Class 6 Math Chapter 1 Fractions Creative Question Suggestions with Solutions

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে মিশ্র ভগ্নাংশ: লবকে হর দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা, ভাগশেষ লব এবং হর অপরিবর্তিত থাকে।

ভগ্নাংশের গুণ: লব × লব ও হর × হর। ভগ্নাংশের ভাগ: ভাজ্যকে ভাজকের উল্টো (গুণনীয়ক) দিয়ে গুণ করতে হয়।

ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লবগুলোর গ.সা.গু.) ÷ (হরগুলোর ল.সা.গু.) এবং ল.সা.গু. = (লবগুলোর ল.সা.গু.) ÷ (হরগুলোর গ.সা.গু.), যখন ভগ্নাংশ লঘিষ্ঠ আকারে থাকে।

দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = তাদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফল।

ভগ্নাংশের তুলনা করতে হরগুলোর ল.সা.গু. বের করে সমহর করা সবচেয়ে সহজ।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

1. $4\frac{2}{3}$ একটি মিশ্র ভগ্নাংশ এবং $\frac{17}{5}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
ক. $\frac{17}{5}$ কে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (২)
খ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. দেখাও যে, ভগ্নাংশ দুইটির গুণফল তাদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান। (৪)

সমাধান:

ক) $17 \div 5$ এ ভাগফল $3$, ভাগশেষ $2$।

অতএব $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$।

খ) $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$।

যোগফল $= \frac{14}{3}+\frac{17}{5} = \frac{14 \times 5+17 \times 3}{15} = \frac{70+51}{15} = \frac{121}{15} = 8\frac{1}{15}$।

গ) ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{14}{3}$ ও $\frac{17}{5}$।

গ.সা.গু. = ($14, 17$ এর গ.সা.গু.) ÷ ($3, 5$ এর ল.সা.গু.) $= \frac{1}{15}$।

ল.সা.গু. = ($14, 17$ এর ল.সা.গু.) ÷ ($3, 5$ এর গ.সা.গু.) $= \frac{238}{1} = 238$।

গ.সা.গু. × ল.সা.গু. $= \frac{1}{15} \times 238 = \frac{238}{15}$।

ভগ্নাংশ দুইটির গুণফল $= \frac{14}{3} \times \frac{17}{5} = \frac{238}{15}$।

সুতরাং গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: মিশ্র ভগ্নাংশকে আগে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বানিয়ে নিলে যোগ ও গুণ সহজ হয়। ভগ্নাংশের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. বের করার সময় লব ও হর আলাদা করে হিসাব করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $3\frac{2}{5}$, খ) $8\frac{1}{15}$, গ) দেখানো হলো

2. $3\frac{3}{4}$ এবং $2\frac{1}{2}$ দুইটি ভগ্নাংশ।
ক. $3\frac{3}{4}$ কে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (২)
খ. প্রথম ভগ্নাংশকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল নির্ণয় কর। (৪)
গ. দেখাও যে, ভগ্নাংশ দুইটির গুণফল এদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান। (৪)

সমাধান:

ক) $3\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4+3}{4} = \frac{15}{4}$।

খ) $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

ভাগফল $= \frac{15}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{15}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$।

গ) ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{15}{4}$ ও $\frac{5}{2}$।

গ.সা.গু. = ($15, 5$ এর গ.সা.গু.) ÷ ($4, 2$ এর ল.সা.গু.) $= \frac{5}{4}$।

ল.সা.গু. = ($15, 5$ এর ল.সা.গু.) ÷ ($4, 2$ এর গ.সা.গু.) $= \frac{15}{2}$।

গ.সা.গু. × ল.সা.গু. $= \frac{5}{4} \times \frac{15}{2} = \frac{75}{8}$।

ভগ্নাংশ দুইটির গুণফল $= \frac{15}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{75}{8}$।

অতএব গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: ভাগের সময় ভাজককে উল্টে নিয়ে গুণ করা হয়েছে। গুণফল ও গ.সা.গু.-ল.সা.গু. এর গুণফল মিলিয়ে দেখলে হিসাব যাচাইও হয়ে যায়।

উত্তর: ক) $\frac{15}{4}$, খ) $1\frac{1}{2}$, গ) দেখানো হলো

3. একটি পানি ভর্তি বালতির ওজন $12\frac{1}{2}$ কেজি। বালতিটির $\frac{1}{3}$ অংশ পানি ভর্তি থাকলে এর ওজন $6\frac{1}{2}$ কেজি হয়।
ক. বালতিটির কতটুকু অংশ খালি? (২)
খ. বালতির পানির ওজন (পূর্ণ অবস্থায়) কত? (৪)
গ. খালি বালতির ওজন কত? (৪)

সমাধান:

ক) বালতির $\frac{1}{3}$ অংশ পানি ভর্তি, তাই খালি অংশ $= 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

খ) পূর্ণ অবস্থায় ওজন $= 12\frac{1}{2} = \frac{25}{2}$ কেজি এবং $\frac{1}{3}$ অংশ পানিতে ওজন $= 6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$ কেজি।

দুই অবস্থার ওজনের পার্থক্য $= \frac{25}{2}-\frac{13}{2} = 6$ কেজি। এটি পানির $\left(1-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$ অংশের ওজন।

পূর্ণ পানির ওজন $= 6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = 9$ কেজি।

গ) খালি বালতির ওজন $= \frac{25}{2}-9 = \frac{25-18}{2} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ কেজি।

ব্যাখ্যা: পূর্ণ ও আংশিক ভরা বালতির ওজনের পার্থক্য আসলে যে অংশ পানি কমেছে তারই ওজন। এই পার্থক্য থেকে সবটুকু পানির ওজন বের করা যায়।

উত্তর: ক) $\frac{2}{3}$ অংশ, খ) $9$ কেজি, গ) $3\frac{1}{2}$ কেজি

4. কানায় কানায় পানি ভর্তি একটি জগের ওজন $11\frac{3}{4}$ কেজি। আবার জগটির $\frac{2}{5}$ অংশ পানি ভর্তি থাকলে এর ওজন হয় $5\frac{3}{4}$ কেজি।
ক. উদ্দীপকের মিশ্র ভগ্নাংশগুলোকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর কর। (২)
খ. সম্পূর্ণ পানির ওজন বের কর। (৪)
গ. খালি জগের ওজন কত? (৪)

সমাধান:

ক) $11\frac{3}{4} = \frac{11 \times 4+3}{4} = \frac{47}{4}$ এবং $5\frac{3}{4} = \frac{5 \times 4+3}{4} = \frac{23}{4}$।

খ) ওজনের পার্থক্য $= \frac{47}{4}-\frac{23}{4} = \frac{24}{4} = 6$ কেজি।

এটি পানির $\left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{3}{5}$ অংশের ওজন।

সম্পূর্ণ পানির ওজন $= 6 \div \frac{3}{5} = 6 \times \frac{5}{3} = 10$ কেজি।

গ) খালি জগের ওজন $= \frac{47}{4}-10 = \frac{47-40}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ কেজি।

যাচাই: $\frac{2}{5}$ অংশ পানির ওজন $= 10 \times \frac{2}{5} = 4$ কেজি। তাই ওজন $= 1\frac{3}{4}+4 = 5\frac{3}{4}$ কেজি, যা প্রশ্নের সাথে মেলে।

ব্যাখ্যা: এখানে কমে যাওয়া $\frac{3}{5}$ অংশ পানির ওজন $6$ কেজি। এখান থেকে এক অংশের ওজন বের করে পুরোটার ওজন বের করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $\frac{47}{4}, \frac{23}{4}$, খ) $10$ কেজি, গ) $1\frac{3}{4}$ কেজি

5. রহিম সাহেবের একটি জমির $\frac{2}{5}$ অংশে ধান, $\frac{1}{3}$ অংশে সবজি চাষ করা হয়েছে এবং বাকি $8$ শতক জমি খালি আছে।
ক. ধান ও সবজি মিলে জমির কত অংশ জুড়ে আছে? (২)
খ. জমির খালি অংশ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (৪)
গ. তাঁর মোট জমির পরিমাণ কত? ধান ও সবজি চাষের জমির পরিমাণ আলাদা করে লেখ। (৪)

সমাধান:

ক) $\frac{2}{5}+\frac{1}{3} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$ অংশ।

খ) খালি অংশ $= 1-\frac{11}{15} = \frac{15-11}{15} = \frac{4}{15}$।

গ) মোট জমির $\frac{4}{15}$ অংশ $= 8$ শতক।

মোট জমি $= 8 \div \frac{4}{15} = 8 \times \frac{15}{4} = 30$ শতক।

ধান চাষের জমি $= 30 \times \frac{2}{5} = 12$ শতক এবং সবজি চাষের জমি $= 30 \times \frac{1}{3} = 10$ শতক।

যাচাই: $12+10+8 = 30$ শতক।

ব্যাখ্যা: পুরো জমিকে $1$ ধরে নিলে কয় অংশ ব্যবহার হয়েছে তা বিয়োগ করে খালি অংশ পাওয়া যায়। খালি অংশের পরিমাণ জানা থাকায় ভাগ করে পুরোটা বের করা সম্ভব।

উত্তর: ক) $\frac{11}{15}$, খ) $\frac{4}{15}$, গ) মোট $30$ শতক (ধান $12$, সবজি $10$)

6. একটি ফিতার দৈর্ঘ্য $7\frac{1}{2}$ মিটার।
ক. ফিতার দৈর্ঘ্যকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। (২)
খ. ফিতাটির $\frac{2}{5}$ অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪)
গ. ফিতাটি থেকে $\frac{3}{4}$ মিটার দৈর্ঘ্যের কয়টি টুকরা পাওয়া যাবে? (৪)

সমাধান:

ক) $7\frac{1}{2} = \frac{7 \times 2+1}{2} = \frac{15}{2}$ মিটার।

খ) $\frac{2}{5}$ অংশ $= \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$ মিটার।

গ) টুকরার সংখ্যা $= \frac{15}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{15}{2} \times \frac{4}{3} = 10$ টি।

ব্যাখ্যা: কোনো সংখ্যার কত অংশ বলতে বোঝায় ঐ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করা। কত টুকরা হবে তা জানতে মোট দৈর্ঘ্যকে এক টুকরার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করতে হয়।

উত্তর: ক) $\frac{15}{2}$ মিটার, খ) $3$ মিটার, গ) $10$ টি

7. $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ এবং $\frac{7}{9}$ তিনটি ভগ্নাংশ।
ক. ভগ্নাংশ তিনটির হরগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (২)
খ. ভগ্নাংশ তিনটিকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাও। (৪)
গ. সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশের অন্তর কত? (৪)

সমাধান:

ক) $4 = 2^2$, $6 = 2 \times 3$, $9 = 3^2$।

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 = 36$।

খ) $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 9}{36} = \frac{27}{36}$, $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 6}{36} = \frac{30}{36}$, $\frac{7}{9} = \frac{7 \times 4}{36} = \frac{28}{36}$।

$27 < 28 < 30$ হওয়ায় $\frac{27}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36}$।

অতএব ছোট থেকে বড় ক্রমে: $\frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$।

গ) সবচেয়ে বড় $\frac{5}{6}$ এবং সবচেয়ে ছোট $\frac{3}{4}$।

অন্তর $= \frac{5}{6}-\frac{3}{4} = \frac{10-9}{12} = \frac{1}{12}$।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ তুলনা করার সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য উপায় হলো সমহর করা। সমহরে লব যার বড়, ভগ্নাংশ তার বড়।

উত্তর: ক) $36$, খ) $\frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$, গ) $\frac{1}{12}$

8. একটি ট্যাংকের $\frac{3}{8}$ অংশ পানি ভর্তি ছিল। এতে আরও $900$ লিটার পানি ঢালার পর ট্যাংকের $\frac{3}{4}$ অংশ পূর্ণ হলো।
ক. কত অংশ পানি ঢালা হয়েছে? (২)
খ. ট্যাংকটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? (৪)
গ. ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরও কত লিটার পানি লাগবে? (৪)

সমাধান:

ক) ঢালা অংশ $= \frac{3}{4}-\frac{3}{8} = \frac{6-3}{8} = \frac{3}{8}$ অংশ।

খ) ট্যাংকের $\frac{3}{8}$ অংশ $= 900$ লিটার।

ধারণক্ষমতা $= 900 \div \frac{3}{8} = 900 \times \frac{8}{3} = 2400$ লিটার।

গ) এখন খালি অংশ $= 1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।

আরও পানি লাগবে $= 2400 \times \frac{1}{4} = 600$ লিটার।

ব্যাখ্যা: প্রথমে ঢালা পানির অংশ বের করে তা $900$ লিটারের সাথে মেলানো হয়েছে। এই ভাবে এক অংশের পরিমাণ থেকে সম্পূর্ণ পরিমাণ পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $\frac{3}{8}$ অংশ, খ) $2400$ লিটার, গ) $600$ লিটার