Class 6 Math Chapter 4 Algebraic Expressions Creative Suggestions with Solutions

কোনো পদের সংখ্যাসূচক অংশকে ঐ পদের সহগ বলে। যেমন $5x$ এ $x$ এর সহগ $5$।

সদৃশ পদ (একই চলক ও একই ঘাত) যোগ বা বিয়োগ করা যায়। সহগগুলো যোগ বা বিয়োগ করে সেই চলক রেখে দিতে হয়। যেমন $3x+2x = 5x$।

বিয়োগের সময় বিয়োগ্য রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন বদলে নিয়ে যোগ করতে হয়। যেমন $(5x-3)-(2x-1) = 5x-3-2x+1$।

রাশির মান নির্ণয়ে চলকের স্থানে প্রদত্ত মান বসিয়ে সরল করতে হয়।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $4x^2y-3xy^2+5x-7$ একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. রাশিটিতে কয়টি পদ আছে? (২)
খ. প্রতিটি পদের সংখ্যাসূচক সহগ লেখ। (৪)
গ. $x = 2$ ও $y = 1$ হলে রাশিটির মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) রাশিটিতে পদ আছে $4x^2y$, $-3xy^2$, $5x$ ও $-7$, মোট $4$ টি।

খ) $4x^2y$ এর সহগ $4$, $-3xy^2$ এর সহগ $-3$, $5x$ এর সহগ $5$ এবং $-7$ একটি ধ্রুবক পদ।

গ) $x = 2$ ও $y = 1$ বসালে রাশিটি $= 4 \times 2^2 \times 1-3 \times 2 \times 1^2+5 \times 2-7$।

$= 4 \times 4-6+10-7 = 16-6+10-7 = 13$।

ব্যাখ্যা: পদগুলো $+$ বা $-$ চিহ্ন দ্বারা আলাদা। চিহ্ন পদের অংশ, তাই সহগের সাথে চিহ্ন লিখতে হয়।

উত্তর: ক) $4$ টি, খ) $4, -3, 5, -7$, গ) $13$

2. $a = 2$, $b = 3$ এবং $c = -1$।
ক. $c^2$ এর মান নির্ণয় কর। (২)
খ. $a^2+b^2+c^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. দেখাও যে, $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$। (৪)

সমাধান:

ক) $c^2 = (-1)^2 = 1$।

খ) $a^2+b^2+c^2 = 2^2+3^2+(-1)^2 = 4+9+1 = 14$।

গ) বামপক্ষ $= a^2-b^2 = 4-9 = -5$।

ডানপক্ষ $= (a+b)(a-b) = (2+3)(2-3) = 5 \times (-1) = -5$।

বামপক্ষ = ডানপক্ষ। অতএব $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গ সবসময় ধনাত্মক হয়। তাই $(-1)^2 = 1$। দেখাও ধরনের প্রশ্নে দুই পক্ষই আলাদা করে মান বের করে মিলাতে হয়।

উত্তর: ক) $1$, খ) $14$, গ) দেখানো হলো

3. $3a+2b-c$, $2a-5b+4c$ ও $-a+3b-2c$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. প্রথম রাশিতে কয়টি পদ আছে? (২)
খ. রাশি তিনটির যোগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ কর। (৪)

সমাধান:

ক) প্রথম রাশিতে $3a, 2b, -c$ এই $3$ টি পদ আছে।

খ) যোগফল $= (3a+2b-c)+(2a-5b+4c)+(-a+3b-2c)$।

$a$ এর সহগ: $3+2-1 = 4$। $b$ এর সহগ: $2-5+3 = 0$। $c$ এর সহগ: $-1+4-2 = 1$।

অতএব যোগফল $= 4a+0 \cdot b+c = 4a+c$।

গ) প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির যোগফল $= (3a+2b-c)+(2a-5b+4c) = 5a-3b+3c$।

এখান থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ: $(5a-3b+3c)-(-a+3b-2c) = 5a-3b+3c+a-3b+2c$।

$= 6a-6b+5c$।

ব্যাখ্যা: সদৃশ পদগুলোর সহগ আলাদা করে যোগ করলে সহজে মিলে যায়। বিয়োগের সময় দ্বিতীয় রাশির সব চিহ্ন উল্টে নিতে ভুলো না।

উত্তর: ক) $3$ টি, খ) $4a+c$, গ) $6a-6b+5c$

4. $5x^2+3x-7$ ও $2x^2-4x+3$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. প্রথম রাশিতে $x$ এর সহগ কত? (২)
খ. প্রথম রাশি থেকে দ্বিতীয় রাশি বিয়োগ কর। (৪)
গ. $x = 2$ হলে বিয়োগফলের মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $5x^2+3x-7$ এ $x$ এর সহগ $3$।

খ) বিয়োগফল $= (5x^2+3x-7)-(2x^2-4x+3)$।

$= 5x^2+3x-7-2x^2+4x-3$।

$x^2$ এর সহগ: $5-2 = 3$। $x$ এর সহগ: $3+4 = 7$। ধ্রুবক: $-7-3 = -10$।

অতএব বিয়োগফল $= 3x^2+7x-10$।

গ) $x = 2$ হলে $3x^2+7x-10 = 3 \times 4+7 \times 2-10 = 12+14-10 = 16$।

ব্যাখ্যা: বিয়োগ করার সময় দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পাল্টে যায়। তাই $-(2x^2-4x+3) = -2x^2+4x-3$।

উত্তর: ক) $3$, খ) $3x^2+7x-10$, গ) $16$

5. কয়েকটি বীজগণিতীয় সম্পর্ক লেখার কাজ:
ক. $x$ এর পাঁচগুণ থেকে $y$ এর তিনগুণ বিয়োগ কর, প্রতীক দিয়ে লেখ। (২)
খ. $a$ ও $b$ এর গুণফলের সাথে $c$ এর দ্বিগুণ যোগ কর, প্রতীক দিয়ে লেখ। (৪)
গ. $x = 2$, $y = 1$, $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ হলে ক ও খ এর রাশি দুইটির যোগফলের মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $x$ এর পাঁচগুণ $= 5x$ এবং $y$ এর তিনগুণ $= 3y$।

নির্ণেয় বিয়োগ $= 5x-3y$।

খ) $a$ ও $b$ এর গুণফল $= ab$ এবং $c$ এর দ্বিগুণ $= 2c$।

নির্ণেয় যোগ $= ab+2c$।

গ) $5x-3y = 5 \times 2-3 \times 1 = 10-3 = 7$।

$ab+2c = 3 \times 4+2 \times 5 = 12+10 = 22$।

যোগফল $= 7+22 = 29$।

ব্যাখ্যা: কথায় বলা সম্পর্ককে প্রতীক দিয়ে লিখতে হলে 'গুণ' বোঝাতে সংখ্যা ও অক্ষর পাশাপাশি বসে। যেমন $5x$ মানে $5 \times x$।

উত্তর: ক) $5x-3y$, খ) $ab+2c$, গ) $29$

6. $x = 3$ এবং $y = 2$।
ক. $2x+3y$ এর মান নির্ণয় কর। (২)
খ. $x^2-y^2$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)
গ. দেখাও যে, $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$। (৪)

সমাধান:

ক) $2x+3y = 2 \times 3+3 \times 2 = 6+6 = 12$।

খ) $x^2-y^2 = 3^2-2^2 = 9-4 = 5$।

গ) বামপক্ষ $= (x+y)^2 = (3+2)^2 = 5^2 = 25$।

ডানপক্ষ $= x^2+2xy+y^2 = 9+2 \times 3 \times 2+4 = 9+12+4 = 25$।

বামপক্ষ = ডানপক্ষ। অতএব $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: মান বসানোর সময় প্রতিটি অক্ষরের জায়গায় নির্দিষ্ট সংখ্যা বসাতে হয় এবং ঘাত থাকলে আগে ঘাত নির্ণয় করতে হয়।

উত্তর: ক) $12$, খ) $5$, গ) দেখানো হলো

7. একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য $(2a+3)$ মিটার এবং প্রস্থ $a$ মিটার।
ক. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল নির্ণয় কর। (২)
খ. বাগানটির পরিসীমা $a$ এর রাশি আকারে প্রকাশ কর। (৪)
গ. $a = 5$ হলে পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কত? (৪)

সমাধান:

ক) যোগফল $= (2a+3)+a = 3a+3$ মিটার।

খ) পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $= 2 \times (3a+3) = 6a+6$ মিটার।

গ) $a = 5$ হলে পরিসীমা $= 6 \times 5+6 = 36$ মিটার।

দৈর্ঘ্য $= 2 \times 5+3 = 13$ মিটার এবং প্রস্থ $= 5$ মিটার।

ক্ষেত্রফল $= 13 \times 5 = 65$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2 \times$ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) এবং ক্ষেত্রফল $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ।

উত্তর: ক) $3a+3$ মিটার, খ) $6a+6$ মিটার, গ) পরিসীমা $36$ মিটার, ক্ষেত্রফল $65$ বর্গমিটার

8. একজন দোকানদার প্রতি কলম $x$ টাকা দরে $5$ টি কলম এবং প্রতি খাতা $y$ টাকা দরে $3$ টি খাতা কিনল।
ক. মোট দাম $x$ ও $y$ এর রাশি আকারে প্রকাশ কর। (২)
খ. $x = 8$ ও $y = 12$ হলে মোট দাম কত? (৪)
গ. সে $100$ টাকা দিলে ফেরত কত টাকা পাবে? ফেরতের রাশিটি লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) $5$ টি কলমের দাম $= 5x$ টাকা এবং $3$ টি খাতার দাম $= 3y$ টাকা।

মোট দাম $= (5x+3y)$ টাকা।

খ) $x = 8$ ও $y = 12$ হলে $5x+3y = 5 \times 8+3 \times 12 = 40+36 = 76$ টাকা।

গ) $100$ টাকা দিলে ফেরত $= 100-(5x+3y) = (100-5x-3y)$ টাকা।

$x = 8$ ও $y = 12$ হলে ফেরত $= 100-76 = 24$ টাকা।

ব্যাখ্যা: বন্ধনীর আগে $-$ চিহ্ন থাকলে বন্ধনী খোলার সময় ভেতরের সব পদের চিহ্ন বদলে যায়।

উত্তর: ক) $5x+3y$ টাকা, খ) $76$ টাকা, গ) $100-5x-3y$ টাকা; ফেরত $24$ টাকা