Problems on Numbers Math Solutions for Bank Jobs: Part 6 (Q126-150)

২. দুটি শর্ত থাকলে: দুটি সমীকরণ বানিয়ে আড়গুণন করে $x$ ও $y$ বের করুন। অজানা দুটি থাকলে কিন্তু সমীকরণ একটিই হলে ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায় না।

৩. ভাগশেষের প্রশ্ন: সংখ্যা $=$ ভাজক $\times$ ভাগফল $+$ ভাগশেষ। সংখ্যাকে দ্বিগুণ করলে ভাগশেষও দ্বিগুণ হয় (ভাজকের চেয়ে বড় হলে ভাজক বাদ দিতে হয়)।

প্রশ্ন ও সমাধান

126. একটি ভগ্নাংশের লব $200\%$ এবং হর $300\%$ বাড়ালে ভগ্নাংশটি $\dfrac{15}{26}$ হয়। মূল ভগ্নাংশটি কত ছিল? [If the numerator of a fraction is increased by 200% and the denominator is increased by 300%, the resultant fraction is 15/26. What was the fraction?]

ক) $\dfrac{8}{11}$     খ) $\dfrac{10}{11}$     গ) $\dfrac{9}{13}$     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। লব $200\%$ বাড়লে $x + 2x = 3x$ এবং হর $300\%$ বাড়লে $y + 3y = 4y$।

$\dfrac{3x}{4y} = \dfrac{15}{26}$, তাই $\dfrac{x}{y} = \dfrac{15}{26} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{10}{13}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{3 \times 10}{4 \times 13} = \dfrac{30}{52} = \dfrac{15}{26}$ ✓। $\dfrac{10}{13}$ কোনো অপশনে নেই।

উত্তর: ঘ) কোনোটিই নয়

127. একটি ভগ্নাংশের লবের দ্বিগুণ $10\%$ বাড়ে এবং হরের তিনগুণ $30\%$ কমে। তাতে ভগ্নাংশটি $\dfrac{16}{21}$ এর $11\%$ এর সমান হয়। মূল ভগ্নাংশ নির্ণয় কর। [A fraction is such that if the double of the numerator and the triple of the denominator is changed by +10 percent and -30 percent respectively, then we get 11 percent of 16/21. Find the fraction.]

ক) $\dfrac{2}{25}$     খ) $\dfrac{3}{25}$     গ) $\dfrac{4}{25}$     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। $\dfrac{110\% \times 2x}{70\% \times 3y} = 11\% \times \dfrac{16}{21}$।

$\dfrac{22x}{21y} = \dfrac{11}{100} \times \dfrac{16}{21}$, কারণ $110\% \times 2x = 2.2x$ এবং $70\% \times 3y = 2.1y$, অর্থাৎ অনুপাত $\dfrac{22x}{21y}$।

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{11}{100} \times \dfrac{16}{21} \times \dfrac{21}{22} = \dfrac{16}{200} = \dfrac{2}{25}$।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: $\dfrac{4.4}{52.5} \approx 0.0838$ এবং $0.11 \times \dfrac{16}{21} \approx 0.0838$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{2}{25}$

128. একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের অনুপাত $2 : 3$। লব থেকে $6$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি মূল ভগ্নাংশের $\dfrac{2}{3}$ অংশ হয়। মূল ভগ্নাংশের লব কত? [The numerator and denominator of a fraction are in the ratio of 2 : 3. If 6 is subtracted from the numerator, the result is a fraction that has a value of 2/3 of the original fraction. The numerator of the original fraction is?]

ক) 6     খ) 18     গ) 27     ঘ) 36

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{2x}{3x}$। লব থেকে $6$ বিয়োগ: $\dfrac{2x - 6}{3x} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$।

$9(2x - 6) = 4 \times 3x$, অর্থাৎ $18x - 54 = 12x$ এবং $6x = 54$, $x = 9$।

লব $= 2x = 18$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ভগ্নাংশ $\dfrac{18}{27}$; $\dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}$ ✓।

উত্তর: খ) $18$

129. একটি ভগ্নাংশের লবকে $4$ বাড়ালে ভগ্নাংশটি $\dfrac{2}{3}$ বাড়ে। ভগ্নাংশটির হর কত? [When the numerator of a fraction increases by 4. The fraction is increases by 2/3. The denominator of the fraction is]

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 6

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। $\dfrac{x + 4}{y} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}$।

$\dfrac{4}{y} = \dfrac{2}{3}$, তাই $y = 6$।

ব্যাখ্যা: লব বাড়ে $4$, তাই বৃদ্ধি $\dfrac{4}{y}$; সরাসরি $\dfrac{4}{y} = \dfrac{2}{3}$।

উত্তর: ঘ) $6$

130. একজোড়া ভগ্নাংশের মধ্যে $A$ ভগ্নাংশটি $B$ এর দ্বিগুণ এবং ভগ্নাংশ দুটির গুণফল $\dfrac{2}{25}$। $A$ এর মান কত? [In a pair of fractions, fraction A is twice the fraction B and the product of two fractions is 2/25. What is the value of fraction A?]

ক) $\dfrac{1}{5}$     খ) $\dfrac{1}{25}$     গ) $\dfrac{2}{5}$     ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত

সমাধান:

$A = 2B$, তাই $B = \dfrac{A}{2}$। গুণফল $AB = \dfrac{2}{25}$।

$A \times \dfrac{A}{2} = \dfrac{2}{25}$, তাই $A^2 = \dfrac{4}{25}$ এবং $A = \dfrac{2}{5}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $B = \dfrac{1}{5}$ এবং $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{25}$ ✓।

উত্তর: গ) $\dfrac{2}{5}$

131. একটি ভগ্নাংশের হর লবের চেয়ে $3$ বেশি। লব ও হর উভয়কে $4$ বাড়ালে ভগ্নাংশটি $\dfrac{4}{5}$ হয়। মূল ভগ্নাংশ কত ছিল? [The denominator of a fraction is 3 more than the numerator. If the numerator as well as the denominator is increased by 4, the fraction becomes 4/5. What was the original fraction?]

ক) $\dfrac{8}{11}$     খ) $\dfrac{5}{8}$     গ) $\dfrac{10}{13}$     ঘ) $\dfrac{7}{10}$

সমাধান:

লব $x$, হর $(x + 3)$। $\dfrac{x + 4}{x + 7} = \dfrac{4}{5}$।

$5x + 20 = 4x + 28$, তাই $x = 8$।

ভগ্নাংশ $= \dfrac{8}{11}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{8}{11}$

132. একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য $5$। হরের সাথে $5$ যোগ করলে ভগ্নাংশটি $1\dfrac{1}{4}$ কমে যায়। ভগ্নাংশটির মান নির্ণয় কর। [The difference between the numerator and the denominator of a fraction is 5. If 5 is added to its denominator, the fraction is decreased by 1 1/4. Find the value of the fraction.]

ক) $\dfrac{1}{6}$     খ) $2\dfrac{1}{4}$     গ) $3\dfrac{1}{4}$     ঘ) $6$

সমাধান:

হর $x$, তাহলে লব $(x + 5)$ (লব বড় নইলে ভগ্নাংশ $1\dfrac{1}{4}$ কমত না)। ভগ্নাংশ $= \dfrac{x + 5}{x}$।

হরে $5$ যোগ করলে ভগ্নাংশ $\dfrac{x + 5}{x + 5} = 1$। কমে $\dfrac{5}{4}$, তাই $\dfrac{x + 5}{x} - 1 = \dfrac{5}{4}$।

$\dfrac{x + 5}{x} = \dfrac{9}{4}$। এটিই মূল ভগ্নাংশ $= 2\dfrac{1}{4}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 4$; ভগ্নাংশ $\dfrac{9}{4}$; হরে $5$ যোগ করলে $\dfrac{9}{9} = 1$; $\dfrac{9}{4} - 1 = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}$ ✓।

উত্তর: খ) $2\dfrac{1}{4}$

133. একটি ভগ্নাংশের লবকে $\dfrac{1}{4}$ বাড়িয়ে হর $\dfrac{1}{3}$ কমালে নতুন ভগ্নাংশটি $\dfrac{33}{64}$ হয়। মূল ভগ্নাংশ কত ছিল? [If the numerator of a fraction is increased by 1/4 and the denominator is decreased by 1/3, the new fraction obtained is 33/64. What was the original fraction?]

ক) $\dfrac{3}{7}$     খ) $\dfrac{5}{7}$     গ) $\dfrac{7}{9}$     ঘ) নির্ণয় করা সম্ভব নয়

সমাধান:

এখানে "$\dfrac{1}{4}$ বাড়ানো" মানে লবের সাথে $\dfrac{1}{4}$ যোগ করা। ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$ হলে $\dfrac{x + \frac{1}{4}}{y - \frac{1}{3}} = \dfrac{33}{64}$।

সরল করে $\dfrac{4x + 1}{4} \times \dfrac{3}{3y - 1} = \dfrac{33}{64}$, অর্থাৎ $64(4x + 1) \times 3 = 33 \times 4(3y - 1)$ এবং $64x - 33y = -27$।

একটি সমীকরণে দুটি অজানা ($x, y$) আছে, তাই ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$ নির্ণয় করা যায় না।

ব্যাখ্যা: আরেকটি শর্ত ছাড়া অজানা দুটির মান নির্ণয় সম্ভব নয়।

উত্তর: ঘ) নির্ণয় করা সম্ভব নয়

134. একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল $11$। লবের সাথে $1$ যোগ করে এবং হর থেকে $2$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{2}{3}$ হয়। ভগ্নাংশটি কত? [The sum of the numerator and denominator of a fraction is 11. If 1 is added to the numerator and 2 is subtracted from the denominator, it becomes 2/3. The fraction is]

ক) $\dfrac{5}{6}$     খ) $\dfrac{6}{5}$     গ) $\dfrac{3}{8}$     ঘ) $\dfrac{8}{3}$

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। $x + y = 11$ ... (i) এবং $\dfrac{x + 1}{y - 2} = \dfrac{2}{3}$, অর্থাৎ $3x + 3 = 2y - 4$ এবং $3x - 2y = -7$ ... (ii)।

(i) কে $3$ দিয়ে গুণ করে (ii) বিয়োগ: $5y = 40$, তাই $y = 8$ এবং $x = 3$।

ভগ্নাংশ $= \dfrac{3}{8}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ✓।

উত্তর: গ) $\dfrac{3}{8}$

135. একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়ের সাথে $1$ যোগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{2}{3}$ হয় এবং উভয় থেকে $1$ বিয়োগ করলে $\dfrac{1}{2}$ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর। [A fraction becomes 2/3 when 1 is added to both its numerator and denominator. And, it becomes 1/2 when 1 is subtracted from both the numerator and denominator. Find the fraction.]

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। $\dfrac{x + 1}{y + 1} = \dfrac{2}{3}$, তাই $3x - 2y = -1$ ... (i)।

$\dfrac{x - 1}{y - 1} = \dfrac{1}{2}$, তাই $2x - y = 1$ ... (ii)।

(ii) কে $2$ দিয়ে গুণ করে (i) থেকে বিয়োগ: $4x - 3x - 2y + 2y$ এর বদলে সরাসরি: (ii) থেকে $y = 2x - 1$; (i) এ বসিয়ে $3x - 4x + 2 = -1$, $x = 3$ এবং $y = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ✓ এবং $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ✓।

উত্তর: $\dfrac{3}{5}$

136. একটি ভগ্নাংশের হরের সাথে $1$ যোগ করলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{1}{2}$ হয়, আবার লবের সাথে $1$ যোগ করলে ভগ্নাংশটি $1$ হয়। ভগ্নাংশটি কত? [If 1 is added to the denominator of a fraction, the fraction becomes 1/2. If 1 is added to the numerator of the fraction, the fraction becomes 1. The fraction is?]

ক) $\dfrac{1}{3}$     খ) $\dfrac{2}{3}$     গ) $\dfrac{3}{4}$     ঘ) $\dfrac{3}{2}$

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। $\dfrac{x}{y + 1} = \dfrac{1}{2}$, তাই $2x - y = 1$ ... (i)।

$\dfrac{x + 1}{y} = 1$, তাই $x - y = -1$ ... (ii)।

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে $x = 2$; (ii) থেকে $y = 3$। ভগ্নাংশ $\dfrac{2}{3}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ✓ এবং $\dfrac{3}{3} = 1$ ✓।

উত্তর: খ) $\dfrac{2}{3}$

137. একটি ভগ্নাংশের লব $2$ ও হর $3$ বাড়ালে ভগ্নাংশটি $\dfrac{7}{9}$ হয়; আবার লব ও হর উভয় থেকে $1$ বিয়োগ করলে $\dfrac{4}{5}$ হয়। মূল ভগ্নাংশ কত? [If the numerator of a fraction is increased by 2 and the denominator is increased by 3, the fraction becomes 7/9 and if both the numerator as well as the denominator are decreased by 1, the fraction becomes 4/5. What is the original fraction?]

ক) $\dfrac{5}{6}$     খ) $\dfrac{9}{11}$     গ) $\dfrac{13}{16}$     ঘ) $\dfrac{17}{21}$

সমাধান:

ভগ্নাংশ $\dfrac{x}{y}$। $\dfrac{x + 2}{y + 3} = \dfrac{7}{9}$, তাই $9x - 7y = 3$ ... (i)।

$\dfrac{x - 1}{y - 1} = \dfrac{4}{5}$, তাই $5x - 4y = 1$ ... (ii)।

(i) $\times 4 -$ (ii) $\times 7$: $36x - 35x = 12 - 7$, তাই $x = 5$; (ii) থেকে $25 - 4y = 1$, $y = 6$।

ভগ্নাংশ $\dfrac{5}{6}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{7}{9}$ ✓ এবং $\dfrac{4}{5}$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{5}{6}$

138. একটি ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং তার অন্যোন্যকের পার্থক্য $\dfrac{9}{20}$ হলে ভগ্নাংশটি কত? [If the difference between the reciprocal of a positive proper fraction and the fraction itself be 9/20 then the fraction is]

ক) $\dfrac{3}{5}$     খ) $\dfrac{4}{5}$     গ) $\dfrac{5}{4}$     ঘ) $\dfrac{3}{10}$

সমাধান:

ভগ্নাংশ $a$ ধরি ($0 < a < 1$)। $\dfrac{1}{a} - a = \dfrac{9}{20}$, তাই $20 - 20a^2 = 9a$ অর্থাৎ $20a^2 + 9a - 20 = 0$।

$(4a + 5)(5a - 4) = 0$; $a = -\dfrac{5}{4}$ (ঋণাত্মক, বাদ) অথবা $a = \dfrac{4}{5}$।

প্রকৃত ভগ্নাংশ $a = \dfrac{4}{5}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{5}{4} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{25 - 16}{20} = \dfrac{9}{20}$ ✓।

উত্তর: খ) $\dfrac{4}{5}$

অনুশীলনী: বিভিন্ন ওয়েবসাইট থেকে সংগৃহীত প্রশ্ন

139. তিনটি ক্রমিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যার প্রথমটির তিনগুণ তৃতীয়টির দ্বিগুণের চেয়ে $3$ বেশি হলে তৃতীয় পূর্ণসংখ্যাটি কত? [If three times of first of three consecutive odd integers is 3 more than twice the third, what is the third integer?]

ক) 12     খ) 13     গ) 16     ঘ) 15

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$। $3x = 2(x + 4) + 3$, তাই $x = 11$।

তৃতীয় সংখ্যা $= 11 + 4 = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3 \times 11 = 33 = 2 \times 15 + 3$ ✓।

উত্তর: ঘ) $15$

140. এমন তিনটি ক্রমিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় কর যাতে প্রথমটির তিনগুণ ও দ্বিতীয়টির দ্বিগুণের যোগফল তৃতীয়টির দ্বিগুণের চেয়ে $5$ বেশি হয়। [Find three consecutive odd integers with the property that 3 times the first integer plus twice the second integer is 5 more than twice the third integer]

ক) $5, 7, 9$     খ) $3, 5, 7$     গ) $7, 9, 11$     ঘ) $15, 19, 21$

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$। $3x + 2(x + 2) = 2(x + 4) + 5$।

$5x + 4 = 2x + 13$, তাই $3x = 9$ এবং $x = 3$।

সংখ্যা তিনটি $3, 5, 7$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9 + 10 = 19$ এবং $2 \times 7 + 5 = 19$ ✓।

উত্তর: খ) $3, 5, 7$

141. তিনটি ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা কত, যাদের প্রথম ও তৃতীয়টির গুণফল $221$? [What are the 3 consecutive positive odd integers such that the product of the first and the third number is 221?]

ক) $15, 17, 19$     খ) $13, 15, 17$     গ) $17, 19, 11$     ঘ) $5, 7, 9$

সমাধান:

$221 = 13 \times 17$ এবং $13, 17$ এর মাঝে বিজোড় সংখ্যা $15$।

মাঝের সংখ্যা $x$ ধরলে $(x - 2)(x + 2) = 221$, অর্থাৎ $x^2 = 225$ ও $x = 15$।

সংখ্যা তিনটি $13, 15, 17$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $13 \times 17 = 221$ ✓।

উত্তর: খ) $13, 15, 17$

142. একটি সংখ্যা নির্ণয় কর যার দুই-তৃতীয়াংশ থেকে $50$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির এক-চতুর্থাংশ ও $40$ এর যোগফলের সমান হয়। [Find the number, If 50 is subtracted from two-third of number, the result is equal to sum of 40 and one-fourth of that number.]

ক) 216     খ) 214     গ) 114     ঘ) 116

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $\dfrac{2x}{3} - 50 = \dfrac{x}{4} + 40$, তাই $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{4} = 90$।

$\dfrac{5x}{12} = 90$, তাই $x = 216$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $144 - 50 = 94$ এবং $54 + 40 = 94$ ✓।

উত্তর: ক) $216$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের বিস্তারিত ব্যাখ্যায় এই প্রশ্নের শেষ ধাপে $x = 16$ লেখা আছে, যা ছাপার ভুল। সঠিক হিসাব অনুযায়ী $x = 216$ (প্রশ্ন ৬৯ এও একই উত্তর)।

143. দুটি সংখ্যার যোগফল $12$ এবং গুণফল $35$। সংখ্যা দুটির অন্যোন্যকের যোগফল কত? [The sum of the two numbers is 12 and their product is 35. What is the sum of the reciprocals of these numbers?]

ক) $\dfrac{12}{35}$     খ) $\dfrac{1}{35}$     গ) $\dfrac{35}{8}$     ঘ) $\dfrac{7}{32}$

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $a$ ও $b$। $a + b = 12$ এবং $ab = 35$।

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac{12}{35}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $5$ ও $7$; $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{12}{35}$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{12}{35}$

144. কোনো সংখ্যার $\dfrac{3}{5}$ অংশের $60\%$ এর মান $36$ হলে সংখ্যাটি কত? [If 60% of 3/5 of a number is 36, then the number is]

ক) 86     খ) 94     গ) 100     ঘ) 115

সমাধান:

$60\% = \dfrac{3}{5}$। সংখ্যা $N$। $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} \times N = 36$।

$\dfrac{9}{25}N = 36$, তাই $N = 36 \times \dfrac{25}{9} = 100$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $100$ এর $\dfrac{3}{5} = 60$; $60$ এর $60\% = 36$ ✓।

উত্তর: গ) $100$

145. $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা, যাকে $4$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $3$ থাকে। $2n$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? [n is a whole number which when divided by 4 gives 3 as remainder. What will be the remainder when 2n is divided by 4?]

ক) 3     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$n = 4k + 3$, তাই $2n = 8k + 6$।

$8k$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $0$; $6 = 4 \times 1 + 2$, তাই ভাগশেষ $2$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $n = 7$ হলে $2n = 14 = 4 \times 3 + 2$ ✓।

উত্তর: খ) $2$

146. একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ কে $5$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $2$ হয়। নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য? [If a positive integer n, divided by 5 has a remainder 2, which of the following must be true?]

ক) $n$ বিজোড়     খ) $n + 1$ মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না     গ) $(n + 2)$ কে $7$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $2$     ঘ) $n + 3$ কে $5$ দিয়ে ভাগ করা যায়

সমাধান:

$n = 5k + 2$ হলে $n + 3 = 5k + 5 = 5(k + 1)$, যা সবসময় $5$ দিয়ে বিভাজ্য।

অন্যগুলো মিলিয়ে দেখি: $n = 2$ হলে $n$ জোড় (ক ভুল), $n + 1 = 3$ মৌলিক (খ ভুল), $n + 2 = 4$ কে $7$ দিয়ে ভাগশেষ $4$ (গ ভুল)।

ব্যাখ্যা: একটি প্রতিদর্শ ($n = 2$) দিয়ে ভুল অপশনগুলো বাদ দেওয়া যায়।

উত্তর: ঘ) $n + 3$ কে $5$ দিয়ে ভাগ করা যায়

147. $m + n$ কে $12$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $8$ এবং $m - n$ কে $12$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $6$। $m > n$ হলে $mn$ কে $6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত? [The remainder when m + n is divided by 12 is 8, and the remainder when m - n is divided by 12 is 6. If m > n, then what is the remainder when mn is divided by 6?]

ক) 1     খ) 2     গ) 3     ঘ) 4

সমাধান:

যোগ করে $2m \equiv 14 \equiv 2 \pmod{12}$, তাই $m \equiv 1$ অথবা $7 \pmod{12}$।

$m \equiv 1$ হলে $n \equiv 8 - 1 = 7$; $m \equiv 7$ হলে $n \equiv 8 - 7 = 1 \pmod{12}$।

দুই ক্ষেত্রেই $mn \equiv 7 \pmod{12}$, তাই $mn$ কে $6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $m = 7, n = 1$: $m + n = 8$ ✓, $m - n = 6$ ✓, $mn = 7 = 6 \times 1 + 1$ ✓।

উত্তর: ক) $1$

148. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $m$ ও $n$ কে $6$ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ভাগশেষ $2$ ও $3$ হয় এবং $m > n$। $m - n$ কে $6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত? [The positive integers m and n leave remainders of 2 and 3, respectively, when divided by 6. m > n What is the remainder when m - n is divided by 6?]

ক) 2     খ) 3     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

$m = 6a + 2$ ও $n = 6b + 3$। $m - n = 6(a - b) - 1$।

$6(a - b) - 1 = 6(a - b - 1) + 5$, তাই ভাগশেষ $5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $m = 8, n = 3$: $8 - 3 = 5$, $5 = 6 \times 0 + 5$ ✓।

উত্তর: গ) $5$

149. একটি সংখ্যাকে কোনো ভাজক দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $24$। মূল সংখ্যার দ্বিগুণকে একই ভাজক দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $11$। ভাজকটি কত? [A number when divided by a divisor leaves a remainder of 24. When twice the original number is divided by the same divisor, the remainder is 11. What is the value of the divisor?]

ক) 13     খ) 59     গ) 35     ঘ) 37

সমাধান:

সংখ্যা $N = dq + 24$। $2N = 2dq + 48$। ভাজক $d$ দিয়ে $2N$ এর ভাগশেষ $11$, তাই $48 - 11 = 37$ ভাজক $d$ দিয়ে বিভাজ্য।

$37$ মৌলিক, তাই $d = 37$ (ভাজক ভাগশেষ $24$ এর চেয়ে বড় হতে হবে, $d = 1$ বাদ)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $N = 61$, $d = 37$: $61 = 37 + 24$ ✓; $122 = 3 \times 37 + 11$ ✓।

উত্তর: ঘ) $37$

150. $2ab5$ একটি চার অঙ্কের সংখ্যা যা $25$ দ্বারা বিভাজ্য। $ab$ দুটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি $13$ এর গুণিতক হলে $ab = ?$ [2ab5 is a four-digit number divisible by 25. If the number formed from the two digits ab is a multiple of 13, then ab =?]

ক) 10     খ) 25     গ) 52     ঘ) 65

সমাধান:

$25$ দিয়ে বিভাজ্য হতে সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক $25$ বা $75$ হতে হবে, তাই $b5$ এ $b = 2$ অথবা $7$।

$ab$, $13$ এর গুণিতক: $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$। এদের মধ্যে একক অঙ্ক $2$ বা $7$ কেবল $52$ ($b = 2$)।

সংখ্যাটি $2525 = 25 \times 101$ ✓। অতএব $ab = 52$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $65$ হলে সংখ্যা $2655$ এর শেষ দুই অঙ্ক $55$, যা $25$ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

উত্তর: গ) $52$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় এই প্রশ্নের উত্তর (ঘ) $65$ দেওয়া আছে, কিন্তু $2655$ কে $25$ দিয়ে ভাগ করা যায় না ($2655 \div 25 = 106.2$)। $ab = 52$ হলে $2525$ বিভাজ্য, তাই সঠিক উত্তর (গ) $52$।