Time, Distance & Speed Math Solutions for Bank Jobs: Part 5 (Q100-124)

প্রশ্ন ও সমাধান

100. ট্রেন A ঘণ্টায় ৬০ কিমি বেগে সন্ধ্যা ৬টায় মুম্বাই থেকে দিল্লির উদ্দেশে ছাড়ে। ট্রেন B ঘণ্টায় ৯০ কিমি বেগে রাত ৯টায় মুম্বাই থেকে দিল্লির উদ্দেশে ছাড়ে। ট্রেন C রাত ৯টায় দিল্লি থেকে মুম্বাইয়ের উদ্দেশে ছাড়ে। তিনটি ট্রেন যদি মুম্বাই ও দিল্লির মাঝে একই সময়ে মিলিত হয় এবং দিল্লি ও মুম্বাইয়ের দূরত্ব ১২৬০ কিমি হয়, তবে ট্রেন C-এর গতি কত? [Train A travelling at 60 km/hr leaves Mumbai for Delhi at 6 p.m. Train B travelling at 90 km/hr also leaves Mumbai for Delhi at 9 p.m. Train C leaves Delhi for Mumbai at 9 p.m. If all the three trains meet at the same time between Mumbai and Delhi, then what is the speed of train C if the distance between Delhi and Mumbai is 1260 km?]

ক) ৬০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৯০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১২০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ১৩৫ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

রাত ৯টার $x$ ঘণ্টা পরে তিনটি ট্রেন মিলিত হলে A চলেছে $(x+3)$ ঘণ্টা, B চলেছে $x$ ঘণ্টা। দুজন একই বিন্দুতে আছে, তাই $60(x+3) = 90x$।

$30x = 180$, তাই $x = 6$ ঘণ্টা।

B যায় $90\times6 = 540$ কিমি। তাই C গেছে $1260-540 = 720$ কিমি।

C-এর গতি $= \frac{720}{6} = 120$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: প্রথমে A ও B-এর মিলনের সময় বের করলে C-এর পথ ও গতি সহজে পাওয়া যায়।

উত্তর: ১২০ কিমি/ঘণ্টা (গ)

101. একটি বাস X থেকে Y-এর উদ্দেশে ছাড়ল। দুই ঘণ্টা পরে একটি গাড়ি X থেকে Y-এর দিকে ছেড়ে বাসের সাথে একই সময়ে Y-এ পৌঁছাল। গাড়ি ও বাস যদি একসাথে বিপরীত প্রান্ত X ও Y থেকে একে অপরের দিকে রওনা হতো, তবে $1\frac13$ ঘণ্টা পরে তাদের দেখা হতো। X থেকে Y যেতে বাসটির কত সময় লাগে? [A bus left X for point Y. Two hours later a car left point X for Y and arrived at Y at the same time as the bus. If the car and the bus left simultaneously from the opposite ends X and Y towards each other, they would meet $1\frac13$ hours after the start. How much time did it take the bus to travel from X to Y?]

ক) ২ ঘণ্টা     খ) ৪ ঘণ্টা     গ) ৬ ঘণ্টা     ঘ) ৮ ঘণ্টা

সমাধান:

দূরত্ব $d$, বাসের সময় $x$ ঘণ্টা ধরি। গাড়ির সময় $(x-2)$ ঘণ্টা।

বাসের গতি $\frac{d}{x}$, গাড়ির গতি $\frac{d}{x-2}$।

বিপরীত দিক থেকে $\frac43$ ঘণ্টায় তারা মোট $d$ পথ যায়, তাই $\frac43\left(\frac{d}{x}+\frac{d}{x-2}\right) = d$।

$d$ কেটে $\frac{4}{3x}+\frac{4}{3(x-2)} = 1$। উভয় পক্ষকে $3x(x-2)$ দিয়ে গুণ করলে $4(x-2)+4x = 3x(x-2)$।

$8x-8 = 3x^2-6x$, তাই $3x^2-14x+8 = 0$। এটি ভেঙে $(x-4)(3x-2) = 0$।

$x = 4$ অথবা $x = \frac23$। $x>2$ হতে হবে, কারণ গাড়ির সময় ধনাত্মক। তাই $x = 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বাসের গতি $\frac d4$, গাড়ির গতি $\frac d2$। একসাথে $\frac{3d}{4}$। $\frac43$ ঘণ্টায় তারা $\frac{3d}{4}\times\frac43 = d$ যায়, মিলে গেছে।

উত্তর: ৪ ঘণ্টা (খ)

বৃত্তাকার পথ

102. দুজন সাইকেলচালক একটি বৃত্তাকার পথের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বিপরীত দিকে রওনা হলো। তাদের গতি যথাক্রমে ৭ মি/সে ও ৮ মি/সে। পথের পরিধি ৩০০ মিটার হলে কত সময় পরে তারা যাত্রা শুরুর স্থানে আবার মিলিত হবে? [Two cyclists start on a circular track from a given point but in opposite directions with speeds of 7 m/sec and 8 m/sec respectively. If the circumference of the circle is 300 metres, after what time will they meet at the starting point?]

ক) ২০ সেকেন্ড     খ) ১০০ সেকেন্ড     গ) ২০০ সেকেন্ড     ঘ) ৩০০ সেকেন্ড

সমাধান:

প্রথম জনের এক পাকের সময় $\frac{300}{7}$ সেকেন্ড, দ্বিতীয় জনের $\frac{300}{8}$ সেকেন্ড।

দুজনই শুরুর বিন্দুতে একসাথে ফিরবে সেই সময়ে, যা দুই সময়ের সাধারণ গুণিতক। ভগ্নাংশের ল.সা.গু. $= \frac{\text{লবের ল.সা.গু.}}{\text{হরের গ.সা.গু.}} = \frac{300}{1} = 300$ সেকেন্ড।

৩০০ সেকেন্ডে প্রথম জন যায় $7\times300 = 2100$ মিটার $= 7$ পাক। দ্বিতীয় জন যায় $8\times300 = 2400$ মিটার $= 8$ পাক। দুজনই শুরুর বিন্দুতে।

ব্যাখ্যা: সাধারণ মিলনের সময় হলে প্রতি $\frac{300}{7+8} = 20$ সেকেন্ডে দেখা হতো। কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে শুরুর স্থানে মিলতে, তাই ল.সা.গু. ধরতে হয়।

উত্তর: ৩০০ সেকেন্ড (ঘ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের সমাধানে গতির বিয়োগফল ($8-7 = 1$) দিয়ে ৩০০ সেকেন্ড বের করা হয়েছে, যদিও দুজন বিপরীত দিকে চলছে। উত্তর একই (ঘ), আর ল.সা.গু. পদ্ধতিতে এই উত্তর যুক্তিসংগতভাবে আসে।

103. A একটি বৃত্তাকার মাঠ ঘণ্টায় ১ পাক হিসাবে হেঁটে ঘোরে, আর B একই মাঠ ঘণ্টায় ৬ পাক হিসাবে দৌড়ে ঘোরে। তারা সকাল ৭টা ৩০ মিনিটে একই বিন্দু থেকে একই দিকে রওনা হলো। তারা প্রথমবার কখন একে অপরকে অতিক্রম করবে? [A walks around a circular field at the rate of one round per hour while B runs around it at the rate of six rounds per hour. They start in the same direction from the same point at 7.30 a.m. They shall first cross each other at]

ক) সকাল ৭টা ৪২ মিনিট     খ) সকাল ৭টা ৪৮ মিনিট     গ) সকাল ৮টা ১০ মিনিট     ঘ) সকাল ৮টা ৩০ মিনিট

সমাধান:

একই দিকে চললে B যখন A-এর চেয়ে এক পাক বেশি যাবে, তখন প্রথমবার দেখা হবে।

আপেক্ষিক গতি $= 6-1 = 5$ পাক/ঘণ্টা।

এক পাকের ব্যবধান পার করতে সময় লাগে $\frac{1}{5}$ ঘণ্টা $= \frac{60}{5} = 12$ মিনিট।

সময় $= 7:30+12$ মিনিট $= 7:42$।

ব্যাখ্যা: একই দিকে চললে এক পাক ব্যবধান হলেই দ্রুতজন ধীরজনকে অতিক্রম করে।

উত্তর: সকাল ৭টা ৪২ মিনিট (ক)

104. A ও B একটি বৃত্তাকার পথে হাঁটে। তারা সকাল ৮টায় একই বিন্দু থেকে বিপরীত দিকে হাঁটা শুরু করল। A ঘণ্টায় ২ পাক এবং B ঘণ্টায় ৩ পাক হাঁটতে পারে। সকাল ৯টা ৩০ মিনিটের আগে তারা কতবার একে অপরকে অতিক্রম করবে? [A and B walk around a circular track. They start at 8 a.m. from the same point in the opposite directions. A and B walk at a speed of 2 rounds per hour and 3 rounds per hour respectively. How many times shall they cross each other before 9.30 a.m.?]

ক) ৫     খ) ৬     গ) ৭     ঘ) ৮

সমাধান:

বিপরীত দিকে আপেক্ষিক গতি $= 2+3 = 5$ পাক/ঘণ্টা।

তাই প্রতি ঘণ্টায় তারা ৫ বার একে অপরকে অতিক্রম করে।

সময় $= 9:30-8:00 = 1.5$ ঘণ্টা। মোট $= 5\times1.5 = 7.5$ বার।

৭.৫ মানে ৭ বার সম্পূর্ণ হয়েছে, ৮ম বারটি ৯:৩০-এর পরে হবে।

ব্যাখ্যা: এখানে দেখা হয় প্রতি $\frac{60}{5} = 12$ মিনিট পরপর। ৯০ মিনিটে ৭ বার সম্পূর্ণ হয়, তাই উত্তর ৭।

উত্তর: ৭ বার (গ)

105. দুটি বিমান ১.২ কিমি পরিধির একটি বৃত্ত বরাবর সমান গতিতে ওড়ে। বিপরীত দিকে চললে তারা প্রতি ১৫ সেকেন্ডে মিলিত হয় এবং একই দিকে চললে একটি বিমান প্রতি ৬০ সেকেন্ডে অপরটিকে অতিক্রম করে। ধীর বিমানটির গতি কত? [Two planes move along a circle of circumference 1.2 kms with constant speeds. When they move in different directions, they meet every 15 seconds and when they move in the same direction one plane overtakes the other every 60 seconds. The speed of the slower plane is]

ক) ০.০২ কিমি/সে     খ) ০.০৩ কিমি/সে     গ) ০.০৪ কিমি/সে     ঘ) ০.০৫ কিমি/সে

সমাধান:

পরিধি $= 1.2$ কিমি $= 1200$ মিটার। গতি $x$ ও $y$ মি/সে ধরি, $x>y$।

বিপরীত দিকে: $\frac{1200}{x+y} = 15$, তাই $x+y = 80$ ...(i)

একই দিকে: $\frac{1200}{x-y} = 60$, তাই $x-y = 20$ ...(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে $2x = 100$, $x = 50$। (i) থেকে $y = 30$।

ধীর বিমানের গতি $= 30$ মি/সে $= 0.03$ কিমি/সে।

ব্যাখ্যা: অপশনের একক কিমি/সেকেন্ড, তাই মি/সে-কে ১০০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

উত্তর: ০.০৩ কিমি/সে (খ)

106. একটি মহাসড়কে A ও B দুটি স্থানের দূরত্ব ৮০ কিমি। একই সময়ে A ও B থেকে দুটি গাড়ি রওনা হলো। তারা একই দিকে গেলে ৮ ঘণ্টা পরে মিলিত হয়। আর বিপরীত দিক থেকে একে অপরের দিকে এলে ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট পরে মিলিত হয়। গাড়ি দুটির গতি নির্ণয় করো। [Two places A and B are 80 km apart from each other on a highway. A car starts from A and another from B at the same time. If they move in the same direction they meet each other in 8 hours. If they move in opposite directions towards each other, they meet in 1 hour 20 minutes. Determine the speeds of the cars.]

সমাধান:

গতি $x$ ও $y$ কিমি/ঘণ্টা ধরি, $x>y$। একই দিকে চললে পেছনের দ্রুত গাড়িটি ৮০ কিমি ব্যবধান কমাবে।

$\frac{80}{x-y} = 8$, তাই $x-y = 10$ ...(i)

বিপরীত দিকে: $\frac{80}{x+y} = 1\frac13 = \frac43$, তাই $x+y = 60$ ...(ii)

যোগ করে $2x = 70$, $x = 35$। (i) থেকে $y = 25$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $35-25 = 10$ এবং $\frac{80}{10} = 8$ ঘণ্টা। $35+25 = 60$ এবং $\frac{80}{60} = 1\frac13$ ঘণ্টা।

উত্তর: ৩৫ কিমি/ঘণ্টা ও ২৫ কিমি/ঘণ্টা

তাড়া করার অঙ্ক (চোর ও পুলিশ)

107. একজন চোরকে পুলিশ তাড়া করছে। শুরুতে চোর পুলিশের ১০০ মিটার সামনে ছিল। পুলিশ ও চোরের গতির অনুপাত ৫ : ৪ হলে ধরা পড়ার আগে চোর কত মিটার দৌড়াতে পারবে? [A thief, pursued by a policeman, was 100 m ahead at the start. If the ratio of the speed of the policeman to that of the thief was 5 : 4, then how far could the thief go before he was caught by the policeman?]

ক) ৮০ মিটার     খ) ২০০ মিটার     গ) ৪০০ মিটার     ঘ) ৬০০ মিটার

সমাধান:

পুলিশ $x$ মিটার দৌড়ালে চোর দৌড়ায় $(x-100)$ মিটার। গতি ৫y ও ৪y ধরি।

দুজনের সময় সমান, তাই $\frac{x}{5y} = \frac{x-100}{4y}$।

$4x = 5(x-100)$, তাই $x = 500$।

চোর দৌড়েছে $500-100 = 400$ মিটার।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: গতির পার্থক্য $5-4 = 1$ অংশ $= 100$ মিটার। চোরের ৪ অংশ $= 400$ মিটার।

উত্তর: ৪০০ মিটার (গ)

108. ১০০ মিটার দূর থেকে একজন পুলিশ একজন চোরকে দেখতে পেল। পুলিশ তাড়া শুরু করলে চোরও দৌড়ানো শুরু করল। চোরের গতি ঘণ্টায় ৮ কিমি এবং পুলিশের গতি ঘণ্টায় ১০ কিমি হলে ধরা পড়ার আগে চোর কত দূর যাবে? [A thief is spotted by a policeman from a distance of 100 metres. When the policeman starts the chase, the thief also starts running. If the speed of the thief be 8 km/hr and that of the policeman 10 km/hr, how far the thief will have run before he is overtaken?]

সমাধান:

গতির পার্থক্য $= 10-8 = 2$ কিমি/ঘণ্টা $= 2000$ মিটার/ঘণ্টা।

২০০০ মিটার ব্যবধান কমাতে ১ ঘণ্টা লাগলে ১০০ মিটার কমাতে লাগে $\frac{100}{2000} = \frac{1}{20}$ ঘণ্টা।

এই সময়ে চোর যায় $8000\times\frac{1}{20} = 400$ মিটার।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: পুলিশ ও চোরের গতির অনুপাত $10:8 = 5:4$। ১ অংশ $= 100$ মিটার, তাই চোরের ৪ অংশ $= 400$ মিটার।

উত্তর: ৪০০ মিটার

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে শেষ উত্তরে ভুলবশত ৪০০ কিমি ছাপা হয়েছে। সঠিক উত্তর ৪০০ মিটার, কারণ ৪০০ কিমি দৌড়ানো এই অঙ্কে সম্ভব নয়।

109. একজন পুলিশ ২০০ মিটার দূর থেকে একজন চোরকে দেখতে পেল। চোর দৌড় শুরু করল এবং পুলিশ তার পেছনে ছুটল। চোর ও পুলিশ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১০ কিমি ও ১১ কিমি বেগে দৌড়ায়। ৬ মিনিট পরে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে? [A thief is noticed by a policeman from a distance of 200 m. The thief starts running and the policeman chases him. The thief and the policeman run at the rate of 10 km and 11 km per hour respectively. What is the distance between them after 6 minutes?] (সোনালী ব্যাংক (SO-FF কোটা) ২০১৯)

ক) ১০০ মিটার     খ) ১৫০ মিটার     গ) ১৯০ মিটার     ঘ) ২০০ মিটার

সমাধান:

পুলিশ ও চোরের আপেক্ষিক গতি $= 11-10 = 1$ কিমি/ঘণ্টা $= 1000$ মিটার/ঘণ্টা।

৬ মিনিট $= \frac{1}{10}$ ঘণ্টা। এই সময়ে ব্যবধান কমে $1000\times\frac{1}{10} = 100$ মিটার।

নতুন দূরত্ব $= 200-100 = 100$ মিটার।

ব্যাখ্যা: পুলিশ বেশি দ্রুত চলছে, তাই ব্যবধান কমছে। তাই ৬ মিনিট পরের দূরত্ব আগের ২০০ মিটার থেকে কম হবে।

উত্তর: ১০০ মিটার (ক)

110. ঘণ্টায় ৮ কিমি বেগে চলা একজন চোরকে ঘণ্টায় ১০ কিমি বেগে একজন পুলিশ তাড়া করছে। চোর পুলিশের ১০০ মিটার সামনে থাকলে পুলিশের চোরকে ধরতে কত সময় লাগবে? [A thief running at 8 km/hr is chased by a policeman whose speed is 10 km/hr. If the thief is 100 metres ahead of the policeman, then the time required for the policeman to catch the thief will be]

ক) ২ মিনিট     খ) ৩ মিনিট     গ) ৬ মিনিট     ঘ) ১০ মিনিট

সমাধান:

আপেক্ষিক গতি $= 10-8 = 2$ কিমি/ঘণ্টা $= 2000$ মিটার/ঘণ্টা।

২০০০ মিটার পার করতে ৬০ মিনিট লাগলে ১০০ মিটার পার করতে লাগে $\frac{100}{2000}\times60 = 3$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: মিটার ও কিমির এককে গোলমাল এড়াতে কিমি/ঘণ্টাকে মিটার/ঘণ্টায় বদলে নেওয়া সুবিধাজনক।

উত্তর: ৩ মিনিট (খ)

111. একজন চোর দুপুর ২টা ৩০ মিনিটে একটি গাড়ি চুরি করে ঘণ্টায় ৬০ কিমি বেগে পালিয়ে যায়। দুপুর ৩টায় চুরি ধরা পড়লে গাড়ির মালিক আরেকটি গাড়িতে ঘণ্টায় ৭৫ কিমি বেগে চোরকে তাড়া করে। সে কখন চোরকে ধরবে? [A thief steals a car at 2.30 p.m. and drives it at 60 kmph. The theft is discovered at 3 p.m. and the owner sets off in another car at 75 kmph. When will he overtake the thief?]

ক) বিকেল ৪টা ৩০ মিনিট     খ) বিকেল ৪টা ৪৫ মিনিট     গ) বিকেল ৫টা     ঘ) বিকেল ৫টা ১৫ মিনিট

সমাধান:

দুপুর ২:৩০ থেকে ৩:০০, অর্থাৎ ৩০ মিনিটে চোর যায় $60\times\frac12 = 30$ কিমি।

মালিক ও চোরের আপেক্ষিক গতি $= 75-60 = 15$ কিমি/ঘণ্টা।

ধরতে সময় লাগে $\frac{30}{15} = 2$ ঘণ্টা।

দুপুর ৩টার ২ ঘণ্টা পরে হয় বিকেল ৫টা।

ব্যাখ্যা: মালিক রওনা হওয়ার সময়ই চোরের ৩০ কিমির ব্যবধান আছে, সেটাই আপেক্ষিক গতি দিয়ে ভাগ হয়েছে।

উত্তর: বিকেল ৫টা (গ)

গতি বাড়া ও কমার অঙ্ক

112. একজন ব্যক্তি যদি ঘণ্টায় ১০ কিমির বদলে ১৪ কিমি বেগে হাঁটত, তবে সে ২০ কিমি বেশি পথ যেত। সে আসলে কত পথ ভ্রমণ করেছে? [If a person walks at 14 km/hr instead of 10 km/hr, he would have walked 20 km more. The actual distance travelled by him is] (কৃষি ব্যাংক (অফিসার) ২০১৭)

ক) ৫০ কিমি     খ) ৫৬ কিমি     গ) ৭০ কিমি     ঘ) ৮০ কিমি

সমাধান:

প্রকৃত দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। সময় একই, তাই $\frac{x}{10} = \frac{x+20}{14}$।

$14x = 10x+200$, তাই $4x = 200$ এবং $x = 50$ কিমি।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: গতির পার্থক্য $4$ হলে ১০ কিমি গতিতে ১ ঘণ্টায় বাড়তি পথ ৪ কিমি। ২০ কিমি বাড়তি হলে সময় ৫ ঘণ্টা, তাই পথ $10\times5 = 50$ কিমি।

উত্তর: ৫০ কিমি (ক)

113. একটি ট্রেন A ও B স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব ৪৫ মিনিটে অতিক্রম করে। ট্রেনের গতি ঘণ্টায় ৫ কিমি কমালে ওই দূরত্ব যেতে ৪৮ মিনিট লাগে। A ও B স্টেশনের দূরত্ব কত? [A train covers a distance between two stations A and B in 45 minutes. If the speed of the train is reduced by 5 km/hr, then it covers the distance in 48 minutes. The distance between the stations A and B is]

ক) ৫৫ কিমি     খ) ৬০ কিমি     গ) ৬৪ কিমি     ঘ) ৮০ কিমি

সমাধান:

দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। ৪৫ মিনিট $= \frac34$ ঘণ্টা, তাই আসল গতি $= \frac{4x}{3}$ কিমি/ঘণ্টা।

নতুন গতি $= \frac{4x}{3}-5 = \frac{4x-15}{3}$ কিমি/ঘণ্টা।

৪৮ মিনিট $= \frac45$ ঘণ্টা, তাই $\frac{x\times3}{4x-15} = \frac45$।

$15x = 4(4x-15) = 16x-60$, তাই $x = 60$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৬০ কিমি ৪৫ মিনিটে গেলে গতি ৮০ কিমি/ঘণ্টা। গতি ৭৫ হলে সময় $\frac{60}{75} = \frac45$ ঘণ্টা $= 48$ মিনিট, মিলে গেছে।

উত্তর: ৬০ কিমি (খ)

114. স্বাভাবিক গতির $\frac34$ অংশ গতিতে হেঁটে একজন ব্যক্তি অফিসে পৌঁছাতে স্বাভাবিক সময়ের চেয়ে ২০ মিনিট দেরি করে। স্বাভাবিক গতিতে তার অফিসে পৌঁছাতে কত সময় লাগে? [By walking at $\frac34$ of his usual speed, a man reaches his office 20 minutes later than his usual time. Find the usual time taken by him to reach his office.]

সমাধান:

গতি $\frac34$ গুণ হলে সময় $\frac43$ গুণ হয়। স্বাভাবিক সময় $x$ হলে নতুন সময় $\frac{4x}{3}$।

$\frac{4x}{3}-x = 20$ মিনিট, অর্থাৎ $\frac{x}{3} = 20$।

$x = 60$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: গতির অনুপাত $3:4$ হলে সময়ের অনুপাত $4:3$। পার্থক্য ১ অংশ $= 20$ মিনিট, তাই স্বাভাবিক সময় ৩ অংশ $= 60$ মিনিট।

উত্তর: ১ ঘণ্টা (৬০ মিনিট)

115. স্বাভাবিক গতির $\frac67$ অংশ গতিতে হেঁটে একজন ব্যক্তি গন্তব্যে ১২ মিনিট দেরিতে পৌঁছায়। স্বাভাবিক গতিতে ওই দূরত্ব যেতে তার কত সময় লাগে? [Walking $\frac67$th of his usual speed, a man is 12 minutes too late. The usual time taken by him to cover that distance is]

ক) ১ ঘণ্টা     খ) ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট     গ) ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট     ঘ) ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট

সমাধান:

স্বাভাবিক সময় $x$ হলে নতুন সময় $\frac{7x}{6}$।

$\frac{7x}{6}-x = \frac{12}{60}$ ঘণ্টা, অর্থাৎ $\frac{x}{6} = \frac15$।

$x = \frac65$ ঘণ্টা $= 1\frac15$ ঘণ্টা $= 1$ ঘণ্টা $12$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: সময়ের অনুপাত $7:6$, পার্থক্য ১ অংশ $= 12$ মিনিট। স্বাভাবিক সময় ৬ অংশ $= 72$ মিনিট $= 1$ ঘণ্টা ১২ মিনিট।

উত্তর: ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট (খ)

116. একটি ট্রেন তার প্রকৃত গতির $\frac{7}{11}$ অংশ গতিতে চলে একটি দূরত্ব ২২ ঘণ্টায় যায়। প্রকৃত গতিতে চললে ট্রেনটির কত সময় কম লাগত? [A train running at $\frac{7}{11}$ of its own speed reached a place in 22 hours. How much time could be saved if the train would have run at its own speed?]

ক) ৭ ঘণ্টা     খ) ৮ ঘণ্টা     গ) ১৪ ঘণ্টা     ঘ) ১৬ ঘণ্টা

সমাধান:

গতি $\frac{7}{11}$ গুণ হলে সময় $\frac{11}{7}$ গুণ হয়।

প্রকৃত সময় $T$ হলে $\frac{11}{7}T = 22$, তাই $T = 22\times\frac{7}{11} = 14$ ঘণ্টা।

সাশ্রয় $= 22-14 = 8$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ১১ অংশ $= 22$ ঘণ্টা, ৭ অংশ $= 14$ ঘণ্টা। পার্থক্য $11-7 = 4$ অংশ $= 8$ ঘণ্টা।

উত্তর: ৮ ঘণ্টা (খ)

117. একজন ব্যক্তি একটি স্থানে ৩০ ঘণ্টায় পৌঁছাতে পারে। সে যদি তার গতি $\frac{1}{15}$ অংশ কমায়, তবে ওই সময়ে ১০ কিমি কম যাবে। তার গতি কত? [A man can reach a certain place in 30 hours. If he reduces his speed by $\frac{1}{15}$th, he goes 10 km less in that time. Find his speed.]

ক) ৪ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৫ কিমি/ঘণ্টা     গ) $5\frac12$ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৬ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা ধরি। ৩০ ঘণ্টায় সে যায় $30x$ কিমি।

গতি $\frac{1}{15}$ অংশ কমলে নতুন গতি $\frac{14x}{15}$। ৩০ ঘণ্টায় যায় $30\times\frac{14x}{15} = 28x$ কিমি।

পার্থক্য $30x-28x = 2x = 10$, তাই $x = 5$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: গতি $\frac{1}{15}$ অংশ কমলে ৩০ ঘণ্টায় পথ কমে $30\times\frac{x}{15} = 2x$ কিমি। এটাই ১০ কিমি।

উত্তর: ৫ কিমি/ঘণ্টা (খ)

118. একটি গাড়ি তার প্রকৃত গতির $\frac57$ অংশ গতিতে ৪২ কিমি পথ যেতে ১ ঘণ্টা ৪০ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড সময় নেয়। গাড়িটির প্রকৃত গতি কত? [A car travelling with $\frac57$ of its actual speed covers 42 km in 1 hr 40 min 48 sec. Find the actual speed of the car.]

সমাধান:

সময় $= 1$ ঘণ্টা $40$ মিনিট $48$ সেকেন্ড $= 1+\frac{40}{60}+\frac{48}{3600} = 1+\frac23+\frac{1}{75}$ ঘণ্টা।

এটি $\frac{75+50+1}{75} = \frac{126}{75} = \frac{42}{25}$ ঘণ্টা।

প্রকৃত গতি $x$ হলে $\frac57x\times\frac{42}{25} = 42$, অর্থাৎ $\frac{6x}{5} = 42$।

$x = 42\times\frac56 = 35$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\frac57\times35 = 25$ কিমি/ঘণ্টা। ২৫ কিমি/ঘণ্টায় ৪২ কিমি যেতে $\frac{42}{25}$ ঘণ্টা লাগে, মিলে গেছে।

উত্তর: ৩৫ কিমি/ঘণ্টা (বইয়ে ঘ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের প্রথম অপশনটি বইয়ে স্পষ্ট ছাপা নেই, তাই অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর ঘ অপশন, অর্থাৎ ৩৫ কিমি/ঘণ্টা, যা আমাদের হিসাবের সাথে মিলে।

যাওয়া ও ফেরার অঙ্ক

119. A ও B দুজন বালক একই সময়ে দিল্লি থেকে ৬০ কিমি দূরের মিরাটের উদ্দেশে সাইকেল চালিয়ে রওনা হলো। A-এর গতি B-এর চেয়ে ঘণ্টায় ৪ কিমি কম। B মিরাটে পৌঁছে সাথে সাথে ফিরতি পথ ধরে এবং মিরাট থেকে ১২ কিমি দূরে A-এর সাথে মিলিত হয়। A-এর গতি কত? [Two boys A and B start at the same time to ride from Delhi to Meerut, 60 km away. A travels 4 km an hour slower than B. B reached Meerut and at once turns back meeting A 12 km from Meerut. Find As speed?]

ক) ৪ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৮ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১২ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ১৬ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

A-এর গতি $x$ হলে B-এর গতি $(x+4)$ কিমি/ঘণ্টা।

মিলনের সময় B গেছে $60+12 = 72$ কিমি এবং A গেছে $60-12 = 48$ কিমি।

দুজনের সময় সমান, তাই $\frac{72}{x+4} = \frac{48}{x}$।

$72x = 48x+192$, তাই $24x = 192$ এবং $x = 8$।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: একই সময়ে পথের অনুপাত $72:48 = 3:2 =$ গতির অনুপাত। পার্থক্য ১ অংশ $= 4$, তাই A-এর ২ অংশ $= 8$ কিমি/ঘণ্টা।

উত্তর: ৮ কিমি/ঘণ্টা (খ)

120. ফাহিম ও রিশাদ একই সময়ে একই রাস্তায় A বিন্দু থেকে B বিন্দুর দিকে যথাক্রমে ঘণ্টায় ৫২ কিমি ও ৩৯ কিমি বেগে রওনা হলো। ফাহিম B বিন্দুতে পৌঁছেই একই রাস্তায় A-এর দিকে ফিরতি পথ ধরে এবং পথে রিশাদের সাথে মিলিত হয়। A ও B-এর দূরত্ব ৭০ কিমি হলে B থেকে কত দূরে তাদের দেখা হবে? [Fahim and Rishad both started at the same time from Point A to Point B at speeds of 52 kmph and 39 kmph respectively on the same road. As soon as Fahim reaches Point B, he turns back, starts toward point A on the same road, and meets Rishad on the way. How far from Point B do the two of them meet, if the distance between the points is 70 km?] (Exim Bank (T.Off) 2015)

ক) ২০ কিমি     খ) ৩০ কিমি     গ) ১০ কিমি     ঘ) ২৫ কিমি

সমাধান:

B থেকে মিলনস্থলের দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। ফাহিম গেছে $(70+x)$ কিমি এবং রিশাদ গেছে $(70-x)$ কিমি।

দুজনের সময় সমান, তাই $\frac{70+x}{52} = \frac{70-x}{39}$।

উভয় পক্ষকে ১৩ দিয়ে গুণ করে $\frac{70+x}{4} = \frac{70-x}{3}$।

$3(70+x) = 4(70-x)$, তাই $210+3x = 280-4x$, $7x = 70$ এবং $x = 10$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: পথের অনুপাত $(70+x):(70-x) = 52:39 = 4:3$। মোট $140$ কিমিকে $4:3$ ভাগ করলে $80$ ও $60$। ফাহিম গেছে ৮০ কিমি, অর্থাৎ ৭০ কিমির পর আরও ১০ কিমি।

উত্তর: ১০ কিমি (গ)

121. একটি ট্রেনের যাওয়ার সময়ের গড় গতি ফেরার সময়ের গড় গতির চেয়ে ২৫% বেশি। গন্তব্যে পৌঁছে ট্রেনটি ১ ঘণ্টা থামে। যাওয়া-আসা মিলিয়ে মোট ১৭ ঘণ্টায় ট্রেনটি মোট ৮০০ কিমি পথ অতিক্রম করে। যাওয়ার সময় ট্রেনের গতি কত? [The average speed of a train in the onward journey is 25% more than that in the return journey. The train halts for one hour on reaching the destination. The total time taken for the complete to and fro journey is 17 hours, covering a distance of 800 km. The speed of the train in the onward journey is]

ক) ৪৫ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪৭.৫ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৫২ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৫৬.২৫ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

ফেরার গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা হলে যাওয়ার গতি $x$-এর $125\%$, অর্থাৎ $\frac{5x}{4}$।

থামা বাদ দিলে চলার সময় $= 17-1 = 16$ ঘণ্টা। প্রতি দিকে পথ $= 400$ কিমি।

$\frac{400}{5x/4}+\frac{400}{x} = 16$, অর্থাৎ $\frac{320}{x}+\frac{400}{x} = 16$।

$\frac{720}{x} = 16$, তাই $x = 45$।

যাওয়ার গতি $= \frac54\times45 = 56.25$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে যাওয়ার গতি, ফেরার গতি নয়। তাই $x = 45$ অপশনের ফাঁদ হতে পারে।

উত্তর: ৫৬.২৫ কিমি/ঘণ্টা (ঘ)

122. একটি ট্রেনের ফেরার সময়ের গড় গতি যাওয়ার সময়ের চেয়ে ২০% কম। ফেরার আগে গন্তব্য স্টেশনে ট্রেনটি আধ ঘণ্টা থামে। যাওয়া-আসা মিলিয়ে মোট ২৩ ঘণ্টায় ট্রেনটি মোট ১০০০ কিমি পথ অতিক্রম করে। ফেরার সময় ট্রেনের গতি কত? [The average speed of a train is 20% less on the return journey than on the onward journey. The train halts for half an hour at the destination station before starting on the return journey. If the total time taken for the to and fro journey is 23 hours, covering a distance of 1000 km, the speed of the train on the return journey is]

ক) ৪০ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৫০ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৫৫ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৬০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

যাওয়ার গতি $x$ হলে ফেরার গতি $x$-এর $80\%$, অর্থাৎ $\frac{4x}{5}$। প্রতি দিকে পথ $= 500$ কিমি।

চলার সময় $= 23-\frac12 = 22.5$ ঘণ্টা।

$\frac{500}{x}+\frac{500}{4x/5} = \frac{500}{x}+\frac{625}{x} = \frac{1125}{x} = 22.5$।

$x = \frac{1125}{22.5} = 50$ কিমি/ঘণ্টা।

ফেরার গতি $= \frac45\times50 = 40$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাওয়ার গতি ৫০ কিমি/ঘণ্টা, কিন্তু প্রশ্নে ফেরার গতি চাওয়া হয়েছে। তাই চূড়ান্ত উত্তর ৪০।

উত্তর: ৪০ কিমি/ঘণ্টা (ক)

123. রবি হেঁটে একটি শপিং মলে যায় এবং হেঁটেই ফিরে আসে। সে কেনাকাটায় ৩০ মিনিট সময় ব্যয় করে। ঘণ্টায় ১০ কিমি বেগে হাঁটলে সে ১৯:০০ টায় বাড়ি ফেরে। ঘণ্টায় ১৫ কিমি বেগে হাঁটলে ফেরে ১৮:৩০ টায়। ১৮:১৫ টায় বাড়ি ফিরতে হলে তাকে ঘণ্টায় কত কিমি বেগে হাঁটতে হবে? [Ravi walks to and fro to a shopping mall. He spends 30 minutes shopping. If he walks at a speed of 10 km an hour, he returns home at 19.00 hours. If he walks at 15 km an hour, he returns home at 18.30 hours. How far must he walk in order to return home at 18.15 hours?]

ক) ১৭ কিমি/ঘণ্টা     খ) ১৭.৫ কিমি/ঘণ্টা     গ) ১৮ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ২০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

যাওয়া-আসার মোট দূরত্ব $x$ কিমি ধরি। দুই গতিতে সময়ের পার্থক্য $= 19:00-18:30 = 30$ মিনিট।

$\frac{x}{10}-\frac{x}{15} = \frac12$, অর্থাৎ $\frac{x}{30} = \frac12$, তাই $x = 15$ কিমি।

১০ কিমি/ঘণ্টায় হাঁটার সময় $= \frac{15}{10} = 1.5$ ঘণ্টা। কেনাকাটা ০.৫ ঘণ্টা মিলিয়ে মোট ২ ঘণ্টা। তাই সে রওনা দেয় $19:00-2$ ঘণ্টা $= 17:00$ টায়।

১৮:১৫ টায় ফিরতে মোট সময় $= 18:15-17:00 = 1$ ঘণ্টা ১৫ মিনিট। কেনাকাটা বাদ দিলে হাঁটার সময় $= 45$ মিনিট $= \frac34$ ঘণ্টা।

প্রয়োজনীয় গতি $= \frac{15}{3/4} = 20$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নের শেষ অংশে দূরত্ব নয়, গতি জানতে চাওয়া হয়েছে, যা অপশনের একক থেকে বোঝা যায়। কেনাকাটার ৩০ মিনিট প্রতিবারই সমান, তাই সেটি বাদ দিয়ে হিসাব করতে হয়।

উত্তর: ২০ কিমি/ঘণ্টা (ঘ)

সমীকরণ গঠনের অঙ্ক

124. একজন ব্যক্তি তার মোট যাত্রার $\frac{2}{15}$ অংশ রেলে, $\frac{9}{20}$ অংশ বাসে এবং বাকি ১০ কিমি সাইকেলে যায়। তার মোট যাত্রা কত? [A man performs 2/15 of the total journey by rail, 9/20 by bus and the remaining 10 km, on the cycle. His total journey is]

ক) ৩১.২ কিমি     খ) ৩৮.৪ কিমি     গ) ৩২.৮ কিমি     ঘ) ২৪ কিমি

সমাধান:

মোট যাত্রা $x$ কিমি ধরি। রেল ও বাস মিলে $= \frac{2x}{15}+\frac{9x}{20} = \frac{8x+27x}{60} = \frac{35x}{60} = \frac{7x}{12}$।

বাকি অংশ $= x-\frac{7x}{12} = \frac{5x}{12} = 10$।

$x = \frac{10\times12}{5} = 24$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: রেলে $\frac{2}{15}\times24 = 3.2$ কিমি, বাসে $\frac{9}{20}\times24 = 10.8$ কিমি, সাইকেলে ১০ কিমি। মোট $3.2+10.8+10 = 24$।

উত্তর: ২৪ কিমি (ঘ)