Time, Distance & Speed Math Solutions for Bank Jobs: Part 6 (Q125-149)

প্রশ্ন ও সমাধান

125. একজন ব্যক্তি মোট পথের $\frac35$ অংশ ট্রেনে, $\frac{7}{20}$ অংশ বাসে এবং বাকি ৬.৫ কিমি হেঁটে যায়। মোট পথের দূরত্ব কত? [A man performs 3/5 of the total journey by rail, 7/20 by bus and the remaining 6.5 km on foot. His total journey is]

ক) ৬৫ কিমি     খ) ১০০ কিমি     গ) ১২০ কিমি     ঘ) ১৩০ কিমি

সমাধান:

মোট পথ $x$ কিমি ধরি। ট্রেন ও বাসে যায় $\frac{3x}{5}+\frac{7x}{20} = \frac{12x+7x}{20} = \frac{19x}{20}$।

বাকি $= x-\frac{19x}{20} = \frac{x}{20} = 6.5$।

$x = 6.5\times20 = 130$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ট্রেনে ৭৮ কিমি, বাসে ৪৫.৫ কিমি, হেঁটে ৬.৫ কিমি। মোট $78+45.5+6.5 = 130$।

উত্তর: ১৩০ কিমি (ঘ)

126. একজন লোক ৫ ঘণ্টা ১৫ মিনিট ভ্রমণ করে। সে পথের প্রথম অর্ধেক ঘণ্টায় ৬০ কিমি এবং বাকি অর্ধেক ঘণ্টায় ৪৫ কিমি বেগে অতিক্রম করল। তার মোট দূরত্ব কত? [A man travels for 5 hours 15 minutes. If he covers the first half of the journey at 60km/h and rest at 45km/h. Find the total distance travelled by him.]

ক) ১০২৮ কিমি     খ) ১৮৯ কিমি     গ) ৩৭৮ কিমি     ঘ) ২৭০ কিমি

সমাধান:

মোট দূরত্ব $2x$ কিমি ধরি, প্রতি অর্ধেক $x$ কিমি।

মোট সময় $= 5$ ঘণ্টা $15$ মিনিট $= 5\frac14 = \frac{21}{4}$ ঘণ্টা।

$\frac{x}{60}+\frac{x}{45} = \frac{21}{4}$, অর্থাৎ $\frac{3x+4x}{180} = \frac{21}{4}$।

$7x = \frac{21\times180}{4} = 945$, তাই $x = 135$।

মোট দূরত্ব $= 2\times135 = 270$ কিমি।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ৬০ ও ৪৫-এর ল.সা.গু. ১৮০। প্রতি অর্ধেক ১৮০ কিমি ধরলে সময় $3+4 = 7$ ঘণ্টা ও মোট পথ ৩৬০ কিমি। আসল সময় $\frac{21}{4}$ ঘণ্টা, তাই পথ $360\times\frac{21/4}{7} = 270$ কিমি।

উত্তর: ২৭০ কিমি (ঘ)

127. A একটি যাত্রা ১০ ঘণ্টায় শেষ করতে পারে। সে যাত্রার প্রথম অর্ধেক ঘণ্টায় ২১ কিমি এবং বাকি অর্ধেক ঘণ্টায় ২৪ কিমি বেগে অতিক্রম করে। মোট পথ কত কিলোমিটার? [A can complete a journey in 10 hours. He travels first half of the journey at the rate of 21 km/hr and second half at the rate of 24 km/hr. Find the total journey in km.] (Mercantile Bank (MTO) 2015; Pubali Bank (Sen. Off.) 2014)

ক) ২২০ কিমি     খ) ২২৪ কিমি     গ) ২৩০ কিমি     ঘ) ২৩৪ কিমি

সমাধান:

মোট পথ $x$ কিমি, প্রতি অর্ধেক $\frac{x}{2}$ কিমি ধরি।

$\frac{x/2}{21}+\frac{x/2}{24} = 10$, অর্থাৎ $\frac{x}{42}+\frac{x}{48} = 10$।

$\frac{8x+7x}{336} = 10$, তাই $15x = 3360$ এবং $x = 224$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: গড় গতি $= \frac{2\times21\times24}{21+24} = \frac{1008}{45} = \frac{112}{5}$ কিমি/ঘণ্টা। দূরত্ব $= \frac{112}{5}\times10 = 224$ কিমি।

উত্তর: ২২৪ কিমি (খ)

128. একজন লোক ৩ কিমি/ঘণ্টা, ৪ কিমি/ঘণ্টা ও ৫ কিমি/ঘণ্টা গতিতে সমান সমান দূরত্ব অতিক্রম করে মোট ৪৭ মিনিট সময় নেয়। মোট দূরত্ব কত কিলোমিটার? [A person travels equal distances with speeds of 3 km/hr, 4 km/hr and 5 km/hr and takes a total time of 47 minutes. The total distance (in km) is]

ক) ২     খ) ৩     গ) ৪     ঘ) ৫

সমাধান:

মোট দূরত্ব $3x$ কিমি ধরি, প্রতি অংশ $x$ কিমি।

মোট সময় $\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5} = \frac{47}{60}$ ঘণ্টা।

$\frac{20x+15x+12x}{60} = \frac{47x}{60} = \frac{47}{60}$, তাই $x = 1$।

মোট দূরত্ব $= 3\times1 = 3$ কিমি।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ৩, ৪, ৫-এর ল.সা.গু. ৬০। প্রতি অংশ ৬০ কিমি ধরলে সময় $20+15+12 = 47$ ঘণ্টা, মোট পথ ১৮০ কিমি। ৪৭ ঘণ্টার জায়গায় ৪৭ মিনিট হলে পথ ৬০ গুণ কম, অর্থাৎ ৩ কিমি।

উত্তর: ৩ কিমি (খ)

129. একজন মোটরসাইকেল আরোহী একটি যাত্রা ৫ ঘণ্টায় শেষ করে। সে পথের এক-তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ৬০ কিমি এবং বাকিটা ঘণ্টায় ৮০ কিমি বেগে অতিক্রম করে। যাত্রাপথের দূরত্ব কত? [A motorcyclist completes a certain journey in 5 hours. He covers one-third distance at 60 km/hr and the rest at 80 km/hr. The length of the journey is]

ক) ১৮০ কিমি     খ) ২৪০ কিমি     গ) ৩০০ কিমি     ঘ) ৩৬০ কিমি

সমাধান:

পথ $x$ কিমি ধরি। প্রথম অংশ $\frac{x}{3}$, বাকি অংশ $\frac{2x}{3}$।

$\frac{x/3}{60}+\frac{2x/3}{80} = 5$, অর্থাৎ $\frac{x}{180}+\frac{x}{120} = 5$।

$\frac{2x+3x}{360} = 5$, তাই $x = 360$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ১২০ কিমি ৬০ কিমি/ঘণ্টায় ২ ঘণ্টা, ২৪০ কিমি ৮০ কিমি/ঘণ্টায় ৩ ঘণ্টা। মোট ৫ ঘণ্টা।

উত্তর: ৩৬০ কিমি (ঘ)

130. পিটার একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব ১ ঘণ্টা ২৪ মিনিটে অতিক্রম করতে পারে। সে পথের দুই-তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ৪ কিমি এবং বাকিটা ঘণ্টায় ৫ কিমি বেগে অতিক্রম করে। মোট দূরত্ব কত? [Peter can cover a certain distance in 1 hr. 24 min. by covering two-third of the distance at 4 kmph and the rest at 5 kmph. Find the total distance.]

সমাধান:

মোট দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। সময় $= 1$ ঘণ্টা $24$ মিনিট $= 1\frac{24}{60} = \frac75$ ঘণ্টা।

$\frac{2x/3}{4}+\frac{x/3}{5} = \frac75$, অর্থাৎ $\frac{x}{6}+\frac{x}{15} = \frac75$।

$\frac{5x+2x}{30} = \frac75$, তাই $7x = 42$ এবং $x = 6$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৪ কিমি পথ ৪ কিমি/ঘণ্টায় ১ ঘণ্টা, ২ কিমি পথ ৫ কিমি/ঘণ্টায় ২৪ মিনিট। মোট ১ ঘণ্টা ২৪ মিনিট।

উত্তর: ৬ কিমি

আগে বা পরে পৌঁছানোর অঙ্ক

দুই গতিতে পৌঁছানোর সময়ের পার্থক্য সবসময় দূরত্বকে দুই গতির উপর ভাগ করে বের করতে হয়। কখনো আগে এবং কখনো পরে পৌঁছালে দুই সময়ের পার্থক্য যোগ করতে হয়। উল্টো দিক থেকে ভাবলে, দুই গতির ল.সা.গু. ধরে নিয়ে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতেও করা যায়।

131. রবার্ট সাইকেলে একটি স্থান A-তে যাচ্ছে। সে ঘণ্টায় ১০ কিমি বেগে গেলে দুপুর ২টায় পৌঁছাবে, আর ঘণ্টায় ১৫ কিমি বেগে গেলে দুপুর ১২টায় পৌঁছাবে। দুপুর ১টায় পৌঁছাতে হলে তাকে ঘণ্টায় কত কিমি বেগে যেতে হবে? [Robert is travelling on his cycle and he calculated to reach point A at 2 P.M. if he travels at 10 kmph; he will reach there at 12 noon if he travels at 15 kmph. At what speed must he travel to reach A at 1 P.M.?]

ক) ৮ কিমি/ঘণ্টা     খ) ১১ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১২ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ১৪ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। দুই গতিতে সময়ের পার্থক্য $= 2$ ঘণ্টা, তাই $\frac{x}{10}-\frac{x}{15} = 2$।

$\frac{x}{30} = 2$, তাই $x = 60$ কিমি।

১০ কিমি/ঘণ্টায় সময় $= \frac{60}{10} = 6$ ঘণ্টা। দুপুর ২টায় পৌঁছালে সে রওনা দিয়েছে সকাল ৮টায়।

দুপুর ১টায় পৌঁছাতে সময় থাকে $1$টা $-$ $8$টা $= 5$ ঘণ্টা। প্রয়োজনীয় গতি $= \frac{60}{5} = 12$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ১০ ও ১৫-এর ল.সা.গু. ৩০। ১ ঘণ্টা পার্থক্যে দূরত্ব ৩০ কিমি, তাই ২ ঘণ্টা পার্থক্যে ৬০ কিমি।

উত্তর: ১২ কিমি/ঘণ্টা (গ)

132. সারাকে A থেকে B-তে বিকেল ৪টায় পৌঁছাতে হলে গড়ে ঘণ্টায় ১৮ কিমি বেগে যেতে হবে। গড়ে ঘণ্টায় ২৪ কিমি বেগে গেলে সে বিকেল ৩টায় পৌঁছাবে। দুপুর ২টায় B-তে পৌঁছাতে হলে তাকে গড়ে ঘণ্টায় কত কিমি বেগে যেতে হবে? [To reach point B from point A at 4pm, Sara will have to travel at an average speed of 18 kmph. She will reach point B at 3 pm if she travels at an average speed of 24 kmph. At what average speed should Sara travel to reach point B at 2pm?]

ক) ৩৬ কিমি/ঘণ্টা     খ) ২৮ কিমি/ঘণ্টা     গ) ২৫ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৩০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। সময়ের পার্থক্য $= 4-3 = 1$ ঘণ্টা।

$\frac{x}{18}-\frac{x}{24} = 1$, অর্থাৎ $\frac{4x-3x}{72} = 1$, তাই $x = 72$ কিমি।

১৮ কিমি/ঘণ্টায় সময় $= \frac{72}{18} = 4$ ঘণ্টা। বিকেল ৪টায় পৌঁছালে সে রওনা দিয়েছে দুপুর ১২টায়।

দুপুর ২টায় পৌঁছাতে সময় থাকে $2$ ঘণ্টা। গতি $= \frac{72}{2} = 36$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ১৮ ও ২৪-এর ল.সা.গু. ৭২। ১ ঘণ্টা পার্থক্যে দূরত্ব ৭২ কিমি। রওনার সময় বের করে বাকি সময় দিয়ে ৭২ ভাগ করলেই গতি।

উত্তর: ৩৬ কিমি/ঘণ্টা (ক)

133. রোহান একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের $\frac23$ অংশ ঘণ্টায় $x$ কিমি বেগে ২ ঘণ্টা ৩০ মিনিটে অতিক্রম করে। বাকি দূরত্ব ঘণ্টায় $(x+2)$ কিমি বেগে ৫০ মিনিটে অতিক্রম করে। মোট দূরত্ব কত? [Rohan covers $\frac23$rd of a certain distance in 2 hours 30 minutes at the rate of x kmph. He covers the remaining distance at the rate of (x + 2) kmph in 50 minutes. What is the total distance?]

ক) ২১ কিমি     খ) ১৮ কিমি     গ) ১৬ কিমি     ঘ) ১৫ কিমি

সমাধান:

মোট দূরত্ব $3a$ কিমি ধরি। প্রথম অংশ $2a$ কিমি, বাকি অংশ $a$ কিমি।

প্রথম অংশ: $x\times2\frac12 = 2a$, অর্থাৎ $\frac{5x}{2} = 2a$, তাই $5x = 4a$ ...(i)

দ্বিতীয় অংশ: $(x+2)\times\frac{50}{60} = a$, অর্থাৎ $5(x+2) = 6a$, তাই $5x+10 = 6a$ ...(ii)

(i) ব্যবহার করে (ii) থেকে $4a+10 = 6a$, তাই $a = 5$।

মোট দূরত্ব $= 3a = 15$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $5x = 20$, তাই $x = 4$। প্রথম অংশ $4\times2.5 = 10$ কিমি, দ্বিতীয় অংশ $6\times\frac56 = 5$ কিমি। মোট ১৫ কিমি।

উত্তর: ১৫ কিমি (ঘ)

134. ৩০ কিমি পথ যেতে অভয় সমীরের চেয়ে ২ ঘণ্টা বেশি সময় নেয়। অভয় তার গতি দ্বিগুণ করলে সে সমীরের চেয়ে ১ ঘণ্টা কম সময় নিত। অভয়ের গতি কত? [In covering a distance of 30 km, Abhay takes 2 hours more than Sameer. If Abhay doubles his speed, then he would take 1 hour less than Sameer. Abhay speed is]

ক) ৫ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৬ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৬.২৫ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৭.৫ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

অভয়ের গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা হলে তার সময় $\frac{30}{x}$, গতি দ্বিগুণ হলে সময় $\frac{30}{2x}$।

প্রথমে সে সমীরের চেয়ে ২ ঘণ্টা বেশি, পরে ১ ঘণ্টা কম। তাই দুই সময়ের পার্থক্য $2+1 = 3$ ঘণ্টা।

$\frac{30}{x}-\frac{30}{2x} = 3$, অর্থাৎ $\frac{15}{x} = 3$।

$x = 5$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: অভয় ৬ ঘণ্টায় যায়, সমীর ৪ ঘণ্টায় (৭.৫ কিমি/ঘণ্টায়)। অভয়ের গতি ১০ হলে ৩ ঘণ্টা লাগে, যা সমীরের চেয়ে ১ ঘণ্টা কম।

উত্তর: ৫ কিমি/ঘণ্টা (ক)

135. দুজন লোক একসাথে একটি গন্তব্যের উদ্দেশে রওনা হলো, একজন ঘণ্টায় ৩ কিমি এবং অন্যজন ঘণ্টায় ৩.৭৫ কিমি বেগে। পরের জন আগের জনের আধ ঘণ্টা আগে পৌঁছায়। দূরত্ব কত? [Two men start together destination, one at 3 kmph and another at 3.75 kmph. The later arrives half an hour before the former. The distance is]

ক) ৬ কিমি     খ) ৭.৫ কিমি     গ) ৮ কিমি     ঘ) ৯.৫ কিমি

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। সময়ের পার্থক্য $= \frac12$ ঘণ্টা।

$\frac{x}{3}-\frac{x}{3.75} = \frac12$। $\frac{x}{3} = \frac{1.25x}{3.75}$, তাই বাঁ পাশ $= \frac{0.25x}{3.75}$।

$\frac{0.25x}{3.75} = \frac12$, তাই $x = \frac{3.75}{0.5} = 7.5$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৭.৫ কিমি ৩ কিমি/ঘণ্টায় ২.৫ ঘণ্টা, ৩.৭৫ কিমি/ঘণ্টায় ২ ঘণ্টা। পার্থক্য আধ ঘণ্টা।

উত্তর: ৭.৫ কিমি (খ)

136. ৬০০০ কিমির একটি ফ্লাইটে খারাপ আবহাওয়ার কারণে একটি উড়োজাহাজের গতি কমানো হলো। ট্রিপের গড় গতি ৪০০ কিমি/ঘণ্টা কমল এবং ফ্লাইটের মোট সময় ৩০ মিনিট বাড়ল। ফ্লাইটটির মূল পরিকল্পিত সময় কত ছিল? [In a flight of 6000 km, an aircraft was slowed down due to bad weather. The average speed for the trip was reduced by 400 kmph and the time of flight increased by 30 minutes. The original planned duration of the flight was]

সমাধান:

মূল সময় $x$ ঘণ্টা ধরি। নতুন সময় $\left(x+\frac12\right)$ ঘণ্টা।

গতির পার্থক্য $\frac{6000}{x}-\frac{6000}{x+\frac12} = 400$।

$\frac{6000}{x}-\frac{12000}{2x+1} = 400$। উভয় পক্ষকে ৪০০ দিয়ে ভাগ করে $\frac{15}{x}-\frac{30}{2x+1} = 1$।

$15(2x+1)-30x = x(2x+1)$, অর্থাৎ $15 = 2x^2+x$, তাই $2x^2+x-15 = 0$।

$(x+3)(2x-5) = 0$। সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = \frac52 = 2\frac12$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: মূল গতি $\frac{6000}{2.5} = 2400$ কিমি/ঘণ্টা, নতুন গতি $\frac{6000}{3} = 2000$ কিমি/ঘণ্টা। পার্থক্য ৪০০।

উত্তর: $2\frac12$ ঘণ্টা (বইয়ে ক)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের অপশনের ভগ্নাংশগুলো বইয়ে স্পষ্ট ছাপা নেই, তাই অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর ক অপশন, যা আমাদের হিসাবের সাথে মিলে।

137. গড়ে ঘণ্টায় ৫০ কিমি বেগে চললে একটি ট্রেন ঠিক সময়ে গন্তব্যে পৌঁছায়। গড়ে ঘণ্টায় ৪০ কিমি বেগে গেলে ২৪ মিনিট দেরি হয়। মোট যাত্রাপথের দূরত্ব কত? [With an average speed of 50 km/hr, a train reaches its destination in time. If it goes with an average speed of 40 km/hr, it is late by 24 minutes. The total journey is]

ক) ৩০ কিমি     খ) ৪০ কিমি     গ) ৭০ কিমি     ঘ) ৮০ কিমি

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। সময়ের পার্থক্য $= 24$ মিনিট $= \frac{24}{60} = \frac25$ ঘণ্টা।

$\frac{x}{40}-\frac{x}{50} = \frac25$, অর্থাৎ $\frac{5x-4x}{200} = \frac25$।

$x = \frac25\times200 = 80$ কিমি।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ৫০ ও ৪০-এর ল.সা.গু. ২০০। ১ ঘণ্টা (৬০ মিনিট) পার্থক্যে দূরত্ব ২০০ কিমি, তাই ২৪ মিনিট পার্থক্যে $\frac{200\times24}{60} = 80$ কিমি।

উত্তর: ৮০ কিমি (ঘ)

138. একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৩ কিমি বেগে হাঁটলে গন্তব্যে ৪০ মিনিট দেরিতে পৌঁছায়, আর ঘণ্টায় ৪ কিমি বেগে হাঁটলে ৩০ মিনিট আগে পৌঁছায়। তার যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গন্তব্যের দূরত্ব কত? [A person reaches his destination 40 minutes late if his speed is 3 km/hr, and reaches 30 minutes before time if his speed is 4 km/hr. Find the distance of his destination from his starting point.]

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। দুই গতির সময়ের পার্থক্য $= 40+30 = 70$ মিনিট $= \frac76$ ঘণ্টা।

$\frac{x}{3}-\frac{x}{4} = \frac76$, অর্থাৎ $\frac{x}{12} = \frac76$।

$x = \frac76\times12 = 14$ কিমি।

ব্যাখ্যা: এক গতিতে দেরি এবং অন্য গতিতে আগে পৌঁছালে দুই সময়ের পার্থক্য হলো দেরি ও আগে পৌঁছানোর সময়ের যোগফল।

উত্তর: ১৪ কিমি

139. একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪০ কিমি বেগে চললে গন্তব্যে ১১ মিনিট দেরিতে পৌঁছায়। ঘণ্টায় ৫০ কিমি বেগে চললে মাত্র ৫ মিনিট দেরি হয়। ট্রেনটির যাত্রা শেষ করার সঠিক সময় কত? [If a train runs at 40 kmph, it reaches its destination late by 11 minutes but if it runs at 50 kmph, it is late by 5 minutes only. The correct time for the train to complete its journey is]

ক) ১৩ মিনিট     খ) ১৫ মিনিট     গ) ১৯ মিনিট     ঘ) ২১ মিনিট

সমাধান:

সঠিক সময় $x$ মিনিট ধরি। ৪০ কিমি/ঘণ্টায় সময় লাগে $(x+11)$ মিনিট, ৫০ কিমি/ঘণ্টায় $(x+5)$ মিনিট।

দূরত্ব একই, তাই $40(x+11) = 50(x+5)$।

$4(x+11) = 5(x+5)$, অর্থাৎ $4x+44 = 5x+25$।

$x = 19$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৪০ কিমি/ঘণ্টায় ৩০ মিনিটে ২০ কিমি যায়। ৫০ কিমি/ঘণ্টায় ২৪ মিনিটে একই পথ যায়। সঠিক সময় $30-11 = 19$ এবং $24-5 = 19$, দুটোই মিলেছে।

উত্তর: ১৯ মিনিট (গ)

140. একটি ট্রেন তার স্বাভাবিক গতি $12.5\%$ বাড়িয়ে গন্তব্যে ২০ মিনিট আগে পৌঁছায়। যাত্রায় ট্রেনটির প্রকৃত সময় কত লাগে? [A train increases its normal speed by 12.5% and reaches its destination 20 minutes earlier. What is the actual time taken by the train in the journey?]

ক) ১৪৫ মিনিট     খ) ১৬০ মিনিট     গ) ১৮০ মিনিট     ঘ) ২২০ মিনিট

সমাধান:

স্বাভাবিক গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা। নতুন গতি $= x\times\frac{112.5}{100} = \frac{9x}{8}$।

দূরত্ব $d$ হলে $\frac{d}{x}-\frac{d}{9x/8} = \frac{20}{60} = \frac13$।

$\frac{d}{x}-\frac{8d}{9x} = \frac{d}{9x} = \frac13$, তাই $d = 3x$।

প্রকৃত সময় $= \frac{d}{x} = \frac{3x}{x} = 3$ ঘণ্টা $= 180$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: গতি $8:9$ হলে সময় $9:8$। পার্থক্য ১ অংশ $= 20$ মিনিট, তাই প্রকৃত সময় ৯ অংশ $= 180$ মিনিট।

উত্তর: ১৮০ মিনিট (গ)

141. একজন ছাত্র ঘণ্টায় $2\frac12$ কিমি বেগে স্কুলে গেলে ৬ মিনিট দেরিতে পৌঁছায়। ঘণ্টায় ৩ কিমি বেগে গেলে ১০ মিনিট আগে পৌঁছায়। স্কুলের দূরত্ব কত? [A student goes to school at the rate of $2\frac12$ km/h and reaches 6 min late. If he travels at the speed of 3 km/h he is 10 min early. What is the distance to the school?]

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। সময়ের পার্থক্য $= 6+10 = 16$ মিনিট $= \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ ঘণ্টা।

$\frac{x}{2.5}-\frac{x}{3} = \frac{4}{15}$, অর্থাৎ $\frac{2x}{5}-\frac{x}{3} = \frac{6x-5x}{15} = \frac{x}{15} = \frac{4}{15}$।

$x = 4$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ২.৫ কিমি/ঘণ্টায় ৪ কিমি যেতে ১.৬ ঘণ্টা, ৩ কিমি/ঘণ্টায় $\frac43$ ঘণ্টা। পার্থক্য $1.6-1.333 = 0.2667$ ঘণ্টা $= 16$ মিনিট।

উত্তর: ৪ কিমি (বইয়ে ক)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের অপশনের ভগ্নাংশগুলো বইয়ে স্পষ্ট ছাপা নেই, তাই অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর ক অপশন, যা ৪ কিমির সাথে মিলে।

142. একজন ব্যক্তি দুই ধাপে ৬ ঘণ্টায় ২৮৫ কিমি পথ ভ্রমণ করে। যাত্রার প্রথম অংশে সে বাসে ঘণ্টায় ৪০ কিমি বেগে এবং দ্বিতীয় অংশে ট্রেনে ঘণ্টায় ৫৫ কিমি বেগে যায়। সে ট্রেনে কত দূরত্ব গিয়েছিল? [A person travels 285 km in 6 hours in two stages. In the first part of the journey, he travels by bus at the speed of 40 km/hr. In the second part of the journey, he travels by train at the speed of 55 km/hr. How much distance does he travel by train?]

সমাধান:

ট্রেনে $t$ ঘণ্টা গেলে বাসে গেছে $(6-t)$ ঘণ্টা।

মোট পথ $= 55t+40(6-t) = 285$।

$55t+240-40t = 285$, তাই $15t = 45$ এবং $t = 3$ ঘণ্টা।

ট্রেনে দূরত্ব $= 55\times3 = 165$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বাসে ৩ ঘণ্টায় $40\times3 = 120$ কিমি। $120+165 = 285$।

উত্তর: ১৬৫ কিমি (বইয়ে খ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের অপশনে ভুল ছাপার কারণে খ ও গ দুই জায়গায় একই সংখ্যা এসেছে, তাই অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর খ, অর্থাৎ ১৬৫ কিমি। সময় ধরে সমীকরণ গঠন করলে হিসাব সবচেয়ে সহজ হয়।

143. একটি ট্রেনের গতি একটি গাড়ির চেয়ে ৫০% বেশি। উভয়েই একই সময়ে A বিন্দু থেকে রওনা হয়ে A থেকে ৭৫ কিমি দূরের B বিন্দুতে একই সময়ে পৌঁছায়। পথে স্টেশনে থামার কারণে ট্রেনটি প্রায় ১২.৫ মিনিট হারায়। গাড়িটির গতি কত? [A train can travel 50% faster than a car. Both start from point A at the same time and reach point B 75 kms away from A at the same time. On the way, however, the train lost about 12.5 minutes while stopping at the stations. The speed of the car is]

ক) ১০০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ১১০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১২০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ১৩০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

গাড়ির গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। ট্রেনের গতি $x$-এর $150\%$ $= \frac{3x}{2}$।

ট্রেন চলার সময় গাড়ির চেয়ে কম নিত, কিন্তু থামার ১২.৫ মিনিট যোগ হয়ে সমান হয়েছে। তাই $\frac{75}{x}-\frac{75}{3x/2} = \frac{12.5}{60}$।

$\frac{75}{x}-\frac{50}{x} = \frac{25}{x} = \frac{5}{24}$।

$x = \frac{25\times24}{5} = 120$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: গাড়ি ১২০ কিমি/ঘণ্টায় ৭৫ কিমি যায় $\frac{75}{120} = 37.5$ মিনিটে। ট্রেন ১৮০ কিমি/ঘণ্টায় যায় ২৫ মিনিটে, ১২.৫ মিনিট থামলে মোট ৩৭.৫ মিনিট।

উত্তর: ১২০ কিমি/ঘণ্টা (গ)

দুই গতির যোগফল বা পার্থক্য দেওয়া অঙ্ক

144. A, B-এর চেয়ে দ্রুত গতির। A ও B প্রত্যেকে ২৪ কিমি হাঁটে। তাদের গতির যোগফল ঘণ্টায় ৭ কিমি এবং পথটি অতিক্রম করতে তাদের সময়ের যোগফল ১৪ ঘণ্টা। A-এর গতি কত? [A is faster than B. A and B each walk 24km. The sum of their speeds is 7 Km/hr and the sum of times taken by them is 14 hours. Then, A speed is equal to] (JBL (EO) 2017 (Morning))

ক) ৩ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৫ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৭ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

A-এর গতি $x$ হলে B-এর গতি $(7-x)$ কিমি/ঘণ্টা।

$\frac{24}{x}+\frac{24}{7-x} = 14$। $24\times\frac{7}{x(7-x)} = 14$, তাই $x(7-x) = 12$।

$x^2-7x+12 = 0$, অর্থাৎ $(x-3)(x-4) = 0$। তাই $x = 3$ অথবা $4$।

A দ্রুত গতির, তাই $x = 4$ কিমি/ঘণ্টা (এবং B-এর গতি ৩)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: A ৪ কিমি/ঘণ্টায় ৬ ঘণ্টা, B ৩ কিমি/ঘণ্টায় ৮ ঘণ্টা। সময়ের যোগফল ১৪।

উত্তর: ৪ কিমি/ঘণ্টা (খ)

145. A ও B শহর একটি সোজা রাস্তায় যুক্ত। দুজন মহিলা একই সময়ে A ও B থেকে একে অপরের দিকে রওনা হলো। প্রথম মহিলা দ্বিতীয় মহিলার চেয়ে ঘণ্টায় ২ কিমি দ্রুত চলে এবং দ্বিতীয় মহিলা A-তে পৌঁছানোর ১ ঘণ্টা আগে প্রথম মহিলা B-তে পৌঁছায়। A ও B-এর দূরত্ব ২৪ কিমি। প্রত্যেক মহিলা ঘণ্টায় কত কিমি পথ অতিক্রম করে? [Two ladies simultaneously leave cities A and B connected by a straight road and travel towards each other. The first lady travels 2 km/hr faster than the second lady and reaches B one hour before the second lady reaches A. The two cities A and B are 24 km apart. How many kilometres does each lady travel in one hour?]

ক) ৫ কিমি, ৩ কিমি     খ) ৭ কিমি, ৫ কিমি     গ) ৮ কিমি, ৬ কিমি     ঘ) ৬ কিমি, ১৪ কিমি

সমাধান:

দ্বিতীয় মহিলার গতি $x$ হলে প্রথম মহিলার গতি $(x+2)$ কিমি/ঘণ্টা। প্রত্যেকে ২৪ কিমি পথ যায়।

$\frac{24}{x}-\frac{24}{x+2} = 1$। $\frac{24\times2}{x(x+2)} = 1$, তাই $x(x+2) = 48$।

$x^2+2x-48 = 0$, অর্থাৎ $(x+8)(x-6) = 0$।

গতি ধনাত্মক, তাই $x = 6$। প্রথম মহিলার গতি $6+2 = 8$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ২৪ কিমি ৬ কিমি/ঘণ্টায় ৪ ঘণ্টা, ৮ কিমি/ঘণ্টায় ৩ ঘণ্টা। পার্থক্য ১ ঘণ্টা।

উত্তর: প্রথম মহিলা ৮ কিমি, দ্বিতীয় মহিলা ৬ কিমি (গ)

146. ৬০০ কিমি পথ যেতে একটি দ্রুত ট্রেন একটি ধীর ট্রেনের চেয়ে ৩ ঘণ্টা কম সময় নেয়। ধীর ট্রেনের গতি দ্রুত ট্রেনের গতির চেয়ে ঘণ্টায় ১০ কিমি কম হলে ট্রেন দুটির গতি কত? [A fast train takes 3 hours less than a slow train for a journey of 600 km. If the speed of the slow train is 10km/hr less than that of the fast train, then find the speeds of the two trains.]

সমাধান:

দ্রুত ট্রেনের গতি $x$ হলে ধীর ট্রেনের গতি $(x-10)$ কিমি/ঘণ্টা।

$\frac{600}{x-10}-\frac{600}{x} = 3$। $\frac{600\times10}{x(x-10)} = 3$, তাই $x(x-10) = 2000$।

$x^2-10x-2000 = 0$। এটি ভেঙে $(x-50)(x+40) = 0$।

গতি ধনাত্মক, তাই $x = 50$। ধীর ট্রেনের গতি $= 40$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ধীর ট্রেন ৪০ কিমি/ঘণ্টায় ১৫ ঘণ্টা, দ্রুত ট্রেন ৫০ কিমি/ঘণ্টায় ১২ ঘণ্টা। পার্থক্য ৩ ঘণ্টা।

উত্তর: দ্রুত ট্রেন ৫০ কিমি/ঘণ্টা, ধীর ট্রেন ৪০ কিমি/ঘণ্টা

147. একটি ট্রেন একটি নির্দিষ্ট গতিতে ৬০০ কিমি পথ অতিক্রম করে। ট্রেনের গতি ঘণ্টায় আরও ৫ কিমি বাড়ালে যাত্রায় ৪ ঘণ্টা কম লাগে। ট্রেনের গতি কত? [A train travels a distance of 600 km at a constant speed. If the speed of the train is increased by 5 km/hr, the journey would take 4 hours less. Find the speed of the train.]

ক) ২৫ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৫০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১০০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

ট্রেনের গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি।

$\frac{600}{x}-\frac{600}{x+5} = 4$। $\frac{600\times5}{x(x+5)} = 4$, তাই $x(x+5) = 750$।

$x^2+5x-750 = 0$, অর্থাৎ $(x+30)(x-25) = 0$।

গতি ধনাত্মক, তাই $x = 25$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ২৫ কিমি/ঘণ্টায় ২৪ ঘণ্টা, ৩০ কিমি/ঘণ্টায় ২০ ঘণ্টা। পার্থক্য ৪ ঘণ্টা।

উত্তর: ২৫ কিমি/ঘণ্টা (ক)

148. দুটি শহরের মধ্যে ১৯২ কিমি পথ যেতে একটি দ্রুত ট্রেন ধীর ট্রেনের চেয়ে ২ ঘণ্টা কম সময় নেয়। ধীর ট্রেনের গড় গতি দ্রুত ট্রেনের চেয়ে ঘণ্টায় ১৬ কিমি কম হলে দ্রুত ট্রেনের গড় গতি কত? [A journey of 192 km between two cities takes 2 hours less by a fast train than by a slow train. If the average speed of the slow train is 16 km/hr less than that of the fast train, then the average speed of the fast train is]

ক) ৩২ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৩৬ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৪৮ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৬৪ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

দ্রুত ট্রেনের গতি $x$ হলে ধীর ট্রেনের গতি $(x-16)$ কিমি/ঘণ্টা।

$\frac{192}{x-16}-\frac{192}{x} = 2$। $\frac{192\times16}{x(x-16)} = 2$, তাই $x(x-16) = 1536$।

$x^2-16x-1536 = 0$, অর্থাৎ $(x-48)(x+32) = 0$।

গতি ধনাত্মক, তাই $x = 48$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: দ্রুত ট্রেন ৪৮ কিমি/ঘণ্টায় ৪ ঘণ্টা, ধীর ট্রেন ৩২ কিমি/ঘণ্টায় ৬ ঘণ্টা। পার্থক্য ২ ঘণ্টা।

উত্তর: ৪৮ কিমি/ঘণ্টা (গ)

149. একটি গাড়ি একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের প্রথম এক-তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ১০ কিমি, পরের এক-তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ২০ কিমি এবং শেষ এক-তৃতীয়াংশ ঘণ্টায় ৬০ কিমি বেগে অতিক্রম করে। পুরো যাত্রায় গাড়িটির গড় গতি কত? [A car travels the first one third of a certain distance with a speed of 10 km/hr, the next one third distance with a speed of 20 km/hr and the last one third distance with a speed of 60 km/hr. The average speed of the car for the whole journey is]

ক) ১৮ কিমি/ঘণ্টা     খ) ২৪ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৩০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৩৬ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

মোট দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। প্রতি অংশ $\frac{x}{3}$ কিমি।

মোট সময় $= \frac{x}{3\times10}+\frac{x}{3\times20}+\frac{x}{3\times60} = \frac{x}{30}+\frac{x}{60}+\frac{x}{180} = \frac{6x+3x+x}{180} = \frac{x}{18}$।

গড় গতি $= \frac{x}{x/18} = 18$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ১০, ২০, ৬০-এর ল.সা.গু. ৬০। প্রতি অংশ ৬০ কিমি ধরলে সময় $6+3+1 = 10$ ঘণ্টা। গড় গতি $= \frac{180}{10} = 18$ কিমি/ঘণ্টা।

উত্তর: ১৮ কিমি/ঘণ্টা (ক)