Time, Distance & Speed Math Solutions for Bank Jobs: Part 4 (Q75-99)

প্রশ্ন ও সমাধান

75. একজন চালক পুরো যাত্রায় গড়ে ঘণ্টায় ৫০ মাইল বেগে যেতে চায়। প্রথম অংশে সে $1\frac12$ ঘণ্টায় ৫০ মাইল চালিয়েছে। শেষ ৭০ মাইল চালাতে তার কত সময় লাগবে? [How long must a driver take to drive the final 70 miles of a trip if he wants to average 50 miles an hour for the entire trip and during the first part of the trip he drove 50 miles in $1\frac12$ hours?]

ক) ৫৪ মিনিট     খ) ১ ঘণ্টা     গ) ৬৬ মিনিট     ঘ) ৭০ মিনিট

সমাধান:

মোট দূরত্ব $= 70+50 = 120$ মাইল।

পুরো যাত্রার সময় $= \frac{120}{50} = 2\frac25$ ঘণ্টা $= 2$ ঘণ্টা $24$ মিনিট।

প্রথম অংশের সময় $= 1\frac12$ ঘণ্টা $= 1$ ঘণ্টা $30$ মিনিট।

বাকি সময় $= 2$ ঘণ্টা $24$ মিনিট $-$ $1$ ঘণ্টা $30$ মিনিট $= 54$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: গড় গতি ধরে পুরো যাত্রার সময় বের করে প্রথম অংশের সময় বাদ দিলেই শেষ অংশের সময় পাওয়া যায়।

উত্তর: ৫৪ মিনিট (ক)

76. একটি উড়োজাহাজ প্রথমে ঘণ্টায় ৪৪০ কিমি বেগে কিছু পথ গেল। এরপর আগের পথের চেয়ে ৭৭০ কিমি কম পথ ঘণ্টায় ৬৬০ কিমি বেগে গেল। পুরো যাত্রায় গড় গতি ছিল ঘণ্টায় ৫০০ কিমি। মোট দূরত্ব কত? [An aeroplane first flew with a speed of 440 kmph and covered a certain distance. It still had to cover 770 km less than what it had already covered, but it flew with a speed of 660 kmph. The average speed for the entire flight was 500 kmph. Find the total distance covered.]

ক) ১৩৭৫ কিমি     খ) ২৭৫০ কিমি     গ) ৩২৫০ কিমি     ঘ) ৪৪০০ কিমি

সমাধান:

প্রথম পথ $x$ কিমি হলে দ্বিতীয় পথ $(x-770)$ কিমি। মোট পথ $= 2x-770$।

মোট সময় $= \frac{x}{440}+\frac{x-770}{660} = \frac{2x-770}{500}$।

বাঁ পাশে $\frac{3x+2x-1540}{1320} = \frac{5x-1540}{1320}$। তাহলে $\frac{5x-1540}{1320} = \frac{2x-770}{500}$।

আড়গুণন করে $500(5x-1540) = 1320(2x-770)$, অর্থাৎ $25(5x-1540) = 66(2x-770)$।

$125x-38500 = 132x-50820$, তাই $7x = 12320$ এবং $x = 1760$।

মোট দূরত্ব $= 2\times1760-770 = 2750$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\frac{1760}{440}=4$ ঘণ্টা, $\frac{990}{660}=1.5$ ঘণ্টা, মোট $5.5$ ঘণ্টা। $\frac{2750}{5.5}=500$ কিমি/ঘণ্টা, মিলে গেছে।

উত্তর: ২৭৫০ কিমি (খ)

একই দিকে চলা

77. দুজন লোক একই জায়গা থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় ৫ কিমি ও ৫.৫ কিমি বেগে হাঁটা শুরু করল। একই দিকে হাঁটলে কত সময় পরে তাদের মধ্যে দূরত্ব ৮.৫ কিমি হবে? [Two men starting from the same place walk at the rate of 5 kmph and 5.5 kmph respectively. What time will they take to be 8.5 km apart, if they walk in the same direction?]

ক) ৪ ঘণ্টা ১৫ মিনিট     খ) ৮ ঘণ্টা ৩০ মিনিট     গ) ১৬ ঘণ্টা     ঘ) ১৭ ঘণ্টা

সমাধান:

একই দিকে আপেক্ষিক গতি $= 5.5-5 = 0.5$ কিমি/ঘণ্টা।

সময় $= \frac{8.5}{0.5} = 17$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: প্রতি ঘণ্টায় দূরত্ব ০.৫ কিমি করে বাড়ে, তাই ৮.৫ কিমি হতে ১৭ ঘণ্টা লাগে।

উত্তর: ১৭ ঘণ্টা (ঘ)

78. P ও Q দুজন একই জায়গা থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় $3$ কিমি ও $3\frac12$ কিমি বেগে একই দিকে যাত্রা শুরু করল। ৪ ঘণ্টা পরে তাদের মধ্যে দূরত্ব কত? [Two men P and Q start a journey from the same place at a speed of $3$ km/hr and $3\frac12$ km/hr respectively. If they move in the same direction then what is the distance between them after 4 hours?]

সমাধান:

গতির পার্থক্য $= 3\frac12-3 = \frac12$ কিমি/ঘণ্টা।

দূরত্ব $= \frac12\times4 = 2$ কিমি।

ব্যাখ্যা: একই দিকে গেলে দূরত্ব বাড়ে গতির পার্থক্য অনুযায়ী।

উত্তর: ২ কিমি (বইয়ে গ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের অপশনের ভগ্নাংশগুলো বইয়ে স্পষ্ট ছাপা নেই, তাই এখানে অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর গ অপশন, অর্থাৎ ২ কিমি, এবং আমাদের হিসাবেও তাই আসে।

79. একটি যাত্রীবাহী ট্রেন ঘণ্টায় ৮০ কিমি বেগে চলে। একটি মালবাহী ট্রেন স্টেশন ছাড়ার ৬ ঘণ্টা পরে যাত্রীবাহী ট্রেনটি স্টেশন থেকে রওনা দেয় এবং ৪ ঘণ্টা পরে মালবাহী ট্রেনকে ধরে ফেলে। মালবাহী ট্রেনের গতি কত? [A passenger train runs at the rate of 80 kmph. It starts from the station, 6 hours after a goods train leaves the station. The passenger train overtakes the goods train after 4 hours. The speed of goods train is]

ক) ৩২ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪৫ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৫০ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৬৪ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

যাত্রীবাহী ট্রেন ৪ ঘণ্টায় যায় $80\times4 = 320$ কিমি।

মালবাহী ট্রেন এই পথ যায় $6+4 = 10$ ঘণ্টায়।

মালবাহী ট্রেনের গতি $= \frac{320}{10} = 32$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: ধরতে পারার মুহূর্তে দুই ট্রেনই সমান পথ গেছে। মালবাহী ট্রেন সেই পথে ১০ ঘণ্টা সময় নিয়েছে।

উত্তর: ৩২ কিমি/ঘণ্টা (ক)

80. পশ্চিম এক্সপ্রেস ঘণ্টায় ৬০ কিমি বেগে ১৪:৩০ টায় দিল্লি থেকে মুম্বাইয়ের উদ্দেশে রওনা হলো। আগস্ট ক্রান্তি এক্সপ্রেস একই দিনে ১৬:৩০ টায় ঘণ্টায় ৮০ কিমি বেগে দিল্লি থেকে মুম্বাইয়ের উদ্দেশে রওনা হলো। থামার সময় বাদ দিলে দিল্লি থেকে কত দূরে ট্রেন দুটির দেখা হবে? [Paschim Express left Delhi for Mumbai at 14:30 hrs travelling at a speed of 60 kmph and August Kranti Express left Delhi for Mumbai on the same day at 16.30 hrs travelling at a speed of 80 kmph. How far away from Delhi will the two trains meet (excluding stoppages)?]

ক) ১২০ কিমি     খ) ৩৬০ কিমি     গ) ৪৮০ কিমি     ঘ) ৫০০ কিমি

সমাধান:

প্রথম ২ ঘণ্টায় পশ্চিম এক্সপ্রেস যায় $60\times2 = 120$ কিমি।

এরপর প্রতি ঘণ্টায় ব্যবধান কমে $80-60 = 20$ কিমি।

ব্যবধান শূন্য হতে সময় লাগে $\frac{120}{20} = 6$ ঘণ্টা।

দিল্লি থেকে দূরত্ব $= 80\times6 = 480$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় ট্রেনের ৬ ঘণ্টায় ৪৮০ কিমি। প্রথম ট্রেনের ৮ ঘণ্টায় $60\times8 = 480$ কিমি, দুই হিসাব মিলেছে।

উত্তর: ৪৮০ কিমি (গ)

81. R ও S দুটি জায়গার মধ্যে দূরত্ব ৮০০ কিমি। দুজন লোক R থেকে S-এর দিকে ২ ঘণ্টার ব্যবধানে রওনা হলো। A আগে এবং B পরে ছাড়ল। A ও B-এর গতি যথাক্রমে ঘণ্টায় ৪০ কিমি ও ৬০ কিমি। R থেকে S-এর পথে M বিন্দুতে B গিয়ে A-কে ধরে ফেলে। M পর্যন্ত যেতে A ও B-এর সময়ের অনুপাত কত? [Two places R and S are 800 km apart from each other. Two persons start from R towards S at an interval of 2 hours. Whereas A leaves R for S before B. The speeds of A and B are 40 kmph and 60 kmph respectively. B overtakes A at M, which is on the way from R to S. What is the ratio of time taken by A and B to meet at M?]

ক) ১ : ৩     খ) ১ : ২     গ) ১ : ৪     ঘ) ৩ : ২

সমাধান:

M পর্যন্ত A-এর সময় $x$ ঘণ্টা হলে B-এর সময় $(x-2)$ ঘণ্টা।

দুজনেই সমান পথ গেছে, তাই $40x = 60(x-2)$।

$40x = 60x-120$, তাই $20x = 120$ এবং $x = 6$।

B-এর সময় $= 6-2 = 4$ ঘণ্টা। অনুপাত $= 6:4 = 3:2$।

ব্যাখ্যা: M-এর দূরত্ব $40\times6 = 240$ কিমি, যা ৮০০ কিমির মধ্যেই পড়ে। তাই উত্তরটি বৈধ।

উত্তর: ৩ : ২ (ঘ)

82. একটি বাস ঘণ্টায় ৩০ কিমি বেগে চলছে এবং একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৫০ কিমি বেগে ঠিক পেছন থেকে আসছে। গাড়িটি ১৫ মিনিটে বাসটিকে ধরে ফেললে তাদের মধ্যে দূরত্ব কত কিলোমিটার ছিল? [A bus is moving with a speed of 30 km/hr ahead of a car with a speed of 50 km/hr. How many kilometres apart are they if it takes 15 minutes for the car to catch up with the bus?]

ক) ৫ কিমি     খ) ৭.৫ কিমি     গ) ১২.৫ কিমি     ঘ) ১৫ কিমি

সমাধান:

আপেক্ষিক গতি $= 50-30 = 20$ কিমি/ঘণ্টা।

১৫ মিনিট $= \frac14$ ঘণ্টা।

দূরত্ব $= 20\times\frac14 = 5$ কিমি।

ব্যাখ্যা: গাড়ি ১৫ মিনিটে বাসের চেয়ে যতটা বেশি পথ যায়, সেটাই তাদের মধ্যকার ব্যবধান।

উত্তর: ৫ কিমি (ক)

83. ট্রেন A সকাল ১১টায় ঘণ্টায় ৬০ কিমি বেগে লুধিয়ানা থেকে দিল্লির দিকে রওনা হয়। ট্রেন B একই পথে ওই দিন দুপুর ২টায় ঘণ্টায় ৭২ কিমি বেগে লুধিয়ানা থেকে ছাড়ে। কখন ট্রেন দুটি একসাথে হবে? [Train A leaves Ludhiana for Delhi at 11 a.m, running at the speed of 60 km/hr. Train B leaves Ludhiana for Delhi by the same route at 2 p.m. on the same day, running at the speed of 72 km/hr. At what time will the two trains meet each other?]

ক) পরের দিন রাত ২টা     খ) পরের দিন ভোর ৫টা     গ) পরের দিন বিকেল ৫টা     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সকাল ১১টা থেকে দুপুর ২টা, অর্থাৎ ৩ ঘণ্টায় A যায় $60\times3 = 180$ কিমি।

আপেক্ষিক গতি $= 72-60 = 12$ কিমি/ঘণ্টা।

ধরতে সময় লাগে $\frac{180}{12} = 15$ ঘণ্টা।

দুপুর ২টার ১৫ ঘণ্টা পরে হয় পরের দিন ভোর ৫টা।

ব্যাখ্যা: দুপুর ২টা থেকে মধ্যরাত ১০ ঘণ্টা, বাকি ৫ ঘণ্টায় ভোর ৫টা।

উত্তর: পরের দিন ভোর ৫টা (খ)

84. আরিয়ান মিনিটে ৪০ মিটার বেগে দৌড়ায়। ৫ মিনিট পরে রাহুল তার পেছনে মিনিটে ৫০ মিটার বেগে দৌড়ানো শুরু করে। রাহুলের সঙ্গে তার কুকুরও মিনিটে ৬০ মিটার বেগে দৌড়ানো শুরু করে। কুকুরটি আরিয়ানের কাছে গিয়ে আবার রাহুলের কাছে ফিরে আসে এবং রাহুল আরিয়ানকে ধরা পর্যন্ত এভাবে দৌড়াতে থাকে। কুকুরটি মোট কত দূরত্ব অতিক্রম করে? [Aryan runs at a speed of 40 metres/minute. Rahul follows him after an interval of 5 minutes and runs at a speed of 50 metres/minute. Rahul dog runs at a speed of 60 metres/minute and starts along with Rahul. The dog reaches Aryan and then comes back to Rahul, and continues to do so till Rahul reaches Aryan. What is the total distance covered by the dog?]

ক) ৬০০ মিটার     খ) ৭৫০ মিটার     গ) ৯৮০ মিটার     ঘ) ১২০০ মিটার

সমাধান:

৫ মিনিটে আরিয়ান যায় $40\times5 = 200$ মিটার।

রাহুলের আপেক্ষিক গতি $= 50-40 = 10$ মিটার/মিনিট।

রাহুল আরিয়ানকে ধরতে সময় নেয় $\frac{200}{10} = 20$ মিনিট।

এই ২০ মিনিট কুকুর একটানা দৌড়ায়, তাই দূরত্ব $= 60\times20 = 1200$ মিটার।

ব্যাখ্যা: কুকুরের কতবার যাওয়া-আসা হলো তা হিসাব করার দরকার নেই। যতক্ষণ রাহুল আরিয়ানকে না ধরছে ততক্ষণ কুকুর চলছে, তাই সময় ও গতি গুণ করলেই হয়।

উত্তর: ১২০০ মিটার (ঘ)

বিপরীত দিকে চলা

85. দুজন সাইকেলচালক একই জায়গা থেকে বিপরীত দিকে রওনা হলো। একজন ঘণ্টায় ১৮ কিমি বেগে উত্তরে এবং অন্যজন ঘণ্টায় ২০ কিমি বেগে দক্ষিণে যায়। কত সময় পরে তাদের মধ্যে দূরত্ব ৪৭.৫ কিমি হবে? [Two cyclists start from the same place in opposite directions. One goes towards north at 18 kmph and the other goes towards south at 20 kmph. What time will they take to be 47.5 km apart?]

সমাধান:

বিপরীত দিকে আপেক্ষিক গতি $= 18+20 = 38$ কিমি/ঘণ্টা।

সময় $= \frac{47.5}{38} = \frac{5}{4} = 1\frac14$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: বিপরীত দিকে গেলে গতি যোগ হয়। $38\times1.25 = 47.5$, মিলে গেছে।

উত্তর: $1\frac14$ ঘণ্টা (বইয়ে ক)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের অপশনের ভগ্নাংশগুলো বইয়ে স্পষ্ট ছাপা নেই, তাই অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর ক অপশন, যা আমাদের হিসাবের সাথে মিলে।

86. A ও B দুটি স্টেশনের দূরত্ব ১০ কিমি। P নামের একজন A থেকে B-এর দিকে ঘণ্টায় ৩ কিমি বেগে এবং Q নামের আরেকজন B থেকে A-এর দিকে ঘণ্টায় ২ কিমি বেগে রওনা হলো। তারা কখন এবং কোথায় মিলিত হবে? [A and B are two stations 10 km apart. A man, P starts from A and travels towards B at the rate of 3 km/hr, whereas another man Q starts from B and travels towards A at the rate of 2 km/hr. When and where do they meet?]

সমাধান:

ধরি $x$ ঘণ্টা পরে দেখা হবে। দুজনের মোট পথ $= 10$ কিমি।

$3x+2x = 10$, তাই $x = 2$ ঘণ্টা।

P এই সময়ে যায় $3\times2 = 6$ কিমি।

ব্যাখ্যা: আপেক্ষিক গতি $3+2 = 5$ কিমি/ঘণ্টা, তাই $\frac{10}{5} = 2$ ঘণ্টা। Q গেছে $2\times2 = 4$ কিমি, ফলে $6+4 = 10$ কিমি মিলে গেছে।

উত্তর: ২ ঘণ্টা পরে, A থেকে ৬ কিমি দূরে (বইয়ে ক)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের চতুর্থ অপশনে ভগ্নাংশ স্পষ্ট ছাপা নেই, তাই অপশন দেওয়া হয়নি। বইয়ের উত্তর ক, অর্থাৎ ২ ঘণ্টা পরে A থেকে ৬ কিমি দূরে।

87. দুটি স্টেশনের দূরত্ব ২০০ কিমি। দুটি ট্রেন একই সময়ে স্টেশন দুটি থেকে বিপরীত দিকে যাত্রা শুরু করে একটি স্টেশন থেকে ১১০ কিমি দূরে একে অপরকে অতিক্রম করল। তাদের গতির অনুপাত কত? [Two trains starting at the same time from two stations 200 km apart and going in opposite directions cross each other at a distance of 110 km from one of the stations. What is the ratio of their speeds?]

ক) ৯ : ২০     খ) ১১ : ৯     গ) ১১ : ২০     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

একই সময়ে একটি ট্রেন গেছে ১১০ কিমি, অন্যটি $200-110 = 90$ কিমি।

গতির অনুপাত $= 110:90 = 11:9$।

ব্যাখ্যা: একই সময়ে যে বেশি পথ যায় তার গতি বেশি, তাই পথের অনুপাতই গতির অনুপাত।

উত্তর: ১১ : ৯ (খ)

88. দুটি ট্রেন A ও B স্টেশন থেকে একে অপরের দিকে যথাক্রমে ঘণ্টায় ৫০ কিমি ও ৬০ কিমি বেগে রওনা হলো। দেখা হওয়ার সময় দ্বিতীয় ট্রেন প্রথমটির চেয়ে ১২০ কিমি বেশি পথ গেছে। A ও B-এর দূরত্ব কত? [Two trains start from stations A and B and travel towards each other at a speed of 50 kmph and 60 kmph respectively. At the time of their meeting, the second train had travelled 120 km more than the first. The distance between A and B is]

ক) ৬০০ কিমি     খ) ১৩২০ কিমি     গ) ১৪৪০ কিমি     ঘ) ১৬৬০ কিমি

সমাধান:

দেখা হওয়া পর্যন্ত সময় $t$ ঘণ্টা হলে $60t-50t = 120$।

$10t = 120$, তাই $t = 12$ ঘণ্টা।

মোট দূরত্ব $= (50+60)\times12 = 1320$ কিমি।

ব্যাখ্যা: বিকল্প উপায়: প্রতি ১ ঘণ্টায় পথের পার্থক্য ১০ কিমি, মোট ১১০ কিমি। পার্থক্য ১২০ কিমি হলে মোট $\frac{110}{10}\times120 = 1320$ কিমি।

উত্তর: ১৩২০ কিমি (খ)

89. একটি বাস টার্মিনাল থেকে ঘণ্টায় ২০ কিমি বেগে প্রতি ১০ মিনিট পর পর বাস ছাড়ে। বিপরীত দিক থেকে টার্মিনালের দিকে আসা একজন লোক ৮ মিনিট পর পর বাসের দেখা পায়। লোকটির গতি কত? [Buses start from a bus terminal with a speed of 20 km/hr at intervals of 10 minutes. What is the speed of a man coming from the opposite direction towards the bus terminal if he meets the buses at intervals of 8 minutes?]

ক) ৩ কিমি/ঘণ্টা     খ) ৪ কিমি/ঘণ্টা     গ) ৫ কিমি/ঘণ্টা     ঘ) ৭ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

১০ মিনিটে বাস যায় $20\times\frac{10}{60} = \frac{10}{3}$ কিমি। পরপর দুই বাসের এটাই ব্যবধান।

লোকটির গতি $x$ কিমি/ঘণ্টা হলে সে বাসের বিপরীতে চলে, আপেক্ষিক গতি $(20+x)$।

৮ মিনিটে এই ব্যবধান পার হয়, তাই $(20+x)\times\frac{8}{60} = \frac{10}{3}$।

$20+x = \frac{10}{3}\times\frac{60}{8} = 25$, তাই $x = 5$।

ব্যাখ্যা: দ্রুত উপায়: বাসের ২ মিনিটের পথ আর লোকটির ৮ মিনিটের পথ সমান, তাই সময়ের অনুপাত $2:8$ হলে গতির অনুপাত $4:1$। বাসের গতি ২০ হলে লোকটির গতি ৫ কিমি/ঘণ্টা।

উত্তর: ৫ কিমি/ঘণ্টা (গ)

90. একই জায়গা থেকে ৮ সেকেন্ড ব্যবধানে দুটি বন্দুক থেকে গুলি ছোড়া হলো। ওই জায়গার দিকে এগিয়ে আসা একজন লোক দুটি গুলির শব্দ শোনার মধ্যে ৫ মিনিট ৫২ সেকেন্ড সময় পেল। শব্দের বেগ ৩৩০ মি/সে হলে লোকটি ঘণ্টায় কত কিমি বেগে এগোচ্ছিল? [Two guns were fired from the same place at an interval of 8 sec. A person approaching the place observes that 5 minutes 52 seconds have elapsed between the hearing of the sound of the two guns. If the velocity of the sound is 330 m/sec, the man was approaching the place at what speed (in km/hr)?]

ক) ২৪     খ) ২৭     গ) ৩০     ঘ) ৩৬

সমাধান:

৫ মিনিট ৫২ সেকেন্ড $= 352$ সেকেন্ড। লোকটির গতি $x$ মি/সে ধরি।

বইয়ের সম্পর্ক অনুযায়ী, ৩৫২ সেকেন্ডে লোকটির যাওয়া পথ $=$ শব্দের ৮ সেকেন্ডে যাওয়া পথ।

$x\times352 = 330\times8$, তাই $x = \frac{2640}{352} = 7.5$ মি/সে।

কিমি/ঘণ্টায় রূপান্তর: $7.5\times\frac{18}{5} = 27$।

ব্যাখ্যা: মি/সে থেকে কিমি/ঘণ্টা করতে $\frac{18}{5}$ দিয়ে গুণ করতে হয়।

উত্তর: ২৭ কিমি/ঘণ্টা (খ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নের পরিস্থিতিটি বাস্তবে একটু অস্বাভাবিক। বইয়ের সমাধান এই সম্পর্ক ধরেই এগিয়েছে এবং উত্তর ২৭, তাই পরীক্ষার জন্য বইয়ের পদ্ধতিটাই মনে রাখা ভালো।

91. ৪২৫ কিমি দূরত্ব থেকে দুটি ট্রেন প্রত্যেকে ঘণ্টায় ২০০ কিমি বেগে একে অপরের দিকে আসছে। প্রতি আধ ঘণ্টা পর পর তারা গতি অর্ধেক করে ফেললে ১ ঘণ্টা ৩০ মিনিট পরে তাদের মধ্যে দূরত্ব কত থাকবে? [A distance of 425 km separates two trains moving towards each other at a speed of 200 km/hr each. What will be the distance between them after 1 hr 30 min, if they reduce their speed by half, every half an hour?]

ক) ৭৫ কিমি     খ) ১২০ কিমি     গ) ১৫০ কিমি     ঘ) ২০০ কিমি

সমাধান:

শুরুতে আপেক্ষিক গতি $= 200+200 = 400$ কিমি/ঘণ্টা।

প্রথম আধ ঘণ্টায় $400\times\frac12 = 200$ কিমি।

দ্বিতীয় আধ ঘণ্টায় গতি ২০০ কিমি/ঘণ্টা, তাই $200\times\frac12 = 100$ কিমি।

তৃতীয় আধ ঘণ্টায় গতি ১০০ কিমি/ঘণ্টা, তাই $100\times\frac12 = 50$ কিমি।

মোট পথ $= 200+100+50 = 350$ কিমি। অবশিষ্ট দূরত্ব $= 425-350 = 75$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দুই ট্রেনের গতি আলাদাভাবে অর্ধেক হওয়া মানে আপেক্ষিক গতিও অর্ধেক হওয়া।

উত্তর: ৭৫ কিমি (ক)

লিখিত গণিতে আসা আপেক্ষিক গতির অঙ্ক

92. A ও B দুটি স্টেশনের দূরত্ব ৩৯০ কিমি। একটি ট্রেন A থেকে সকাল ১০টায় ঘণ্টায় ৬৫ কিমি বেগে B-এর দিকে রওনা হয়। অন্য একটি ট্রেন B থেকে সকাল ১১টায় ঘণ্টায় ৩৫ কিমি বেগে A-এর দিকে রওনা হয়। তারা কখন মিলিত হবে? [A and B are two stations 390 km apart. A train starts from A at 10 a.m. and travels towards B at 65 kmph. Another train starts from B at 11 a.m. and travels towards A at 35 kmph. At what time do they meet?]

সমাধান:

সকাল ১১টা পর্যন্ত প্রথম ট্রেন যায় $65$ কিমি। তখন দুটি ট্রেনের মধ্যে দূরত্ব $= 390-65 = 325$ কিমি।

এরপর আপেক্ষিক গতি $= 65+35 = 100$ কিমি/ঘণ্টা।

সময় $= \frac{325}{100} = 3.25$ ঘণ্টা $= 3$ ঘণ্টা $15$ মিনিট।

সকাল ১১টার ৩ ঘণ্টা ১৫ মিনিট পরে, অর্থাৎ দুপুর ২টা ১৫ মিনিটে দেখা হবে।

ব্যাখ্যা: বিকল্প সমীকরণ: ১০টা থেকে $x$ ঘণ্টা পরে দেখা হলে $65x+35(x-1) = 390$, তাই $100x = 425$ এবং $x = 4\frac14$ ঘণ্টা, ফল একই।

উত্তর: দুপুর ২টা ১৫ মিনিট

93. ৭০০ কিমি দূরত্বের দুটি স্থান A ও B থেকে সকাল ৯টায় দুটি গাড়ি X ও Y রওনা হয়। দুটি গাড়িরই গড় গতি ঘণ্টায় ৬০ কিমি। গাড়ি X সকাল ১০টায় থেমে ১১টায় আবার চলতে শুরু করে, আর Y না থেমে চলতে থাকে। গাড়ি দুটি কখন একে অপরকে অতিক্রম করবে? [Two cars X and Y start from places A and B respectively which are 700 km apart at 9 a.m. Both the cars run at an average speed of 60 km/hr. Car X stops at 10 a.m. and again starts at 11 a.m. while the other car continues to run without stopping. The two cars cross each other at]

ক) দুপুর ২টা ৪০ মিনিট     খ) বিকেল ৩টা ২০ মিনিট     গ) বিকেল ৪টা ১০ মিনিট     ঘ) বিকেল ৪টা ২০ মিনিট

সমাধান:

সকাল ৯টার $x$ ঘণ্টা পরে দেখা হলে X চলেছে $(x-1)$ ঘণ্টা (১ ঘণ্টা থামা বাদ), Y চলেছে $x$ ঘণ্টা।

$60(x-1)+60x = 700$, তাই $120x = 760$।

$x = \frac{19}{3} = 6\frac13$ ঘণ্টা $= 6$ ঘণ্টা $20$ মিনিট।

সকাল ৯টার ৬ ঘণ্টা ২০ মিনিট পরে হয় বিকেল ৩টা ২০ মিনিট।

ব্যাখ্যা: থামার সময়টুকু X-এর চলার সময় থেকে বাদ দিতে হয়, Y-এর সময় থেকে নয়।

উত্তর: বিকেল ৩টা ২০ মিনিট (খ)

94. অশোক A স্থান থেকে সকাল ৮টায় B স্থানের দিকে এবং রাহুল B স্থান থেকে সকাল ১০টায় A স্থানের দিকে রওনা হলো। A ও B-এর দূরত্ব ৬৩৭ কিমি। অশোক ও রাহুলের গতি যথাক্রমে ঘণ্টায় ৩৯ কিমি ও ৪৭ কিমি হলে তারা কখন মিলিত হবে? [Ashok left from place A for place B at 8 a.m. and Rahul left place B for place A at 10.00 a.m. The distance between place A and B is 637 km. If Ashok and Rahul are travelling at a uniform speed of 39 kmph and 47 kmph respectively, at what time will they meet?]

ক) বিকেল ৫টা ৩০ মিনিট     খ) বিকেল ৪টা ৩০ মিনিট     গ) বিকেল ৫টা     ঘ) বিকেল ৪টা

সমাধান:

সকাল ৮টা থেকে ১০টা, অর্থাৎ ২ ঘণ্টায় অশোক যায় $2\times39 = 78$ কিমি।

অবশিষ্ট দূরত্ব $= 637-78 = 559$ কিমি।

আপেক্ষিক গতি $= 39+47 = 86$ কিমি/ঘণ্টা।

সময় $= \frac{559}{86} = 6.5$ ঘণ্টা। সকাল ১০টার ৬.৫ ঘণ্টা পরে হয় বিকেল ৪টা ৩০ মিনিট।

ব্যাখ্যা: ৮৬ দিয়ে ৫৫৯-কে ভাগ করলে ঠিক ৬.৫ আসে, কারণ $86\times6.5 = 559$।

উত্তর: বিকেল ৪টা ৩০ মিনিট (খ)

95. একটি ট্রেন A স্টেশন থেকে ঘণ্টায় ৪৮ কিমি বেগে B স্টেশনের দিকে রওনা হলো। ৪৫ মিনিট পরে আরেকটি ট্রেন B থেকে ঘণ্টায় ৫০ কিমি বেগে A-এর দিকে রওনা হলো। স্টেশন দুটির দূরত্ব ২৩২ কিমি হলে A থেকে কত দূরে ট্রেন দুটির দেখা হবে? [A train started from station A and proceeded towards station B at a speed of 48 km/hr. Forty-five minutes later another train started from station B and proceeded towards station A at 50 km/hr. If the distance between the two stations is 232 km, at what distance from station A will the trains meet?]

ক) ১০৮ কিমি     খ) ১৩২ কিমি     গ) ১৪৪ কিমি     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

প্রথম ৪৫ মিনিটে প্রথম ট্রেন যায় $48\times\frac{45}{60} = 36$ কিমি।

অবশিষ্ট দূরত্ব $= 232-36 = 196$ কিমি।

আপেক্ষিক গতি $= 48+50 = 98$ কিমি/ঘণ্টা, তাই সময় $= \frac{196}{98} = 2$ ঘণ্টা।

এই ২ ঘণ্টায় প্রথম ট্রেন যায় $2\times48 = 96$ কিমি।

A থেকে মোট দূরত্ব $= 36+96 = 132$ কিমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: দ্বিতীয় ট্রেন ২ ঘণ্টায় গেছে ১০০ কিমি, আর $132+100 = 232$ কিমি, মিলে গেছে।

উত্তর: ১৩২ কিমি (খ)

96. জন ও ম্যাক্সের গতি যথাক্রমে ঘণ্টায় ৩০ কিমি ও ৪০ কিমি। ম্যাক্স L স্থানে এবং জন M স্থানে আছে। L ও M-এর দূরত্ব ৬৫০ কিমি। ম্যাক্সের চেয়ে ৩ ঘণ্টা আগে জন রওনা হলো এবং L ও M-এর মাঝামাঝি কোনো স্থান P-তে তাদের দেখা হলো। P ও M-এর দূরত্ব কত? [The speeds of John and Max are 30 km/h and 40 km/h. Initially Max is at a place L and John is at a place M. The distance between L and M is 650 km. John started his journey 3 hours earlier than Max to meet each other. If they meet each other at a place P somewhere between L and M, then the distance P and M is]

ক) ২২০ কিমি     খ) ২৫০ কিমি     গ) ৩৩০ কিমি     ঘ) ৩২০ কিমি

সমাধান:

প্রথম ৩ ঘণ্টায় জন যায় $30\times3 = 90$ কিমি। অবশিষ্ট দূরত্ব $= 650-90 = 560$ কিমি।

আপেক্ষিক গতি $= 30+40 = 70$ কিমি/ঘণ্টা, তাই সময় $= \frac{560}{70} = 8$ ঘণ্টা।

জন মোট চলেছে $3+8 = 11$ ঘণ্টা।

জনের যাওয়া পথ, অর্থাৎ PM $= 11\times30 = 330$ কিমি।

ব্যাখ্যা: জন M থেকে রওনা হয়েছে, তাই তার মোট যাওয়া পথই P ও M-এর দূরত্ব। যাচাই: ম্যাক্স গেছে $8\times40 = 320$ কিমি, আর $330+320 = 650$।

উত্তর: ৩৩০ কিমি (গ)

97. রাম ও শ্যাম পরস্পর ৫ কিমি দূরের A ও B বিন্দুর মধ্যে একটি দৌড় প্রতিযোগিতা করে। রাম সকাল ৯টায় A থেকে ঘণ্টায় ৫ কিমি বেগে রওনা হয়ে B-তে পৌঁছে একই গতিতে A-তে ফিরে আসে। শ্যাম সকাল ৯টা ৪৫ মিনিটে A থেকে ঘণ্টায় ১০ কিমি বেগে রওনা হয়ে B-তে পৌঁছে একই গতিতে A-তে ফিরে আসে। রাম ও শ্যামের কখন দেখা হবে? [Ram and Shyam run a race between points A and B, 5 km apart. Ram starts at 9 a.m. from A at a speed of 5 km/hr, reaches B and returns to A at the same speed. Shyam starts at 9:45 a.m. from A at a speed of 10 km/hr, reaches B and comes back to A at the same speed. At what time do Ram and Shyam meet each other?]

ক) সকাল ১০টা     খ) সকাল ১০টা ১০ মিনিট     গ) সকাল ১০টা ২০ মিনিট     ঘ) সকাল ১০টা ৩০ মিনিট

সমাধান:

রাম ৫ কিমি যেতে সময় নেয় ১ ঘণ্টা, তাই সকাল ১০টায় B-তে পৌঁছে ফিরতি পথ ধরে।

তখন শ্যাম ১৫ মিনিট চলেছে, দূরত্ব $= 10\times\frac{15}{60} = 2.5$ কিমি (A থেকে)।

এখন দুজন মুখোমুখি। তাদের মধ্যে দূরত্ব $= 5-2.5 = 2.5$ কিমি।

আপেক্ষিক গতি $= 5+10 = 15$ কিমি/ঘণ্টা।

সময় $= \frac{2.5}{15} = \frac16$ ঘণ্টা $= 10$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: সকাল ১০টার ১০ মিনিট পরে, অর্থাৎ ১০টা ১০ মিনিটে দেখা হয়। এর আগে শ্যাম রামকে পেছন থেকে ধরতে পারে না, কারণ রাম ১০টার আগেই B-তে পৌঁছে যায়।

উত্তর: সকাল ১০টা ১০ মিনিট (খ)

98. ট্রেন M সকাল ৫টায় X স্টেশন থেকে ছেড়ে সকাল ৯টায় Y স্টেশনে পৌঁছায়। অন্য ট্রেন N সকাল ৭টায় Y স্টেশন থেকে ছেড়ে সকাল ১০টা ৩০ মিনিটে X স্টেশনে পৌঁছায়। ট্রেন দুটি কখন একে অপরকে অতিক্রম করবে? [A train M leaves station X at 5 a.m and reaches station Y at 9 a.m. Another train N leaves station Y at 7 a.m. and reaches station X at 10.30 a.m. At what time do the two trains cross each other?]

ক) সকাল ৭টা ৩৬ মিনিট     খ) সকাল ৭টা ৫৬ মিনিট     গ) সকাল ৮টা ৩৬ মিনিট     ঘ) সকাল ৮টা ৫৬ মিনিট

সমাধান:

X ও Y-এর দূরত্ব $x$ ধরি। M-এর সময় ৪ ঘণ্টা, তাই গতি $\frac{x}{4}$। N-এর সময় $3.5 = \frac72$ ঘণ্টা, তাই গতি $\frac{2x}{7}$।

সকাল ৭টা পর্যন্ত M গেছে ২ ঘণ্টা, অর্থাৎ $\frac{x}{2}$ পথ। বাকি আছে $\frac{x}{2}$।

৭টার পর আপেক্ষিক গতি $= \frac{x}{4}+\frac{2x}{7} = \frac{15x}{28}$।

সময় $= \frac{x/2}{15x/28} = \frac{14}{15}$ ঘণ্টা $= 56$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: ৭টার ৫৬ মিনিট পরে অর্থাৎ ৭টা ৫৬ মিনিটে ট্রেন দুটি পরস্পরকে অতিক্রম করে। দূরত্ব $x$ বাদ গিয়ে যায় বলে আলাদা করে দূরত্ব জানার দরকার পড়ে না।

উত্তর: সকাল ৭টা ৫৬ মিনিট (খ)

99. একটি ট্রেন ঢাকা থেকে সকাল ৬টায় ছেড়ে সকাল ১০টায় ময়মনসিংহে পৌঁছায়। আরেকটি ট্রেন ময়মনসিংহ থেকে সকাল ৭টায় ছেড়ে দুপুর ১২টায় ঢাকায় পৌঁছায়। বিপরীত দিকে চলা ট্রেন দুটি কখন একে অপরের মুখোমুখি হবে? [A train leaving Dhaka at 6 am reaches Mymensing at 10 am and another train leaving Mymensing at 7 am reaches Dhaka at 12 noon. At what time the two trains running in opposite direction should meet?] (বাংলাদেশ ডেভেলপমেন্ট ব্যাংক লিমিটেড (সিনিয়র অফিসার) ২০১১)

ক) সকাল ৭টা ৪০ মিনিট     খ) সকাল ৮টা ৪০ মিনিট     গ) সকাল ৯টা ২০ মিনিট     ঘ) সকাল ৯টা ৪০ মিনিট

সমাধান:

দূরত্ব $d$ ধরি। প্রথম ট্রেনের গতি $\frac{d}{4}$ (৪ ঘণ্টা), দ্বিতীয় ট্রেনের গতি $\frac{d}{5}$ (৫ ঘণ্টা)।

সকাল ৭টা পর্যন্ত প্রথম ট্রেন গেছে ১ ঘণ্টা, অর্থাৎ $\frac{d}{4}$ পথ। বাকি $\frac{3d}{4}$।

আপেক্ষিক গতি $= \frac{d}{4}+\frac{d}{5} = \frac{9d}{20}$।

সময় $= \frac{3d/4}{9d/20} = \frac{5}{3}$ ঘণ্টা $= 1$ ঘণ্টা $40$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: সকাল ৭টার ১ ঘণ্টা ৪০ মিনিট পরে ট্রেন দুটির দেখা হবে, অর্থাৎ ৮টা ৪০ মিনিটে।

উত্তর: সকাল ৮টা ৪০ মিনিট (খ)