Problems on Train Math Solutions for Bank Jobs: Part 4 (Q71-93)

দুই ট্রেন দুই প্রান্ত থেকে যাত্রা করে সাক্ষাতের পর যথাক্রমে $p$ ও $q$ ঘণ্টায় গন্তব্যে পৌঁছালে তাদের বেগের অনুপাত $= \sqrt{q} : \sqrt{p}$।

একই দিকে যাত্রা করলে আপেক্ষিক বেগ বিয়োগ হয়, বিপরীত দিকে হলে যোগ হয়।

দুই ট্রেন একে অপরের দিকে গেলে সাক্ষাতের সময় দূরত্বের পার্থক্য থাকলে বেগের পার্থক্য দিয়ে সময় বের করা যায়।

প্রশ্ন ও সমাধান

71. নির্দিষ্ট বেগে চলা একটি ট্রেন $90$ মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম $12$ সেকেন্ডে এবং $120$ মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম $15$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও বেগ কত? [A train travelling with constant speed crosses a 90 m long platform in 12 seconds and a 120 m long platform in 15 seconds. Find the length of the train and its speed.]

সমাধান:

ট্রেনের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ধরি। বেগ সমান, তাই $\frac{x+90}{12} = \frac{x+120}{15}$।

$5(x+90) = 4(x+120)$, বা $5x+450 = 4x+480$, অতএব $x = 30$ মিটার।

বেগ $= \frac{30+90}{12} = 10$ মিটার/সেকেন্ড $= 10 \times \frac{18}{5} = 36$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: $15-12 = 3$ সেকেন্ডে $120-90 = 30$ মিটার যায়, তাই বেগ $10$ মিটার/সেকেন্ড। এরপর $12$ সেকেন্ডে $120$ মিটার, তাই ট্রেনের দৈর্ঘ্য $120-90 = 30$ মিটার।

উত্তর: ট্রেনের দৈর্ঘ্য $30$ মিটার এবং বেগ $36$ কিমি/ঘণ্টা

72. নির্দিষ্ট বেগে চলা একটি ট্রেন $96$ মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম $12$ সেকেন্ডে এবং $141$ মিটার লম্বা আরেকটি প্ল্যাটফর্ম $15$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ও বেগ কত? [A train travelling with a constant speed crosses 96 metre long platform in 12 seconds and another 141-metre long platform in 15 seconds. The length of the train and its speed are]

ক) 84 মিটার এবং 54 কিমি/ঘণ্টা     খ) 64 মিটার এবং 44 কিমি/ঘণ্টা     গ) 64 মিটার এবং 54 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 84 মিটার এবং 60 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

ট্রেনের দৈর্ঘ্য $x$ ধরি। $\frac{x+96}{12} = \frac{x+141}{15}$, বা $5(x+96) = 4(x+141)$।

$5x+480 = 4x+564$, অতএব $x = 84$ মিটার।

বেগ $= \frac{84+96}{12} = 15$ মিটার/সেকেন্ড $= 15 \times \frac{18}{5} = 54$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: $15-12 = 3$ সেকেন্ডে $141-96 = 45$ মিটার যায়, তাই বেগ $15$ মিটার/সেকেন্ড।

উত্তর: (ক) $84$ মিটার এবং $54$ কিমি/ঘণ্টা

73. রেললাইনের পাশে প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো একজন লোক লক্ষ্য করল একটি ট্রেন $84$ মিটার লম্বা প্ল্যাটফর্মকে $21$ সেকেন্ডে এবং তাকে $9$ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনের বেগ ঘণ্টায় কত কিমি? [A person standing on a railway platform noticed that a train took 21 seconds to completely pass through the platform which was 84 m long and it took 9 seconds in passing him. Find the speed of the train in km/hr.]

সমাধান:

ট্রেনের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ধরি। বেগ সমান, তাই $\frac{x}{9} = \frac{x+84}{21}$।

$21x = 9x+756$, বা $12x = 756$, অতএব $x = 63$ মিটার।

বেগ $= \frac{63}{9} = 7$ মিটার/সেকেন্ড $= 7 \times \frac{18}{5} = 25.2$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: মানুষকে অতিক্রম করতে ট্রেন শুধু নিজের দৈর্ঘ্যই যায়।

উত্তর: ট্রেনের বেগ $25.2$ কিমি/ঘণ্টা

74. প্রতি সেকেন্ডে $15$ মিটার বেগের একটি ট্রেন একই দিকে চলা একজন সাইকেল আরোহীকে $20$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। সাইকেল আরোহী যদি বিপরীত দিক থেকে প্রতি সেকেন্ডে $5$ মিটার বেগে আসে এবং সাইকেলের দৈর্ঘ্য $1$ মিটার হয়, তবে ট্রেনটি তাকে কত সময়ে অতিক্রম করবে? [A train moving at 15 m/sec takes 20 seconds to pass a cyclist moving in the same direction as that of the train. How much time will the train need to pass the cyclist, if the cyclist moves in a direction opposite to that of the train and if the speed of the cyclist is 5 m/sec and the length of the cycle is 1 m?]

ক) 9.95 সেকেন্ড     খ) 10 সেকেন্ড     গ) 10.05 সেকেন্ড     ঘ) 12 সেকেন্ড

সমাধান:

একই দিকে আপেক্ষিক বেগ $= 15-5 = 10$ মিটার/সেকেন্ড। $20$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 10 \times 20 = 200$ মিটার (ট্রেন $+$ সাইকেলের দৈর্ঘ্য)।

বিপরীত দিকে আপেক্ষিক বেগ $= 15+5 = 20$ মিটার/সেকেন্ড।

একই মোট দূরত্ব $200$ মিটার অতিক্রম করতে সময় $= \frac{200}{20} = 10$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: দুই ক্ষেত্রেই মোট দূরত্ব (ট্রেন $+$ সাইকেল) সমান, তাই আলাদা করে ট্রেনের দৈর্ঘ্য বের করার দরকার নেই।

উত্তর: (খ) $10$ সেকেন্ড

75. প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো একজন লোক লক্ষ্য করল একটি ট্রেন তাকে $3$ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। বিপরীত দিক থেকে আসা সমান দৈর্ঘ্যের আরেকটি ট্রেন তাকে $4$ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেন দুটি একে অপরকে কত সময়ে অতিক্রম করবে? [A man standing on a platform finds that a train takes 3 seconds to pass him and another train of the same length moving in the opposite direction takes 4 seconds. The time taken by the trains to pass each other will be]

ক) $2\frac{3}{7}$ সেকেন্ড     খ) $3\frac{3}{7}$ সেকেন্ড     গ) $4\frac{3}{7}$ সেকেন্ড     ঘ) $5\frac{3}{7}$ সেকেন্ড

সমাধান:

প্রতিটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ধরি। প্রথম ট্রেনের বেগ $\frac{x}{3}$ এবং দ্বিতীয়টির বেগ $\frac{x}{4}$ মিটার/সেকেন্ড।

আপেক্ষিক বেগ $= \frac{x}{3}+\frac{x}{4} = \frac{7x}{12}$।

মোট দূরত্ব $= 2x$। সময় $= 2x \times \frac{12}{7x} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: $x$ কেটে যাওয়ায় দৈর্ঘ্য না জেনেও উত্তর পাওয়া যায়।

উত্তর: (খ) $3\frac{3}{7}$ সেকেন্ড

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে অপশনের ভগ্নাংশগুলো পরিষ্কার ছাপা হয়নি। উত্তরমালা (খ) এবং আমাদের পাওয়া $\frac{24}{7}$ মিলছে।

76. ঘণ্টায় $48$ কিমি বেগের একটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে ঘণ্টায় $42$ কিমি বেগে আসা এবং নিজের অর্ধেক দৈর্ঘ্যের আরেকটি ট্রেনকে $12$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। প্রথম ট্রেনটি একটি প্ল্যাটফর্ম $45$ সেকেন্ডে অতিক্রম করলে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত? [A train travelling at 48 kmph completely crosses another train having half its length and travelling in opposite direction at 42 kmph, in 12 seconds. It also passes a railway platform in 45 seconds. The length of the platform is]

ক) 400 মিটার     খ) 450 মিটার     গ) 560 মিটার     ঘ) 600 মিটার

সমাধান:

প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য $2x$ এবং দ্বিতীয়টির দৈর্ঘ্য $x$ ধরি।

আপেক্ষিক বেগ $= 48+42 = 90$ কিমি/ঘণ্টা $= 25$ মিটার/সেকেন্ড। $\frac{3x}{25} = 12$, অতএব $x = 100$।

প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য $= 200$ মিটার।

প্রথম ট্রেনের বেগ $= 48 \times \frac{5}{18} = \frac{40}{3}$ মিটার/সেকেন্ড। $45$ সেকেন্ডে দূরত্ব $= \frac{40}{3} \times 45 = 600$ মিটার।

প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য $= 600-200 = 400$ মিটার।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: মোট দূরত্ব $25 \times 12 = 300$ মিটার। দৈর্ঘ্যের অনুপাত $2:1$ হওয়ায় প্রথম ট্রেন $= 300 \times \frac{2}{3} = 200$ মিটার।

উত্তর: (ক) $400$ মিটার

77. বিপরীত দিক থেকে আসা দুটি ট্রেন প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো একজন লোককে যথাক্রমে $27$ সেকেন্ড ও $17$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে এবং ট্রেন দুটি একে অপরকে $23$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। তাদের বেগের অনুপাত কত? [Two trains running in opposite directions cross a man standing on the platform in 27 seconds and 17 seconds respectively and they cross each other in 23 seconds. The ratio of their speeds is]

ক) 1 : 3     খ) 3 : 2     গ) 3 : 4     ঘ) এর কোনোটিই নয়

সমাধান:

ট্রেন দুটির বেগ $x$ ও $y$ মিটার/সেকেন্ড ধরি। প্রথমটির দৈর্ঘ্য $27x$ এবং দ্বিতীয়টির দৈর্ঘ্য $17y$।

একে অপরকে অতিক্রমের সময় $\frac{27x+17y}{x+y} = 23$।

$27x+17y = 23x+23y$, বা $4x = 6y$, অতএব $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$।

ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্য $=$ বেগ $\times$ সময়, এটা কাজে লাগিয়ে সমীকরণ বানানো হয়েছে।

উত্তর: (খ) $3 : 2$

78. $130$ মিটার ও $110$ মিটার লম্বা দুটি ট্রেন একই দিকে চলছে। দ্রুতগতির ট্রেনটি অপরটিকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে $1$ মিনিট নেয়। বিপরীত দিকে চললে তারা একে অপরকে $3$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। দ্রুতগতির ট্রেনের বেগ কত? [Two trains, 130 and 110 metres long, are going in the same direction. The faster train takes one minute to pass the other completely. If they are moving in opposite directions, they pass each other completely in 3 seconds. Find the speed of the faster train.]

ক) 45 মিটার/সেকেন্ড     খ) 42 মিটার/সেকেন্ড     গ) 46 মিটার/সেকেন্ড     ঘ) 50 মিটার/সেকেন্ড

সমাধান:

দ্রুত ও ধীর ট্রেনের বেগ $x$ ও $y$ মিটার/সেকেন্ড ধরি। মোট দূরত্ব $= 130+110 = 240$ মিটার।

একই দিকে: $\frac{240}{x-y} = 60$, অতএব $x-y = 4$।

বিপরীত দিকে: $\frac{240}{x+y} = 3$, অতএব $x+y = 80$।

যোগ করে $2x = 84$, অতএব $x = 42$ মিটার/সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: বিয়োগ করলে $y = 38$ মিটার/সেকেন্ড পাওয়া যায়, তাই দ্রুত ট্রেনের বেগ $42$।

উত্তর: (খ) $42$ মিটার/সেকেন্ড

79. একটি ট্রেন একই দিকে প্রতি সেকেন্ডে $a$ মিটার ও $(a+1)$ মিটার বেগে হাঁটা দুজন লোককে যথাক্রমে $b$ সেকেন্ড ও $(b+1)$ সেকেন্ডে সম্পূর্ণ অতিক্রম করে। ট্রেনটির বেগ কত? [What is the speed of a train if it overtakes two persons who are walking in the same direction at the rate of a m/s and (a + 1) m/s and passes them completely in b seconds and (b + 1) seconds respectively?]

ক) $(a+b)$ মিটার/সেকেন্ড     খ) $(a+b+1)$ মিটার/সেকেন্ড     গ) $(2a+1)$ মিটার/সেকেন্ড     ঘ) $(2a^2+1)$ মিটার/সেকেন্ড

সমাধান:

ট্রেনের দৈর্ঘ্য $x$ এবং বেগ $y$ মিটার/সেকেন্ড ধরি।

$x = b(y-a)$ এবং $x = (b+1)(y-a-1)$।

সমান করে $by-ab = by-ab-b+y-a-1$।

সরল করে $y = a+b+1$।

ব্যাখ্যা: দুই ক্ষেত্রেই দূরত্ব অর্থাৎ ট্রেনের দৈর্ঘ্য সমান।

উত্তর: (খ) $(a+b+1)$ মিটার/সেকেন্ড

80. ঘণ্টায় $63$ কিমি বেগের ট্রেন A একটি $199.5$ মিটার লম্বা প্ল্যাটফর্ম $21$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ঘণ্টায় $54$ কিমি বেগে বিপরীত দিক থেকে আসা $157$ মিটার লম্বা ট্রেন B কে A কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে? [Train A travelling at 63 kmph can cross a 199.5 m long platform in 21 seconds. How much time would train A take to completely cross (from the moment they meet) train B, 157 m long and travelling at 54 kmph in opposite direction? (in seconds)]

ক) 16     খ) 18     গ) 12     ঘ) 10

সমাধান:

A এর বেগ $= 63 \times \frac{5}{18} = 17.5$ মিটার/সেকেন্ড এবং B এর বেগ $= 54 \times \frac{5}{18} = 15$ মিটার/সেকেন্ড।

$21$ সেকেন্ডে দূরত্ব $= 17.5 \times 21 = 367.5$ মিটার, তাই A এর দৈর্ঘ্য $= 367.5-199.5 = 168$ মিটার।

মোট দূরত্ব $= 168+157 = 325$ মিটার এবং আপেক্ষিক বেগ $= 17.5+15 = 32.5$ মিটার/সেকেন্ড।

সময় $= \frac{325}{32.5} = 10$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: প্ল্যাটফর্মের তথ্য থেকে ট্রেনের দৈর্ঘ্য বের করে তারপর দুই ট্রেনের অতিক্রম বের করা হয়েছে।

উত্তর: (ঘ) $10$ সেকেন্ড

81. সমান গতির দুটি অভিন্ন ট্রেন A ও B বিপরীত দিক থেকে এসে একে অপরকে $2$ মিনিটে অতিক্রম করে। ট্রেন A এর বগির সংখ্যা $12$ থেকে বাড়িয়ে $16$ করা হলো। এখন একে অপরকে অতিক্রম করতে কত বেশি সময় লাগবে? [Two identical trains A and B running in opposite directions at same speed take 2 minutes to cross each other completely. The number of bogies of A are increased from 12 to 16. How much more time would they now require to cross each other?]

ক) 20 সেকেন্ড     খ) 40 সেকেন্ড     গ) 50 সেকেন্ড     ঘ) 60 সেকেন্ড

সমাধান:

প্রতিটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং বেগ $y$ মিটার/সেকেন্ড ধরি। $\frac{2x}{2y} = 120$, অতএব $\frac{x}{y} = 120$।

$12$ বগির দৈর্ঘ্য $x$ হলে $16$ বগির দৈর্ঘ্য $= \frac{16}{12}x = \frac{4x}{3}$।

নতুন সময় $= \frac{x+\frac{4x}{3}}{2y} = \frac{7x}{6y} = \frac{7}{6} \times 120 = 140$ সেকেন্ড।

অতিরিক্ত সময় $= 140-120 = 20$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: বগির সংখ্যার অনুপাতেই ট্রেনের দৈর্ঘ্য বাড়ে।

উত্তর: (ক) $20$ সেকেন্ড

82. একটি ট্রেন রেললাইনের পাশে ঘণ্টায় $4.5$ কিমি ও $5.4$ কিমি বেগে একই দিকে হাঁটা দুজন লোককে যথাক্রমে $8.4$ সেকেন্ড ও $8.5$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনের বেগ কত? [A train overtakes two persons walking along a railway track. The first one walks at 4.5 km/hr. The other one walks at 5.4 km/hr. The train needs 8.4 and 8.5 seconds respectively to overtake them. What is the speed of the train if both the persons are walking in the same direction as the train?]

ক) 66 কিমি/ঘণ্টা     খ) 72 কিমি/ঘণ্টা     গ) 78 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 81 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

প্রথম লোকের বেগ $= 4.5 \times \frac{5}{18} = 1.25$ এবং দ্বিতীয়ের বেগ $= 5.4 \times \frac{5}{18} = 1.5$ মিটার/সেকেন্ড।

ট্রেনের বেগ $x$ মিটার/সেকেন্ড ধরি। দূরত্ব (ট্রেনের দৈর্ঘ্য) সমান, তাই $(x-1.25) \times 8.4 = (x-1.5) \times 8.5$।

$8.4x-10.5 = 8.5x-12.75$, বা $0.1x = 2.25$, অতএব $x = 22.5$ মিটার/সেকেন্ড।

কিমি/ঘণ্টায় $= 22.5 \times \frac{18}{5} = 81$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: আপেক্ষিক বেগ $\times$ সময় $=$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য, যা দুই ক্ষেত্রেই সমান।

উত্তর: (ঘ) $81$ কিমি/ঘণ্টা

83. একটি ট্রেন একই দিকে ঘণ্টায় $2$ কিমি ও $4$ কিমি বেগে হাঁটা দুজন লোককে যথাক্রমে $9$ সেকেন্ড ও $10$ সেকেন্ডে সম্পূর্ণ অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত? [A train overtakes two persons who are walking in the same direction in which the train is going, at the rate of 2 kmph and 4 kmph and passes them completely in 9 and 10 seconds respectively. The length of the train is]

ক) 45 মিটার     খ) 50 মিটার     গ) 54 মিটার     ঘ) 72 মিটার

সমাধান:

লোক দুজনের বেগ $= 2 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{9}$ এবং $4 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{9}$ মিটার/সেকেন্ড।

ট্রেনের বেগ $x$ হলে $\left(x-\frac{5}{9}\right) \times 9 = \left(x-\frac{10}{9}\right) \times 10$।

$9x-5 = 10x-\frac{100}{9}$, বা $x = \frac{100}{9}-5 = \frac{55}{9}$ মিটার/সেকেন্ড।

দৈর্ঘ্য $= \left(\frac{55}{9}-\frac{5}{9}\right) \times 9 = 50$ মিটার।

ব্যাখ্যা: আগের অঙ্কের মতোই দুই ক্ষেত্রে দূরত্ব সমান ধরা হয়েছে।

উত্তর: (খ) $50$ মিটার

84. A ও B স্থান থেকে দুটি ট্রেন একই সময়ে ঘণ্টায় $75$ কিমি ও $50$ কিমি বেগে একে অপরের দিকে রওনা দেয়। মাঝপথে দেখা হলে দেখা গেল একটি ট্রেন অপরটির চেয়ে $175$ কিমি বেশি পথ গেছে। A ও B এর দূরত্ব কত? [Two trains start at the same time from A and B and proceed toward each other at the speed of 75 km/hr and 50 km/hr respectively. When both meet at a point in between, one train was found to have travelled 175 km more than the other. Find the distance between A and B.]

ক) 875 কিমি     খ) 785 কিমি     গ) 758 কিমি     ঘ) 857 কিমি

সমাধান:

সাক্ষাতের সময় $x$ ঘণ্টা ধরি। A ট্রেন যায় $75x$ এবং B ট্রেন যায় $50x$ কিমি।

$75x-50x = 175$, বা $25x = 175$, অতএব $x = 7$ ঘণ্টা।

দূরত্ব $= 75x+50x = 125 \times 7 = 875$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: বেগের পার্থক্য $25$ হলে পথের পার্থক্য $175$ এবং বেগের যোগফল $125$ হলে মোট দূরত্ব $\frac{125 \times 175}{25} = 875$।

উত্তর: (ক) $875$ কিমি

85. ঢাকা ও চট্টগ্রাম থেকে দুটি ট্রেন একই সময়ে ঘণ্টায় $16$ কিমি ও $21$ কিমি বেগে একে অপরের দিকে রওনা দেয়। দেখা হলে একটি ট্রেন অপরটির চেয়ে $60$ কিমি বেশি পথ অতিক্রম করেছে। ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব কত? [Two trains, one from Dhaka and another from Chittagong simultaneously started proceed towards each other at the speed of 16 km and 21 km per hour respectively. As the trains met each other it was found that one train travelled 60 km more than the other. Calculate the distance between Dhaka to Chittagong.] (অগ্রণী ব্যাংক (SO) ২০১৭ (লিখিত))

ক) 440 কিমি     খ) 444 কিমি     গ) 445 কিমি     ঘ) 450 কিমি

সমাধান:

সাক্ষাতের সময় $x$ ঘণ্টা ধরি। পথ হবে $16x$ ও $21x$ কিমি।

$21x-16x = 60$, বা $5x = 60$, অতএব $x = 12$ ঘণ্টা।

মোট দূরত্ব $= (16+21) \times 12 = 37 \times 12 = 444$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: প্রতি ঘণ্টায় পার্থক্য $5$ কিমি এবং মোট দূরত্ব $37$ কিমি। পার্থক্য $60$ হলে $\frac{37 \times 60}{5} = 444$।

উত্তর: (খ) $444$ কিমি

86. A ও B দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব $110$ কিমি। একটি ট্রেন সকাল $7$ টায় A থেকে ঘণ্টায় $20$ কিমি বেগে B এর দিকে রওনা দেয়। আরেকটি ট্রেন সকাল $8$ টায় B থেকে ঘণ্টায় $25$ কিমি বেগে A এর দিকে রওনা দেয়। তারা কখন একে অপরের সাথে মিলিত হবে? [Two stations A and B are 110 km apart on a straight line. One train starts from A at 7 a.m. and travels towards B at 20 kmph. Another train starts from B at 8 a.m. and travels towards A at a speed of 25 kmph. At what time will they meet?]

ক) সকাল 9 টা     খ) সকাল 10 টা     গ) সকাল 10:30 টা     ঘ) সকাল 11 টা

সমাধান:

সকাল $7$ টা থেকে $x$ ঘণ্টা পরে তারা মিলিত হয় ধরি। A যায় $20x$ কিমি এবং B যায় $25(x-1)$ কিমি।

$20x+25(x-1) = 110$, বা $45x = 135$, অতএব $x = 3$ ঘণ্টা।

$7+3 = 10$ অর্থাৎ সকাল $10$ টায় মিলিত হবে।

ব্যাখ্যা: মুখে মুখে: $8$ টার সময় A গেছে $20$ কিমি, বাকি $90$ কিমি। দুই ট্রেন মিলে $90 \div 45 = 2$ ঘণ্টা, তাই $8+2 = 10$ টা।

উত্তর: (খ) সকাল $10$ টা

87. একটি ট্রেন গড়ে ঘণ্টায় $40$ কিমি বেগে চললে সময়মতো গন্তব্যে পৌঁছায়। গড় বেগ কমে ঘণ্টায় $35$ কিমি হলে গন্তব্যে পৌঁছাতে $15$ মিনিট দেরি হয়। ট্রেনটি কত দূরত্ব অতিক্রম করে? [A train which is moving at an average speed of 40 km/h reaches its destination on time. When its average speed reduces to 35 km/h, then it reaches its destination 15 minutes late. The distance travelled by the train is]

ক) 70 কিমি     খ) 80 কিমি     গ) 40 কিমি     ঘ) 30 কিমি

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। $\frac{x}{35}-\frac{x}{40} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$।

$\frac{8x-7x}{280} = \frac{1}{4}$, বা $x = 70$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: বেগ $35$ ও $40$ এর ল.সা.গু. $280$ কিমি ধরলে সময়ের পার্থক্য $8-7 = 1$ ঘণ্টা। কিন্তু আসল পার্থক্য $\frac{1}{4}$ ঘণ্টা, তাই দূরত্ব $\frac{280}{4} = 70$ কিমি।

উত্তর: (ক) $70$ কিমি

88. $350$ কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে দুটি ট্রেনের সময়ের পার্থক্য $2$ ঘণ্টা $20$ মিনিট। তাদের বেগের পার্থক্য ঘণ্টায় $5$ কিমি হলে দ্রুতগতির ট্রেনের বেগ কত? [The difference between the time taken by two trains to travel a distance of 350 km is 2 hours 20 minutes. If the difference between their speeds is 5 km/hr, what is the speed of faster train?]

ক) 36 কিমি/ঘণ্টা     খ) 30 কিমি/ঘণ্টা     গ) 34 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 40 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

দ্রুত ট্রেনের বেগ $x$ হলে ধীর ট্রেনের বেগ $x-5$।

$\frac{350}{x-5}-\frac{350}{x} = 2\frac{20}{60} = \frac{7}{3}$।

$\frac{350 \times 5}{x(x-5)} = \frac{7}{3}$, বা $x(x-5) = 750$।

$x^2-5x-750 = 0$, বা $(x-30)(x+25) = 0$। অতএব $x = 30$ (ঋণাত্মক মান বাদ)।

যাচাই: $\frac{350}{25}-\frac{350}{30} = 14-11\frac{2}{3} = 2\frac{1}{3}$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: সময়ের পার্থক্য থেকে দ্বিঘাত সমীকরণ বানিয়ে ধনাত্মক মূল নেওয়া হয়েছে।

উত্তর: (খ) $30$ কিমি/ঘণ্টা

89. ট্রেন X মীরাট থেকে বিকাল $4$ টায় রওনা দিয়ে গাজিয়াবাদে বিকাল $5$ টায় পৌঁছায়। ট্রেন Y গাজিয়াবাদ থেকে বিকাল $4$ টায় রওনা দিয়ে মীরাটে বিকাল $5.30$ টায় পৌঁছায়। ট্রেন দুটি কখন মুখোমুখি হবে? [A train X starts from Meerut at 4 p.m. and reaches Ghaziabad at 5 p.m. while another train Y starts from Ghaziabad at 4 p.m. and reaches Meerut at 5.30 p.m. The two trains will cross each other at]

ক) বিকাল 4:36     খ) বিকাল 4:42     গ) বিকাল 4:48     ঘ) বিকাল 4:50

সমাধান:

মীরাট ও গাজিয়াবাদের দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। X এর বেগ $= x$ কিমি/ঘণ্টা এবং Y এর বেগ $= \frac{x}{1.5} = \frac{2x}{3}$ কিমি/ঘণ্টা।

$4$ টার $y$ ঘণ্টা পরে দেখা হয় ধরি। $xy+\frac{2x}{3}y = x$।

$y\left(1+\frac{2}{3}\right) = 1$, বা $y \times \frac{5}{3} = 1$, অতএব $y = \frac{3}{5}$ ঘণ্টা $= 36$ মিনিট।

অর্থাৎ বিকাল $4:36$ এ দেখা হবে।

ব্যাখ্যা: দুই ট্রেনের মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $x$ এর সমান হলেই তারা মুখোমুখি হয়।

উত্তর: (ক) বিকাল $4:36$

90. হাওড়া থেকে পাটনা এবং পাটনা থেকে হাওড়া একই সময়ে দুটি ট্রেন রওনা দেয়। দেখা হওয়ার পর ট্রেন দুটি যথাক্রমে $9$ ঘণ্টা ও $16$ ঘণ্টায় গন্তব্যে পৌঁছায়। তাদের বেগের অনুপাত কত? [Two trains, one from Howrah to Patna and the other from Patna to Howrah, start simultaneously. After they meet, the trains reach their destinations after 9 hours and 16 hours respectively. The ratio of their speeds is]

ক) 2 : 3     খ) 4 : 3     গ) 6 : 7     ঘ) 9 : 16

সমাধান:

হাওড়া থেকে ছাড়া ট্রেনের বেগ $a$ এবং অপরটির বেগ $b$ ধরি। সাক্ষাতের সময় $t$।

সাক্ষাতের পর প্রথমটি $9$ ঘণ্টায় যে পথ যায় তা দ্বিতীয়টি সাক্ষাতের আগে গিয়েছিল: $9a = bt$। একইভাবে $16b = at$।

ভাগ করে $\frac{9a}{16b} = \frac{b}{a}$, বা $\frac{a^2}{b^2} = \frac{16}{9}$।

অতএব $a:b = 4:3$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: সাক্ষাতের পর সময় $p$ ও $q$ হলে বেগের অনুপাত $= \sqrt{q}:\sqrt{p} = \sqrt{16}:\sqrt{9} = 4:3$।

উত্তর: (খ) $4 : 3$

91. $270$ কিমি দূরের দুই স্টেশন থেকে দুটি ট্রেন একই সময়ে একে অপরের দিকে রওনা দেয়। সাক্ষাতের পর তারা যথাক্রমে $6\frac{1}{4}$ ঘণ্টা ও $4$ ঘণ্টায় গন্তব্যে পৌঁছায়। ধীরগতির ট্রেনের বেগ কত? [Two trains start simultaneously (with uniform speeds) from two stations 270 km apart, each to the opposite station; they reach their destinations in $6\frac{1}{4}$ hours and 4 hours after they meet. The rate at which the slower train travels is]

ক) 16 কিমি/ঘণ্টা     খ) 24 কিমি/ঘণ্টা     গ) 25 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 30 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

বেগের অনুপাত (ধীর : দ্রুত) $= \sqrt{4}:\sqrt{\frac{25}{4}} = 2:\frac{5}{2} = 4:5$।

বেগ $4x$ ও $5x$ ধরি। সাক্ষাতের সময় $= \frac{270}{9x} = \frac{30}{x}$ ঘণ্টা।

ধীর ট্রেনের মোট সময় $= \frac{270}{4x} = \frac{30}{x}+\frac{25}{4}$।

$\frac{67.5-30}{x} = \frac{25}{4}$, বা $\frac{37.5}{x} = 6.25$, অতএব $x = 6$।

ধীর ট্রেনের বেগ $= 4 \times 6 = 24$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সাক্ষাতের সময় $\frac{30}{6} = 5$ ঘণ্টা এবং ধীর ট্রেনের মোট সময় $5+6.25 = 11.25$ ঘণ্টা। $\frac{270}{11.25} = 24$।

উত্তর: (খ) $24$ কিমি/ঘণ্টা

92. A ও B দুটি ট্রেন দুই স্থান থেকে বিপরীত দিকে রওনা দিয়ে সাক্ষাতের পর যথাক্রমে $9$ ঘণ্টা ও $4$ ঘণ্টায় গন্তব্যে পৌঁছায়। ট্রেন A এর বেগ ঘণ্টায় $80$ কিমি হলে ট্রেন B এর বেগ কত? [Two trains A and B starting from two points and travelling in opposite directions, reach their destinations 9 hours and 4 hours respectively after meeting each other. If the train A travels at 80 kmph, find the rate at which the train B runs.]

ক) 40 কিমি/ঘণ্টা     খ) 60 কিমি/ঘণ্টা     গ) 120 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 80 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

সাক্ষাতের সময় $t$ ঘণ্টা এবং B এর বেগ $b$ ধরি।

সাক্ষাতের পর A যায় $80 \times 9 = 720$ কিমি, যা B সাক্ষাতের আগে গিয়েছিল: $bt = 720$।

সাক্ষাতের পর B যায় $4b$ কিমি, যা A সাক্ষাতের আগে গিয়েছিল: $80t = 4b$, অতএব $t = \frac{b}{20}$।

$b \times \frac{b}{20} = 720$, বা $b^2 = 14400$, অতএব $b = 120$।

ব্যাখ্যা: সূত্র দিয়ে: $A:B = \sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3$, তাই $B = 80 \times \frac{3}{2} = 120$।

উত্তর: (গ) $120$ কিমি/ঘণ্টা

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে এই অঙ্কের উত্তর (খ) $60$ দেওয়া আছে, যা সঠিক নয়। একই ধরনের পরের অঙ্কে ($A = 36$, উত্তর $54$) একই সূত্র প্রযোজ্য এবং সেখানে বইয়ের উত্তর ঠিক আছে। সঠিক মান $120$।

93. A ও B দুটি ট্রেন X ও Y স্টেশন থেকে একই সময়ে একে অপরের দিকে রওনা দেয়। মাঝপথে সাক্ষাতের পর A ট্রেন $9$ ঘণ্টায় Y স্টেশনে এবং B ট্রেন $4$ ঘণ্টায় X স্টেশনে পৌঁছায়। ট্রেন A এর বেগ ঘণ্টায় $36$ কিমি হলে ট্রেন B এর বেগ কত? [Two trains A and B start simultaneously from stations X and Y towards each other respectively. After meeting at a point between X and Y, train A reaches station Y in 9 hours and train B reaches station X in 4 hours from the time they have met each other. If the speed of train A is 36 km/hr, what is the speed of train B?]

ক) 24 কিমি/ঘণ্টা     খ) 54 কিমি/ঘণ্টা     গ) 81 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 16 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

সাক্ষাতের সময় $t$ এবং B এর বেগ $b$ ধরি।

$bt = 36 \times 9 = 324$ এবং $36t = 4b$, অতএব $t = \frac{b}{9}$।

$b \times \frac{b}{9} = 324$, বা $b^2 = 2916$, অতএব $b = 54$।

ব্যাখ্যা: সূত্র দিয়ে: $A:B = \sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3$, তাই $B = 36 \times \frac{3}{2} = 54$।

উত্তর: (খ) $54$ কিমি/ঘণ্টা