Class 6 Math Chapter 7 Practical Geometry Creative Suggestions with Solutions

চাঁদা অর্ধবৃত্তাকার এবং এতে $0$ থেকে $180$ পর্যন্ত দাগ কাটা থাকে। এর সাহায্যে কোণ আঁকা ও মাপা যায়।

রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁকলে রেখাংশটি সমান দুই ভাগ হয়। লম্ব সমদ্বিখণ্ডক বারবার আঁকলে রেখাংশকে $4, 8, \ldots$ সমান ভাগ করা যায়।

কোণের সমদ্বিখণ্ডক কোণটিকে সমান দুই ভাগ করে। তাই $x^\circ$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক প্রতিটি $\frac{x}{2}$ ডিগ্রি করে দুই কোণ উৎপন্ন করে।

চাঁদা ছাড়া শুধু রুলার ও কম্পাস দিয়ে $60^\circ$ কোণ আঁকা যায়। এর সমদ্বিখণ্ডক $30^\circ$ এবং $60^\circ+60^\circ$ যোগ করে $120^\circ$ কোণ পাওয়া যায়। $90^\circ$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক $45^\circ$।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. জ্যামিতি বাক্সের যন্ত্রপাতি নিয়ে কয়েকটি তথ্য:
ক. জ্যামিতি বাক্সের চারটি যন্ত্রের নাম লেখ। (২)
খ. ত্রিকোণী দুইটির কোণগুলো কত কত ডিগ্রি? (৪)
গ. চাঁদায় কত ডিগ্রি পর্যন্ত দাগ কাটা থাকে এবং প্রতি দুই দাগের মধ্যে কত ডিগ্রি ব্যবধান? (৪)

সমাধান:

ক) রুলার (স্কেল), কাঁটা কম্পাস, ত্রিকোণী ও চাঁদা।

খ) প্রথম ত্রিকোণীর কোণ $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$।

দ্বিতীয় ত্রিকোণীর কোণ $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$।

গ) চাঁদা অর্ধবৃত্তাকার এবং এতে $0^\circ$ থেকে $180^\circ$ পর্যন্ত দাগ কাটা থাকে।

বক্ররেখা $180$ টি সমান ভাগে ভাগ করা, তাই প্রতি দুই দাগের ব্যবধান $1^\circ$।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ত্রিকোণীর একটি কোণ সমকোণ। ত্রিকোণীর তিন কোণের সমষ্টিও $180^\circ$।

উত্তর: ক) রুলার, কম্পাস, ত্রিকোণী, চাঁদা, খ) $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ এবং $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$, গ) $180^\circ$; $1^\circ$

2. $AB$ একটি $6$ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশ।
ক. রুলার দিয়ে $AB$ আঁকার পর এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকলে কী উৎপন্ন হয়? (২)
খ. $AB$ এর মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁকার ধাপগুলো লেখ। (৪)
গ. $AB$ কে সমান চার ভাগে ভাগ করলে প্রতি ভাগের দৈর্ঘ্য কত হবে? (৪)

সমাধান:

ক) এতে $AB$ রেখাংশের মধ্যবিন্দু এবং সেই বিন্দুতে একটি লম্ব উৎপন্ন হয়।

খ) ধাপ ১: রুলার দিয়ে $6$ সেমি দৈর্ঘ্যের $AB$ আঁকি।

ধাপ ২: কম্পাসে $3$ সেমির বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে $A$ ও $B$ কে কেন্দ্র করে $AB$ এর দুই পাশে দুইটি করে বৃত্তচাপ আঁকি, যেন তারা পরস্পরকে ছেদ করে।

ধাপ ৩: ছেদবিন্দু দুইটি $C$ ও $D$ চিহ্নিত করে $C, D$ যোগ করি। $CD$ রেখা $AB$ কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখানে $M$ হলো $AB$ এর মধ্যবিন্দু এবং $CD \perp AB$।

গ) $AB$ এর মধ্যবিন্দু $M$ হলে $AM = MB = \frac{6}{2} = 3$ সেমি।

$AM$ ও $MB$ এর মধ্যবিন্দুতে আবার লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকলে প্রতিটি ভাগ হয় $\frac{3}{2} = 1.5$ সেমি।

ব্যাখ্যা: বৃত্তচাপ আঁকার সময় ব্যাসার্ধ অর্ধেকের চেয়ে বেশি রাখতে হয়, নইলে চাপ দুইটি ছেদ করে না।

উত্তর: ক) মধ্যবিন্দু ও লম্ব, খ) অঙ্কনের ধাপসহ, গ) $1.5$ সেমি

3. চাঁদা ছাড়া কম্পাস ও রুলার দিয়ে কোণ আঁকার প্রশ্ন:
ক. $60^\circ$ কোণ আঁকার ধাপগুলো লেখ। (২)
খ. $60^\circ$ কোণ থেকে কীভাবে $30^\circ$ ও $120^\circ$ কোণ পাওয়া যায়? (৪)
গ. $30^\circ$ ও $120^\circ$ কোণ দুইটির সম্পূরক কোণ কত? (৪)

সমাধান:

ক) একটি সরলরেখার উপর $O$ বিন্দু নিই। কম্পাসের কাঁটা $O$ তে রেখে সুবিধাজনক ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি, যা রেখাকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$A$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা আগের চাপকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O, B$ যোগ করি। তাহলে $\angle BOA = 60^\circ$।

খ) $\angle BOA$ এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকলে $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$ কোণ পাওয়া যায়।

$O$ বিন্দুতে $60^\circ$ কোণের পাশে আরেকটি $60^\circ$ কোণ আঁকলে মোট কোণ $60^\circ+60^\circ = 120^\circ$।

গ) $30^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-30^\circ = 150^\circ$।

$120^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-120^\circ = 60^\circ$।

ব্যাখ্যা: $60^\circ$ কোণ আঁকার সময় দুইবারই একই ব্যাসার্ধ ব্যবহার করলে সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি হয়, তাই কোণ $60^\circ$ হয়।

উত্তর: ক) অঙ্কনের ধাপ, খ) $30^\circ$ ও $120^\circ$ আঁকার পদ্ধতি, গ) $150^\circ$ ও $60^\circ$

4. রুলার ও কম্পাস দিয়ে $45^\circ$ কোণ আঁকতে হবে।
ক. $45^\circ$ কোণ আঁকার জন্য প্রথমে কোন কোণ আঁকতে হয়? (২)
খ. $45^\circ$ কোণ আঁকার ধাপগুলো লেখ। (৪)
গ. $45^\circ$ কোণের পূরক ও সম্পূরক কোণ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) প্রথমে $90^\circ$ কোণ (লম্ব) আঁকতে হয়।

খ) একটি সরলরেখার উপর $O$ বিন্দু নিয়ে $O$ বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ আঁকি।

$90^\circ$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক আঁকি। কম্পাস দিয়ে কোণের দুই বাহুকে সমান ব্যাসার্ধের চাপে কেটে দুই বিন্দু নিই, সেই বিন্দু দুইটি থেকে সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে চাপ আঁকি যেন তারা ছেদ করে।

$O$ থেকে ছেদবিন্দুতে সরলরেখা টানলে $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$ কোণ পাওয়া যায়।

গ) $45^\circ$ এর পূরক কোণ $= 90^\circ-45^\circ = 45^\circ$।

$45^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-45^\circ = 135^\circ$।

ব্যাখ্যা: $45^\circ$ কোণের পূরক কোণ নিজেই $45^\circ$ হয়।

উত্তর: ক) $90^\circ$, খ) অঙ্কনের ধাপ, গ) পূরক $45^\circ$ ও সম্পূরক $135^\circ$

5. চাঁদা দিয়ে কোণ আঁকা ও মাপা নিয়ে প্রশ্ন:
ক. চাঁদার সাহায্যে $85^\circ$ কোণ আঁকার ধাপগুলো লেখ। (২)
খ. $85^\circ$ ও $155^\circ$ কোণ দুইটি কোন ধরনের? (৪)
গ. $155^\circ$ ও $85^\circ$ কোণের অন্তর এবং $155^\circ$ কোণের সম্পূরক কোণ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) একটি রেখাংশ $OA$ আঁকি। চাঁদার কেন্দ্র $O$ বিন্দুতে এবং শূন্য দাগ $OA$ বরাবর রাখি।

চাঁদার $85$ দাগের পাশে বিন্দু $B$ চিহ্নিত করি। $O, B$ যোগ করলে $\angle AOB = 85^\circ$।

খ) $85^\circ$ কোণটি $90^\circ$ এর চেয়ে ছোট, তাই সূক্ষ্মকোণ।

$155^\circ$ কোণটি $90^\circ$ এর বড় ও $180^\circ$ এর ছোট, তাই স্থূলকোণ।

গ) অন্তর $= 155^\circ-85^\circ = 70^\circ$।

$155^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-155^\circ = 25^\circ$।

ব্যাখ্যা: চাঁদা বসানোর সময় কেন্দ্রবিন্দু কোণের শীর্ষে এবং শূন্য দাগ একটি বাহুর উপর রাখা জরুরি।

উত্তর: ক) চাঁদা বসিয়ে আঁকার ধাপ, খ) সূক্ষ্মকোণ ও স্থূলকোণ, গ) $70^\circ$ ও $25^\circ$

6. একটি রেখার বাইরের একটি বিন্দু $P$ থেকে রেখার উপর লম্ব আঁকতে হবে।
ক. লম্ব বলতে কী বোঝ? (২)
খ. ত্রিকোণী ও রুলারের সাহায্যে লম্ব আঁকার ধাপগুলো লেখ। (৪)
গ. লম্ব ও রেখার মধ্যে উৎপন্ন কোণ কত? $P$ বিন্দু থেকে লম্ব ছাড়া অন্য রেখা আঁকলে কোণটি কেমন হবে? (৪)

সমাধান:

ক) দুইটি সরলরেখা পরস্পর $90^\circ$ কোণে ছেদ করলে একটি অপরটির উপর লম্ব।

খ) ধাপ ১: $AB$ রেখার যে পাশে $P$ আছে তার বিপরীত পাশে একটি ত্রিকোণী বসাই, যেন তার সমকোণসংলগ্ন একটি ধার $AB$ বরাবর থাকে।

ধাপ ২: ত্রিকোণীর সমকোণের বিপরীত ধার বরাবর একটি রুলার বসাই এবং রুলার শক্ত করে ধরে রাখি।

ধাপ ৩: রুলার ধরে ত্রিকোণীটি রুলার বরাবর সরাই যেন $P$ বিন্দুটি ত্রিকোণীর অন্য ধারকে স্পর্শ করে।

ধাপ ৪: $P$ থেকে বাহু বরাবর রেখাংশ আঁকি যা $AB$ কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $PM \perp AB$।

গ) লম্ব ও রেখার মধ্যে উৎপন্ন কোণ $90^\circ$।

$P$ থেকে লম্ব ছাড়া অন্য কোনো রেখা আঁকলে কোণ $90^\circ$ হবে না; একদিকের কোণ সূক্ষ্মকোণ এবং অপর দিকের কোণ স্থূলকোণ হবে।

ব্যাখ্যা: বহিঃস্থ বিন্দু থেকে রেখার উপর লম্ব দূরত্বই সবচেয়ে ছোট দূরত্ব।

উত্তর: ক) $90^\circ$ কোণে ছেদ, খ) অঙ্কনের ধাপ, গ) $90^\circ$

7. $\angle XOY = 80^\circ$ একটি কোণ।
ক. কোণের সমদ্বিখণ্ডক কাকে বলে? (২)
খ. $\angle XOY$ এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকলে প্রতিটি ভাগ কত ডিগ্রি হবে? (৪)
গ. খ-এ প্রাপ্ত কোণের পূরক ও সম্পূরক কোণ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) যে রশ্মি কোণটিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে তাকে কোণের সমদ্বিখণ্ডক বলে।

খ) সমদ্বিখণ্ডক আঁকার ধাপ: $O$ কে কেন্দ্র করে বৃত্তচাপ আঁকি, যা $OX$ ও $OY$ কে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। এরপর $A$ ও $B$ কে কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধে চাপ আঁকি যেন তারা $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। $OC$ যোগ করি।

প্রতিটি ভাগ $= \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$।

গ) $40^\circ$ এর পূরক কোণ $= 90^\circ-40^\circ = 50^\circ$।

$40^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-40^\circ = 140^\circ$।

ব্যাখ্যা: কোণের সমদ্বিখণ্ডক আঁকার সময় দুই চাপের ব্যাসার্ধ সমান হতে হয় এবং তা অর্ধেকের চেয়ে বেশি হতে হয়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $40^\circ$, গ) পূরক $50^\circ$ ও সম্পূরক $140^\circ$

8. $AB$ একটি $10$ সেমি রেখাংশ এবং $C$, $AB$ এর মধ্যবিন্দু, $D$ হলো $AC$ এর মধ্যবিন্দু।
ক. $AC$ এর দৈর্ঘ্য কত? (২)
খ. $AD$ এর দৈর্ঘ্য কত? (৪)
গ. $DB$ এর দৈর্ঘ্য কত? $AB$ কে এভাবে কয়টি সমান ভাগে ভাগ করা যায় তা লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) $C$ হলো $AB$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $AC = \frac{10}{2} = 5$ সেমি।

খ) $D$ হলো $AC$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $AD = \frac{5}{2} = 2.5$ সেমি।

গ) $DB = AB-AD = 10-2.5 = 7.5$ সেমি।

$AB$ কে $C$ দ্বারা $2$ ভাগে এবং $AC, CB$ কে আবার মধ্যবিন্দুতে ভাগ করলে $4$ সমান ভাগ হয়, প্রতিটি $2.5$ সেমি।

ব্যাখ্যা: প্রতিবার মধ্যবিন্দু নিলে ভাগের সংখ্যা দ্বিগুণ হয়: $2, 4, 8, \ldots$

উত্তর: ক) $5$ সেমি, খ) $2.5$ সেমি, গ) $7.5$ সেমি; $4$ টি সমান ভাগ