Class 6 Math Chapter 6 Basic Geometry Creative Suggestions with Solutions

দুইটি কোণের যোগফল $90^\circ$ হলে একটি অপরটির পূরক কোণ। যোগফল $180^\circ$ হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ। তাই $x^\circ$ এর পূরক কোণ $(90-x)^\circ$ এবং সম্পূরক কোণ $(180-x)^\circ$।

দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়।

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$। বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার: সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু। কোণভেদে তিন প্রকার: সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী ও স্থূলকোণী।

চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি কৌণিক বিন্দু ও দুইটি কর্ণ থাকে।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2 \times$ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) এবং ক্ষেত্রফল $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. দুইটি কোণ নিয়ে কয়েকটি তথ্য:
ক. সমকোণ কাকে বলে? (২)
খ. $35^\circ$ কোণের পূরক কোণ ও সম্পূরক কোণ নির্ণয় কর। (৪)
গ. দুইটি কোণ পরস্পর সম্পূরক এবং একটি অপরটির চারগুণ হলে কোণ দুইটি নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $90^\circ$ কোণকে সমকোণ বলে।

খ) $35^\circ$ এর পূরক কোণ $= 90^\circ-35^\circ = 55^\circ$।

$35^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-35^\circ = 145^\circ$।

গ) ছোট কোণ $x^\circ$ হলে বড় কোণ $4x^\circ$। সম্পূরক বলে $x+4x = 180$।

$5x = 180$, তাই $x = 36$।

ছোট কোণ $36^\circ$ এবং বড় কোণ $4 \times 36^\circ = 144^\circ$।

ব্যাখ্যা: সম্পূরক কোণের যোগফল $180^\circ$। অনুপাত বা গুণের সম্পর্ক দেওয়া থাকলে একটি কোণকে চলক ধরে সমীকরণ গঠন করতে হয়।

উত্তর: ক) $90^\circ$, খ) পূরক $55^\circ$ ও সম্পূরক $145^\circ$, গ) $36^\circ$ ও $144^\circ$

2. দুইটি কোণ পরস্পর পূরক এবং একটি কোণ অপরটির দ্বিগুণ।
ক. পূরক কোণ কাকে বলে? (২)
খ. কোণ দুইটি নির্ণয় কর। (৪)
গ. কোণ দুইটির সম্পূরক কোণ দুইটির অন্তর নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) দুইটি কোণের যোগফল $90^\circ$ হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

খ) ছোট কোণ $x^\circ$ হলে বড় কোণ $2x^\circ$। প্রশ্নমতে $x+2x = 90$।

$3x = 90$, তাই $x = 30$। ছোট কোণ $30^\circ$ এবং বড় কোণ $60^\circ$।

গ) $30^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-30^\circ = 150^\circ$।

$60^\circ$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-60^\circ = 120^\circ$।

অন্তর $= 150^\circ-120^\circ = 30^\circ$।

ব্যাখ্যা: পূরক কোণ দুইটির যোগফল $90^\circ$ হয়। কোণের সংখ্যাগত পার্থক্য ঠিক থাকে, তাই সম্পূরক কোণ দুইটির অন্তরও $30^\circ$।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $30^\circ$ ও $60^\circ$, গ) $30^\circ$

3. $AB$ ও $CD$ দুইটি সরলরেখা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\angle AOC = (3x+10)^\circ$ এবং $\angle BOD = (5x-30)^\circ$।
ক. বিপ্রতীপ কোণ কাকে বলে? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle AOD$ ও $\angle BOC$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে যে দুই জোড়া বিপরীত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের বিপ্রতীপ কোণ বলে।

খ) $\angle AOC$ ও $\angle BOD$ বিপ্রতীপ কোণ, তাই এরা সমান।

$3x+10 = 5x-30$, বা $10+30 = 5x-3x$, বা $2x = 40$।

অতএব $x = 20$।

গ) $\angle AOC = 3 \times 20+10 = 70^\circ$।

$\angle AOC$ ও $\angle AOD$ সন্নিহিত সম্পূরক কোণ। তাই $\angle AOD = 180^\circ-70^\circ = 110^\circ$।

$\angle BOC$ ও $\angle AOD$ বিপ্রতীপ কোণ, তাই $\angle BOC = 110^\circ$।

ব্যাখ্যা: দুইটি সরলরেখা ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণ সমান এবং সন্নিহিত কোণ জোড়া সম্পূরক হয়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $x = 20$, গ) $\angle AOD = 110^\circ$ ও $\angle BOC = 110^\circ$

4. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে $2x^\circ$, $3x^\circ$ ও $4x^\circ$।
ক. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কত? (২)
খ. কোণ তিনটির মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. কোণ বিবেচনায় ত্রিভুজটি কোন ধরনের? কারণসহ লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

খ) প্রশ্নমতে $2x+3x+4x = 180$, বা $9x = 180$।

$x = 20$। কোণ তিনটি $2 \times 20 = 40^\circ$, $3 \times 20 = 60^\circ$ ও $4 \times 20 = 80^\circ$।

গ) তিনটি কোণই $90^\circ$ এর চেয়ে ছোট, অর্থাৎ তিনটিই সূক্ষ্মকোণ।

অতএব ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $40+60+80 = 180$। যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

উত্তর: ক) $180^\circ$, খ) $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$, গ) সূক্ষ্মকোণী

5. কয়েকটি ত্রিভুজের কোণ ও বাহু সম্পর্কিত তথ্য:
ক. বাহুভেদে ত্রিভুজ কয় প্রকার ও কী কী? (২)
খ. একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ $50^\circ$ ও $40^\circ$ হলে তৃতীয় কোণ নির্ণয় কর এবং ত্রিভুজটির প্রকার লেখ। (৪)
গ. একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ $35^\circ$ ও $45^\circ$ হলে তৃতীয় কোণ কত? ত্রিভুজটি কোন ধরনের? (৪)

সমাধান:

ক) বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার: সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু।

খ) তৃতীয় কোণ $= 180^\circ-(50^\circ+40^\circ) = 180^\circ-90^\circ = 90^\circ$।

একটি কোণ সমকোণ, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

গ) তৃতীয় কোণ $= 180^\circ-(35^\circ+45^\circ) = 180^\circ-80^\circ = 100^\circ$।

$100^\circ$ কোণটি স্থূলকোণ। তাই ত্রিভুজটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের দুইটি কোণ জানা থাকলে $180^\circ$ থেকে বিয়োগ করে তৃতীয় কোণ পাওয়া যায়। তৃতীয় কোণের মান দেখে কোণভেদে ত্রিভুজের প্রকার বলা যায়।

উত্তর: ক) সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু, খ) $90^\circ$; সমকোণী, গ) $100^\circ$; স্থূলকোণী

6. $AB$ একটি সরলরেখা এবং এর উপরে $O$ একটি বিন্দু। $OC$ একটি রশ্মি যেন $\angle AOC = (2x+20)^\circ$ এবং $\angle BOC = (3x+10)^\circ$ হয়।
ক. সরলকোণ কত ডিগ্রি? (২)
খ. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle AOC$ ও $\angle BOC$ কোন ধরনের কোণ? (৪)

সমাধান:

ক) সরলকোণ $= 180^\circ$।

খ) $\angle AOC+\angle BOC = 180^\circ$ (সরলরেখার উপর সন্নিহিত কোণ)।

$(2x+20)+(3x+10) = 180$, বা $5x+30 = 180$।

$5x = 150$, তাই $x = 30$।

গ) $\angle AOC = 2 \times 30+20 = 80^\circ$ এবং $\angle BOC = 3 \times 30+10 = 100^\circ$।

$80^\circ$ কোণটি $90^\circ$ থেকে ছোট, তাই $\angle AOC$ সূক্ষ্মকোণ।

$100^\circ$ কোণটি $90^\circ$ থেকে বড় ও $180^\circ$ থেকে ছোট, তাই $\angle BOC$ স্থূলকোণ।

ব্যাখ্যা: সরলরেখার উপর দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হলে তাদের যোগফল সরলকোণের সমান $180^\circ$।

উত্তর: ক) $180^\circ$, খ) $x = 30$, গ) $\angle AOC$ সূক্ষ্মকোণ ও $\angle BOC$ স্থূলকোণ

7. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $12$ সেমি এবং প্রস্থ $8$ সেমি।
ক. চতুর্ভুজের বাহু, কৌণিক বিন্দু ও কর্ণ কয়টি করে থাকে? (২)
খ. আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. আয়তক্ষেত্রের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? কোনটির ক্ষেত্রফল কত বেশি? (৪)

সমাধান:

ক) চতুর্ভুজের $4$ টি বাহু, $4$ টি কৌণিক বিন্দু ও $2$ টি কর্ণ থাকে।

খ) পরিসীমা $= 2 \times (12+8) = 2 \times 20 = 40$ সেমি।

ক্ষেত্রফল $= 12 \times 8 = 96$ বর্গসেমি।

গ) বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $40$ সেমি, তাই এক বাহু $= \frac{40}{4} = 10$ সেমি।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 10 \times 10 = 100$ বর্গসেমি।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বেশি $= 100-96 = 4$ বর্গসেমি।

ব্যাখ্যা: সমান পরিসীমা হলেও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের চেয়ে বেশি বা সমান হয়।

উত্তর: ক) $4, 4, 2$, খ) পরিসীমা $40$ সেমি ও ক্ষেত্রফল $96$ বর্গসেমি, গ) $100$ বর্গসেমি; বর্গক্ষেত্র $4$ বর্গসেমি বেশি

8. $PQR$ ত্রিভুজের $\angle P = \angle Q$ এবং $\angle R = 80^\circ$।
ক. কোণভেদে ত্রিভুজ কয় প্রকার ও কী কী? (২)
খ. $\angle P$ ও $\angle Q$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. $\angle R$ এর পূরক কোণ ও $\angle P$ এর সম্পূরক কোণ নির্ণয় কর। ত্রিভুজটি কোণভেদে কোন ধরনের? (৪)

সমাধান:

ক) কোণভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার: সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী ও স্থূলকোণী।

খ) $\angle P+\angle Q+\angle R = 180^\circ$। $\angle P = \angle Q = x^\circ$ ধরলে $2x+80 = 180$।

$2x = 100$, তাই $x = 50$। অতএব $\angle P = \angle Q = 50^\circ$।

গ) $\angle R$ এর পূরক কোণ $= 90^\circ-80^\circ = 10^\circ$।

$\angle P$ এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ-50^\circ = 130^\circ$।

তিনটি কোণ $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$ সবই সূক্ষ্মকোণ। তাই ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী।

ব্যাখ্যা: দুইটি কোণ সমান দেওয়া থাকলে একটি কোণকে চলক ধরে সমীকরণ গঠন করা সুবিধাজনক।

উত্তর: ক) সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী ও স্থূলকোণী, খ) $50^\circ$ ও $50^\circ$, গ) $10^\circ$ ও $130^\circ$; সূক্ষ্মকোণী