Time, Distance & Speed Math Solutions for Bank Jobs: Part 7 (Q150-175)

প্রশ্ন ও সমাধান

150. একটি যাত্রাপথের $\frac13$ অংশ ঘণ্টায় ২০ কিমি, $\frac14$ অংশ ঘণ্টায় ৩০ কিমি এবং বাকি অংশ ঘণ্টায় ৫০ কিমি বেগে অতিক্রম করা হলো। পুরো যাত্রার গড় গতি কত? [One-third of a certain journey was covered at the speed of 20 km/hr, one-fourth at 30 km/hr and the rest at the speed of 50 km/hr. Find the average speed per hour for the whole journey.]

সমাধান:

মোট দূরত্ব ৬০০ কিমি ধরি (৩ ও ৪-এর গুণিতক)। তিন অংশ: $\frac13\times600 = 200$, $\frac14\times600 = 150$, বাকি $600-200-150 = 250$ কিমি।

সময় $= \frac{200}{20}+\frac{150}{30}+\frac{250}{50} = 10+5+5 = 20$ ঘণ্টা।

গড় গতি $= \frac{600}{20} = 30$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: গড় গতি সবসময় মোট দূরত্ব ভাগ মোট সময়। গতিগুলোর সাধারণ গড় বের করলে ভুল হবে।

উত্তর: ৩০ কিমি/ঘণ্টা

151. কিম ও ওম ৪০০ কিমি দূরের A ও B স্থানের মধ্যে নির্দিষ্ট গতিতে যাতায়াত করে। কিম ওমের চেয়ে ১ ঘণ্টা বেশি সময় নেয়। কিম তার গতি দ্বিগুণ করলে ওমের চেয়ে ১ ঘণ্টা ৩০ মিনিট কম সময় লাগে। কিমের গতি কত ছিল? [Kim and OM are travelling from point A to B, which are 400 km apart, travelling at a certain speed Kim takes one hour more than Om to reach point B. If Kim doubles her speed she will take 1 hour 30 mins less than Om to reach point B. At what speed was Kim driving from point A to B? (In kmph)]

ক) ৯০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৭০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১৬০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৮০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

কিমের গতি $a$, ওমের গতি $b$ ধরি। প্রথম শর্ত: $\frac{400}{a}-\frac{400}{b} = 1$ ...(i)

দ্বিতীয় শর্ত: $\frac{400}{b}-\frac{400}{2a} = \frac32$, অর্থাৎ $\frac{400}{b}-\frac{200}{a} = \frac32$ ...(ii)

$\frac1a = p$, $\frac1b = q$ ধরি। (i) থেকে $400p-400q = 1$, (ii) থেকে $400q-200p = \frac32$।

(ii)-কে ২ দিয়ে গুণ করলে $800q-400p = 3$। এটি (i)-এর সাথে যোগ করলে $400q = 4$, তাই $q = \frac{1}{100}$ এবং $b = 100$।

(i) থেকে $\frac{400}{a}-4 = 1$, তাই $a = 80$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: কিম ৮০ কিমি/ঘণ্টায় ৫ ঘণ্টা, ওম ১০০ কিমি/ঘণ্টায় ৪ ঘণ্টা। কিম ১৬০ গতিতে ২.৫ ঘণ্টা, যা ওমের চেয়ে ১.৫ ঘণ্টা কম।

উত্তর: ৮০ কিমি/ঘণ্টা (ঘ)

152. একটি উড়োজাহাজ নির্ধারিত সময়ের ৩০ মিনিট দেরিতে গন্তব্য থেকে ১৫০০ কিমি দূরের স্থান থেকে রওনা হলো। নির্ধারিত সময়ে পৌঁছাতে পাইলটকে গতি ঘণ্টায় ২৫০ কিমি বাড়াতে হলো। উড়োজাহাজটির (বাড়ানো) গতি ঘণ্টায় কত ছিল? [An aeroplane started 30 minutes later than the schedule time from a place 1500 km away from its destination. To reach the destination at the scheduled time the pilot had to increase the speed by 250 km/hr. What was the speed of the aeroplane per hour] (Sonali Bank (SO-FF quota) 2019)

ক) ৮০০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৭৫০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৭২৫ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ১০০০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। নতুন গতি $(x+250)$।

$\frac{1500}{x}-\frac{1500}{x+250} = \frac{30}{60} = \frac12$।

$\frac{1500\times250}{x(x+250)} = \frac12$, তাই $x(x+250) = 750000$।

$x^2+250x-750000 = 0$, অর্থাৎ $(x+1000)(x-750) = 0$। তাই $x = 750$।

বাড়ানো গতি $= 750+250 = 1000$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৭৫০ কিমি/ঘণ্টায় ২ ঘণ্টা, ১০০০ কিমি/ঘণ্টায় ১.৫ ঘণ্টা। পার্থক্য আধ ঘণ্টা।

উত্তর: ১০০০ কিমি/ঘণ্টা (ঘ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর ঘ অপশন, অর্থাৎ বাড়ানো গতি ১০০০ কিমি/ঘণ্টা। স্বাভাবিক গতি ছিল ৭৫০ কিমি/ঘণ্টা, তাই প্রশ্নের শেষে কোন গতি চাওয়া হয়েছে তা খেয়াল রাখতে হবে।

153. একটি গাড়ির গতি স্বাভাবিক গতির চেয়ে ঘণ্টায় ১০ কিমি বাড়ালে ৭৫ কিমি পথ যেতে ১৫ মিনিট কম লাগে। এই (বাড়ানো) গতিতে ৩০০ কিমি পথ যেতে কত সময় লাগবে? [A car takes 15 minutes less to cover a distance of 75 km, if, it increases its speed by 10 km/hr from its usual speed. How much time would it take to cover a distance of 300 km using this speed?]

ক) ৫ ঘণ্টা     খ) $5\frac12$ ঘণ্টা     গ) ৬ ঘণ্টা     ঘ) $6\frac12$ ঘণ্টা

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি।

$\frac{75}{x}-\frac{75}{x+10} = \frac{15}{60} = \frac14$। $\frac{750}{x(x+10)} = \frac14$, তাই $x(x+10) = 3000$।

$x^2+10x-3000 = 0$, অর্থাৎ $(x+60)(x-50) = 0$। তাই $x = 50$।

নতুন গতি $= 60$ কিমি/ঘণ্টা। ৩০০ কিমির সময় $= \frac{300}{60} = 5$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৫০ কিমি/ঘণ্টায় ৭৫ কিমি যেতে ১.৫ ঘণ্টা, ৬০ কিমি/ঘণ্টায় ১.২৫ ঘণ্টা। পার্থক্য ১৫ মিনিট।

উত্তর: ৫ ঘণ্টা (ক)

154. সমান গতিতে চলা একটি গাড়ি একটি দূরত্ব ৮ ঘণ্টায় অতিক্রম করে। গতি ঘণ্টায় ৪ কিমি বাড়ালে ওই পথ ৭ ঘণ্টা ৩০ মিনিটে যাওয়া যেত। দূরত্ব কত? [With a uniform speed, a car covers a distance in 8 hours. Had the speed been increased by 4 km/hr the same distance could have been covered in 7 hours and 30 minutes. What is the distance covered?] (BSC Combined (SO-8 Bank) 2018)

ক) ৪২০ কিমি     খ) ৪৮০ কিমি     গ) ৫২০ কিমি     ঘ) ৬৪০ কিমি

সমাধান:

গাড়ির গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। ৮ ঘণ্টায় পথ $8x$।

গতি বাড়ালে ৭.৫ ঘণ্টায় একই পথ, তাই $8x = 7.5(x+4)$।

$8x = 7.5x+30$, তাই $0.5x = 30$ এবং $x = 60$।

দূরত্ব $= 8\times60 = 480$ কিমি।

ব্যাখ্যা: এখানে $x = 60$ হলো গতি, দূরত্ব নয়। প্রশ্ন দূরত্ব চাওয়ায় শেষে ৮ দিয়ে গুণ করতে হয়েছে।

উত্তর: ৪৮০ কিমি (খ)

দুটি শর্ত থেকে দুটি সমীকরণ

155. একজন ব্যক্তি একটি নির্দিষ্ট গতিতে একটি দূরত্ব অতিক্রম করে। গতি ঘণ্টায় ৩ কিমি বেশি হলে ৪০ মিনিট কম সময় লাগত। আর গতি ঘণ্টায় ২ কিমি কম হলে ৪০ মিনিট বেশি সময় লাগত। দূরত্ব কত কিলোমিটার? [A man covered a certain distance at some speed. Had he moved 3 kmph faster, he would have taken 40 minutes less. If he had moved 2 kmph slower, he would have taken 40 minutes more. The distance (in km) is]

ক) $35\frac23$     খ) $36\frac12$     গ) ৩৭     ঘ) ৪০

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি, গতি $y$ কিমি/ঘণ্টা ধরি।

প্রথম শর্ত: $\frac{x}{y}-\frac{x}{y+3} = \frac23$, অর্থাৎ $\frac{3x}{y(y+3)} = \frac23$, তাই $2y(y+3) = 9x$ ...(i)

দ্বিতীয় শর্ত: $\frac{x}{y-2}-\frac{x}{y} = \frac23$, অর্থাৎ $\frac{2x}{y(y-2)} = \frac23$, তাই $y(y-2) = 3x$ ...(ii)

(i)-কে (ii) দিয়ে ভাগ করে $\frac{2(y+3)}{y-2} = 3$, তাই $2y+6 = 3y-6$ এবং $y = 12$।

(ii) থেকে $12\times10 = 3x$, তাই $x = 40$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৪০ কিমি ১২ কিমি/ঘণ্টায় $\frac{10}{3}$ ঘণ্টা, ১৫ কিমি/ঘণ্টায় $\frac83$ ঘণ্টা। পার্থক্য $\frac23$ ঘণ্টা $= 40$ মিনিট। ১০ কিমি/ঘণ্টায় ৪ ঘণ্টা, যা $\frac{10}{3}$ থেকে $\frac23$ ঘণ্টা বেশি।

উত্তর: ৪০ কিমি (ঘ)

156. একটি ট্রেন একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব সমান গতিতে অতিক্রম করে। গতি ঘণ্টায় ৬ কিমি বেশি হলে নির্ধারিত সময়ের চেয়ে ৪ ঘণ্টা কম লাগত। আর ঘণ্টায় ৬ কিমি কম হলে ৬ ঘণ্টা বেশি লাগত। যাত্রাপথের দূরত্ব কত? [A train covered a certain distance at a uniform speed. If the train had been 6 km/hr faster, then it would have taken 4 hours less than the scheduled time. And, if the train were slower by 6 km/hr, then the train would have taken 6 hours more than the scheduled time. The length of the journey is]

ক) ৭০০ কিমি     খ) ৭২০ কিমি     গ) ৭৪০ কিমি     ঘ) ৭৬০ কিমি

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি, গতি $y$ কিমি/ঘণ্টা ধরি।

প্রথম শর্ত: $\frac{x}{y}-\frac{x}{y+6} = 4$, অর্থাৎ $\frac{6x}{y(y+6)} = 4$, তাই $6x = 4y(y+6)$ ...(i)

দ্বিতীয় শর্ত: $\frac{x}{y-6}-\frac{x}{y} = 6$, অর্থাৎ $\frac{6x}{y(y-6)} = 6$, তাই $6x = 6y(y-6)$ ...(ii)

(i) ও (ii) থেকে $4(y+6) = 6(y-6)$, অর্থাৎ $2(y+6) = 3(y-6)$। তাই $2y+12 = 3y-18$ এবং $y = 30$।

$6x = 4\times30\times36 = 4320$, তাই $x = 720$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৭২০ কিমি ৩০ কিমি/ঘণ্টায় ২৪ ঘণ্টা, ৩৬ কিমি/ঘণ্টায় ২০ ঘণ্টা (৪ কম), ২৪ কিমি/ঘণ্টায় ৩০ ঘণ্টা (৬ বেশি)।

উত্তর: ৭২০ কিমি (খ)

157. একটি গাড়ি P থেকে Q পর্যন্ত নির্দিষ্ট গতিতে যায়। গতি ঘণ্টায় ১০ কিমি বাড়ালে ১ ঘণ্টা কম লাগত। আরও ১০ কিমি/ঘণ্টা বাড়ালে আরও ৪৫ মিনিট কম লাগত। শহর দুটির মধ্যে দূরত্ব কত? [A car travels from P to Q at a constant speed. If its speed were increased by 10 km/hr, it would have taken one hour lesser to cover the distance. It would have taken further 45 minutes lesser if the speed was further increased by 10 km/hr. What is the distance between the two cities?]

ক) ৪২০ কিমি     খ) ৫৪০ কিমি     গ) ৬০০ কিমি     ঘ) ৬৫০ কিমি

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি, গতি $y$ কিমি/ঘণ্টা ধরি।

প্রথম শর্ত: $\frac{x}{y}-\frac{x}{y+10} = 1$, তাই $10x = y(y+10)$, অর্থাৎ $x = \frac{y(y+10)}{10}$ ...(i)

দ্বিতীয় শর্ত: মোট কমে $1+\frac{45}{60} = \frac74$ ঘণ্টা। $\frac{x}{y}-\frac{x}{y+20} = \frac74$, তাই $20x = \frac74y(y+20)$, অর্থাৎ $x = \frac{7y(y+20)}{80}$ ...(ii)

(i) ও (ii) সমান করে $\frac{y(y+10)}{10} = \frac{7y(y+20)}{80}$, অর্থাৎ $8(y+10) = 7(y+20)$।

$8y+80 = 7y+140$, তাই $y = 60$। (i) থেকে $x = \frac{60\times70}{10} = 420$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৪২০ কিমি ৬০ কিমি/ঘণ্টায় ৭ ঘণ্টা, ৭০ কিমি/ঘণ্টায় ৬ ঘণ্টা, ৮০ কিমি/ঘণ্টায় ৫.২৫ ঘণ্টা। মোট কমে ১.৭৫ ঘণ্টা।

উত্তর: ৪২০ কিমি (ক)

158. একজন লোক ওপরে ওঠার চলন্ত সিঁড়ি (এসক্যালেটর) দিয়ে হেঁটে ৩০ সেকেন্ডে ওপরে উঠতে পারে। একই লোক ওই ওপরমুখী চলন্ত সিঁড়ি দিয়ে হেঁটে নিচে নামতে ৯০ সেকেন্ড সময় নেয়। ওঠা-নামার সময় তার হাঁটার গতি সমান। সিঁড়ি বন্ধ থাকলে সে হেঁটে ওপরে উঠতে মোট কত সময় নেবে? [A man can walk up a moving-up escalator in 30 seconds. The same man can walk down this moving-up escalator in 90 seconds. Assume that his walking speed is same upwards and downwards. How much time will he take to walk up the escalator, when it is not moving?]

ক) ৩০ সেকেন্ড     খ) ৪৫ সেকেন্ড     গ) ৬০ সেকেন্ড     ঘ) ৯০ সেকেন্ড

সমাধান:

মোট সিঁড়ির ধাপ $n$, লোকটির গতি $x$ ধাপ/সেকেন্ড এবং সিঁড়ির গতি $y$ ধাপ/সেকেন্ড ধরি।

ওঠার সময় দুই গতি যোগ হয়: $x+y = \frac{n}{30}$ ...(i)

নামার সময় বিপরীতে: $x-y = \frac{n}{90}$ ...(ii)

যোগ করে $2x = \frac{n}{30}+\frac{n}{90} = \frac{4n}{90}$, তাই $x = \frac{n}{45}$।

সিঁড়ি বন্ধ থাকলে সময় $= \frac{n}{x} = 45$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: এই ধরনের অঙ্ক নদীর স্রোতের অঙ্কের মতো। ওঠার সময় সিঁড়ির গতি সহায়ক, নামার সময় প্রতিকূল।

উত্তর: ৪৫ সেকেন্ড (খ)

159. রমেশ ৭৬০ কিমি পথ বাড়ি যায়, কিছুটা ট্রেনে এবং বাকিটা গাড়িতে। ১৬০ কিমি ট্রেনে ও বাকিটা গাড়িতে গেলে ৮ ঘণ্টা সময় লাগে। ২৪০ কিমি ট্রেনে ও বাকিটা গাড়িতে গেলে ১২ মিনিট বেশি লাগে। গাড়ি ও ট্রেনের গতি যথাক্রমে কত? [Ramesh travels 760 km to his home, partly by train and partly by car. He takes 8 hours, if he travels 160 km by train and the rest by car. He takes 12 minutes more, if he travels 240 km by train and the rest by car. What are the speeds of the car and the train respectively?]

ক) ৯০ কিমি/ঘণ্টা, ৬০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ১০০ কিমি/ঘণ্টা, ৮০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৮০ কিমি/ঘণ্টা, ৭০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ১০০ কিমি/ঘণ্টা, ৯০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

ট্রেনের গতি $x$, গাড়ির গতি $y$ কিমি/ঘণ্টা ধরি।

প্রথম শর্ত: $\frac{160}{x}+\frac{600}{y} = 8$, অর্থাৎ $\frac{20}{x}+\frac{75}{y} = 1$ ...(i)

দ্বিতীয় শর্ত: $\frac{240}{x}+\frac{520}{y} = 8\frac15 = \frac{41}{5}$ ...(ii)

(i)-কে ১২ দিয়ে গুণ করে $\frac{240}{x}+\frac{900}{y} = 12$। এটি থেকে (ii) বিয়োগ করলে $\frac{380}{y} = 12-\frac{41}{5} = \frac{19}{5}$।

$y = 380\times\frac{5}{19} = 100$। (i) থেকে $\frac{20}{x}+\frac34 = 1$, তাই $\frac{20}{x} = \frac14$ এবং $x = 80$।

ব্যাখ্যা: গাড়ির গতি ১০০ কিমি/ঘণ্টা ও ট্রেনের গতি ৮০ কিমি/ঘণ্টা। প্রশ্নে গাড়ি আগে এবং ট্রেন পরে চাওয়া হয়েছে, তাই উত্তর খ অপশন।

উত্তর: গাড়ি ১০০ কিমি/ঘণ্টা, ট্রেন ৮০ কিমি/ঘণ্টা (খ)

160. দুটি খরগোশ একে অপরের দিকে দৌড় শুরু করল, একটি A থেকে B-তে এবং অন্যটি B থেকে A-তে। ১ ঘণ্টা পরে তারা মিলিত হলো এবং প্রথম খরগোশটি B-তে পৌঁছাল দ্বিতীয়টির A-তে পৌঁছানোর $\frac56$ ঘণ্টা আগে। A ও B-এর দূরত্ব ৫০ কিমি হলে ধীর খরগোশের গতি কত? [Two rabbits start running towards each other, one from A to B and another from B to A. They cross each other after one hour and the first rabbit reaches B, $\frac56$ hour before the second rabbit reaches A. If the distance between A and B is 50 km. What is the speed of the slower rabbit?] (BSC Combined SO (8 Banks & FIs) 2018 (Written))

সমাধান:

দ্রুত খরগোশের গতি $x$, ধীরটির গতি $y$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। ১ ঘণ্টায় মিলিত হয়, তাই $x+y = 50$, অর্থাৎ $x = 50-y$।

পুরো পথের সময়ের পার্থক্য $\frac{50}{y}-\frac{50}{x} = \frac56$।

$\frac{50}{y}-\frac{50}{50-y} = \frac56$। $50\times\frac{50-2y}{y(50-y)} = \frac56$, তাই $60(50-2y) = y(50-y)$, অর্থাৎ $3000-120y = 50y-y^2$।

$y^2-170y+3000 = 0$, অর্থাৎ $(y-150)(y-20) = 0$।

$y = 150$ হলে $x$ ঋণাত্মক হয়, তাই $y = 20$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ধীর খরগোশ ২০ কিমি/ঘণ্টায় ২.৫ ঘণ্টা, দ্রুতটি ৩০ কিমি/ঘণ্টায় $\frac53$ ঘণ্টা। পার্থক্য $\frac56$ ঘণ্টা।

উত্তর: ২০ কিমি/ঘণ্টা

161. একটি ট্রেন দিল্লি থেকে আম্বালা যাওয়ার পথে ১ ঘণ্টা পরে দুর্ঘটনার কবলে পড়ে। এরপর ট্রেনটি আগের গতির $\frac45$ অংশ গতিতে চলে আম্বালায় ২ ঘণ্টা দেরিতে পৌঁছায়। দুর্ঘটনার আগে ট্রেনটি আরও ৮০ কিমি পথ গেলে সে ১ ঘণ্টা দেরিতে পৌঁছাত। ট্রেনের স্বাভাবিক গতি কত? [A train travelling from Delhi to Ambala meets with an accident after 1hr It proceeds at four-fifth of its usual rate, arriving at Ambala 2 hr late if the train had covered 80 km more before the accident, it would have been just 1 hr late. The usual rate of the train is]

ক) ২০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৬০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৮০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। দুর্ঘটনার পর গতি $\frac{4x}{5}$।

দুই ঘটনার মধ্যবর্তী ৮০ কিমি পথ প্রথম ঘটনায় ধীর গতিতে এবং দ্বিতীয় ঘটনায় স্বাভাবিক গতিতে যাওয়া হয়। দেরির পার্থক্য $2-1 = 1$ ঘণ্টা।

$\frac{80}{4x/5}-\frac{80}{x} = 1$, অর্থাৎ $\frac{100}{x}-\frac{80}{x} = 1$।

$\frac{20}{x} = 1$, তাই $x = 20$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 20$ হলে দুর্ঘটনা ২০ কিমিতে। মোট দূরত্ব $D$ হলে ২ ঘণ্টা দেরিতে $\frac{D-20}{16}-\frac{D-20}{20} = 2$, তাই $D = 180$। দুর্ঘটনা ১০০ কিমিতে হলে বাকি ৮০ কিমি: $\frac{80}{16}-\frac{80}{20} = 1$ ঘণ্টা দেরি, শর্ত মিলে গেছে।

উত্তর: ২০ কিমি/ঘণ্টা (ক)

162. একটি ট্রেন ঢাকা থেকে রাজশাহী যাওয়ার পথে ১ ঘণ্টা পরে দুর্ঘটনার কবলে পড়ে। এরপর ট্রেনটি স্বাভাবিক গতির $\frac35$ অংশ গতিতে চলে রাজশাহীতে ৩ ঘণ্টা দেরিতে পৌঁছায়। দুর্ঘটনার আগে আরও ৫০ কিমি পথ গেলে ট্রেনটি ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট আগে পৌঁছাত। ট্রেনের স্বাভাবিক গতি কত? [A train travelling from Dhaka to Rajshahi meets with an accident after 1hr. After recovering it proceeds as 3/5th of its usual speed rate, arriving at Rajshahi 3hr late. If the train had covered 50km more before the accident, it would have been reached 1hr 20 min before. Find the usual speed of the train.]

ক) ২০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৬০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৮০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। দুর্ঘটনার পর গতি $\frac{3x}{5}$।

বইয়ের পদ্ধতিতে ধরা হয়েছে, ৫০ কিমি পথ ধীর গতির বদলে স্বাভাবিক গতিতে গেলে ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট সময় বাঁচে। বইয়ের হিসাবে সমীকরণ আসে $\frac{50}{3x/5}-\frac{50}{x} = \frac43$।

বাঁ পাশ $= \frac{250}{3x}-\frac{150}{3x} = \frac{100}{3x}$।

$\frac{100}{3x} = \frac43$, তাই $x = 25$।

ব্যাখ্যা: এই হিসাবে ২৫ আসে, যা কোনো অপশনে নেই। বইয়ের উত্তর ২০ কিমি/ঘণ্টা। উত্তর ২০ মেলাতে দ্বিতীয় ঘটনায় ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট দেরিতে পৌঁছানো ধরতে হয়, অর্থাৎ পার্থক্য $3-\frac43 = \frac53$ ঘণ্টা। তখন $\frac{100}{3x} = \frac53$ থেকে $x = 20$ আসে।

উত্তর: ২০ কিমি/ঘণ্টা (বইয়ের উত্তর, ক)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নের ভাষায় আছে, দ্বিতীয় ঘটনায় ট্রেন ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট আগে পৌঁছাত। এই অর্থ ধরলে সঠিক গতি ২৫ কিমি/ঘণ্টা আসে, যা কোনো অপশনে নেই। বইয়ের উত্তর ২০ কিমি/ঘণ্টা, যা পাওয়া যায় দ্বিতীয় ঘটনায় ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট দেরি ধরলে। পরীক্ষায় অপশন দেখে বইয়ের উত্তরই বেছে নিতে হবে।

163. একটি গাড়ি ইন্দোর থেকে ভোপালের দিকে নির্দিষ্ট গতিতে রওনা হলো। ইন্দোর থেকে ৪০ কিমি দূরে দুর্ঘটনা এড়ানোর পর চালক গতি আগের গতির $\frac45$ অংশ করে দিল। এতে সে ভোপালে ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট দেরিতে পৌঁছাল। ইন্দোর থেকে ৮০ কিমি দূরে দুর্ঘটনা এড়িয়ে একই গতি কমালে সে ১ ঘণ্টা দেরিতে পৌঁছাত। গাড়িটির আসল গতি কত? [A car started from Indore to Bhopal at a certain speed. The Car missed an accident at 40Kms away from Indore, then the driver decided to reduce Car speed to 4/5 of the original speed. Due to this, he reached Bhopal by a late of 1hr 15min. Suppose if he missed an accident at 80Km away from Indore and from then he maintained 4/5 of original speed then he would reach Bhopal by a late of 1hour. Then what is the original speed of the Car?]

ক) ২০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৬০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৮০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

আসল গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। কমা গতি $\frac{4x}{5}$।

দুই ঘটনার মধ্যে ৪০ কিমি পথ প্রথম ঘটনায় ধীর গতিতে এবং দ্বিতীয় ঘটনায় স্বাভাবিক গতিতে গেছে। দেরির পার্থক্য $1\frac14-1 = \frac14$ ঘণ্টা।

$\frac{40}{4x/5}-\frac{40}{x} = \frac14$, অর্থাৎ $\frac{50}{x}-\frac{40}{x} = \frac14$।

$\frac{10}{x} = \frac14$, তাই $x = 40$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: ৪০ কিমি/ঘণ্টায় ৪০ কিমি যেতে ১ ঘণ্টা, ৩২ কিমি/ঘণ্টায় ১.২৫ ঘণ্টা। পার্থক্য ১৫ মিনিট, মিলে গেছে।

উত্তর: ৪০ কিমি/ঘণ্টা (খ)

164. ৩০ কিমি পথ যাওয়ার পর একটি ট্রেনের ইঞ্জিনে ত্রুটি দেখা দেয় এবং এরপর তার গতি আসল গতির $\frac45$ অংশে নেমে আসে। ফলে ট্রেনটি গন্তব্যে ৪৫ মিনিট দেরিতে পৌঁছায়। আরও ১৮ কিমি পথ যাওয়ার পর এটি ঘটলে ট্রেনটি (প্রথম ক্ষেত্রের চেয়ে) ৯ মিনিট আগে পৌঁছাত। ট্রেনের গতি এবং যাত্রাপথের দূরত্ব নির্ণয় করো। [After covering a distance of 30 km, there is some defect in a train engine and thereafter, its speed is reduced to 4/5 of its original speed. Consequently, the train reaches its destination late by 45 minutes. Had it happened after covering 18 km more, the train would have reached 9 minutes earlier. Find the speed of the train and the distance of journey.]

ক) ৩০ কিমি/ঘণ্টা, ১০০ কিমি     খ) ৪৫ কিমি/ঘণ্টা, ১২০ কিমি     গ) ৩০ কিমি/ঘণ্টা, ১২০ কিমি     ঘ) ৬০ কিমি/ঘণ্টা, ১৫০ কিমি

সমাধান:

গতি $x$, মোট দূরত্ব $y$ ধরি। কমা গতি $\frac{4x}{5}$।

দুই ঘটনার মধ্যবর্তী ১৮ কিমি পথ প্রথম ঘটনায় ধীর গতিতে এবং দ্বিতীয় ঘটনায় স্বাভাবিক গতিতে যাওয়া হয়। প্রথম ঘটনার চেয়ে দ্বিতীয় ঘটনায় ৯ মিনিট আগে পৌঁছানো হয়, তাই ১৮ কিমিতে সময়ের পার্থক্য ৯ মিনিট।

$\frac{18}{4x/5}-\frac{18}{x} = \frac{9}{60}$, অর্থাৎ $\frac{22.5}{x}-\frac{18}{x} = \frac{4.5}{x} = \frac{3}{20}$। তাই $x = 30$ কিমি/ঘণ্টা।

প্রথম ঘটনায় বাকি পথ $(y-30)$ কিমি। দেরি $= \frac{y-30}{4x/5}-\frac{y-30}{x} = \frac{y-30}{4x} = \frac{45}{60}$।

$x = 30$ বসিয়ে $\frac{y-30}{120} = \frac34$, তাই $y-30 = 90$ এবং $y = 120$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৩০ কিমি পরে বাকি ৯০ কিমি ২৪ কিমি/ঘণ্টায় ৩.৭৫ ঘণ্টা, স্বাভাবিক ৩ ঘণ্টা। দেরি ৪৫ মিনিট। ৪৮ কিমি পরে বাকি ৭২ কিমি ২.৪ ঘণ্টার জায়গায় ৩ ঘণ্টা, দেরি ৩৬ মিনিট। পার্থক্য ৯ মিনিট।

উত্তর: গতি ৩০ কিমি/ঘণ্টা এবং দূরত্ব ১২০ কিমি (গ)

165. একটি ট্রেন ১৫০ কিমি পথ যাওয়ার পর দুর্ঘটনায় পড়ে এবং এরপর আগের গতির $\frac35$ অংশ গতিতে চলে গন্তব্যে ৮ ঘণ্টা দেরিতে পৌঁছায়। দুর্ঘটনাটি আরও ৩৬০ কিমি পরে ঘটলে ট্রেনটি ৪ ঘণ্টা দেরিতে পৌঁছাত। ট্রেনটি মোট কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে? [A train after travelling 150 km meets with an accident and then proceeds at 3/5 of its former speed and arrives at its destination 8 hours late. Had the accident occurred 360 km further, it would have reached the destination 4 hours late. What is the total distance travelled by the train?]

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $x$ ধরি। দুই ঘটনার মধ্যে ৩৬০ কিমি পথ ধীর গতির বদলে স্বাভাবিক গতিতে গেছে, দেরির পার্থক্য $8-4 = 4$ ঘণ্টা।

$\frac{360}{3x/5}-\frac{360}{x} = 4$, অর্থাৎ $\frac{600}{x}-\frac{360}{x} = \frac{240}{x} = 4$। তাই $x = 60$ কিমি/ঘণ্টা।

মোট দূরত্ব $y$ ধরি। প্রথম ঘটনায় বাকি পথ $(y-150)$, ধীর গতি $36$ কিমি/ঘণ্টা।

দেরি $= \frac{y-150}{36}-\frac{y-150}{60} = 8$। $(y-150)\times\frac{5-3}{180} = 8$, অর্থাৎ $\frac{y-150}{90} = 8$।

$y-150 = 720$, তাই $y = 870$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ১৫০ কিমি পরে বাকি ৭২০ কিমি। ৩৬ কিমি/ঘণ্টায় ২০ ঘণ্টা এবং ৬০ কিমি/ঘণ্টায় ১২ ঘণ্টা। দেরি ৮ ঘণ্টা।

উত্তর: ৮৭০ কিমি

অনুপাত ও যুক্তির অঙ্ক

166. জিম প্রতিদিন সকালে নির্দিষ্ট গতিতে হেঁটে ঠিক সময়ে অফিসে পৌঁছায়। একদিন সে স্বাভাবিক গতির $\frac23$ অংশ গতিতে হাঁটা শুরু করল। কিছুক্ষণ পরে সে বুঝল সে ১০ মিনিট পিছিয়ে পড়েছে। তখন সে তার (চলতি) গতি দ্বিগুণ করল এবং অফিসে নির্ধারিত সময়ের ৫ মিনিট আগে পৌঁছাল। গতি দ্বিগুণ করার আগে সে মোট পথের কত অংশ গিয়েছিল? [Every morning Jim walks to his office at a certain constant speed which enables him to arrive exactly on time. One fine morning he started walking at two-thirds his usual speed but after some time he realized that he was already 10 minutes behind at that point so he doubled his speed and reached his office 5 minutes early. What fraction of the total distance had Jim covered when he doubled his speed?]

ক) $\frac{5}{12}$     খ) $\frac38$     গ) $\frac13$     ঘ) $\frac14$

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $v$, প্রথম অংশের দূরত্ব $x$, বাকি দূরত্ব $y$ ধরি।

প্রথম অংশে ১০ মিনিট দেরি: $\frac{x}{2v/3}-\frac{x}{v} = \frac{x}{2v} = \frac16$ ঘণ্টা, তাই $x = \frac{v}{3}$।

বাকি অংশে গতি $\frac{2v}{3}$-এর দ্বিগুণ $= \frac{4v}{3}$। ১০ মিনিট দেরি থেকে ৫ মিনিট আগে, অর্থাৎ ১৫ মিনিট সময় বাঁচল: $\frac{y}{v}-\frac{y}{4v/3} = \frac{y}{4v} = \frac14$ ঘণ্টা।

$y = v$। প্রয়োজনীয় ভগ্নাংশ $= \frac{x}{x+y} = \frac{v/3}{v/3+v} = \frac14$।

ব্যাখ্যা: এখানে গতি দ্বিগুণ করা মানে চলতি গতি $\frac{2v}{3}$-কেই দ্বিগুণ করা, যা $\frac{4v}{3}$।

উত্তর: $\frac14$ (ঘ)

167. একদিন রকি স্বাভাবিক গতির $\frac34$ অংশ গতিতে বাড়ি থেকে অফিসে হেঁটে যাচ্ছিল। পথের মাঝামাঝি এসে সে বুঝল সে ১০ মিনিট দেরি করে ফেলেছে। তখন সে গতি ২৫% বাড়িয়ে বাকি পথ গেল। সেদিন রকির অফিসে পৌঁছাতে মোট কত মিনিট লাগল? [One day, Rocky walked from his home to his office at three fourths of his usual speed. When he reached midway, he realised that he was 10 minutes late at that point. He, then, increased his speed by 25% and completed the remaining journey. Find the time (in minutes) taken by Rocky to reach his office that day.]

ক) ৬৪     খ) ৭২     গ) ৮০     ঘ) ৬০

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $v$ এবং মোট দূরত্ব $2y$ ধরি। প্রথম অর্ধেকে দেরি: $\frac{y}{3v/4}-\frac{y}{v} = \frac{y}{3v} = \frac{10}{60}$, তাই $\frac{y}{v} = \frac12$ ঘণ্টা $= 30$ মিনিট।

প্রথম অর্ধেকের সময় $= \frac{4}{3}\times30 = 40$ মিনিট।

দ্বিতীয় অর্ধেকে গতি $\frac34v$-এর $125\%$। গতির অনুপাত $4:5$, তাই সময়ের অনুপাত $5:4$। প্রথম অর্ধেক $40$ মিনিট হলে দ্বিতীয় অর্ধেক $40\times\frac45 = 32$ মিনিট।

মোট সময় $= 40+32 = 72$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: গতি ২৫% বাড়ানো মানে চলতি গতির $\frac54$ গুণ করা। এখানে চলতি গতি স্বাভাবিকের $\frac34$ অংশ।

উত্তর: ৭২ মিনিট (খ)

168. একজন মোটর চালক ও একজন সাইকেল চালক একই সময়ে A থেকে B-তে রওনা হলো। A থেকে B-এর দূরত্ব ১৮ কিমি। মোটর চালকের গতি সাইকেল চালকের চেয়ে ঘণ্টায় ১৫ কিমি বেশি। অর্ধেক পথ যাওয়ার পর মোটর চালক ৩০ মিনিট বিশ্রাম নিল এবং এরপর তার গতি ২০% কমে গেল। মোটর চালক সাইকেল চালকের ১৫ মিনিট আগে B-তে পৌঁছালে সাইকেল চালকের গতি কত ছিল? [A motorist and a cyclist start from A to B at the same time. A to B is 18 km. The speed of motorist is 15km/hr more than the cyclist. After covering half the distance, the motorist rest for 30 minutes and thereafter his speed is reduced by 20%. If the motorist reaches the destination B, 15 minutes earlier than that of the cyclist, then find the speed of cyclist.] (Combined 3 banks (Officer Cash) 2018 (Written))

সমাধান:

সাইকেল চালকের গতি $x$, মোটর চালকের গতি $(x+15)$ কিমি/ঘণ্টা। বিশ্রামের পরে গতি $\frac45(x+15)$।

মোটর চালকের সময় $= \frac{9}{x+15}+\frac12+\frac{9}{\frac45(x+15)}$। সাইকেল চালকের সময় $\frac{18}{x}$।

পার্থক্য: $\frac{18}{x}-\left[\frac{9}{x+15}+\frac{45}{4(x+15)}\right] = \frac12+\frac14 = \frac34$।

$\frac{9}{x+15}+\frac{45}{4(x+15)} = \frac{81}{4(x+15)}$। তাই $\frac{18}{x}-\frac{81}{4(x+15)} = \frac34$। ৯ দিয়ে ভাগ করে $\frac2x-\frac{9}{4(x+15)} = \frac{1}{12}$।

$24(x+15)-27x = x(x+15)$, অর্থাৎ $360-3x = x^2+15x$। তাই $x^2+18x-360 = 0$, অর্থাৎ $(x+30)(x-12) = 0$।

গতি ধনাত্মক, তাই $x = 12$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সাইকেল চালক ১২ কিমি/ঘণ্টায় ৯০ মিনিট। মোটর চালক ২৭ কিমি/ঘণ্টায় ২০ মিনিট, বিশ্রাম ৩০ মিনিট, ২১.৬ কিমি/ঘণ্টায় ২৫ মিনিট। মোট ৭৫ মিনিট, যা ১৫ মিনিট আগে।

উত্তর: ১২ কিমি/ঘণ্টা

169. আমিত এক বন্ধুর বাড়ি থেকে গাড়িতে নিজের বাড়ি ফিরছিল। বন্ধুর বাড়ি থেকে রওনা দেওয়ার সময় গাড়িতে ঠিক ১৮ লিটার পেট্রোল ছিল। সে ঘণ্টায় ৪০ কিমি গতিতে চলে এবং প্রতি লিটারে ১০ কিমি যেতে পারে। গাড়িটি পুরোনো হওয়ায় ট্যাংক থেকে ঘণ্টায় আধ লিটার বাড়তি পেট্রোল নষ্ট হয়। আমিতের ভাগ্য ভালো ছিল, কারণ পেট্রোল শেষ হয়ে বাড়ির ঠিক সামনে গাড়ি থেমে গেল। বন্ধুর বাড়ি থেকে আমিতের বাড়ির দূরত্ব কত? [Amit travelled back to home in a car, after visiting his friend in a distant village. When he started at his friend house the car had exactly 18 litres of petrol in it. He travelled along at a steady 40 kilometres per hour and managed a 10 kilometres per litre of petrol. As the car was old, the fuel tank lost fuel at the rate of half a litre per hour. Amit was lucky as his car stopped just in front of his home because it had run out of fuel and he only just made it. How far was it from his friend home to Amit home?]

ক) ১৫০ কিমি     খ) ১৭০ কিমি     গ) ১৮০ কিমি     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

১ ঘণ্টায় ৪০ কিমি যেতে পেট্রোল লাগে $\frac{40}{10} = 4$ লিটার। এর সাথে নষ্ট হয় আধ লিটার, মোট $4.5$ লিটার/ঘণ্টা।

পেট্রোল চলার সময় $= \frac{18}{4.5} = 4$ ঘণ্টা।

দূরত্ব $= 40\times4 = 160$ কিমি।

ব্যাখ্যা: ১৬০ কিমি অপশনে নেই, তাই বইয়ের উত্তর ঘ অপশন (কোনোটিই নয়)।

উত্তর: ১৬০ কিমি (কোনোটিই নয়, ঘ)

170. একটি গাড়ি দিল্লি থেকে জয়পুরগামী একটি বাসকে বিকেল ৪:৩০ মিনিটে অতিক্রম করল। গাড়িটি বিকেল ৬টায় জয়পুর পৌঁছাল। সেখানে ১ ঘণ্টা থেমে গাড়িটি আবার দিল্লির দিকে ফিরতি পথ ধরল এবং বিকেল ৭:৩০ মিনিটে জয়পুরগামী সেই বাসের সাথে আবার মিলিত হলো। বাস ও গাড়ি একই রাস্তায় নির্দিষ্ট গতিতে চললে বাসটি কখন জয়পুর পৌঁছাবে? [A car overtakes a bus travelling from Delhi to Jaipur at 4 : 30 p.m. The car reaches Jaipur at 6:00 p.m. After stopping there for 1 hour, it starts back towards Delhi and meets the same bus at 7:30 p.m. which was moving towards Jaipur at that time. If both the bus and the car were travelling with uniform speeds on the same route, at what time would the bus reach Jaipur?]

ক) রাত ৮:৩০     খ) রাত ৯:০০     গ) রাত ৯:১৫     ঘ) রাত ৯:৩০

সমাধান:

অতিক্রমের স্থান থেকে জয়পুরের দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। গাড়ি এই পথ গেল ৪:৩০ থেকে ৬:০০, অর্থাৎ $1\frac12$ ঘণ্টায়। গাড়ির গতি $\frac{x}{1.5} = \frac{2x}{3}$।

গাড়ি ৭টায় ফিরতি পথ ধরে ৭:৩০ পর্যন্ত আধ ঘণ্টা চলে, তাই জয়পুর থেকে $\frac{2x}{3}\times\frac12 = \frac{x}{3}$ কিমি দূরে বাসের সাথে মিলিত হয়।

৪:৩০ থেকে ৭:৩০, অর্থাৎ ৩ ঘণ্টায় বাস যায় $x-\frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$ কিমি। বাসের গতি $\frac{2x}{9}$ কিমি/ঘণ্টা।

$x$ কিমি যেতে বাসের সময় লাগে $\frac{x}{2x/9} = 4.5$ ঘণ্টা।

৪:৩০-এর ৪.৫ ঘণ্টা পরে হয় রাত ৯:০০।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বাস ৭:৩০-এ জয়পুর থেকে $\frac{x}{3}$ দূরে, গতি $\frac{2x}{9}$। বাকি সময় $\frac{x/3}{2x/9} = 1.5$ ঘণ্টা, ফলে ৯টা।

উত্তর: রাত ৯:০০ (খ)

171. একটি গরু একটি সেতুর মাঝখান থেকে ৫ মিটার দূরে দাঁড়িয়ে ছিল। গরুর কাছের প্রান্ত দিয়ে একটি ট্রেন সেতুর দিকে আসছিল। এটি দেখে গরু ট্রেনের দিকে দৌড় দিল এবং ট্রেন সেতু থেকে ২ মিটার দূরে থাকতে গরু নিরাপদে বেরিয়ে এল। সে উল্টো দিকে দৌড়ালে সেতুর শেষ প্রান্তের ২ মিটার আগে ট্রেনের ধাক্কা খেত। ট্রেনের গতি গরুর গতির ৪ গুণ হলে সেতুর দৈর্ঘ্য কত মিটার? [A cow was standing on a bridge, 5m away from the middle of the bridge. A train was coming towards the bridge from the ends nearest to the cow. Seeing this, cow ran towards the train and managed to escape when the train was 2m away from the bridge. If it had run at the opposite direction, it would hit by the train 2m before the end of the bridge. What is the length of the bridge in meters assuming the speed of the train 4 times that of cow?] (Combined 4 Bank (Officer) 2019 (Written))

সমাধান:

গরুর কাছের প্রান্ত থেকে গরুর দূরত্ব $x$ মিটার। সেতুর অর্ধেক $= x+5$, তাই সেতুর দৈর্ঘ্য $2x+10$।

ট্রেন সেতু থেকে $y$ মিটার দূরে ছিল। গরুর গতি $a$, ট্রেনের গতি $4a$।

গরু ট্রেনের দিকে $x$ মিটার দৌড়ায়, ট্রেন যায় $(y-2)$ মিটার। সময় সমান, তাই $\frac{y-2}{4a} = \frac{x}{a}$, অর্থাৎ $y = 4x+2$ ...(i)

উল্টো দিকে গরু যায় $5+x+5-2 = x+8$ মিটার। ট্রেন যায় $y+(2x+10)-2 = y+2x+8$ মিটার। সময় সমান, তাই $y+2x+8 = 4(x+8)$ ...(ii)

(i) থেকে $y$ বসিয়ে $4x+2+2x+8 = 4x+32$, তাই $2x = 22$ এবং $x = 11$।

সেতুর দৈর্ঘ্য $= 2x+10 = 32$ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $y = 46$। প্রথম ঘটনায় গরু ১১ মিটার, ট্রেন ৪৪ মিটার (১১ এর ৪ গুণ)। দ্বিতীয় ঘটনায় গরু ১৯ মিটার, ট্রেন ৭৬ মিটার (১৯ এর ৪ গুণ)।

উত্তর: ৩২ মিটার

172. একটি ট্রেন AB সুড়ঙ্গের দিকে এগিয়ে আসছে। সুড়ঙ্গের ভেতরে প্রবেশমুখ A থেকে AB দূরত্বের $\frac38$ অংশ দূরে একটি বিড়াল আছে। ট্রেন হুইসেল দিলে বিড়ালটি দৌড় দেয়। বিড়াল প্রবেশমুখ A-এর দিকে গেলে ট্রেন ঠিক প্রবেশমুখেই তাকে ধরে। বিড়াল বেরোনোর মুখ B-এর দিকে গেলে ট্রেন ঠিক B-তেই তাকে ধরে। ট্রেন ও বিড়ালের গতির অনুপাত কত? [A train approaches a tunnel AB. Inside the tunnel is a cat located at a point that is 3/8 of the distance AB measured from the entrance A. When the train whistles, that cat runs. If the cat moves to the entrance A of the tunnel, the train catches the cat exactly at the entrance. If the cat moves to the exit B, the train catches the cat at exactly the exit. The ratio of the speed of the train to that of the cat is of the order]

ক) ৩ : ১     খ) ৪ : ১     গ) ৫ : ১     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য $AB = 8x$। বিড়াল C বিন্দুতে, $AC = 3x$ এবং $CB = 5x$। ট্রেন A থেকে $y$ দূরে ছিল।

A-এর দিকে: ট্রেন যায় $y$, বিড়াল যায় $3x$। তাই গতির অনুপাত $= \frac{y}{3x}$।

B-এর দিকে: ট্রেন যায় $y+8x$, বিড়াল যায় $5x$। তাই গতির অনুপাত $= \frac{y+8x}{5x}$।

দুই অনুপাত সমান: $\frac{y}{3x} = \frac{y+8x}{5x}$। $5y = 3y+24x$, তাই $y = 12x$।

গতির অনুপাত $= \frac{12x}{3x} = 4:1$।

ব্যাখ্যা: দুই ক্ষেত্রেই ট্রেন ও বিড়ালের সময় সমান। সময় সমান হলে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাতই গতির অনুপাত।

উত্তর: ৪ : ১ (খ)

173. তিনজন দৌড়বিদ A, B ও C একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় নামল। A, B-এর ১২ মিটার এবং C-এর ১৮ মিটার আগে শেষ করল। B, C-এর ৮ মিটার আগে শেষ করল। প্রত্যেকে নির্দিষ্ট গতিতে পুরো পথ দৌড়ায়। দৌড়ের দৈর্ঘ্য কত? [Three runners A,B and C run a race, with runner A finishing 12m ahead of runner B and 18m ahead of runner C, while runner B finishes 8m ahead of runner C. Each runner travels entire distance at a constant speed. What was the length of the race?] (Combined 5 Banks (Off-Cash) 2019 (Written))

সমাধান:

দৌড়ের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ধরি। A যখন $x$ মিটার শেষ করে, B তখন $(x-12)$ এবং C তখন $(x-18)$ মিটার।

অতএব A-এর সাথে প্রতিযোগিতায় B ও C-এর গতির অনুপাত $= (x-12):(x-18)$।

B ও C-এর নিজেদের দৌড়ে B যখন $x$ শেষ করে, C তখন $(x-8)$। গতির অনুপাত $= x:(x-8)$।

গতির অনুপাত নির্দিষ্ট, তাই $\frac{x-12}{x-18} = \frac{x}{x-8}$।

আড়গুণন: $(x-12)(x-8) = x(x-18)$, অর্থাৎ $x^2-20x+96 = x^2-18x$। তাই $2x = 96$ এবং $x = 48$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৪৮ মিটারে A শেষ করলে B ৩৬ এবং C ৩০ মিটার। B ৪৮ মিটার দৌড়ালে C দৌড়ায় $48\times\frac{30}{36} = 40$ মিটার, অর্থাৎ ৮ মিটার পেছনে।

উত্তর: ৪৮ মিটার

174. স্নেহাকে প্রতিদিন তার বাবা গাড়িতে করে কলেজ থেকে নিয়ে আসেন। কলেজ প্রতিদিন বিকেল ৪টায় ছুটি হয়। একদিন কলেজ স্বাভাবিকের চেয়ে ১ ঘণ্টা আগে ছুটি হয়ে গেল। স্নেহা বাড়ির দিকে হাঁটা শুরু করল। বাবা বিষয়টি না জেনে স্বাভাবিক সময়ে বাড়ি থেকে রওনা দিলেন, পথে মেয়ের সাথে দেখা হলো, তাকে তুলে নিয়ে তাঁরা স্বাভাবিকের চেয়ে ১৫ মিনিট আগে বাড়ি পৌঁছালেন। বাবার গাড়ির গতি ও স্নেহার হাঁটার গতির অনুপাত কত? [Sneha is picked up by her father by car from college everyday. The college gets over at 4 p.m. daily. One day, the college got over an hour earlier than usual. Sneha started walking towards her house. Her father, unaware of this fact, leaves his house as usual, meets his daughter on the way, picks her up and they reach the house 15 minutes earlier than usual. What is the ratio of the father driving speed to Sneha walking speed?]

সমাধান:

বাবা স্বাভাবিকের চেয়ে ১৫ মিনিট আগে বাড়ি ফিরেছেন। এর কারণ, দেখা হওয়ার স্থান থেকে কলেজ পর্যন্ত যাওয়া-আসার পথ তাঁকে যেতে হয়নি। এই যাওয়া-আসায় ১৫ মিনিট বাঁচল।

তাই দেখা হওয়ার স্থান থেকে কলেজ পর্যন্ত একদিকের সময় $= \frac{15}{2} = 7.5$ মিনিট।

অর্থাৎ বাবা সাধারণ দিনে ৪টা বাজার ৭.৫ মিনিট আগে ওই স্থানে পৌঁছাতেন। সেদিন দেখা হয়েছে বিকেল ৩:৫২.৫-এ।

স্নেহা ৩:০০ থেকে ৩:৫২.৫ পর্যন্ত, অর্থাৎ $52.5$ মিনিট হেঁটেছে। বাবা একই পথ ৭.৫ মিনিটে যেতেন।

সময়ের অনুপাত $\text{বাবা}:\text{স্নেহা} = 7.5:52.5 = 1:7$। গতি সময়ের বিপরীত, তাই গতির অনুপাত $= 7:1$।

ব্যাখ্যা: একই পথ গেলে গতির অনুপাত সময়ের অনুপাতের উল্টো। বাবার সময় কম, তাই তাঁর গতি স্নেহার ৭ গুণ।

উত্তর: ৭ : ১

175. অরুণ তার মোট যাত্রাপথের এক-তৃতীয়াংশ স্কুটারে যাওয়ার পর স্কুটারের টায়ার পাংচার হলো। বাকি পথ সে হেঁটে গেল এবং হাঁটতে তার স্কুটারে যাওয়ার চেয়ে ২০ গুণ সময় লাগল। তার স্কুটারের গতি ও হাঁটার গতির অনুপাত কত? [Arun had ridden one-third the total distance of his trip when his scooter got punctured. He finished the journey on foot, spending twenty times as long walking as he had spent riding. What was the ratio of his riding speed to his walking speed?]

ক) ৪ : ১     খ) ৫ : ১     গ) ১০ : ১     ঘ) ২০ : ১

সমাধান:

মোট পথ $x$ কিমি, স্কুটারে সময় $y$ ঘণ্টা ধরি। স্কুটারে পথ $\frac{x}{3}$, হেঁটে পথ $\frac{2x}{3}$। হাঁটার সময় $20y$।

স্কুটারের গতি $= \frac{x/3}{y} = \frac{x}{3y}$।

হাঁটার গতি $= \frac{2x/3}{20y} = \frac{x}{30y}$।

অনুপাত $= \frac{x}{3y}:\frac{x}{30y} = 30:3 = 10:1$।

ব্যাখ্যা: পথ ও সময় দুটোই ভিন্ন, তাই গতি $\frac{\text{পথ}}{\text{সময়}}$ আলাদা করে বের করে অনুপাত নিতে হয়েছে।

উত্তর: ১০ : ১ (গ)