Class 7 Math Chapter 1 Rational and Irrational Numbers Creative Suggestions with Solutions

মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল: সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কে ভেঙে প্রতিটি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে গুণ করতে হয়।

ভাগের সাহায্যে বর্গমূল: ডান দিক থেকে দুই অঙ্ক করে জোড়া করে নিয়ে, ভাগফলের সংখ্যার দ্বিগুণ বসিয়ে এগোতে হয়।

ভগ্নাংশের বর্গমূল নির্ণয়ে লবের বর্গমূলকে হরের বর্গমূল দিয়ে ভাগ করতে হয়। মিশ্র ভগ্নাংশ হলে আগে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে পরিণত করতে হয়। যেমন $\sqrt{\frac{64}{81}} = \frac{8}{9}$।

দুইটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশরূপে লেখা যায় এমন সংখ্যা মূলদ সংখ্যা। যে সংখ্যা এভাবে লেখা যায় না, যেমন $\sqrt{2}, \sqrt{3}$, তা অমূলদ সংখ্যা।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $1024$ ও $1849$ দুইটি সংখ্যা।
ক. বর্গমূল কাকে বলে? (২)
খ. মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে $1024$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)
গ. ভাগের সাহায্যে $1849$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে গুণফল হয়, সংখ্যাটি ওই গুণফলের বর্গমূল।

খ) $1024 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ($2$ আছে $10$ বার)।

জোড়া করে পাই: $1024 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2)$।

প্রতি জোড়া থেকে একটি $2$ নিয়ে $\sqrt{1024} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$।

গ) $1849$ কে ডান দিক থেকে জোড়া করি: $18\ 49$। $4^2 = 16 < 18$, তাই প্রথম অঙ্ক $4$। $18-16 = 2$, পাশে $49$ নামিয়ে পাই $249$।

ভাজক $= 4 \times 2 = 8$, পরের অঙ্ক $3$ হলে $83 \times 3 = 249$। বিয়োগফল $0$।

অতএব $\sqrt{1849} = 43$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $32 \times 32 = 1024$ এবং $43 \times 43 = 1849$।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $32$, গ) $43$

2. তিনটি সংখ্যা $2304, 7056$ ও $15129$।
ক. ভাগের পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয়ের সময় সংখ্যাকে কীভাবে জোড়া করতে হয়? (২)
খ. $2304$ ও $7056$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $15129$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) এককের স্থানীয় অঙ্ক থেকে শুরু করে বামদিকে দুই অঙ্ক করে জোড়া করতে হয়। শেষ জোড়ায় একটি অঙ্ক থাকলে তাকে আলাদা জোড়া ধরা হয়।

খ) $2304$: জোড়া $23\ 04$। $4^2 = 16 < 23$, বাকি $7$, পাশে $04$ নামিয়ে $704$। ভাজক $8$, $88 \times 8 = 704$। বর্গমূল $48$।

$7056$: জোড়া $70\ 56$। $8^2 = 64 < 70$, বাকি $6$, নামিয়ে $656$। ভাজক $16$, $164 \times 4 = 656$। বর্গমূল $84$।

গ) $15129$: জোড়া $1\ 51\ 29$। প্রথম অঙ্ক $1$, বাকি $0$, নামিয়ে $51$। ভাজক $2$, $22 \times 2 = 44$, বাকি $7$, নামিয়ে $729$।

ভাজক $24$ এর পাশে $3$ বসালে $243 \times 3 = 729$। বিয়োগফল $0$। বর্গমূল $123$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $48^2 = 2304$, $84^2 = 7056$ ও $123^2 = 15129$।

উত্তর: ক) এককের দিক থেকে দুই অঙ্ক করে, খ) $48$ ও $84$, গ) $123$

3. কয়েকটি দশমিক সংখ্যা: $20.25, 0.0169$ ও $51.84$।
ক. দশমিক সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়ে দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কের সংখ্যা কেমন হতে হবে? (২)
খ. $20.25$ ও $0.0169$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $51.84$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) দশমিক বিন্দুর পরে অঙ্কের সংখ্যা জোড় হতে হয়, নইলে ডানে একটি শূন্য বসিয়ে জোড় করে নিতে হয়।

খ) $20.25 = \frac{2025}{100}$, তাই $\sqrt{20.25} = \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}} = \frac{45}{10} = 4.5$।

$0.0169 = \frac{169}{10000}$, তাই $\sqrt{0.0169} = \frac{13}{100} = 0.13$।

গ) $51.84 = \frac{5184}{100}$। $5184$ এর বর্গমূল $72$ ($72 \times 72 = 5184$)।

অতএব $\sqrt{51.84} = \frac{72}{10} = 7.2$।

ব্যাখ্যা: দশমিকের বর্গমূলে দশমিক বিন্দু থাকার পর বর্গমূলের অঙ্ক সংখ্যা মূল সংখ্যার দশমিক অঙ্কের অর্ধেক হয়।

উত্তর: ক) জোড় সংখ্যক, খ) $4.5$ ও $0.13$, গ) $7.2$

4. তিনটি ভগ্নাংশ $\frac{64}{81},\ 12\frac{1}{4}$ ও $6\frac{1}{4}$।
ক. ভগ্নাংশের বর্গমূল নির্ণয়ের নিয়ম লেখ। (২)
খ. $\frac{64}{81}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)
গ. $12\frac{1}{4}$ ও $6\frac{1}{4}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) লবের বর্গমূলকে হরের বর্গমূল দিয়ে ভাগ করলে ভগ্নাংশের বর্গমূল পাওয়া যায়।

খ) $\sqrt{\frac{64}{81}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{81}} = \frac{8}{9}$।

গ) $12\frac{1}{4} = \frac{49}{4}$, তাই $\sqrt{12\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$।

$6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$, তাই $\sqrt{6\frac{1}{4}} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$।

ব্যাখ্যা: মিশ্র ভগ্নাংশের বর্গমূলে প্রথমে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হয়।

উত্তর: ক) লবের বর্গমূল $\div$ হরের বর্গমূল, খ) $\frac{8}{9}$, গ) $3\frac{1}{2}$ ও $2\frac{1}{2}$

5. তিনটি সংখ্যা $72, 180$ ও $200$।
ক. পূর্ণবর্গ সংখ্যা কাকে বলে? (২)
খ. $72$ ও $180$ কে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে? (৪)
গ. $200$ কে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ হবে? ভাগফলের বর্গমূল কত? (৪)

সমাধান:

ক) যে সংখ্যার বর্গমূল একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাকে পূর্ণবর্গ সংখ্যা বলে।

খ) $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$। এখানে একটি $2$ জোড়াবিহীন। $2$ দিয়ে গুণ করলে $144$ হয়, যা পূর্ণবর্গ ($12^2$)।

$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$। এখানে $5$ জোড়াবিহীন। $5$ দিয়ে গুণ করলে $900$ হয়, যা পূর্ণবর্গ ($30^2$)।

গ) $200 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5$। একটি $2$ জোড়াবিহীন। $2$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল $100$।

$\sqrt{100} = 10$।

ব্যাখ্যা: জোড়াবিহীন মৌলিক গুণনীয়ক দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে পূর্ণবর্গ হয়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $2$ ও $5$, গ) $2$; বর্গমূল $10$

6. চারটি সংখ্যা $0.75, \sqrt{49}, \sqrt{50}$ ও $\sqrt{\frac{16}{25}}$।
ক. মূলদ সংখ্যা কাকে বলে? (২)
খ. কোন সংখ্যাগুলো মূলদ তা কারণসহ লেখ। (৪)
গ. কোন সংখ্যাটি অমূলদ? কেন? (৪)

সমাধান:

ক) যে সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশরূপে (হর শূন্য নয়) লেখা যায়, তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

খ) $0.75 = \frac{3}{4}$, তাই মূলদ।

$\sqrt{49} = 7 = \frac{7}{1}$, তাই মূলদ।

$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$, তাই মূলদ।

গ) $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$। $50$ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই বর্গমূল ভগ্নাংশরূপে লেখা যায় না।

অতএব $\sqrt{50}$ অমূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যা: পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $0.75, \sqrt{49}, \sqrt{\frac{16}{25}}$, গ) $\sqrt{50}$

7. সংখ্যারেখা নিয়ে কয়েকটি তথ্য: $\frac{3}{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5}$।
ক. অমূলদ সংখ্যার একটি উদাহরণ দাও। (২)
খ. $\frac{3}{2}$ সংখ্যারেখার কোন দুই পূর্ণ সংখ্যার মাঝে এবং কোথায় থাকবে? (৪)
গ. $\sqrt{3}$ ও $\sqrt{5}$ কোন কোন পূর্ণ সংখ্যার মাঝে থাকবে? (৪)

সমাধান:

ক) $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা ($\sqrt{2} = 1.41421\ldots$)।

খ) $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$। এটি $1$ ও $2$ এর মাঝে।

$1$ থেকে $2$ এর অংশকে সমান দুই ভাগ করলে মাঝের বিন্দুটিই $\frac{3}{2}$।

গ) $1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$, তাই $1 < \sqrt{3} < 2$।

$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$, তাই $2 < \sqrt{5} < 3$।

ব্যাখ্যা: কোনো সংখ্যার বর্গ দুইটি পূর্ণ বর্গের মাঝে থাকলে বর্গমূল দুইটি পূর্ণ সংখ্যার মাঝে থাকে।

উত্তর: ক) $\sqrt{2}$, খ) $1$ ও $2$ এর ঠিক মাঝে, গ) $\sqrt{3}$ হলো $1$ ও $2$ এর মাঝে এবং $\sqrt{5}$ হলো $2$ ও $3$ এর মাঝে

8. একটি বর্গাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল $2025$ বর্গফুট।
ক. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও বাহুর সম্পর্ক কী? (২)
খ. ঘরের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত? (৪)
গ. মেঝেতে $1.5$ ফুট বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার টাইলস বসালে কয়টি টাইলস লাগবে? (৪)

সমাধান:

ক) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$ (বাহু)$^2$, অর্থাৎ বাহু $=$ ক্ষেত্রফলের বর্গমূল।

খ) বাহু $= \sqrt{2025} = 45$ ফুট (কারণ $45 \times 45 = 2025$)।

গ) প্রতি সারিতে টাইলস $= \frac{45}{1.5} = 30$ টি এবং $30$ টি সারি।

মোট টাইলস $= 30 \times 30 = 900$ টি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: একটি টাইলসের ক্ষেত্রফল $1.5 \times 1.5 = 2.25$ বর্গফুট এবং $900 \times 2.25 = 2025$।

উত্তর: ক) বাহু $=$ ক্ষেত্রফলের বর্গমূল, খ) $45$ ফুট, গ) $900$ টি