma+mb+mc$।

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দিয়ে গুণ করতে গুণ্যের প্রতিটি পদকে গুণকের প্রতিটি পদ দিয়ে গুণ করে সদৃশ পদগুলো যোগ করতে হয়।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. তিনটি গুণ: $5x^3y^2 \times 3xy^4$, $-4a^2b \times 6ab^3$ এবং $3a^2b \times (-2ab^2) \times 4b$।
ক. সূচকের গুণের নিয়মটি লেখ। (২)
খ. প্রথম দুইটি গুণফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. তৃতীয় গুণফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^m \times a^n = a^{m+n}$।

খ) $5x^3y^2 \times 3xy^4 = (5 \times 3) \times (x^3 \times x) \times (y^2 \times y^4) = 15x^4y^6$।

$-4a^2b \times 6ab^3 = (-4 \times 6) \times (a^2 \times a) \times (b \times b^3) = -24a^3b^4$।

গ) সহগের গুণফল $= 3 \times (-2) \times 4 = -24$।

$a^2 \times a = a^3$ এবং $b \times b^2 \times b = b^4$।

গুণফল $= -24a^3b^4$।

ব্যাখ্যা: সহগ ও চলক আলাদা করে গুণ করলে ভুল কম হয়।

উত্তর: ক) $a^m \times a^n = a^{m+n}$, খ) $15x^4y^6$ ও $-24a^3b^4$, গ) $-24a^3b^4$

2. বণ্টনবিধি ব্যবহার করে বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দিয়ে গুণ করার প্রশ্ন।
ক. বণ্টনবিধিটি লেখ। (২)
খ. $(3x^2+5xy) \times 2xy^2$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $(2a^3-b^2+ab) \times 3ab$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $m(a+b+c) = ma+mb+mc$।

খ) $(3x^2+5xy) \times 2xy^2 = 3x^2 \times 2xy^2 + 5xy \times 2xy^2$।

$= 6x^3y^2 + 10x^2y^3$।

গ) $(2a^3-b^2+ab) \times 3ab = 2a^3 \times 3ab - b^2 \times 3ab + ab \times 3ab$।

$= 6a^4b - 3ab^3 + 3a^2b^2$।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি পদকে একপদী রাশি দিয়ে আলাদাভাবে গুণ করতে হয়।

উত্তর: ক) বণ্টনবিধি, খ) $6x^3y^2+10x^2y^3$, গ) $6a^4b-3ab^3+3a^2b^2$

3. কয়েকটি বহুপদী রাশির গুণ: $(a+3)(a-2)$, $(x+5)(x-5)$ ও $(2x-3y)(x+4y)$।
ক. $(-) \times (-)$ এর গুণফলের চিহ্ন কী? (২)
খ. প্রথম দুইটি গুণফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. তৃতীয় গুণফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(-) \times (-) = (+)$, অর্থাৎ ধনাত্মক।

খ) $(a+3)(a-2) = a^2-2a+3a-6 = a^2+a-6$।

$(x+5)(x-5) = x^2-5x+5x-25 = x^2-25$।

গ) $(2x-3y)(x+4y) = 2x^2+8xy-3xy-12y^2$।

$= 2x^2+5xy-12y^2$।

ব্যাখ্যা: গুণের পর সদৃশ পদগুলো যোগ বা বিয়োগ করে সরল করতে হয়।

উত্তর: ক) ধনাত্মক, খ) $a^2+a-6$ ও $x^2-25$, গ) $2x^2+5xy-12y^2$

4. $a^2-2ab+b^2$ কে $a-b$ দ্বারা গুণ করতে হবে।
ক. গুণ্য ও গুণক কোনটি? (২)
খ. গুণফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $a = 3,\ b = 1$ হলে গুণফলের মান নির্ণয় কর এবং যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) গুণ্য $= a^2-2ab+b^2$ এবং গুণক $= a-b$।

খ) $(a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^2 \cdot a-a^2b-2ab \cdot a+2ab \cdot b+b^2 \cdot a-b^2 \cdot b$।

$= a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$।

গ) $a = 3,\ b = 1$ হলে $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = 27-27+9-1 = 8$।

যাচাই: গুণ্য $= 9-6+1 = 4$ এবং গুণক $= 3-1 = 2$। গুণফল $= 4 \times 2 = 8$।

ব্যাখ্যা: মান বসিয়ে দুইভাবে একই ফল পেলে উত্তর ঠিক আছে বোঝা যায়।

উত্তর: ক) গুণ্য $a^2-2ab+b^2$, গুণক $a-b$, খ) $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, গ) $8$

5. সূচকের ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে ভাগ: $12a^5b^3 \div 4a^2b$ এবং $-28x^4y^2z \div 7x^2y$।
ক. সূচকের ভাগের নিয়মটি লেখ। (২)
খ. প্রথম ভাগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. দ্বিতীয় ভাগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $a^m \div a^n = a^{m-n}$, যেখানে $m > n$ ও $a \neq 0$।

খ) $\frac{12a^5b^3}{4a^2b} = \frac{12}{4} \times a^{5-2} \times b^{3-1} = 3a^3b^2$।

গ) $\frac{-28x^4y^2z}{7x^2y} = \frac{-28}{7} \times x^{4-2} \times y^{2-1} \times z$।

$= -4x^2yz$।

ব্যাখ্যা: সহগ আলাদা ভাগ করে চলকের সূচক বিয়োগ করতে হয়।

উত্তর: ক) $a^m \div a^n = a^{m-n}$, খ) $3a^3b^2$, গ) $-4x^2yz$

6. বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দিয়ে ভাগের প্রশ্ন।
ক. বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দিয়ে ভাগের নিয়ম কী? (২)
খ. $(15x^3y-10x^2y^2+5xy^3) \div 5xy$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $(8a^4-12a^3b) \div 4a^2$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) বহুপদী রাশির প্রতিটি পদকে একপদী রাশি দিয়ে আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়।

খ) $\frac{15x^3y}{5xy} = 3x^2$, $\frac{-10x^2y^2}{5xy} = -2xy$ এবং $\frac{5xy^3}{5xy} = y^2$।

ভাগফল $= 3x^2-2xy+y^2$।

গ) $\frac{8a^4}{4a^2} = 2a^2$ এবং $\frac{-12a^3b}{4a^2} = -3ab$।

ভাগফল $= 2a^2-3ab$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $5xy \times (3x^2-2xy+y^2) = 15x^3y-10x^2y^2+5xy^3$।

উত্তর: ক) প্রতিটি পদকে ভাগ, খ) $3x^2-2xy+y^2$, গ) $2a^2-3ab$

7. $A = x^2+xy+y^2$ এবং $B = x-y$।
ক. $AB$ নির্ণয়ের জন্য কোন কোন রাশি গুণ করতে হবে? (২)
খ. প্রমাণ কর যে, $AB = x^3-y^3$। (৪)
গ. $x = 2,\ y = 1$ হলে $AB$ এর মান কত এবং $A$ ও $B$ এর মান আলাদা করে গুণ করে যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) $A = x^2+xy+y^2$ কে $B = x-y$ দিয়ে গুণ করতে হবে।

খ) $AB = (x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3-x^2y+x^2y-xy^2+xy^2-y^3$।

$= x^3-y^3$ (কারণ $-x^2y+x^2y = 0$ এবং $-xy^2+xy^2 = 0$)।

গ) $x = 2,\ y = 1$ হলে $AB = 2^3-1^3 = 8-1 = 7$।

$A = 4+2+1 = 7$ এবং $B = 2-1 = 1$। $A \times B = 7 \times 1 = 7$। মিলে গেছে।

ব্যাখ্যা: এটি $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ সূত্রের প্রমাণ।

উত্তর: ক) $A \times B$, খ) প্রমাণিত, গ) $7$

8. একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য $(2a+3)$ মিটার এবং প্রস্থ $(a+1)$ মিটার।
ক. জমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র লেখ। (২)
খ. জমির ক্ষেত্রফল $a$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $a = 4$ হলে ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ক্ষেত্রফল $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ।

খ) ক্ষেত্রফল $= (2a+3)(a+1) = 2a^2+2a+3a+3 = 2a^2+5a+3$ বর্গমিটার।

গ) $a = 4$ হলে দৈর্ঘ্য $= 11$ মিটার এবং প্রস্থ $= 5$ মিটার।

ক্ষেত্রফল $= 11 \times 5 = 55$ বর্গমিটার। পরিসীমা $= 2 \times (11+5) = 32$ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2 \times 16+5 \times 4+3 = 32+20+3 = 55$।

উত্তর: ক) দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ, খ) $2a^2+5a+3$ বর্গমিটার, গ) $55$ বর্গমিটার ও $32$ মিটার