Mixture & Allegation Math Solutions for Bank Jobs: Part 1 (E1-E4, Q1-20)

গড় দাম সব সময় দুটি দামের মাঝখানে থাকে। উত্তরে এর ব্যতিক্রম হলে অঙ্কে ভুল আছে বুঝতে হবে।

ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য একসাথে মেশানো যায় না। লাভ বা ক্ষতি থাকলে আগে বিক্রয়মূল্য থেকে মিশ্রণের ক্রয়মূল্য বের করে নিতে হয়।

মিশ্রণের অনুপাত দেওয়া থাকলে প্রতিটি অংশের ভগ্নাংশ (যেমন দুধের ভগ্নাংশ) বের করে একই পদ্ধতি চালানো যায়।

প্রশ্ন ও সমাধান

E1. প্রতি কেজি $9.30$ টাকা দামের চালের সাথে প্রতি কেজি $10.80$ টাকা দামের চাল কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রিত চালের দাম প্রতি কেজি $10$ টাকা হবে? [In what ratio must rice at Tk. 9.30 per kg be mixed with rice at Tk. 10.80 per kg so that the mixture be worth Tk. 10 per kg?]

সমাধান:

কম দামের চাল ($9.30$) : বেশি দামের চাল ($10.80$) $= (10.80-10):(10-9.30)$।

$= 0.80:0.70 = 8:7$।

ব্যাখ্যা: মিশ্রণের গড় দাম $10$, যা $9.30$ ও $10.80$ এর মাঝখানে আছে। তাই অ্যালিগেশন প্রযোজ্য।

উত্তর: অনুপাত $8:7$

E2. $60$ লিটার দুধের সাথে (যেখানে প্রতি $1\frac{1}{2}$ লিটারের দাম $20$ টাকা) কী পরিমাণ পানি মেশালে নতুন মিশ্রণে প্রতি লিটারের দাম $10\frac{2}{3}$ টাকা হবে? [How much water must be added to 60 liters of milk at $1\frac{1}{2}$ liters for Tk. 20 so as to have a mixture worth Tk. $10\frac{2}{3}$ a liter?]

সমাধান:

দুধের দাম প্রতি লিটার $= 20 \div \frac{3}{2} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$ টাকা। পানির দাম $0$।

পানি : দুধ $= \left(\frac{40}{3}-\frac{32}{3}\right):\left(\frac{32}{3}-0\right) = \frac{8}{3}:\frac{32}{3} = 1:4$।

$60$ লিটার দুধের সাথে পানি $= 60 \times \frac{1}{4} = 15$ লিটার।

ব্যাখ্যা: পানির দাম শূন্য ধরে অ্যালিগেশন করা হয়েছে।

উত্তর: $15$ লিটার পানি

E3. দুধের সাথে কত অনুপাতে পানি মেশালে মিশ্রণটি ক্রয়মূল্যে বিক্রি করলেও $20\%$ লাভ হবে? [In what ratio must water be mixed with milk to gain $20\%$ by selling the mixture at cost price?]

সমাধান:

ধরি $1$ লিটার দুধের ক্রয়মূল্য $100$ টাকা। মিশ্রণ ক্রয়মূল্যে বিক্রি হলে বিক্রয়মূল্য ধরা হয় $100$ টাকা প্রতি লিটার।

$20\%$ লাভে $100$ টাকার বিক্রয়মূল্যের ক্রয়মূল্য $= \frac{100 \times 100}{120} = \frac{250}{3}$ টাকা।

অর্থাৎ $\frac{250}{3}$ টাকার দুধ থেকে $100$ টাকার মিশ্রণ হয়। আগে দুধ : মোট মিশ্রণ $= \frac{250}{3}:100 = 5:6$।

তাই পানি : দুধ $= 1:5$।

ব্যাখ্যা: পানির দাম নেই বলে মিশ্রণে দুধের অংশই খরচ হিসেবে গণ্য হয়।

উত্তর: পানি : দুধ $= 1:5$

E4. প্রতি কেজি $5.40$ টাকা দামের $36$ কেজি চালের সাথে প্রতি কেজি $8$ টাকা দামের কত কেজি গম মিশিয়ে প্রতি কেজি $7.20$ টাকায় বিক্রি করলে $20\%$ লাভ হবে? [How many kgs of wheat costing Tk. 8 per kg must be mixed with 36 kg of rice costing Tk. 5.40 per kg so that 20% gain may be obtained by selling the mixture at Tk. 7.20 per kg?]

সমাধান:

মিশ্রণের ক্রয়মূল্য প্রতি কেজি $= \frac{7.20 \times 100}{120} = 6$ টাকা।

চাল ($5.40$) : গম ($8$) $= (8-6):(6-5.40) = 2:0.6 = 10:3$।

$36$ কেজি চালের জন্য গম $= 36 \times \frac{3}{10} = 10.8$ কেজি।

ব্যাখ্যা: বিক্রয়মূল্য থেকে আগে ক্রয়মূল্য বের করে তারপর অ্যালিগেশন করা হয়েছে।

উত্তর: $10.8$ কেজি গম

1. একজন মুদি ব্যবসায়ী প্রতি কেজি $15$ টাকা ও $20$ টাকা দামের দুই রকম ডাল কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $16.50$ টাকা হবে? [In what ratio must a grocer mix two varieties of pulses costing Tk. 15 and Tk. 20 per kg respectively so as to get a mixture worth Tk. 16.50 per kg?] (কম্বাইন্ড ৫ ব্যাংক (ক্যাশ) ২০১৯)

ক) 3 : 7     খ) 5 : 7     গ) 7 : 3     ঘ) 7 : 5

সমাধান:

$15$ টাকার ডাল $x$ কেজি এবং $20$ টাকার ডাল $y$ কেজি ধরি। $15x+20y = 16.5(x+y)$।

$20y-16.5y = 16.5x-15x$, বা $3.5y = 1.5x$।

$\frac{x}{y} = \frac{3.5}{1.5} = \frac{7}{3}$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশনে: $(20-16.5):(16.5-15) = 3.5:1.5 = 7:3$।

উত্তর: (গ) $7 : 3$

2. প্রতি কেজি $7.20$ টাকা দামের চালের সাথে প্রতি কেজি $5.70$ টাকা দামের চাল কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $6.30$ টাকা হবে? [Find the ratio in which rice at Tk. 7.20 a kg be mixed with rice at Tk. 5.70 a kg to produce a mixture worth Tk. 6.30 a kg?]

ক) 1 : 3     খ) 2 : 3     গ) 3 : 4     ঘ) 4 : 5

সমাধান:

$7.20$ টাকার চাল $x$ এবং $5.70$ টাকার চাল $y$ ধরি। $7.2x+5.7y = 6.3(x+y)$।

$0.9x = 0.6y$, অতএব $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশন: $7.20$ টাকার চাল : $5.70$ টাকার চাল $= (6.30-5.70):(7.20-6.30) = 0.6:0.9 = 2:3$।

উত্তর: (খ) $2 : 3$

3. প্রতি কেজি $62$ টাকা দামের চায়ের সাথে প্রতি কেজি $72$ টাকা দামের চা কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $64.50$ টাকা হবে? [In what ratio must tea at Tk. 62 per kg be mixed with tea at Tk. 72 per kg so that the mixture must be worth Tk. 64.50 per kg?]

ক) 3 : 1     খ) 3 : 2     গ) 4 : 3     ঘ) 5 : 3

সমাধান:

$62x+72y = 64.5(x+y)$।

$7.5y$ নিলে $62x+72y = 64.5x+64.5y$, বা $7.5y = 2.5x$, অতএব $x:y = 3:1$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশন: $(72-64.5):(64.5-62) = 7.5:2.5 = 3:1$।

উত্তর: (ক) $3 : 1$

4. প্রতি লিটার $12$ টাকা দামের দুধের সাথে কত অনুপাতে পানি মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি লিটার $8$ টাকা হবে? [In what ratio must water be mixed with milk costing Tk. 12 per liter to obtain a mixture worth of Tk. 8 per liter?]

ক) 1 : 2     খ) 2 : 1     গ) 2 : 3     ঘ) 3 : 2

সমাধান:

দুধ $x$ লিটার ও পানি $y$ লিটার ধরি। পানির দাম নেই, তাই $12x = 8(x+y)$।

$4x = 8y$, অতএব দুধ : পানি $= 2:1$, অর্থাৎ পানি : দুধ $= 1:2$।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে পানি : দুধ চাওয়া হয়েছে, তাই $1:2$।

উত্তর: (ক) $1 : 2$

5. প্রথম ধরনের চালের দাম প্রতি কেজি $15$ টাকা এবং দ্বিতীয় ধরনের চালের দাম প্রতি কেজি $20$ টাকা। দুই ধরনের চাল $2:3$ অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের প্রতি কেজির দাম কত হবে? [The cost of Type 1 rice is Tk. 15 per kg and Type 2 rice is Tk. 20 per kg. If both Type 1 and Type 2 are mixed in the ratio of 2 : 3, then the price per kg of the mixed variety of rice is]

ক) 18 টাকা     খ) 18.50 টাকা     গ) 19 টাকা     ঘ) 19.50 টাকা

সমাধান:

$2$ কেজি ও $3$ কেজি ধরলে মোট দাম $= 15 \times 2+20 \times 3 = 30+60 = 90$ টাকা।

মোট ওজন $= 2+3 = 5$ কেজি।

প্রতি কেজির দাম $= \frac{90}{5} = 18$ টাকা।

ব্যাখ্যা: অনুপাতকে সরাসরি কেজি ধরে গড় দাম বের করা হয়েছে।

উত্তর: (ক) $18$ টাকা

6. প্রতি কেজি $9.30$ টাকা দামের এক ধরনের গমের সাথে অন্য এক ধরনের গম $8:7$ অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $10$ টাকা হয়। দ্বিতীয় ধরনের গমের প্রতি কেজির দাম কত? [One quality of wheat at Tk. 9.30 per kg is mixed with another quality at a certain rate in the ratio 8 : 7. If the mixture so formed be worth Tk. 10 per kg, what is the rate per kg of the second quality of wheat?]

ক) 10.30 টাকা     খ) 10.60 টাকা     গ) 10.80 টাকা     ঘ) 11 টাকা

সমাধান:

দ্বিতীয় গমের দাম $x$ টাকা ধরি। $8 \times 9.3+7x = 15 \times 10$।

$74.4+7x = 150$, বা $7x = 75.6$, অতএব $x = 10.8$।

ব্যাখ্যা: অনুপাত অনুযায়ী মোট $15$ কেজি ধরে মোট দাম মেলানো হয়েছে।

উত্তর: (গ) $10.80$ টাকা

7. প্রতি কেজি $126$ টাকা ও $135$ টাকা দামের চায়ের সাথে তৃতীয় এক ধরনের চা $1:1:2$ অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $153$ টাকা হয়। তৃতীয় ধরনের চায়ের প্রতি কেজির দাম কত? [Tea worth Tk. 126 per kg and Tk. 135 per kg are mixed with a third variety in the ratio 1 : 1 : 2. If the mixture is worth Tk. 153 per kg, the price of the third variety per kg will be]

ক) 169.50 টাকা     খ) 170 টাকা     গ) 175.50 টাকা     ঘ) 180 টাকা

সমাধান:

তৃতীয় চায়ের দাম $x$ টাকা ধরি। মোট $1+1+2 = 4$ কেজি।

$126 \times 1+135 \times 1+2x = 153 \times 4$, বা $261+2x = 612$।

$2x = 351$, অতএব $x = 175.5$।

ব্যাখ্যা: তিন ধরনের চায়ের মোট দাম মিশ্রণের মোট দামের সমান।

উত্তর: (গ) $175.50$ টাকা

8. প্রতি কেজি $126$ টাকা ও $134$ টাকা দামের চালের সাথে তৃতীয় এক ধরনের চাল $1:1:2$ অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $177$ টাকা হয়। তৃতীয় ধরনের চালের প্রতি কেজির দাম কত? [Rice worth Rs. 126 per kg and Rs. 134 per kg are mixed with a third variety in the ratio 1 : 1 : 2. If the mixture is worth Rs. 177 per kg, the price of the third variety per kg will be]

ক) 254     খ) 216     গ) 224     ঘ) 262

সমাধান:

তৃতীয় চালের দাম $x$ ধরি। $126+134+2x = 177 \times 4$।

$260+2x = 708$, বা $2x = 448$, অতএব $x = 224$।

ব্যাখ্যা: আগের অঙ্কের একই পদ্ধতি।

উত্তর: (গ) $224$

9. প্রতি কেজি $110$ টাকা ও $95$ টাকা দামের চালের সাথে তৃতীয় এক ধরনের চাল $1:1:2$ অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম প্রতি কেজি $115$ টাকা হয়। তৃতীয় ধরনের চালের প্রতি কেজির দাম কত? [Rice worth Rs. 110 per kg and Rs. 95 per kg are mixed with a third variety in the ratio 1 : 1 : 2. If the mixture is worth Rs. 115 per kg, the price of the third variety per kg will be]

ক) 117.5     খ) 127.5     গ) 137.5     ঘ) 147.5

সমাধান:

তৃতীয় চালের দাম $x$ ধরি। $110+95+2x = 115 \times 4$।

$205+2x = 460$, বা $2x = 255$, অতএব $x = 127.5$।

ব্যাখ্যা: প্রথম দুটি সমান পরিমাণে মেশালে তাদের গড় দাম $\frac{205}{2} = 102.5$। তখন $x-115 = 115-102.5 = 12.5$ থেকেও $x = 127.5$।

উত্তর: (খ) $127.5$

10. একজন মুদি ব্যবসায়ী প্রতি কেজি $60$ টাকা ও $65$ টাকা দামের দুই ধরনের চা কত অনুপাতে মিশিয়ে প্রতি কেজি $68.20$ টাকায় বিক্রি করলে মোট ক্রয়মূল্যের ওপর $10\%$ লাভ হবে? [In what ratio must a grocer mix two varieties of tea worth Tk. 60 a kg and Tk. 65 a kg so that by selling the mixture at Tk. 68.20 a kg he may gain 10%?] (ইসলামী ব্যাংক (PO) ২০১৭)

ক) 3 : 2     খ) 3 : 4     গ) 3 : 5     ঘ) 4 : 5

সমাধান:

$10\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য $68.20$ টাকা হলে মিশ্রণের ক্রয়মূল্য প্রতি কেজি $= \frac{100}{110} \times 68.20 = 62$ টাকা।

$60$ টাকার চা : $65$ টাকার চা $= (65-62):(62-60) = 3:2$।

ব্যাখ্যা: ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য একসাথে তুলনা করা যায় না, তাই আগে বিক্রয়মূল্য থেকে ক্রয়মূল্য বের করা হয়েছে।

উত্তর: (ক) $3 : 2$

11. প্রতি কেজি $7$ টাকা দামের $27$ কেজি চিনির সাথে প্রতি কেজি $9$ টাকা দামের কত কেজি চিনি মেশালে মিশ্রণ প্রতি কেজি $9.24$ টাকায় বিক্রি করলে $10\%$ লাভ হবে? [How many kilograms of sugar costing Tk. 9 per kg must be mixed with 27 kg of sugar costing Tk. 7 per kg so that there may be a gain of 10% by selling the mixture at Tk. 9.24 per kg?] (এক্সিম ব্যাংক (অফিসার) ২০১৩)

ক) 36 কেজি     খ) 42 কেজি     গ) 54 কেজি     ঘ) 63 কেজি

সমাধান:

মিশ্রণের ক্রয়মূল্য প্রতি কেজি $= \frac{100}{110} \times 9.24 = 8.40$ টাকা।

$9$ টাকার চিনি : $7$ টাকার চিনি $= (8.40-7):(9-8.40) = 1.40:0.60 = 7:3$।

$9$ টাকার চিনি $x$ কেজি হলে $x:27 = 7:3$, অতএব $x = \frac{7 \times 27}{3} = 63$ কেজি।

যাচাই: মোট ক্রয়মূল্য $= 63 \times 9+27 \times 7 = 756$ এবং $\frac{756 \times 1.1}{90} = 9.24$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশনে কম দামের চিনির সাথে বেশি দামের চিনির অনুপাত বের করে আনুপাতিক হিসাব করা হয়েছে।

উত্তর: (ঘ) $63$ কেজি

12. প্রতি কেজি $42$ টাকা দামের চাল ১ম ধরনের এবং প্রতি কেজি $24$ টাকা দামের চাল ২য় ধরনের। একজন দোকানদার ২য় ধরনের $25$ কেজি চালের সাথে ১ম ধরনের কত কেজি মেশালে মিশ্রণ প্রতি কেজি $40$ টাকায় বিক্রি করলে $25\%$ লাভ হবে? [How many kgs of rice of variety-1 costing Rs.42/kg should a shopkeeper mix with 25 kgs of rice of variety-2 costing Rs.24 per kg so that he makes a profit of 25% on selling the mixture at Rs.40/kg?]

ক) 15     খ) 20     গ) 25     ঘ) 30

সমাধান:

মিশ্রণের ক্রয়মূল্য প্রতি কেজি $= \frac{100}{125} \times 40 = 32$ টাকা।

১ম ধরনের $x$ কেজি হলে $42x+25 \times 24 = 32(x+25)$।

$42x+600 = 32x+800$, বা $10x = 200$, অতএব $x = 20$ কেজি।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশনেও ১ম : ২য় $= (32-24):(42-32) = 8:10 = 4:5$, তাই $x = 25 \times \frac{4}{5} = 20$।

উত্তর: (খ) $20$

13. দুধের সাথে কত অনুপাতে পানি মেশালে মিশ্রণটি ক্রয়মূল্যে বিক্রি করলেও $16\frac{2}{3}\%$ লাভ হবে? [In what ratio must water be mixed with milk to gain $16\frac{2}{3}\%$ on selling the mixture at cost price?]

ক) 1 : 6     খ) 6 : 1     গ) 2 : 3     ঘ) 4 : 3

সমাধান:

$16\frac{2}{3}\% = \frac{50}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{6}$।

অর্থাৎ ক্রয়মূল্যের $\frac{1}{6}$ অংশ লাভ। এই লাভ আসে পানি থেকে, তাই দুধের প্রতি $6$ ভাগে $1$ ভাগ পানি মেশাতে হবে।

পানি : দুধ $= 1:6$।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে পানির অনুপাত আগে চাওয়া হয়েছে বলে উত্তর $1:6$। উল্টো করে দুধ : পানি লিখলে ভুল হবে।

উত্তর: (ক) $1 : 6$

14. একজন অসৎ দুধ ব্যবসায়ী ক্রয়মূল্যে দুধ বিক্রি করার কথা বলে, কিন্তু দুধে এমনভাবে পানি মেশায় যে তার $25\%$ লাভ হয়। মিশ্রণে পানির শতকরা পরিমাণ কত? [A dishonest milkman professes to sell his milk at cost price but he mixes it with water and thereby gains 25%. The percentage of water in the mixture is]

ক) 4%     খ) $6\frac{1}{4}\%$     গ) 20%     ঘ) 25%

সমাধান:

ধরি $1$ লিটার দুধের ক্রয়মূল্য $100$ টাকা। মিশ্রণও ক্রয়মূল্যে অর্থাৎ $100$ টাকায় বিক্রি হয়।

$25\%$ লাভে মিশ্রণের ক্রয়মূল্য $= \frac{100 \times 100}{125} = 80$ টাকা, অর্থাৎ মিশ্রণে খাঁটি দুধ $80$ টাকার।

পানি $= 100-80 = 20$ টাকার সমান অংশ, তাই মিশ্রণে পানি $20\%$।

ব্যাখ্যা: মিশ্রণের মোট $100$ ভাগের মধ্যে দুধ $80$ ভাগ, বাকি $20$ ভাগ পানি।

উত্তর: (গ) $20\%$

15. একজন দুধ ব্যবসায়ী $20$ লিটার খাঁটি দুধের সাথে $6$ লিটার সাধারণ পানি মেশায়। খাঁটি দুধের দাম প্রতি লিটার $28$ টাকা হলে মিশ্রণ ক্রয়মূল্যে বিক্রি করলে তার শতকরা লাভ কত? [A milkman mixes 6 litres of free tap water with 20 litres of pure milk. If the cost of pure milk is Rs.28 per litre the % Profit of the milkman when he sells all the mixture at the cost price is]

ক) 25%     খ) 16.5%     গ) 30%     ঘ) $16\frac{1}{3}\%$

সমাধান:

ক্রয়মূল্য $= 28 \times 20 = 560$ টাকা।

মিশ্রণ $26$ লিটার ক্রয়মূল্যে বিক্রি হলে বিক্রয় $= 28 \times 26 = 728$ টাকা।

লাভ $= 728-560 = 168$ টাকা।

শতকরা লাভ $= \frac{168}{560} \times 100 = 30\%$।

ব্যাখ্যা: পানি ৬ লিটার হওয়ায় লাভ $= 28 \times 6 = 168$ টাকা।

উত্তর: (গ) $30\%$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের সমাধানে ভুলবশত লাভ $28 \times 6 = 728$ লেখা হয়েছে। সঠিক মান $168$ এবং শতকরা লাভ $30\%$ ঠিক আছে।

16. একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত $4:5$ এবং আরেকটি পাত্রে $5:1$। দুটি পাত্র থেকে কত অনুপাতে তুলে তৃতীয় একটি পাত্রে রাখলে সেখানে দুধ ও পানির অনুপাত $5:4$ হবে? [In a mixture of milk and water, their ratio is 4:5 in the first container and the same mixture has 5:1 in the 2nd container. In what ratio should be extracted from each container and poured into the 3rd container, so that the ratio of milk and water comes to 5:4 in the 3rd container?] (কম্বাইন্ড (SO-৩ ব্যাংক) ২০১৮ (লিখিত), কম্বাইন্ড ৫ ব্যাংক (AME-SO) ২০১৯)

সমাধান:

১ম পাত্র থেকে $x$ লিটার ও ২য় পাত্র থেকে $y$ লিটার তোলা হলো।

১ম পাত্রের $x$ লিটারে দুধ $\frac{4x}{9}$ ও পানি $\frac{5x}{9}$। ২য় পাত্রের $y$ লিটারে দুধ $\frac{5y}{6}$ ও পানি $\frac{y}{6}$।

মোট দুধ $= \frac{4x}{9}+\frac{5y}{6} = \frac{8x+15y}{18}$ এবং মোট পানি $= \frac{5x}{9}+\frac{y}{6} = \frac{10x+3y}{18}$।

$\frac{8x+15y}{10x+3y} = \frac{5}{4}$, বা $32x+60y = 50x+15y$।

$45y = 18x$, অতএব $x:y = 5:2$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশনে দুধের ভগ্নাংশ ধরেও একই উত্তর: $\frac{4}{9}$, $\frac{5}{6}$ এবং লক্ষ্য $\frac{5}{9}$। অনুপাত $\left(\frac{5}{6}-\frac{5}{9}\right):\left(\frac{5}{9}-\frac{4}{9}\right) = \frac{5}{18}:\frac{2}{18} = 5:2$।

উত্তর: অনুপাত $5:2$

17. A ও B দুটি পাত্রে স্পিরিট ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $5:2$ ও $7:6$। এই মিশ্রণ দুটি কত অনুপাতে মেশালে নতুন পাত্র C এ স্পিরিট ও পানির অনুপাত $8:5$ হবে? [Two vessels A and B contain spirit and water mixed in the ratio 5 : 2 and 7 : 6 respectively. Find the ratio in which these mixtures be mixed to obtain a new mixture in vessel C containing spirit and water in the ratio 8 : 5.]

ক) 4 : 3     খ) 3 : 4     গ) 5 : 6     ঘ) 7 : 9

সমাধান:

A থেকে $x$ লিটার ও B থেকে $y$ লিটার নিই। A তে স্পিরিট $\frac{5x}{7}$, পানি $\frac{2x}{7}$। B তে স্পিরিট $\frac{7y}{13}$, পানি $\frac{6y}{13}$।

মোট স্পিরিট $= \frac{65x+49y}{91}$ এবং মোট পানি $= \frac{26x+42y}{91}$।

$\frac{65x+49y}{26x+42y} = \frac{8}{5}$, বা $325x+245y = 208x+336y$।

$117x = 91y$, অতএব $x:y = 91:117 = 7:9$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশনে স্পিরিটের ভগ্নাংশ $\frac{5}{7}$, $\frac{7}{13}$ ও লক্ষ্য $\frac{8}{13}$। A:B $= \left(\frac{8}{13}-\frac{7}{13}\right):\left(\frac{5}{7}-\frac{8}{13}\right) = \frac{7}{91}:\frac{9}{91} = 7:9$।

উত্তর: (ঘ) $7 : 9$

18. A ও B দুটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $4:3$ ও $2:3$। দুটি পাত্রের মিশ্রণ কত অনুপাতে মেশালে নতুন পাত্র C তে দুধ ও পানি সমান সমান হবে? [The milk and water in two vessels A and B are in the ratio 4 : 3 and 2 : 3 respectively. In what ratio, the liquids in both the vessels be mixed to obtain a new mixture in vessel C containing half milk and half water?]

সমাধান:

A থেকে $x$ ও B থেকে $y$ লিটার নিই। A তে দুধ $\frac{4x}{7}$, পানি $\frac{3x}{7}$। B তে দুধ $\frac{2y}{5}$, পানি $\frac{3y}{5}$।

মোট দুধ $= \frac{20x+14y}{35}$ এবং মোট পানি $= \frac{15x+21y}{35}$।

দুধ ও পানি সমান, তাই $20x+14y = 15x+21y$।

$5x = 7y$, অতএব $x:y = 7:5$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশন: দুধের ভগ্নাংশ $\frac{4}{7}$, $\frac{2}{5}$ ও লক্ষ্য $\frac{1}{2}$। A:B $= \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}\right):\left(\frac{4}{7}-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{10}:\frac{1}{14} = 7:5$।

উত্তর: অনুপাত $7:5$

19. A ও B দুটি পাত্রের মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $8:3$ ও $5:1$। এই দুই পাত্র থেকে মিশিয়ে $35$ লিটারের একটি পাত্র এমনভাবে ভরা হলো যেন দুধ ও পানির অনুপাত $4:1$ হয়। A পাত্র থেকে কত লিটার নেওয়া হয়েছে? [Two vessels A and B contain a mixture of Milk and Water. In the first vessel A has the ratio of Milk to water is 8 : 3 and in the second vessel, Vessel B has the ratio of 5 : 1. A 35 litre capacity vessel is filled from these two vessels so as to contain a mixture of Milk and water in ratio of 4 : 1. Then how many litres should be taken from the first vessel, Vessel A.]

ক) 12 লিটার     খ) 17 লিটার     গ) 14 লিটার     ঘ) 11 লিটার

সমাধান:

A থেকে $x$ ও B থেকে $y$ লিটার নিই। A তে দুধ $\frac{8x}{11}$, পানি $\frac{3x}{11}$। B তে দুধ $\frac{5y}{6}$, পানি $\frac{y}{6}$।

মোট দুধ $= \frac{48x+55y}{66}$ এবং মোট পানি $= \frac{18x+11y}{66}$।

$\frac{48x+55y}{18x+11y} = 4$, বা $48x+55y = 72x+44y$।

$11y = 24x$, অতএব $x:y = 11:24$।

A থেকে নেওয়া $= 35 \times \frac{11}{35} = 11$ লিটার।

ব্যাখ্যা: মোট $35$ লিটারের মধ্যে অনুপাতের যোগফল $11+24 = 35$, তাই A এর অংশ $11$ লিটার।

উত্তর: (ঘ) $11$ লিটার

20. দুটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $7:3$ ও $2:3$। দুটি পাত্রের মিশ্রণ কত অনুপাতে মেশালে নতুন মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত $3:2$ হবে? [Two vessels contain milk and water in the ratio of 7:3 and 2:3 respectively. Find the ratio in which the contents of both the vessels must be mixed to get a new mixture containing milk and water in the ratio 3:2.]

ক) 2 : 1     খ) 2 : 3     গ) 3 : 1     ঘ) 3 : 5

সমাধান:

১ম পাত্র : ২য় পাত্র $= k:1$ ধরি। ১ম পাত্রে দুধ $\frac{7k}{10}$, পানি $\frac{3k}{10}$। ২য় পাত্রে দুধ $\frac{2}{5}$, পানি $\frac{3}{5}$।

$\frac{\frac{7k}{10}+\frac{2}{5}}{\frac{3k}{10}+\frac{3}{5}} = \frac{3}{2}$, বা $\frac{7k+4}{3k+6} = \frac{3}{2}$।

$14k+8 = 9k+18$, বা $5k = 10$, অতএব $k = 2$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশন: দুধের ভগ্নাংশ $\frac{7}{10}$, $\frac{2}{5}$ ও লক্ষ্য $\frac{3}{5}$। অনুপাত $\left(\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\right):\left(\frac{7}{10}-\frac{3}{5}\right) = \frac{1}{5}:\frac{1}{10} = 2:1$।

উত্তর: (ক) $2 : 1$