Class 6 Math Chapter 1 Numbers, GCD-LCM and Decimals Creative Suggestions with Solutions

সহমৌলিক: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. $1$ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

$2$ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ অঙ্ক জোড়। $3$ বা $9$ দ্বারা বিভাজ্য: অঙ্কগুলোর যোগফল $3$ বা $9$ দ্বারা বিভাজ্য। $4$ দ্বারা: শেষ দুই অঙ্ক $4$ দ্বারা বিভাজ্য। $5$ দ্বারা: শেষ অঙ্ক $0$ বা $5$।

গ.সা.গু. বের করতে সাধারণ মৌলিক উৎপাদকের সর্বনিম্ন ঘাত এবং ল.সা.গু. বের করতে সব মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত গুণ করতে হয়।

দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.।

দশমিক ভগ্নাংশের যোগ-বিয়োগে দশমিক বিন্দু নিচে নিচে রেখে হিসাব করা হয়। ভাগের সময় ভাজককে পূর্ণসংখ্যা করে নিলে সুবিধা হয়।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $1$ থেকে $50$ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো বিবেচনা কর।
ক. মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে? উদাহরণসহ লেখ। (২)
খ. $30$ থেকে $50$ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখ। (৪)
গ. দেখাও যে, $24$ ও $35$ পরস্পর সহমৌলিক, কিন্তু $24$ ও $36$ সহমৌলিক নয়। (৪)

সমাধান:

ক) যে স্বাভাবিক সংখ্যার ঠিক দুইটি গুণনীয়ক আছে, যথা $1$ ও সংখ্যাটি নিজে, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন $2, 3, 5, 7$।

খ) $30$ থেকে $50$ এর মধ্যে সংখ্যাগুলোর মধ্যে যাচাই করলে মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায় $31, 37, 41, 43, 47$।

(অন্যগুলো $2, 3, 5, 7$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য, তাই যৌগিক।)

গ) $24 = 2^3 \times 3$ এবং $35 = 5 \times 7$। সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু. $= 1$।

অতএব $24$ ও $35$ পরস্পর সহমৌলিক।

$36 = 2^2 \times 3^2$। $24$ ও $36$ এর সাধারণ উৎপাদক $2^2 \times 3 = 12$, তাই গ.সা.গু. $= 12 \neq 1$।

অতএব $24$ ও $36$ সহমৌলিক নয়।

ব্যাখ্যা: সহমৌলিক হতে দুইটি সংখ্যা নিজেরা মৌলিক হতে হয় না। শুধু তাদের মধ্যে $1$ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলেই চলে।

উত্তর: ক) সংজ্ঞা, খ) $31, 37, 41, 43, 47$, গ) দেখানো হলো

2. একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য $480$ সেমি এবং প্রস্থ $360$ সেমি।
ক. $480$ ও $360$ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (২)
খ. সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. নির্ণয় কর। (৪)
গ. মেঝেটি সর্বোচ্চ কত সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার টাইলস দিয়ে ঢাকা যাবে এবং কয়টি টাইলস লাগবে? (৪)

সমাধান:

ক) $480 = 2^5 \times 3 \times 5$ এবং $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$।

খ) সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত: $2^3, 3^1, 5^1$।

গ.সা.গু. $= 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120$।

গ) টাইলসের বাহু সর্বোচ্চ হবে গ.সা.গু. $= 120$ সেমি।

দৈর্ঘ্য বরাবর টাইলস $= 480 \div 120 = 4$ টি এবং প্রস্থ বরাবর $= 360 \div 120 = 3$ টি।

মোট টাইলস $= 4 \times 3 = 12$ টি।

ব্যাখ্যা: ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়কে নিঃশেষে ভাগ করে এমন সবচেয়ে বড় সংখ্যাই গ.সা.গু.। তাই সর্বোচ্চ মাপের বর্গাকার টাইলসের বাহু গ.সা.গু. হয়।

উত্তর: ক) $2^5 \times 3 \times 5$ ও $2^3 \times 3^2 \times 5$, খ) $120$, গ) $120$ সেমি, $12$ টি

3. তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে $12$, $15$ ও $20$ মিনিট পর পর বাজে। ঘণ্টা তিনটি সকাল $8$ টায় একসাথে বেজেছে।
ক. $12$ ও $15$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (২)
খ. ঘণ্টা তিনটি কত মিনিট পর আবার একসাথে বাজবে? (৪)
গ. সকাল $8$ টার পরে দুপুর $12$ টা পর্যন্ত (১২টাসহ) আর কতবার ঘণ্টা তিনটি একসাথে বাজবে? (৪)

সমাধান:

ক) $12 = 2^2 \times 3$ এবং $15 = 3 \times 5$। ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$।

খ) $12 = 2^2 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $20 = 2^2 \times 5$।

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$।

অতএব $60$ মিনিট (১ ঘণ্টা) পর ঘণ্টা তিনটি আবার একসাথে বাজবে।

গ) প্রতি $1$ ঘণ্টা পর পর একসাথে বাজে। সকাল $8$ টার পর একসাথে বাজবে $9, 10, 11$ ও $12$ টায়।

সুতরাং আর $4$ বার একসাথে বাজবে।

ব্যাখ্যা: একাধিক ঘটনা একসাথে ঘটার সময় জানতে ল.সা.গু. ব্যবহার করা হয়। ল.সা.গু. হলো ঘটনাগুলোর সময়ের ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক।

উত্তর: ক) $60$, খ) $60$ মিনিট, গ) $4$ বার

4. চার অঙ্কের একটি সংখ্যা $72k4$, যেখানে $k$ একটি অঙ্ক।
ক. $3$ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম লেখ। (২)
খ. $k$ এর কোন কোন মানের জন্য সংখ্যাটি $3$ দ্বারা বিভাজ্য হবে? (৪)
গ. $9$ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি নির্ণয় কর এবং তা $2$ দ্বারা বিভাজ্য কি না যাচাই কর। (৪)

সমাধান:

ক) কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল $3$ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি $3$ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

খ) অঙ্কগুলোর যোগফল $= 7+2+k+4 = 13+k$।

$13+k$ কে $3$ এর গুণিতক হতে হবে। $k$ একটি অঙ্ক ($0$ থেকে $9$)।

$13+k = 15, 18, 21$ হলে $k = 2, 5, 8$।

অতএব $k = 2, 5$ ও $8$।

গ) $9$ দ্বারা বিভাজ্য হলে $13+k$ কে $9$ এর গুণিতক হতে হবে। $13+k = 18$ হলে $k = 5$।

সংখ্যাটি $7254$। এর শেষ অঙ্ক $4$ জোড়, তাই সংখ্যাটি $2$ দ্বারা বিভাজ্য। (যাচাই: $7254 \div 9 = 806$)

ব্যাখ্যা: $k$ এর সম্ভাব্য মান $0$ থেকে $9$ এর মধ্যে সীমিত, তাই যোগফল $13$ থেকে $22$ এর মধ্যে থাকে। এই সীমার মধ্যে কোন কোন মান $3$ বা $9$ এর গুণিতক তা দেখলেই হলো।

উত্তর: ক) নিয়ম, খ) $k = 2, 5, 8$, গ) $7254$; এটি $2$ দ্বারা বিভাজ্য

5. একজন দর্জির কাছে $8.75$ মিটার কাপড় আছে। প্রতিটি শার্ট তৈরিতে $1.25$ মিটার কাপড় লাগে।
ক. $8.75$ কে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (২)
খ. কাপড় দিয়ে কয়টি শার্ট তৈরি করা যাবে? (৪)
গ. প্রতি মিটার কাপড়ের দাম $120$ টাকা হলে সব কাপড়ের মোট দাম কত? (৪)

সমাধান:

ক) $8.75 = 8+0.75 = 8+\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4}$।

খ) শার্টের সংখ্যা $= 8.75 \div 1.25 = \frac{875}{125} = 7$ টি।

গ) মোট দাম $= 8.75 \times 120 = 1050$ টাকা।

(হিসাব: $8 \times 120 = 960$ এবং $0.75 \times 120 = 90$, তাই $960+90 = 1050$।)

ব্যাখ্যা: ভাগ করার সময় ভাজক ও ভাজ্য উভয়কে $100$ দিয়ে গুণ করলে ($875 \div 125$) দশমিক বিন্দু থাকে না, হিসাব সহজ হয়।

উত্তর: ক) $8\frac{3}{4}$, খ) $7$ টি, গ) $1050$ টাকা

6. তমা $100$ টাকা নিয়ে দোকানে গেল। সে $25.75$ টাকার খাতা, $18.50$ টাকার কলম ও $12.25$ টাকার পেন্সিল কিনল।
ক. সে মোট কত টাকা খরচ করল? (২)
খ. তার কাছে কত টাকা ফেরত রইল? (৪)
গ. ফেরত টাকা দিয়ে প্রতিটি $7.25$ টাকা দরে কয়টি রাবার কিনতে পারবে? (৪)

সমাধান:

ক) মোট খরচ $= 25.75+18.50+12.25 = 56.50$ টাকা।

খ) ফেরত $= 100-56.50 = 43.50$ টাকা।

গ) রাবারের সংখ্যা $= 43.50 \div 7.25 = \frac{4350}{725} = 6$ টি।

ব্যাখ্যা: যোগ-বিয়োগের সময় দশমিক বিন্দুর নিচে দশমিক বিন্দু রেখে লিখলে ভুল হয় না। প্রতিটি দামের দুই ঘর দশমিক থাকায় পরে ভাগে $100$ দিয়ে গুণ করা সুবিধাজনক।

উত্তর: ক) $56.50$ টাকা, খ) $43.50$ টাকা, গ) $6$ টি

7. $1$ ইঞ্চি $= 2.54$ সেন্টিমিটার।
ক. $5$ ইঞ্চি কত সেন্টিমিটার? (২)
খ. $8.5$ ইঞ্চি কত সেন্টিমিটার? (৪)
গ. $38.1$ সেন্টিমিটার কত ইঞ্চি? (৪)

সমাধান:

ক) $5$ ইঞ্চি $= 5 \times 2.54 = 12.70$ সেন্টিমিটার।

খ) $8.5$ ইঞ্চি $= 8.5 \times 2.54 = 21.59$ সেন্টিমিটার।

(হিসাব: $8 \times 2.54 = 20.32$ এবং $0.5 \times 2.54 = 1.27$, যোগ করে $21.59$।)

গ) ইঞ্চি $= 38.1 \div 2.54 = \frac{3810}{254} = 15$ ইঞ্চি।

ব্যাখ্যা: ইঞ্চি থেকে সেন্টিমিটার করতে গুণ এবং সেন্টিমিটার থেকে ইঞ্চি করতে $2.54$ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

উত্তর: ক) $12.70$ সেমি, খ) $21.59$ সেমি, গ) $15$ ইঞ্চি

8. একটি বাঁশের $0.25$ অংশ মাটির নিচে এবং $0.35$ অংশ পানিতে আছে। বাকি অংশ পানির উপরে এবং তার দৈর্ঘ্য $4.8$ মিটার।
ক. $0.25$ ও $0.35$ কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (২)
খ. পানির উপরের অংশ বাঁশের কত অংশ? (৪)
গ. সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য কত? মাটির নিচের অংশ কত মিটার? (৪)

সমাধান:

ক) $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ এবং $0.35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$।

খ) মাটির নিচে ও পানিতে মিলে $= 0.25+0.35 = 0.60$ অংশ।

পানির উপরের অংশ $= 1-0.60 = 0.40$ অংশ।

গ) বাঁশের $0.40$ অংশ $= 4.8$ মিটার।

সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য $= 4.8 \div 0.40 = 12$ মিটার।

মাটির নিচের অংশ $= 12 \times 0.25 = 3$ মিটার।

ব্যাখ্যা: পুরো বাঁশকে $1$ ধরে মাটির নিচে ও পানির অংশ বাদ দিলে পানির উপরের অংশ পাওয়া যায়। ঐ অংশের দৈর্ঘ্য জানা থাকায় ভাগ করে পুরো দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $\frac{1}{4}, \frac{7}{20}$, খ) $0.40$ অংশ, গ) $12$ মিটার; মাটির নিচে $3$ মিটার