Class 6 Math Chapter 3 Integers Creative Suggestions with Solutions

বিপরীতমুখী রাশি বোঝাতে একটিকে $+$ ও অপরটিকে $-$ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়। যেমন আয় $+$, ব্যয় $-$; লাভ $+$, ক্ষতি $-$; বৃদ্ধি $+$, হ্রাস $-$।

সংখ্যারেখায় ডানের সংখ্যা সবসময় বামের সংখ্যার চেয়ে বড়।

একই চিহ্নের সংখ্যা যোগ করলে মান যোগ করে সাধারণ চিহ্ন বসে। বিপরীত চিহ্নের সংখ্যা যোগ করলে বড় মান থেকে ছোট মান বিয়োগ করে বড় মানের চিহ্ন বসে।

বিয়োগ: $a-(-b) = a+b$ এবং $a-(+b) = a-b$।

$a+(-a) = 0$। $-a$ কে $a$ এর যোগাত্মক বিপরীত বলে।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. শীতের সকালে একটি শহরের তাপমাত্রা $-3^\circ$ সেলসিয়াস ছিল। দুপুরে তাপমাত্রা $5^\circ$ বাড়ল এবং সন্ধ্যায় আগের তাপমাত্রা থেকে $4^\circ$ কমল।
ক. ঋণাত্মক সংখ্যা কাকে বলে? (২)
খ. দুপুরের তাপমাত্রা কত ছিল? (৪)
গ. সন্ধ্যার তাপমাত্রা কত ছিল এবং সকালের চেয়ে সন্ধ্যায় তাপমাত্রা কত বেশি ছিল? (৪)

সমাধান:

ক) যে সংখ্যার আগে $-$ চিহ্ন থাকে এবং যা শূন্যের চেয়ে ছোট, তাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলে। যেমন $-1, -2, -3$।

খ) দুপুরের তাপমাত্রা $= -3+5 = 2^\circ$ সেলসিয়াস।

গ) সন্ধ্যার তাপমাত্রা $= 2-4 = -2^\circ$ সেলসিয়াস।

সকালের চেয়ে বেশি $= (-2)-(-3) = -2+3 = 1^\circ$ সেলসিয়াস।

ব্যাখ্যা: তাপমাত্রা বাড়লে যোগ এবং কমলে বিয়োগ করতে হয়। সংখ্যারেখায় $-3$ থেকে ডানে $5$ ঘর গেলে $2$ এ পৌঁছানো যায়।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $2^\circ$ সে., গ) $-2^\circ$ সে.; $1^\circ$ সে. বেশি

2. $A = (-8)+5+(-7)$ এবং $B = 9+(-3)$।
ক. $B$ এর মান নির্ণয় কর। (২)
খ. দেখাও যে, $A < B$। (৪)
গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে $A+B$ নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $B = 9+(-3) = 9-3 = 6$।

খ) $A = (-8)+5+(-7) = -8+5-7 = -3-7 = -10$।

$A = -10$ এবং $B = 6$। সংখ্যারেখায় $-10$ কে $6$ এর বামে পাওয়া যায়।

অতএব $A < B$। (দেখানো হলো)

গ) $A+B = (-10)+6$।

সংখ্যারেখায় $0$ থেকে বামে $10$ ঘর গিয়ে $-10$ বিন্দুতে পৌঁছাই। সেখান থেকে ডানে $6$ ঘর গেলে $-4$ বিন্দুতে পৌঁছাই।

অতএব $A+B = -4$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যারেখায় বাম দিকের সংখ্যা ছোট এবং ডান দিকের সংখ্যা বড়। ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করতে ডানে এবং ঋণাত্মক সংখ্যা যোগ করতে বামে যেতে হয়।

উত্তর: ক) $6$, খ) দেখানো হলো, গ) $-4$

3. রহিমের ব্যাংক হিসাবে $500$ টাকা জমা ছিল। সে $120$ টাকা জমা দিল, তারপর $300$ টাকা এবং আরও $400$ টাকা তুলল। (ধরো, ব্যাংক সাময়িক ঘাটতি দেয়।)
ক. $5$ টাকা আয়কে $+5$ দিয়ে প্রকাশ করলে $7$ টাকা ব্যয়কে কীভাবে প্রকাশ করবে? (২)
খ. $120$ টাকা জমা ও $300$ টাকা উত্তোলনের পর হিসাবে কত টাকা থাকবে? (৪)
গ. আরও $400$ টাকা তোলার পর তার হিসাব কত হবে? এর অর্থ কী? (৪)

সমাধান:

ক) আয় $+5$ হলে ব্যয় বিপরীত, তাই $7$ টাকা ব্যয় $= -7$ টাকা।

খ) জমাকে ধনাত্মক এবং উত্তোলনকে ঋণাত্মক ধরলে হিসাব $= 500+120+(-300)$।

$= 620-300 = 320$ টাকা।

গ) আরও $400$ টাকা তুললে হিসাব $= 320+(-400) = 320-400 = -80$ টাকা।

$-80$ টাকার অর্থ ব্যাংকের কাছে তার $80$ টাকা ঘাটতি (ঋণ) হয়েছে।

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ঘাটতি বা দেনা বোঝানো হয়। সংখ্যাটি শূন্যের নিচে হওয়ায় তার কাছে কোনো টাকা জমা নেই, বরং $80$ টাকা বাকি আছে।

উত্তর: ক) $-7$ টাকা, খ) $320$ টাকা, গ) $-80$ টাকা, অর্থাৎ $80$ টাকা ঘাটতি

4. কয়েকটি পূর্ণসংখ্যা: $-5, 3, 0, -8, 7, -2, 1$।
ক. পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে? (২)
খ. সংখ্যাগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাও। (৪)
গ. সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, শূন্য ও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা মিলে পূর্ণসংখ্যা।

খ) ঋণাত্মক সংখ্যাগুলোর মধ্যে যার মান যত বড় সেটি তত ছোট। তাই $-8 < -5 < -2$।

ছোট থেকে বড় ক্রম: $-8, -5, -2, 0, 1, 3, 7$।

গ) সবচেয়ে বড় সংখ্যা $7$ এবং সবচেয়ে ছোট সংখ্যা $-8$।

যোগফল $= 7+(-8) = -1$।

বিয়োগফল (বড় থেকে ছোট) $= 7-(-8) = 7+8 = 15$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যারেখায় যে সংখ্যা যত বামে সে তত ছোট। তাই $-8$ সবচেয়ে ছোট।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $-8, -5, -2, 0, 1, 3, 7$, গ) $-1$ ও $15$

5. একটি ভবনের ভূমিতলকে $0$ ধরা হলো। একটি লিফট ভূমিতল থেকে $6$ তলা উপরে উঠে $9$ তলা নিচে নামল।
ক. $6$ তলা উপরে ও $9$ তলা নিচে সংখ্যায় প্রকাশ কর। (২)
খ. লিফটটি এখন কোথায় আছে? (৪)
গ. এরপর $5$ তলা উপরে উঠলে লিফটটি কোথায় থাকবে? লিফটটি মোট কত তলা চলেছে? (৪)

সমাধান:

ক) উপরে $+$ ও নিচে $-$ ধরলে $6$ তলা উপরে $= +6$ এবং $9$ তলা নিচে $= -9$।

খ) লিফটের অবস্থান $= 0+6+(-9) = 6-9 = -3$।

অর্থাৎ লিফটটি ভূমিতলের $3$ তলা নিচে আছে।

গ) $5$ তলা উপরে উঠলে অবস্থান $= -3+5 = 2$।

অর্থাৎ লিফটটি ভূমিতলের $2$ তলা উপরে থাকবে।

মোট চলেছে $= 6+9+5 = 20$ তলা।

ব্যাখ্যা: অবস্থান নির্ণয়ে উপরে ও নিচে যাওয়াকে চিহ্ন দিয়ে যোগ করতে হয়। কিন্তু মোট কতটা চলল জানতে চিহ্ন ছাড়া সব দূরত্ব যোগ করা হয়।

উত্তর: ক) $+6$ ও $-9$, খ) $-3$ (৩ তলা নিচে), গ) $2$ তলা উপরে; মোট $20$ তলা

6. তিনটি পূর্ণসংখ্যার যোগ-বিয়োগ: $(-7)-(-3)$, $5-(-4)$ এবং $(-6)+(+9)-(-2)$।
ক. $(-7)-(-3)$ এর মান নির্ণয় কর। (২)
খ. $5-(-4)$ এর মান নির্ণয় কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও। (৪)
গ. $(-6)+(+9)-(-2)$ এর মান নির্ণয় কর। (৪)

সমাধান:

ক) $(-7)-(-3) = -7+3 = -4$।

খ) $5-(-4) = 5+4 = 9$।

সংখ্যারেখায় $5$ থেকে ডানে $4$ ঘর গেলে $9$ এ পৌঁছানো যায়।

গ) $(-6)+(+9)-(-2) = -6+9+2$।

$= 3+2 = 5$।

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগ করা মানে ঐ সংখ্যার ধনাত্মক রূপ যোগ করা। যেমন $-(-3) = +3$।

উত্তর: ক) $-4$, খ) $9$, গ) $5$

7. একটি কুইজ প্রতিযোগিতায় প্রতিটি সঠিক উত্তরের জন্য $+3$ নম্বর এবং প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য $-1$ নম্বর দেওয়া হয়। রিমা $10$ টি সঠিক ও $6$ টি ভুল উত্তর দিয়েছে এবং সাকিব $4$ টি সঠিক ও $9$ টি ভুল উত্তর দিয়েছে।
ক. $10$ টি সঠিক উত্তরের নম্বর কত? (২)
খ. রিমার মোট নম্বর কত? (৪)
গ. সাকিবের মোট নম্বর কত এবং রিমা সাকিবের চেয়ে কত নম্বর বেশি পেয়েছে? (৪)

সমাধান:

ক) $10$ টি সঠিক উত্তরের নম্বর $= 10 \times 3 = 30$।

খ) $6$ টি ভুল উত্তরের নম্বর $= 6 \times (-1) = -6$।

রিমার মোট নম্বর $= 30+(-6) = 24$।

গ) সাকিবের সঠিক উত্তরের নম্বর $= 4 \times 3 = 12$ এবং ভুল উত্তরের নম্বর $= 9 \times (-1) = -9$।

সাকিবের মোট নম্বর $= 12-9 = 3$।

রিমা বেশি পেয়েছে $= 24-3 = 21$ নম্বর।

ব্যাখ্যা: ভুল উত্তরের নম্বরকে ঋণাত্মক ধরে মোট নম্বর যোগ করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $30$, খ) $24$, গ) সাকিব $3$ নম্বর; রিমা $21$ নম্বর বেশি

8. একটি দোকানে প্রথম মাসে $3000$ টাকা লাভ, দ্বিতীয় মাসে $1800$ টাকা ক্ষতি এবং তৃতীয় মাসে $2200$ টাকা ক্ষতি হলো।
ক. ক্ষতিকে ঋণাত্মক ধরে $1800$ টাকা ক্ষতিকে সংখ্যায় প্রকাশ কর। (২)
খ. তিন মাসে মোট লাভ বা ক্ষতি কত? (৪)
গ. চতুর্থ মাসে কত লাভ হলে চার মাসে মোট লাভ $500$ টাকা হবে? (৪)

সমাধান:

ক) লাভ $+$ ও ক্ষতি $-$ ধরলে $1800$ টাকা ক্ষতি $= -1800$ টাকা।

খ) তিন মাসের হিসাব $= 3000+(-1800)+(-2200)$।

$= 3000-1800-2200 = 3000-4000 = -1000$।

অতএব তিন মাসে মোট $1000$ টাকা ক্ষতি হয়েছে।

গ) চতুর্থ মাসে লাভ $x$ টাকা হলে $-1000+x = 500$।

$x = 500+1000 = 1500$ টাকা।

ব্যাখ্যা: মোট লাভ ঋণাত্মক হলে তা মোট ক্ষতি বোঝায়। কাঙ্ক্ষিত মোট লাভ পেতে হলে আগের ক্ষতি পূরণ করে তারপর লাভ জমাতে হবে।

উত্তর: ক) $-1800$ টাকা, খ) $1000$ টাকা ক্ষতি, গ) $1500$ টাকা লাভ