Mixture & Allegation Math Solutions for Bank Jobs: Part 2 (Q21-43)

রিপ্লেসমেন্টের পরও পাত্রের মোট পরিমাণ আগের সমান থাকে।

প্রতিবার তুলে নেওয়া অংশে দুধ ও পানি মিশ্রণের অনুপাতেই থাকে, তাই শুধু দুধের পরিমাণ কমে।

দুটি পাত্রের মিশ্রণ মেশালে প্রতিটির দুধের ভগ্নাংশ বের করে অ্যালিগেশন প্রয়োগ করা সবচেয়ে সহজ।

প্রশ্ন ও সমাধান

21. P ও Q দুটি ক্যানে দুধ ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $3:2$ ও $7:3$। কত অনুপাতে দুটি ক্যান মেশালে নতুন মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত $7:4$ হবে? [Two cans P and Q contains milk and water in the ratio of 3:2 and 7:3 respectively. The ratio in which these two cans be mixed so as to get a new mixture containing milk and water in the ratio 7:4.]

ক) 4 : 7     খ) 7 : 3     গ) 7 : 4     ঘ) 7 : 5

সমাধান:

P তে দুধ $\frac{3}{5}$ ও পানি $\frac{2}{5}$। Q তে দুধ $\frac{7}{10}$ ও পানি $\frac{3}{10}$।

P : Q $= k:1$ ধরি। $\frac{\frac{3k}{5}+\frac{7}{10}}{\frac{2k}{5}+\frac{3}{10}} = \frac{7}{4}$, বা $\frac{6k+7}{4k+3} = \frac{7}{4}$।

$24k+28 = 28k+21$, বা $4k = 7$, অতএব $k = \frac{7}{4}$।

ব্যাখ্যা: অতএব P : Q $= \frac{7}{4}:1 = 7:4$। অ্যালিগেশনেও লক্ষ্য দুধের ভগ্নাংশ $\frac{7}{11}$ ধরে একই উত্তর আসে।

উত্তর: (গ) $7 : 4$

22. A ও B দুটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $8:5$ ও $5:2$। কত অনুপাতে দুটি মিশ্রণ মেশালে নতুন মিশ্রণে $69\frac{3}{13}\%$ দুধ থাকবে? [Two vessels A and B contain milk and water mixed in the ratio 8 : 5 and 5 : 2 respectively. The ratio in which these two mixtures be mixed to get a new mixture containing $69\frac{3}{13}\%$ milk, is]

ক) 2 : 7     খ) 3 : 5     গ) 5 : 2     ঘ) 5 : 7

সমাধান:

$69\frac{3}{13}\% = \frac{900}{13} \times \frac{1}{100} = \frac{9}{13}$। অর্থাৎ নতুন মিশ্রণে দুধ $\frac{9}{13}$ অংশ।

A তে দুধ $\frac{8}{13}$ এবং B তে দুধ $\frac{5}{7}$।

A : B $= \left(\frac{5}{7}-\frac{9}{13}\right):\left(\frac{9}{13}-\frac{8}{13}\right) = \frac{65-63}{91}:\frac{7}{91} = 2:7$।

ব্যাখ্যা: A থেকে $x$ ও B থেকে $y$ নিয়ে বীজগণিতে করলে $\frac{56x+65y}{35x+26y} = \frac{9}{4}$ থেকে $91x = 26y$, অর্থাৎ $x:y = 2:7$।

উত্তর: (ক) $2 : 7$

23. $100$ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে পানি মাত্র $20\%$। দুধ ব্যবসায়ী এই মিশ্রণ থেকে $25$ লিটার একজন ক্রেতাকে দিয়ে বাকি মিশ্রণে $25$ লিটার পানি মেশালেন। চূড়ান্ত মিশ্রণে দুধের শতকরা পরিমাণ কত? [In a 100 litre mixture of milk and water, the % of water is only 20%. The milkman gave 25 litres of this mixture to a customer and then added 25 litres of water to the remaining mixture. What is the % of milk in the final mixture?]

ক) 68%     খ) 57%     গ) 60%     ঘ) 53%

সমাধান:

শুরুতে দুধ $80$ লিটার ও পানি $20$ লিটার, অনুপাত $4:1$।

$25$ লিটারে দুধ $= 25 \times \frac{4}{5} = 20$ ও পানি $5$। বাকি দুধ $60$ ও পানি $15$ লিটার।

$25$ লিটার পানি মেশালে পানি $= 15+25 = 40$ লিটার। মোট $100$ লিটার।

দুধের শতকরা পরিমাণ $= \frac{60}{100} \times 100 = 60\%$।

ব্যাখ্যা: রিপ্লেসমেন্টের পর মোট পরিমাণ আবার $100$ লিটারই থাকে।

উত্তর: (গ) $60\%$

24. $80$ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে পানির পরিমাণ $40$ শতাংশ। ব্যবসায়ী ক্রেতাকে $20$ লিটার মিশ্রণ দিয়ে $20$ লিটার পানি মেশালেন। চূড়ান্ত মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত কত? [In 80 litre mixture of milk and water, water content is 40 percent. The trader gives 20 litre of the mixture to the customer and adds 20 litres of water to the mixture. What is the final ratio of milk and water in the mixture?]

ক) 9 : 13     খ) 9 : 11     গ) 11 : 9     ঘ) 12 : 7

সমাধান:

শুরুতে পানি $= 80 \times \frac{40}{100} = 32$ লিটার এবং দুধ $= 48$ লিটার।

$20$ লিটার তুললে দুধ কমে $20 \times \frac{3}{5} = 12$ এবং পানি কমে $20 \times \frac{2}{5} = 8$।

দুধ $= 48-12 = 36$ এবং পানি $= 32-8+20 = 44$।

অনুপাত $= 36:44 = 9:11$।

ব্যাখ্যা: তুলে নেওয়া মিশ্রণে দুধ ও পানি $3:2$ অনুপাতে ছিল।

উত্তর: (খ) $9 : 11$

25. একজন দুধ বিক্রেতার কাছে দুটি দুধের পাত্র আছে। প্রথমটিতে $25\%$ পানি ও বাকি দুধ। দ্বিতীয়টিতে $50\%$ পানি। প্রতিটি পাত্র থেকে কী পরিমাণ নিয়ে মেশালে নতুন দ্রবণ $12$ লিটার হবে এবং পানি ও দুধের অনুপাত $3:5$ হবে? [A milk vendor has 2 cans of milk. The first contains 25% water and the rest milk. The second contains 50% water. How much milk should he mix from each of the containers so as to get 12 litres of milk such that the ratio of water to milk is 3 : 5 ?]

ক) 4 লিটার, 8 লিটার     খ) 6 লিটার, 6 লিটার     গ) 5 লিটার, 7 লিটার     ঘ) 7 লিটার, 5 লিটার

সমাধান:

প্রথম পাত্র থেকে $x$ লিটার ও দ্বিতীয় পাত্র থেকে $y$ লিটার নিই, এবং $x+y = 12$।

পানি $= \frac{x}{4}+\frac{y}{2}$। পানি : মোট $= 3:8$ হওয়ায় $\frac{x}{4}+\frac{y}{2} = 12 \times \frac{3}{8} = 4.5$, বা $x+2y = 18$।

$x+y = 12$ বাদ দিলে $y = 6$, অতএব $x = 6$।

যাচাই: পানি $= 1.5+3 = 4.5$ ও দুধ $= 4.5+3 = 7.5$, অনুপাত $4.5:7.5 = 3:5$।

ব্যাখ্যা: দুটি পাত্র থেকেই $6$ লিটার করে নিতে হবে।

উত্তর: (খ) $6$ লিটার ও $6$ লিটার

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে ১২ লিটার বলতে বইয়ের সমাধানে মোট মিশ্রণ ১২ লিটার ধরা হয়েছে (দুধ নয়)। সেই ধরণেই উত্তর ৬ ও ৬ লিটার।

26. একজন ব্যবসায়ীর কাছে $1000$ কেজি চিনি আছে। এর কিছু অংশ তিনি $8\%$ লাভে এবং বাকি অংশ $18\%$ লাভে বিক্রি করলেন। সব মিলিয়ে তার $14\%$ লাভ হলো। $18\%$ লাভে কত কেজি বিক্রি করেছিলেন? [A merchant has 1000 kg of sugar, part of which he sells at 8% profit and the rest at 18% profit. He gains 14% on the whole. The quantity sold at 18% profit is] (হাউজ বিল্ডিং এফসি (OF) ২০১৫ ও ২০১৭, পূবালী ব্যাংক (TAT) ২০১৭)

ক) 400 কেজি     খ) 560 কেজি     গ) 600 কেজি     ঘ) 640 কেজি

সমাধান:

$18\%$ লাভে বিক্রি $x$ কেজি হলে $8\%$ লাভে $(1000-x)$ কেজি।

মোট লাভ: $0.18x+0.08(1000-x) = 0.14 \times 1000$।

$0.10x+80 = 140$, বা $0.10x = 60$, অতএব $x = 600$।

অ্যালিগেশনে: $8\%$ অংশ : $18\%$ অংশ $= (18-14):(14-8) = 4:6 = 2:3$, তাই $18\%$ অংশ $= 1000 \times \frac{3}{5} = 600$ কেজি।

ব্যাখ্যা: যেখানে প্রতি অংশে শতকরা লাভ ভিন্ন, সেখানে লাভের হারের ওপর অ্যালিগেশন চালানো যায়।

উত্তর: (গ) $600$ কেজি

27. একজন ব্যবসায়ীর কাছে $60$ কেজি ডাল আছে, যার একটি অংশ $8\%$ লাভে এবং বাকিটা $14\%$ লাভে বিক্রি হয়। সব মিলিয়ে তার $12\%$ লাভ হয়। $14\%$ লাভে কত কেজি বিক্রি হয়েছে? [A trader has 60 kg of pulses, one part of which is sold at 8% profit and the rest is sold at 14% profit. He gains 12% on whole. What is the quantity sold at 14% profit?]

ক) 20 কেজি     খ) 30 কেজি     গ) 40 কেজি     ঘ) 50 কেজি

সমাধান:

$8\%$ অংশ : $14\%$ অংশ $= (14-12):(12-8) = 2:4 = 1:2$।

$14\%$ লাভের অংশ $= 60 \times \frac{2}{3} = 40$ কেজি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: লাভ $= 0.08 \times 20+0.14 \times 40 = 1.6+5.6 = 7.2 = 12\%$ of $60$।

উত্তর: (গ) $40$ কেজি

28. একটি পূর্ণ পাত্রে হুইস্কিতে $40\%$ অ্যালকোহল আছে। এর কিছু অংশ সরিয়ে $19\%$ অ্যালকোহলযুক্ত হুইস্কি দিয়ে পূর্ণ করা হলো এবং নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহল $26\%$ হলো। কত অংশ হুইস্কি পরিবর্তন করা হয়েছিল? [A jar full of whisky contains 40% alcohol. A part of this whisky is replaced by another containing 19% alcohol and now the percentage of alcohol was found to be 26%. The quantity of whisky replaced is :]

ক) $\frac{1}{3}$     খ) $\frac{2}{3}$     গ) $\frac{2}{5}$     ঘ) $\frac{3}{5}$

সমাধান:

পাত্রে অবশিষ্ট $40\%$ হুইস্কি $x$ ও নতুন যোগ করা $19\%$ হুইস্কি $y$ ধরি। $40x+19y = 26(x+y)$।

$14x = 7y$, অতএব $x:y = 1:2$।

মোট $x+y = 3$ ভাগের মধ্যে নতুন (পরিবর্তিত) অংশ $y = 2$ ভাগ।

পরিবর্তিত অংশ $= \frac{2}{3}$।

ব্যাখ্যা: অ্যালিগেশন: $40$ ও $19$ এর মধ্যে গড় $26$। $40\%$ অংশ : $19\%$ অংশ $= (26-19):(40-26) = 7:14 = 1:2$।

উত্তর: (খ) $\frac{2}{3}$

29. একটি কন্টেইনারে $40$ লিটার দুধ আছে। এখান থেকে $4$ লিটার দুধ তুলে নিয়ে পানি দিয়ে পূর্ণ করা হলো। এই প্রক্রিয়া আরও দুইবার করা হলো। কন্টেইনারে এখন কত লিটার দুধ আছে? [A container contains 40 liters of milk. From this container 4 liters of milk was taken out and replaced by water. This process was repeated further two times. How much milk is now contained by the container?]

ক) 26.34 লিটার     খ) 27.36 লিটার     গ) 28 লিটার     ঘ) 29.16 লিটার

সমাধান:

মোট তিনবার প্রক্রিয়া হয়েছে, তাই $n = 3$।

দুধ $= 40\left(1-\frac{4}{40}\right)^3 = 40 \times \left(\frac{9}{10}\right)^3$।

$= 40 \times \frac{729}{1000} = 29.16$ লিটার।

ব্যাখ্যা: প্রতিবার দুধের পরিমাণ $\frac{9}{10}$ গুণ হয়।

উত্তর: (ঘ) $29.16$ লিটার

30. একটি পূর্ণ মদের পিপা থেকে $8$ লিটার মদ তুলে নিয়ে পানি দিয়ে পূর্ণ করা হলো। এই কাজ আরও তিনবার করা হলো। পিপায় এখন মদ ও পানির অনুপাত $16:65$। পিপায় মূলত কত লিটার মদ ছিল? [8 liters are drawn from a cask full of wine and is then filled with water. This operation is performed three more times. The ratio of the quantity of wine now left in cask to that of the water is 16 : 65. How much wine did the cask hold originally?]

ক) 18 লিটার     খ) 24 লিটার     গ) 32 লিটার     ঘ) 42 লিটার

সমাধান:

মোট চারবার প্রক্রিয়া হয়েছে। মূল পরিমাণ $x$ লিটার ধরি।

অবশিষ্ট মদ $= x\left(1-\frac{8}{x}\right)^4$।

মদ : পানি $= 16:65$ হলে মদ : মোট $= 16:81$, অতএব $\left(1-\frac{8}{x}\right)^4 = \frac{16}{81}$।

$1-\frac{8}{x} = \frac{2}{3}$, বা $\frac{8}{x} = \frac{1}{3}$, অতএব $x = 24$।

ব্যাখ্যা: চার ঘাত সমান হওয়ায় ভিত্তিও সমান: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$।

উত্তর: (খ) $24$ লিটার

31. একটি ক্যানে $50$ লিটার দুধ আছে। এখান থেকে $10$ লিটার দুধ তুলে পানি দিয়ে পূর্ণ করা হলো। এই প্রক্রিয়া আরও দুইবার করা হলো। মিশ্রণে অবশিষ্ট দুধের পরিমাণ কত? [A can contains 50 litres of milk. 10 litres of this milk is taken out and replaced with water. This process is repeated twice. Find the amount of remaining milk in the mixture?]

ক) $\frac{127}{3}$ লিটার     খ) $26\frac{2}{3}$ লিটার     গ) 87 লিটার     ঘ) $\frac{128}{5}$ লিটার

সমাধান:

মোট তিনবার প্রক্রিয়া হয়েছে।

অবশিষ্ট দুধ $= 50\left(1-\frac{10}{50}\right)^3 = 50 \times \left(\frac{4}{5}\right)^3$।

$= 50 \times \frac{64}{125} = \frac{128}{5}$ লিটার $= 25.6$ লিটার।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে প্রথমবারসহ মোট তিনবারের কথা বলা হয়েছে (প্রথমবার ও আরও দুইবার)।

উত্তর: (ঘ) $\frac{128}{5}$ লিটার

32. একটি ক্যানে দুটি তরল A ও B এর মিশ্রণ $7:5$ অনুপাতে আছে। মিশ্রণ থেকে $9$ লিটার তুলে নিয়ে ক্যান B দিয়ে পূর্ণ করার পর A ও B এর অনুপাত $7:9$ হলো। প্রথমে ক্যানে A তরল কত লিটার ছিল? [A can contains a mixture of two liquids A and B in the ratio 7 : 5. When 9 liters of mixture are drawn off and the can is filled with B, the ratio of A and B becomes 7 : 9. How many liters of liquid A was contained by the can initially?] (কম্বাইন্ড ৮ ব্যাংক (SO) ২০১৯ (লিখিত))

ক) 10     খ) 20     গ) 21     ঘ) 25

সমাধান:

শুরুতে A $= 7x$ ও B $= 5x$ লিটার, মোট $12x$।

$9$ লিটারে A $= 9 \times \frac{7}{12} = \frac{21}{4}$ এবং B $= 9 \times \frac{5}{12} = \frac{15}{4}$।

তুলে নেওয়ার পর A $= 7x-\frac{21}{4}$ এবং B $= 5x-\frac{15}{4}+9 = 5x+\frac{21}{4}$ (B দিয়ে পূর্ণ করা হয়েছে)।

অনুপাত: $\frac{28x-21}{20x+21} = \frac{7}{9}$, বা $252x-189 = 140x+147$।

$112x = 336$, অতএব $x = 3$। A $= 7 \times 3 = 21$ লিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: A $= 21-5.25 = 15.75$, B $= 15+5.25 = 20.25$, অনুপাত $15.75:20.25 = 7:9$।

উত্তর: (গ) $21$

33. একটি পাত্রে $3$ ভাগ পানি ও $5$ ভাগ সিরাপ আছে। মিশ্রণের কত অংশ তুলে নিয়ে পানি দিয়ে পূর্ণ করলে নতুন মিশ্রণে অর্ধেক পানি ও অর্ধেক সিরাপ থাকবে? [A vessel is filled with liquid, 3 parts of which are water and 5 parts syrup. How much of the mixture must be drawn off and replaced with water so that the mixture may be half water and half syrup ?]

ক) $\frac{1}{3}$     খ) $\frac{1}{4}$     গ) $\frac{1}{5}$     ঘ) $\frac{1}{7}$

সমাধান:

মোট $8$ লিটার ধরি: পানি $3$, সিরাপ $5$। সিরাপ কমবে কিন্তু বাড়বে না।

শেষে সিরাপ হবে মোটের অর্ধেক $= 4$ লিটার। $5\left(1-f\right) = 4$, যেখানে $f$ হলো তুলে নেওয়া অংশ।

$1-f = \frac{4}{5}$, অতএব $f = \frac{1}{5}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\frac{1}{5}$ অংশ তুললে ($1.6$ লিটার) সিরাপ $5-1.0 = 4$ হয়। পানিও $3-0.6+1.6 = 4$ হয়।

উত্তর: (গ) $\frac{1}{5}$

34. একটি পাত্রে $4$ ভাগ পানি ও $6$ ভাগ দুধ আছে। মিশ্রণের কত অংশ তুলে নিয়ে পানি দিয়ে পূর্ণ করলে মিশ্রণে অর্ধেক দুধ ও অর্ধেক পানি থাকবে? [A container filled with liquid containing 4 parts of water and 6 parts of milk. How much of mixture must be drawn off and filled with water so that the mixture contains half milk and half water.]

ক) $\frac{1}{4}$     খ) $\frac{1}{3}$     গ) $\frac{1}{6}$     ঘ) $\frac{1}{5}$

সমাধান:

মোট $10$ ভাগ: দুধ $6$, পানি $4$। শেষে দুধ হবে $5$ ভাগ।

$6(1-f) = 5$, অতএব $1-f = \frac{5}{6}$ এবং $f = \frac{1}{6}$।

ব্যাখ্যা: শুধু দুধ কমে, তাই দুধের ওপর শর্ত বসানোই সহজ।

উত্তর: (গ) $\frac{1}{6}$

35. একজন দুধ ব্যবসায়ী দুধের সাথে পানি মিশিয়ে মিশ্রণ ক্রয়মূল্যে বিক্রি করে $25\%$ লাভ করেন। মিশ্রণে পানি ও দুধের অনুপাত কত? [A milkman mixed some water with milk to gain 25% by selling the mixture at the cost price. The ratio of water and milk is respectively.]

ক) 5 : 4     খ) 4 : 5     গ) 1 : 5     ঘ) 1 : 4

সমাধান:

ধরি দুধের দাম $100$ টাকা। মিশ্রণ ক্রয়মূল্যে ($100$ টাকার সমান দামে) বিক্রি করে $25\%$ লাভ হলে মিশ্রণের বিক্রয়মূল্য $125$ টাকা।

$125$ টাকার মিশ্রণে দুধ $100$ টাকার এবং পানি $25$ টাকার সমান অংশ।

পানি : দুধ $= 25:100 = 1:4$।

ব্যাখ্যা: পানির আলাদা দাম নেই, তাই অংশগুলোর অনুপাতই পরিমাণের অনুপাত।

উত্তর: (ঘ) $1 : 4$

36. একটি $20$ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত $3:1$। কত লিটার দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত $4:1$ হবে? [20 liters of a mixture contains milk and water in the ratio 3: 1. Then the amount of milk to be added to the mixture so as to have milk and water in ratio 4: 1 is]

ক) 7 লিটার     খ) 4 লিটার     গ) 5 লিটার     ঘ) 6 লিটার

সমাধান:

দুধ $= 20 \times \frac{3}{4} = 15$ লিটার এবং পানি $= 5$ লিটার।

$x$ লিটার দুধ মেশালে $\frac{15+x}{5} = \frac{4}{1}$।

$15+x = 20$, অতএব $x = 5$ লিটার।

ব্যাখ্যা: পানির পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকে, তাই পানির ওপর ভিত্তি করে হিসাব করা সহজ।

উত্তর: (গ) $5$ লিটার

37. একটি পাত্রে আঙুর, আনারস ও কলার রস $4:6:5$ অনুপাতে মিশ্রিত। এখান থেকে $15$ লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে $8$ লিটার আঙুরের রস ও $2$ লিটার আনারসের রস মেশানো হলো। ফলে আঙুরের রস আনারসের রসের চেয়ে $10$ লিটার কম হলো। শুরুতে পাত্রে মোট মিশ্রণ কত লিটার ছিল? [A vessel contains a mixture of Grape, Pineapple and Banana juices in the respective ratio of 4 : 6 : 5. 15 liters of this mixture is taken out and 8 liters of grape juice and 2 liters of pineapple juice is added to the vessel. If the resultant quantity of grape juice is 10 liters less than the resultant quantity of pineapple juice. What was the initial quantity of mixture in the vessel? (in liters)]

ক) 120     খ) 150     গ) 105     ঘ) 135

সমাধান:

শুরুতে আঙুর $4x$, আনারস $6x$, কলা $5x$, মোট $15x$ লিটার।

যেহেতু অনুপাতের যোগফল $15$ এবং তুলে নেওয়া হয়েছে $15$ লিটার, তাই তুলে নেওয়া অংশে আঙুর $4$, আনারস $6$, কলা $5$ লিটার।

নতুন আঙুর $= 4x-4+8 = 4x+4$ এবং নতুন আনারস $= 6x-6+2 = 6x-4$।

$(6x-4)-(4x+4) = 10$, বা $2x = 18$, অতএব $x = 9$।

শুরুতে মোট $= 15x = 135$ লিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: আঙুর $36$, আনারস $54$ থেকে নতুন আঙুর $40$ ও আনারস $50$। পার্থক্য $10$।

উত্তর: (ঘ) $135$

38. একটি পাত্রে আপেল, কমলা ও আমের রস $3:5:4$ অনুপাতে আছে। মিশ্রণ থেকে $12$ লিটার তুলে নিয়ে $8$ লিটার আপেলের রস মেশানো হলো। এরপর আপেল ও কমলার রসের পরিমাণ সমান হলো। শুরুতে পাত্রে মোট মিশ্রণ কত ছিল? [In a vessel there is a mixture of apple, orange and mango juices in ratio 3:5:4. A quantity of 12 litre from the mixture is replaced with 8 litre of apple juice. Thereafter the quantities of apple and orange juices in the resultant mixture became same. Find out the initial quantity of mixture in the vessel?]

সমাধান:

শুরুতে আপেল $3x$, কমলা $5x$, আম $4x$, মোট $12x$ লিটার।

$12$ লিটারে আপেল $= 12 \times \frac{3}{12} = 3$ এবং কমলা $= 12 \times \frac{5}{12} = 5$ লিটার।

নতুন আপেল $= 3x-3+8 = 3x+5$ এবং নতুন কমলা $= 5x-5$।

$3x+5 = 5x-5$, বা $2x = 10$, অতএব $x = 5$।

শুরুতে মোট $= 12x = 60$ লিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: শুরুতে আপেল $15$, কমলা $25$। নতুন আপেল $20$ ও কমলা $20$।

উত্তর: $60$ লিটার

39. একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত $4:3$। মিশ্রণে $6$ লিটার পানি মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত $8:7$ হয়। মিশ্রণে শুরুতে দুধ কত লিটার ছিল? [The respective ratio of milk and water in the mixture is 4 : 3 respectively. If 6 Liters of water is added to this mixture, the respective ratio of milk and water becomes 8 : 7. What is the quantity of milk in the original mixture?]

ক) 36 লিটার     খ) 84 লিটার     গ) 48 লিটার     ঘ) None

সমাধান:

শুরুতে দুধ $4x$ ও পানি $3x$ লিটার ধরি।

$\frac{4x}{3x+6} = \frac{8}{7}$, বা $28x = 24x+48$।

$4x = 48$, অতএব দুধ $= 48$ লিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 12$ হলে দুধ $48$, পানি $36$; $6$ লিটার পানি মেশালে পানি $42$ এবং $48:42 = 8:7$।

উত্তর: (গ) $48$ লিটার

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় (ঘ) None দেওয়া আছে, কিন্তু $48$ লিটার (গ) অপশনেই আছে, তাই সঠিক উত্তর (গ)।

40. টাইপ A চন্দন গুঁড়া (প্রতি কেজি $614$ টাকা) $35$ কেজির সাথে টাইপ B চন্দন গুঁড়া (প্রতি কেজি $695$ টাকা) কিছু পরিমাণ মেশানো হলো। মিশ্রণ প্রতি কেজি $767$ টাকায় বিক্রি করলে $18\%$ লাভ হয়। মিশ্রণে টাইপ B কত কেজি ছিল? [35 kg of type A sandal powder, which costs Tk. 614 per kg, was mixed with a certain amount of type B sandal powder, which costs Tk. 695 per kg, then the mixture was sold at the rate of Tk. 767 per kg and 18% profit was earned. What was the amount (in kg) of type B sandal powder in the mixture?]

ক) 24     খ) 28     গ) 32     ঘ) 36

সমাধান:

মিশ্রণের ক্রয়মূল্য প্রতি কেজি $= \frac{767 \times 100}{118} = 650$ টাকা।

A ($614$) : B ($695$) $= (695-650):(650-614) = 45:36 = 5:4$।

$35$ কেজি A এর জন্য B $= 35 \times \frac{4}{5} = 28$ কেজি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: মোট ক্রয় $= 35 \times 614+28 \times 695 = 21490+19460 = 40950$ এবং $63 \times 650 = 40950$।

উত্তর: (খ) $28$

41. $30$ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত $7:3$। কত লিটার পানি মেশালে মিশ্রণে পানি $40\%$ হবে? [How many liters of water should be added to a 30 liter mixture of milk and water containing milk and water in the ratio of 7 : 3 such that the resultant mixture has 40% water in it?]

ক) 5     খ) 2     গ) 3     ঘ) 8

সমাধান:

পানি $= 30 \times \frac{3}{10} = 9$ লিটার এবং দুধ $= 21$ লিটার।

দুধ হবে নতুন মিশ্রণের $60\%$। অতএব নতুন মোট $= 21 \times \frac{100}{60} = 35$ লিটার।

যোগ করা পানি $= 35-30 = 5$ লিটার।

ব্যাখ্যা: বীজগণিতে: $9+x = 0.4(30+x)$ থেকে $x = 5$।

উত্তর: (ক) $5$

42. প্রতিটি $20$ লিটার ধারণক্ষমতার তিনটি পাত্র দুধ ও পানির মিশ্রণে পূর্ণ। দুধ ও পানির অনুপাত যথাক্রমে $2:3$, $3:4$ ও $4:5$। তিনটি পাত্রের মিশ্রণ চতুর্থ একটি পাত্রে ঢালা হলে চূড়ান্ত মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত কত? [There are three vessels each of 20 litre capacity is filled with the mixture of milk and water. The ratio of milk and water are 2:3, 3:4 and 4:5 respectively. All the vessels are emptied into fourth vessel, then find the ratio of milk and water in the final mixture.]

ক) $401:543$     খ) $401:544$     গ) $401:545$     ঘ) None of these

সমাধান:

প্রতি পাত্র সমান আয়তনের, তাই প্রতি লিটারের ভগ্নাংশ যোগ করলেই চলবে।

মোট দুধ $\propto \frac{2}{5}+\frac{3}{7}+\frac{4}{9} = \frac{126+135+140}{315} = \frac{401}{315}$।

মোট পানি $\propto \frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9} = \frac{189+180+175}{315} = \frac{544}{315}$।

অনুপাত $= 401:544$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: দুধ + পানি $= \frac{945}{315} = 3$ হলো, যা তিনটি সমান আয়তনের সঙ্গে মেলে।

উত্তর: (খ) $401:544$

43. দুটি সংকর ধাতুতে তামা ও দস্তার অনুপাত যথাক্রমে $1:3$ ও $4:1$। প্রথম সংকর ধাতুর $20$ কেজি, দ্বিতীয়টির $35$ কেজি এবং কিছু পরিমাণ খাঁটি দস্তা একসাথে গলানো হলো। চূড়ান্ত সংকর ধাতুতে তামা ও দস্তার অনুপাত $5:4$। কত কেজি খাঁটি দস্তা গলানো হয়েছে? [In two alloys copper and zinc are in the ratio of 1:3 and 4:1 respectively. 20 kg of first alloy and 35 kg of second alloy and some quantity of pure zinc is melted together. The final alloy has copper and zinc in the ratio of 5:4. Find the amount of pure zinc melted.]

ক) 4.2     খ) 4.4     গ) 4.8     ঘ) 4.6

সমাধান:

১ম সংকরে তামা $= 20 \times \frac{1}{4} = 5$ ও দস্তা $= 15$ কেজি।

২য় সংকরে তামা $= 35 \times \frac{4}{5} = 28$ ও দস্তা $= 7$ কেজি।

মোট তামা $= 33$ কেজি এবং মোট দস্তা $= 22+x$, যেখানে $x$ হলো খাঁটি দস্তা।

$\frac{33}{22+x} = \frac{5}{4}$, বা $132 = 110+5x$, অতএব $x = 4.4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: দস্তা $= 26.4$ এবং $33:26.4 = 5:4$।

উত্তর: (খ) $4.4$ কেজি