Class 6 Math Chapter 5 Simple Equations Creative Suggestions with Solutions

সমতার ধর্ম: $a = b$ হলে $a+c = b+c$, $a-c = b-c$, $ac = bc$ এবং $c \neq 0$ হলে $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$।

পক্ষান্তর: একটি পদ এক পক্ষ থেকে অন্য পক্ষে নিলে তার চিহ্ন বদলে যায় ($+$ হলে $-$, $-$ হলে $+$)।

সমাধান শুদ্ধ কি না যাচাই করতে সমীকরণের চলকের জায়গায় মান বসিয়ে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ মিলিয়ে দেখতে হয়। একে শুদ্ধি পরীক্ষা বলে।

বাস্তব সমস্যায় অজানা রাশিকে চলক ধরে প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী সমীকরণ গঠন করতে হয়।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. তিনটি সমীকরণ: $x+7 = 15$, $3y-4 = 11$ এবং $4z+3 = 2z+11$।
ক. $x+7 = 15$ সমীকরণটি সমাধান কর। (২)
খ. $3y-4 = 11$ সমীকরণটির সমাধান কর। (৪)
গ. $4z+3 = 2z+11$ সমীকরণটি সমাধান করে শুদ্ধি পরীক্ষা কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x+7 = 15$। উভয় পক্ষ থেকে $7$ বিয়োগ করে $x = 15-7 = 8$।

খ) $3y-4 = 11$। উভয় পক্ষে $4$ যোগ করে $3y = 15$।

উভয় পক্ষকে $3$ দিয়ে ভাগ করে $y = 5$।

গ) $4z+3 = 2z+11$। $z$ এর পদ বামে এবং ধ্রুবক ডানে নিয়ে $4z-2z = 11-3$।

$2z = 8$, তাই $z = 4$।

শুদ্ধি পরীক্ষা: $z = 4$ বসালে বামপক্ষ $= 4 \times 4+3 = 19$ এবং ডানপক্ষ $= 2 \times 4+11 = 19$।

বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই সমাধান শুদ্ধ।

ব্যাখ্যা: পক্ষান্তরের সময় পদের চিহ্ন বদলে যায়। শুদ্ধি পরীক্ষায় সমাধানের মান মূল সমীকরণে বসাতে হয়, নতুন করে সরল করা সমীকরণে নয়।

উত্তর: ক) $x = 8$, খ) $y = 5$, গ) $z = 4$; শুদ্ধ

2. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $48$।
ক. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার মাঝেরটি $x$ হলে সংখ্যা তিনটি $x$ এর রাশি আকারে লেখ। (২)
খ. সমীকরণ গঠন করে সংখ্যা তিনটি নির্ণয় কর। (৪)
গ. বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গুণফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) মাঝের সংখ্যা $x$ হলে আগের সংখ্যা $(x-1)$ এবং পরের সংখ্যা $(x+1)$।

খ) প্রশ্নমতে $(x-1)+x+(x+1) = 48$।

$3x = 48$, তাই $x = 16$।

সংখ্যা তিনটি $15, 16, 17$।

গ) বৃহত্তম সংখ্যা $17$ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $15$।

গুণফল $= 17 \times 15 = 255$।

ব্যাখ্যা: তিনটি ক্রমিক সংখ্যা এমনভাবে ধরলে $(x-1)$ ও $(x+1)$ এর যোগে $x$ ছাড়া কিছু থাকে না। তাই সমীকরণ সহজ হয়।

উত্তর: ক) $x-1, x, x+1$, খ) $15, 16, 17$, গ) $255$

3. একটি সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে $7$ যোগ করলে যোগফল $23$ হয়।
ক. সংখ্যাটিকে $x$ ধরে সমীকরণ গঠন কর। (২)
খ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর। (৪)
গ. সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে $5$ বিয়োগ করলে কত হবে? (৪)

সমাধান:

ক) সংখ্যাটি $x$ হলে দ্বিগুণ $2x$। প্রশ্নমতে $2x+7 = 23$।

খ) $2x+7 = 23$। উভয় পক্ষ থেকে $7$ বিয়োগ করে $2x = 16$।

$x = 8$। সংখ্যাটি $8$।

গ) সংখ্যাটির তিনগুণ $= 3 \times 8 = 24$।

$5$ বিয়োগ করলে $24-5 = 19$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যাটি জানা হয়ে গেলে পরের শর্ত সরাসরি সংখ্যা বসিয়ে হিসাব করা যায়।

উত্তর: ক) $2x+7 = 23$, খ) $8$, গ) $19$

4. একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে $3$ মিটার বেশি এবং বাগানের পরিসীমা $42$ মিটার।
ক. প্রস্থ $x$ মিটার হলে দৈর্ঘ্য $x$ এর রাশিতে লেখ। (২)
খ. সমীকরণ গঠন করে বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর। (৪)
গ. বাগানের ক্ষেত্রফল কত? (৪)

সমাধান:

ক) প্রস্থ $x$ মিটার হলে দৈর্ঘ্য $(x+3)$ মিটার।

খ) পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) সূত্রে আমরা লিখি $2(x+3+x) = 42$।

$2(2x+3) = 42$, বা $2x+3 = 21$।

$2x = 18$, তাই $x = 9$।

প্রস্থ $= 9$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $= 9+3 = 12$ মিটার।

গ) ক্ষেত্রফল $= 12 \times 9 = 108$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক হলো দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল। এখানে $42 \div 2 = 21$, যেমন $12+9 = 21$।

উত্তর: ক) $x+3$ মিটার, খ) দৈর্ঘ্য $12$ মিটার ও প্রস্থ $9$ মিটার, গ) $108$ বর্গমিটার

5. বাবার বয়স ছেলের বয়সের তিনগুণ এবং দুইজনের বয়সের যোগফল $48$ বছর।
ক. ছেলের বয়স $x$ বছর হলে বাবার বয়স কত? (২)
খ. সমীকরণ গঠন করে ছেলে ও বাবার বয়স নির্ণয় কর। (৪)
গ. $6$ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে? (৪)

সমাধান:

ক) ছেলের বয়স $x$ বছর হলে বাবার বয়স $3x$ বছর।

খ) প্রশ্নমতে $x+3x = 48$।

$4x = 48$, তাই $x = 12$।

ছেলের বয়স $12$ বছর এবং বাবার বয়স $3 \times 12 = 36$ বছর।

গ) $6$ বছর পরে ছেলের বয়স $18$ বছর এবং বাবার বয়স $42$ বছর।

অনুপাত $= 42:18 = 7:3$।

ব্যাখ্যা: কয়েক বছর পর দুজনেরই বয়স সমান সংখ্যায় বাড়ে, তাই অনুপাত বদলে যায়। বয়সের যোগফল দেওয়া থাকলে একজনের বয়সকে চলক ধরে সমীকরণ করা সুবিধাজনক।

উত্তর: ক) $3x$ বছর, খ) ছেলে $12$ বছর ও বাবা $36$ বছর, গ) $7:3$

6. রিনার কাছে কিছু টাকা ছিল। সে তার ভাইকে $50$ টাকা দেওয়ার পর তার কাছে $70$ টাকা রইল।
ক. রিনার কাছে প্রথমে $x$ টাকা থাকলে সমীকরণ গঠন কর। (২)
খ. তার কাছে প্রথমে কত টাকা ছিল? (৪)
গ. ঐ টাকা দিয়ে প্রতিটি খাতা $15$ টাকা দরে কয়টি খাতা কেনা যেত? (৪)

সমাধান:

ক) প্রথমে $x$ টাকা, $50$ টাকা দেওয়ার পর $(x-50)$ টাকা থাকে। প্রশ্নমতে $x-50 = 70$।

খ) $x-50 = 70$। উভয় পক্ষে $50$ যোগ করে $x = 120$।

রিনার কাছে প্রথমে $120$ টাকা ছিল।

গ) খাতার সংখ্যা $y$ হলে $15y = 120$।

$y = \frac{120}{15} = 8$ টি খাতা।

ব্যাখ্যা: কমে যাওয়ার কথা থাকলে বিয়োগ করে সমীকরণ গঠন করতে হয়। এখানে $x-50$ থেকে $70$ বাকি আছে।

উত্তর: ক) $x-50 = 70$, খ) $120$ টাকা, গ) $8$ টি

7. $4$ টি খাতা ও $2$ টি কলমের মোট দাম $80$ টাকা এবং একটি কলমের দাম $10$ টাকা।
ক. একটি খাতার দাম $x$ টাকা হলে সমীকরণ গঠন কর। (২)
খ. একটি খাতার দাম নির্ণয় কর। (৪)
গ. $7$ টি খাতা ও $3$ টি কলমের মোট দাম কত? (৪)

সমাধান:

ক) $4$ টি খাতার দাম $4x$ টাকা এবং $2$ টি কলমের দাম $2 \times 10 = 20$ টাকা। প্রশ্নমতে $4x+20 = 80$।

খ) $4x+20 = 80$। $4x = 80-20 = 60$।

$x = \frac{60}{4} = 15$। একটি খাতার দাম $15$ টাকা।

গ) $7$ টি খাতার দাম $= 7 \times 15 = 105$ টাকা।

$3$ টি কলমের দাম $= 3 \times 10 = 30$ টাকা।

মোট দাম $= 105+30 = 135$ টাকা।

ব্যাখ্যা: সমীকরণ থেকে একটি অজানা রাশি পাওয়া গেলে পরের অংশে সেটি বসিয়ে সহজে হিসাব করা যায়।

উত্তর: ক) $4x+20 = 80$, খ) $15$ টাকা, গ) $135$ টাকা

8. $5x-3 = 2x+12$ একটি সমীকরণ।
ক. সমীকরণটির বামপক্ষ ও ডানপক্ষ লেখ। (২)
খ. সমীকরণটি সমাধান কর। (৪)
গ. শুদ্ধি পরীক্ষা করে সমাধানটি যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) বামপক্ষ $= 5x-3$ এবং ডানপক্ষ $= 2x+12$।

খ) $5x-3 = 2x+12$। পক্ষান্তর করে $5x-2x = 12+3$।

$3x = 15$, তাই $x = 5$।

গ) $x = 5$ বসালে বামপক্ষ $= 5 \times 5-3 = 22$।

ডানপক্ষ $= 2 \times 5+12 = 22$।

বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই $x = 5$ সমীকরণটির শুদ্ধ সমাধান।

ব্যাখ্যা: সমান চিহ্নের দুই পাশে যে রাশি থাকে তাদের মান সমান হলেই সমাধান শুদ্ধ হয়।

উত্তর: ক) $5x-3$ ও $2x+12$, খ) $x = 5$, গ) শুদ্ধ