Class 7 Math Chapter 2 Proportion and Profit-Loss Creative Suggestions with Solutions

ত্রৈরাশিকে তিনটি রাশি জানা থাকলে ৪র্থ রাশি নির্ণয় করা হয়: ৪র্থ রাশি নির্ণয়ে ২য় ও ৩য় রাশির গুণফলকে ১ম রাশি দিয়ে ভাগ করতে হয়।

ক্রমিক সমানুপাত: $a : b :: b : c$ হলে $b^2 = ac$, অর্থাৎ মধ্য রাশি $b = \sqrt{ac}$।

লাভ $=$ বিক্রয়মূল্য $-$ ক্রয়মূল্য। ক্ষতি $=$ ক্রয়মূল্য $-$ বিক্রয়মূল্য।

শতকরা লাভ বা ক্ষতি (লাভ বা ক্ষতিকে $L$ ও ক্রয়মূল্যকে $C$ ধরে) $= \frac{L}{C} \times 100\%$। আর লাভ হলে বিক্রয়মূল্য $=$ ক্রয়মূল্য $\times \frac{100+r}{100}$ এবং ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য $\times \frac{100-r}{100}$ (যেখানে $r$ শতকরা হার)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $a : b = 3 : 5$ এবং $b : c = 4 : 7$।
ক. অনুপাত কাকে বলে? (২)
খ. $a : b : c$ নির্ণয় কর। (৪)
গ. $6700$ টাকা $a, b, c$ এর অনুপাতে তিনজনের মধ্যে ভাগ করলে কে কত টাকা পাবে? (৪)

সমাধান:

ক) একই জাতীয় দুইটি রাশির একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা যে সম্পর্কে প্রকাশ করা হয়, তাকে অনুপাত বলে।

খ) $b$ এর মান সমান করতে $5$ ও $4$ এর ল.সা.গু. $20$ নিই।

$a : b = 3 : 5 = (3 \times 4) : (5 \times 4) = 12 : 20$ এবং $b : c = 4 : 7 = (4 \times 5) : (7 \times 5) = 20 : 35$।

অতএব $a : b : c = 12 : 20 : 35$।

গ) অনুপাতের যোগফল $= 12+20+35 = 67$। প্রতি অংশ $= \frac{6700}{67} = 100$ টাকা।

১ম জন পাবে $12 \times 100 = 1200$ টাকা, ২য় জন $20 \times 100 = 2000$ টাকা এবং ৩য় জন $35 \times 100 = 3500$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1200+2000+3500 = 6700$ টাকা।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $12 : 20 : 35$, গ) $1200, 2000$ ও $3500$ টাকা

2. চারটি রাশি $4, 6, 10$ ও $x$ সমানুপাতী।
ক. সমানুপাত কাকে বলে? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $4 : 10 :: 10 : y$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $y$ এর মান কত? (৪)

সমাধান:

ক) চারটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশির অনুপাত সমান হলে রাশি চারটি সমানুপাতী।

খ) $4 : 6 :: 10 : x$ হলে $4 \times x = 6 \times 10$।

$x = \frac{60}{4} = 15$।

গ) ক্রমিক সমানুপাতে $10^2 = 4 \times y$।

$y = \frac{100}{4} = 25$।

ব্যাখ্যা: সমানুপাতে প্রান্তীয় রাশির গুণফল $=$ মধ্য রাশির গুণফল।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $15$, গ) $25$

3. একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে $9$ ও $16$।
ক. ক্রমিক সমানুপাত কাকে বলে? (২)
খ. মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় কর। (৪)
গ. ক্রমিক সমানুপাতটি লেখ এবং যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত সমান হলে ক্রমিক সমানুপাত হয়।

খ) মধ্য রাশি $m$ হলে $m^2 = 9 \times 16 = 144$।

$m = \sqrt{144} = 12$।

গ) ক্রমিক সমানুপাত $9 : 12 :: 12 : 16$।

যাচাই: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ এবং $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$। অনুপাত দুইটি সমান।

ব্যাখ্যা: ক্রমিক সমানুপাতে মধ্য রাশি প্রান্তীয় রাশি দুইটির গুণফলের বর্গমূল।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $12$, গ) $9 : 12 :: 12 : 16$

4. $4200$ টাকা তিনজনের মধ্যে $2 : 3 : 5$ অনুপাতে ভাগ করা হলো।
ক. অনুপাতের যোগফল কত? (২)
খ. কে কত টাকা পাবে নির্ণয় কর। (৪)
গ. ছোট অংশ $600$ টাকা হলে একই অনুপাতে মোট কত টাকা ভাগ করা হয়েছিল এবং অন্যরা কত পাবে? (৪)

সমাধান:

ক) $2+3+5 = 10$।

খ) প্রতি অংশ $= \frac{4200}{10} = 420$ টাকা।

১ম জন $2 \times 420 = 840$ টাকা, ২য় জন $3 \times 420 = 1260$ টাকা, ৩য় জন $5 \times 420 = 2100$ টাকা।

গ) $2$ অংশ $= 600$ টাকা, তাই $1$ অংশ $= 300$ টাকা।

মোট টাকা $= 10 \times 300 = 3000$ টাকা। অন্যরা পাবে $3 \times 300 = 900$ টাকা ও $5 \times 300 = 1500$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $840+1260+2100 = 4200$ এবং $600+900+1500 = 3000$।

উত্তর: ক) $10$, খ) $840, 1260$ ও $2100$ টাকা, গ) মোট $3000$ টাকা; $900$ ও $1500$ টাকা

5. $15$ কেজি চালের দাম $600$ টাকা।
ক. ত্রৈরাশিক কাকে বলে? (২)
খ. $25$ কেজি চালের দাম কত? (৪)
গ. $1440$ টাকায় কত কেজি চাল পাওয়া যাবে? (৪)

সমাধান:

ক) তিনটি রাশি জানা থাকলে ৪র্থ রাশি নির্ণয়ের পদ্ধতিকে ত্রৈরাশিক বলে।

খ) $15$ কেজির দাম $600$ টাকা, তাই $1$ কেজির দাম $\frac{600}{15} = 40$ টাকা।

$25$ কেজির দাম $25 \times 40 = 1000$ টাকা।

গ) $40$ টাকায় পাওয়া যায় $1$ কেজি। $1440$ টাকায় পাওয়া যাবে $\frac{1440}{40} = 36$ কেজি।

ব্যাখ্যা: ত্রৈরাশিকে প্রথমে একক মান নির্ণয় করে নিলে হিসাব সহজ হয়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $1000$ টাকা, গ) $36$ কেজি

6. একজন ব্যবসায়ী দুইটি পণ্যের একটি $250$ টাকায় কিনে $300$ টাকায় এবং অপরটি $400$ টাকায় কিনে $360$ টাকায় বিক্রয় করলেন।
ক. লাভ কাকে বলে? (২)
খ. প্রথম পণ্যে শতকরা কত লাভ হলো? (৪)
গ. দ্বিতীয় পণ্যে শতকরা কত ক্ষতি হলো? (৪)

সমাধান:

ক) বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি হলে তাদের পার্থক্যকে লাভ বলে।

খ) প্রথম পণ্যে লাভ $= 300-250 = 50$ টাকা।

$250$ টাকায় লাভ $50$ টাকা, তাই $100$ টাকায় লাভ $\frac{50 \times 100}{250} = 20$ টাকা। লাভ $20\%$।

গ) দ্বিতীয় পণ্যে ক্ষতি $= 400-360 = 40$ টাকা।

$400$ টাকায় ক্ষতি $40$ টাকা, তাই $100$ টাকায় ক্ষতি $\frac{40 \times 100}{400} = 10$ টাকা। ক্ষতি $10\%$।

ব্যাখ্যা: লাভ বা ক্ষতি সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর শতকরা হিসাব করা হয়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $20\%$ লাভ, গ) $10\%$ ক্ষতি

7. একটি সাইকেলের ক্রয়মূল্য $4000$ টাকা।
ক. ক্রয়মূল্য কাকে বলে? (২)
খ. $15\%$ লাভে কত টাকায় বিক্রয় করতে হবে? (৪)
গ. কত টাকায় বিক্রয় করলে $10\%$ ক্ষতি হবে? (৪)

সমাধান:

ক) যে মূল্যে কোনো জিনিস কেনা হয় তাকে ক্রয়মূল্য বলে।

খ) $100$ টাকায় লাভ $15$ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য $115$ টাকা। $4000$ টাকায় বিক্রয়মূল্য $= \frac{4000 \times 115}{100} = 4600$ টাকা।

গ) $10\%$ ক্ষতিতে $100$ টাকার জিনিস বিক্রি হয় $90$ টাকায়।

$4000$ টাকার জিনিস বিক্রি হবে $\frac{4000 \times 90}{100} = 3600$ টাকায়।

ব্যাখ্যা: যাচাই: লাভ $4600-4000 = 600$ টাকা $= 15\%$ এবং ক্ষতি $4000-3600 = 400$ টাকা $= 10\%$।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $4600$ টাকা, গ) $3600$ টাকা

8. একজন দোকানদার প্রতি কেজি $90$ টাকা দরে $20$ কেজি চিনি কিনে প্রতি কেজি $99$ টাকা দরে বিক্রয় করলেন।
ক. মোট ক্রয়মূল্য কত? (২)
খ. মোট বিক্রয়মূল্য ও মোট লাভ কত? (৪)
গ. শতকরা লাভ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) মোট ক্রয়মূল্য $= 20 \times 90 = 1800$ টাকা।

খ) মোট বিক্রয়মূল্য $= 20 \times 99 = 1980$ টাকা।

মোট লাভ $= 1980-1800 = 180$ টাকা।

গ) $1800$ টাকায় লাভ $180$ টাকা।

$100$ টাকায় লাভ $\frac{180 \times 100}{1800} = 10$ টাকা। শতকরা লাভ $10\%$।

ব্যাখ্যা: প্রতি কেজিতে লাভ $9$ টাকা এবং ক্রয়মূল্য $90$ টাকা, তাই লাভ $\frac{9}{90} \times 100 = 10\%$।

উত্তর: ক) $1800$ টাকা, খ) $1980$ টাকা ও $180$ টাকা, গ) $10\%$