Problems on Numbers Math Solutions for Bank Jobs: Part 5 (Q101-125)

২. তিন অঙ্কের সংখ্যা: শতক $x$, দশক $y$, একক $z$ হলে সংখ্যা $= 100x + 10y + z$।

৩. সতর্কতা: কোন অঙ্কটি বড়, তা না জানা থাকলে বিভিন্ন সম্ভাবনা বিবেচনা করুন। একাধিক উত্তর সম্ভব হলে "নির্ণয় করা সম্ভব নয়" বা "কোনোটিই নয়" হয়।

প্রশ্ন ও সমাধান

101. একটি দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা এবং তার অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে পাওয়া সংখ্যার পার্থক্য $36$। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের অনুপাত $1 : 2$ হলে অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ও বিয়োগফলের পার্থক্য কত? [The difference between a two-digit number and the number obtained by interchanging the digit is 36. What is the difference between the sum and the difference of the digits of the number if the ratio between the digits of the number is 1 : 2?]

ক) 4     খ) 8     গ) 16     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

মূল সংখ্যাটি উল্টানো সংখ্যার চেয়ে বড়, তাই দশকের অঙ্ক বড়। দশকের অঙ্ক $2x$ ও এককের অঙ্ক $x$।

$(20x + x) - (10x + 2x) = 36$, অর্থাৎ $9x = 36$ এবং $x = 4$। অঙ্ক দুটি $8$ ও $4$।

যোগফল $= 12$, বিয়োগফল $= 4$; পার্থক্য $= 12 - 4 = 8$ (বা সূত্রে $2x = 8$)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $84 - 48 = 36$ ✓।

উত্তর: খ) $8$

102. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্ক দুটি স্থান বদল করলে নতুন সংখ্যাটি মূল সংখ্যার চেয়ে $45$ বেশি হয়। অঙ্ক দুটির পার্থক্য $5$ হলে মূল সংখ্যাটি কত? [If the digits of a two-digit number are interchanged, the number formed is greater than the original number by 45. If the difference between the digits is 5, what is the original number?]

সমাধান:

নতুন সংখ্যা বড়, তাই দশকের অঙ্ক $x$ ও এককের অঙ্ক $(x + 5)$। মূল সংখ্যা $= 11x + 5$।

অঙ্ক উল্টালে সংখ্যা $= 10(x + 5) + x = 11x + 50$।

$(11x + 50) - (11x + 5) = 45$ — এটি সবসময় সত্য, $x$ এর মানের ওপর নির্ভর করে না।

ব্যাখ্যা: $16, 27, 38, 49$ সবকটিই শর্ত মেনে চলে, তাই মূল সংখ্যা একক নয়।

উত্তর: নির্ণয় করা সম্ভব নয়

103. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার এককের অঙ্কটি দশকের অঙ্কের চারগুণ এবং অঙ্কদ্বয়ের যোগফল $10$। সংখ্যাটি কত? [In a two-digit number, the digit in the unit’s place is four times the digit in ten’s place and sum of the digits is equal to 10. What is the number?]

ক) 14     খ) 41     গ) 82     ঘ) 28

সমাধান:

দশকের অঙ্ক $x$, তাহলে এককের অঙ্ক $4x$। $x + 4x = 10$, তাই $x = 2$।

দশক $2$ ও একক $8$; সংখ্যাটি $28$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $28$ এ $8 = 4 \times 2$ এবং $2 + 8 = 10$ ✓।

উত্তর: ঘ) $28$

104. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল $8$। সংখ্যাটির সাথে $18$ যোগ করলে অঙ্ক দুটি স্থান বদল করে। সংখ্যাটি কত? [A two-digit number is such that the product of the digits is 8. When 18 is added to the number, then the digits are reversed. The number is]

ক) 18     খ) 24     গ) 42     ঘ) 81

সমাধান:

পার্থক্য: উল্টানো সংখ্যা $-$ মূল সংখ্যা $= 18$, অর্থাৎ $9(y - x) = 18$ এবং $y - x = 2$ (এককের অঙ্ক বড়)।

গুণফল $xy = 8$ ও $y = x + 2$: $x(x + 2) = 8$, তাই $x^2 + 2x - 8 = 0$ এবং $(x + 4)(x - 2) = 0$, $x = 2$।

দশক $2$ ও একক $4$; সংখ্যাটি $24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $24 + 18 = 42$ ✓ এবং $2 \times 4 = 8$ ✓।

উত্তর: খ) $24$

105. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের তিনগুণ। সংখ্যাটির সাথে $45$ যোগ করলে অঙ্ক দুটি স্থান বদল করে। সংখ্যাটি কত? [A certain number of two digits is three times the sum of its digits and if 45 be added to it, the digits are reversed. The number is?]

ক) 23     খ) 27     গ) 32     ঘ) 72

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $10x + y = 3(x + y)$, তাই $7x = 2y$ ... (i)।

$(10x + y) + 45 = 10y + x$, তাই $y - x = 5$ ... (ii)।

(i) থেকে $y = 3.5x$; (ii) এ বসিয়ে $2.5x = 5$ এবং $x = 2$, $y = 7$। সংখ্যা $27$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $27 = 3 \times 9$ ✓ এবং $27 + 45 = 72$ ✓।

উত্তর: খ) $27$

106. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক $3$ এবং অঙ্কদ্বয়ের যোগফল সংখ্যাটির $\dfrac{1}{7}$ অংশ। সংখ্যাটি কত? [A number of two digits has 3 for its unit’s digit, and the sum of digits is 1/7 of the number itself. The number is]

ক) 43     খ) 53     গ) 63     ঘ) 73

সমাধান:

দশকের অঙ্ক $x$। সংখ্যা $= 10x + 3$ এবং অঙ্কের যোগফল $= x + 3$।

$x + 3 = \dfrac{10x + 3}{7}$, তাই $7x + 21 = 10x + 3$ এবং $3x = 18$, $x = 6$।

সংখ্যাটি $63$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $6 + 3 = 9 = \dfrac{63}{7}$ ✓।

উত্তর: গ) $63$

107. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের $k$ গুণ হলে অঙ্ক স্থান বদল করে পাওয়া সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের কত গুণ? [If a number of two digits is k times the sum of its digits, then the number formed by interchanging the digits is the sum of the digits multiplied by]

ক) $k - 1$     খ) $11 - k$     গ) $9 + k$     ঘ) $10 - k$

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $10x + y = k(x + y)$।

উল্টানো সংখ্যা $= 10y + x$। দুই সংখ্যার যোগফল $= 11(x + y)$।

$10y + x = 11(x + y) - (10x + y) = 11(x + y) - k(x + y) = (11 - k)(x + y)$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $27 = 3 \times 9$ ($k = 3$); উল্টানো সংখ্যা $72 = 8 \times 9 = (11 - 3) \times 9$ ✓।

উত্তর: খ) $11 - k$

108. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের চেয়ে $18$ বেশি। এককের অঙ্কটি দশকের অঙ্কের দ্বিগুণ হলে সংখ্যাটি কত? [A two-digit number exceeds the sum of the digits of that number by 18. If the digit at the unit’s place is double the digit in the ten’s place, what is the number?]

ক) 24     খ) 42     গ) 48     ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত

সমাধান:

দশক $x$, একক $2x$। সংখ্যা $= 12x$ এবং অঙ্কের যোগফল $= 3x$।

$12x - 3x = 18$, তাই $9x = 18$ এবং $x = 2$।

সংখ্যা $= 24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $24 - (2 + 4) = 18$ ✓।

উত্তর: ক) $24$

109. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল $15$ এবং অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য $3$। সংখ্যাটি কত? [The sum of the digits of a two-digit number is 15 and the difference between the digits is 3. What is the two-digit number?]

ক) 69     খ) 78     গ) 96     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $x + y = 15$ এবং $x - y = 3$ বা $y - x = 3$।

প্রথম ক্ষেত্রে $x = 9$, $y = 6$; সংখ্যা $96$। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে $x = 6$, $y = 9$; সংখ্যা $69$।

দুটি ভিন্ন সংখ্যাই শর্ত মানে, তাই সংখ্যাটি একক নয়।

ব্যাখ্যা: অপশনে $69$ ও $96$ দুটিই আছে কিন্তু আলাদাভাবে একটিকে নির্বাচন করা যায় না; তাই উত্তর "কোনোটিই নয়"।

উত্তর: ঘ) কোনোটিই নয়

110. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যায় দশকের অঙ্ক এককের অঙ্কের চেয়ে $2$ কম। সংখ্যাটির তিনগুণ এবং অঙ্ক উল্টে পাওয়া সংখ্যার $\dfrac{6}{7}$ অংশের যোগফল $108$ হলে সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের যোগফল কত? [A number consists of two digits such that the digit in the ten’s place is less by 2 than the digit in the unit’s place. Three times the number added to 6/7 times the number obtained by reversing the digits is 108. The sum of the digits in the number is]

ক) 6     খ) 7     গ) 8     ঘ) 9

সমাধান:

একক $x$, দশক $(x - 2)$। সংখ্যা $= 10(x - 2) + x = 11x - 20$ এবং উল্টানো সংখ্যা $= 10x + (x - 2) = 11x - 2$।

$3(11x - 20) + \dfrac{6}{7}(11x - 2) = 108$। $7$ দিয়ে গুণ: $21(11x - 20) + 6(11x - 2) = 756$, অর্থাৎ $231x - 420 + 66x - 12 = 756$।

$297x = 1188$, তাই $x = 4$। অঙ্ক দুটি $2$ ও $4$; যোগফল $6$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা $24$; $3 \times 24 = 72$ এবং $\dfrac{6}{7} \times 42 = 36$; $72 + 36 = 108$ ✓।

উত্তর: ক) $6$

111. একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক সংখ্যাটির অর্ধেকের দশকের অঙ্কের সমান এবং সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক সংখ্যাটির অর্ধেকের এককের অঙ্কের চেয়ে $1$ কম। অঙ্কদ্বয়ের যোগফল $7$ হলে সংখ্যাটি কত? [The digit in the unit’s place of a number is equal the digit in the ten’s place of half of that number and the digit in the ten’s place of that number is less the digit in unit’s place of half of the number 1. If the sum of the digits of the number is 7, what is the number?]

ক) 34     খ) 52     গ) 162     ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$; সংখ্যা $= 10x + y$। অর্ধেক সংখ্যার দশকের অঙ্ক $y$ ও এককের অঙ্ক $(x + 1)$, অর্থাৎ অর্ধেক $= 10y + x + 1$।

$\dfrac{10x + y}{2} = 10y + x + 1$, তাই $8x - 19y = 2$ ... (i)। এবং $x + y = 7$ ... (ii)।

(ii) কে $8$ দিয়ে গুণ করে (i) বিয়োগ: $27y = 54$, $y = 2$ এবং $x = 5$। সংখ্যা $52$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $52$ এর অর্ধেক $= 26$; $26$ এর দশক $2$ = মূল সংখ্যার একক ✓ এবং $26$ এর একক $6$, দশক $5 = 6 - 1$ ✓।

উত্তর: খ) $52$

112. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যায় এককের অঙ্ক দশকের অঙ্কের দ্বিগুণের চেয়ে $1$ বেশি। অঙ্ক দুটি স্থান বদল করলে নতুন সংখ্যা ও মূল সংখ্যার পার্থক্য মূল সংখ্যার চেয়ে $1$ কম হয়। মূল সংখ্যাটি কত? [In a two-digit number, the digit in the unit’s place more than twice the digit in ten’s place by 1. If the digits in the unit’s place and the ten’s place are interchanged, difference between the newly formed number and the original number is less than the original number by 1. What is the original number?]

ক) 25     খ) 37     গ) 49     ঘ) 52

সমাধান:

দশক $x$, একক $(2x + 1)$। মূল সংখ্যা $= 12x + 1$ এবং উল্টানো সংখ্যা $= 21x + 10$।

পার্থক্য $= (21x + 10) - (12x + 1) = 9x + 9$। শর্ত: $(12x + 1) - (9x + 9) = 1$, তাই $3x = 9$ এবং $x = 3$।

দশক $3$ ও একক $7$; সংখ্যা $37$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $73 - 37 = 36 = 37 - 1$ ✓।

উত্তর: খ) $37$

113. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের $7$ গুণ। অঙ্ক উল্টে পাওয়া সংখ্যাটি মূল সংখ্যার চেয়ে $18$ কম। সংখ্যাটি কত? [A two-digit number is 7 times the sum of its two digits. The number that is formed by reversing its digits is 18 less than the original number. What is the number?]

ক) 42     খ) 52     গ) 62     ঘ) 72

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $10x + y = 7(x + y)$, তাই $3x = 6y$ এবং $x = 2y$।

$(10x + y) - (10y + x) = 18$, তাই $9(x - y) = 18$ ও $x - y = 2$।

$2y - y = 2$, তাই $y = 2$ এবং $x = 4$। সংখ্যা $42$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $42 = 7 \times 6$ ✓ এবং $42 - 24 = 18$ ✓।

উত্তর: ক) $42$

114. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যায় এককের অঙ্ক দশকের অঙ্কের চেয়ে $2$ বেশি এবং সংখ্যাটি ও তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের গুণফল $144$। সংখ্যাটি কত? [In a two-digit number, if it is known that its unit’s digit exceeds its ten’s digit by 2 and that the product of the given number and the sum of its digits is equal to 144, then the number is]

ক) 24     খ) 26     গ) 42     ঘ) 46

সমাধান:

দশক $x$, একক $(x + 2)$। সংখ্যা $= 11x + 2$ ও অঙ্কের যোগফল $= 2x + 2$।

$(11x + 2)(2x + 2) = 144$, অর্থাৎ $22x^2 + 26x + 4 = 144$ এবং $11x^2 + 13x - 70 = 0$।

$(x - 2)(11x + 35) = 0$, তাই $x = 2$। সংখ্যা $= 24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $24 \times (2 + 4) = 24 \times 6 = 144$ ✓।

উত্তর: ক) $24$

115. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্ক দুটি স্থান বদল করে নতুন সংখ্যাটি মূল সংখ্যার সাথে যোগ করলে যোগফল কোনটি দিয়ে বিভাজ্য হবে? [A number consists of two digits. If the digits inter-change places and the new number is added to the original number, then the resulting number will be divisible by]

ক) 3     খ) 5     গ) 9     ঘ) 11

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। সংখ্যা $= 10x + y$ এবং উল্টানো সংখ্যা $= 10y + x$।

যোগফল $= 11x + 11y = 11(x + y)$, যা $11$ দিয়ে বিভাজ্য।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $27 + 72 = 99 = 11 \times 9$ ✓।

উত্তর: ঘ) $11$

116. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল সংখ্যাটির চেয়ে $9$ কম। সংখ্যাটির এককের স্থানে নিচের কোন অঙ্কটি আছে? [The sum of the digits of a two-digit number is 9 less than the number. Which of the following digits is at unit’s place of the number?]

ক) 1     খ) 2     গ) 4     ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $(10x + y) - (x + y) = 9$, তাই $9x = 9$ এবং $x = 1$।

তথ্য থেকে শুধু দশকের অঙ্ক $1$ পাই; $y$ এর মান নির্ণয় করা যায় না ($10, 11, \ldots, 19$ সবই শর্ত মানে)।

ব্যাখ্যা: যেকোনো $1y$ সংখ্যায় সংখ্যা $-$ অঙ্কের যোগফল $= 9$।

উত্তর: ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত

117. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা এবং তার অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাদের পার্থক্য $36$ হলে সংখ্যাটির অঙ্ক দুটির পার্থক্য কত? [The difference between a two-digit number and the number obtained by interchanging the positions of its digits is 36. What is the difference between the two digits of that number?]

ক) 3     খ) 4     গ) 9     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $(10x + y) - (10y + x) = 36$, অর্থাৎ $9(x - y) = 36$।

$x - y = \dfrac{36}{9} = 4$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: পার্থক্য $\div 9 =$ অঙ্ক দুটির পার্থক্য।

উত্তর: খ) $4$

118. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা এবং অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করে পাওয়া সংখ্যার পার্থক্য $63$। দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোটটি কোনটি? [The difference between a two-digit number and the number obtained by interchanging the two digits is 63. Which is the smaller of the two number?]

ক) 29     খ) 70     গ) 92     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

$9(x - y) = 63$, তাই $x - y = 7$।

সম্ভাব্য জোড়া: $(70, 07)$, $(81, 18)$, $(92, 29)$। একাধিক সম্ভাবনা থাকায় ছোট সংখ্যা একক নয়।

ব্যাখ্যা: শুধু অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য জানলে সংখ্যা নির্ণয় করা যায় না।

উত্তর: ঘ) কোনোটিই নয়

119. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল সংখ্যাটি ও অঙ্ক উল্টে পাওয়া সংখ্যার পার্থক্যের $\dfrac{1}{5}$ অংশ। সংখ্যাটির অঙ্ক দুটির পার্থক্য নিশ্চিতভাবে কত? [The sum of the digits of a two-digit number is 1/5 of the difference between the number and the number obtained by interchanging the positions of the digits. What is definitely the difference between digits of that number?]

ক) 5     খ) 7     গ) 9     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

দশক $x$, একক $y$। $x + y = \dfrac{1}{5}[(10x + y) - (10y + x)] = \dfrac{9(x - y)}{5}$।

$5x + 5y = 9x - 9y$, তাই $4x = 14y$ অর্থাৎ $2x = 7y$।

অঙ্ক হিসেবে $y = 2$ হলে $x = 7$ (পরের মান $y = 4$ এ $x = 14$ অঙ্ক নয়)। সংখ্যা $72$ এবং অঙ্ক দুটির পার্থক্য $x - y = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $72 - 27 = 45$ এবং $\dfrac{45}{5} = 9 = 7 + 2$ ✓।

উত্তর: ক) $5$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের সমাধানে বলা হয়েছে অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য নির্ণয় করা যায় না (উত্তর "কোনোটিই নয়")। কিন্তু $2x = 7y$ থেকে অঙ্ক হিসেবে একমাত্র $x = 7$, $y = 2$ পাওয়া যায় এবং তখন পার্থক্য $5$। তাই সঠিক উত্তর (ক) $5$।

120. একটি দুই অঙ্কের ধনাত্মক সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্কের বর্গের সমান এবং সংখ্যাটি ও অঙ্ক উল্টে পাওয়া সংখ্যার পার্থক্য $54$। মূল সংখ্যাটির $40\%$ কত? [In a two-digit positive number, the digit in the units place is equal to the square of the digit ten’s place, and the difference between the number and the number obtained by interchanging the digits is 54. What is 40% of the original number?]

ক) 15.6     খ) 24     গ) 37.2     ঘ) 39

সমাধান:

দশকের অঙ্ক $x$, একক $x^2$। মূল সংখ্যা $= 10x + x^2$ এবং উল্টানো সংখ্যা $= 10x^2 + x$।

উল্টানো সংখ্যা বড়: $(10x^2 + x) - (10x + x^2) = 54$, তাই $9x^2 - 9x = 54$ এবং $x^2 - x - 6 = 0$।

$(x - 3)(x + 2) = 0$, $x = 3$। দশক $3$ ও একক $9$; মূল সংখ্যা $39$।

$39$ এর $40\% = 39 \times 0.4 = 15.6$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $93 - 39 = 54$ ✓।

উত্তর: ক) $15.6$

121. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি মূল সংখ্যার $\dfrac{5}{6}$ অংশ হয়। অঙ্ক দুটির পার্থক্য $1$। সংখ্যাটি কত? [A two-digit number becomes five-sixth of itself when its digits are reversed. The two digits differ by one. The number is] (IFIC Bank (TSO) 2018)

ক) 45     খ) 54     গ) 56     ঘ) 65

সমাধান:

উল্টালে সংখ্যা ছোট হয়, তাই দশকের অঙ্ক বড়। একক $x$, দশক $(x + 1)$।

মূল সংখ্যা $= 11x + 10$ এবং উল্টানো সংখ্যা $= 11x + 1$।

$\dfrac{5}{6}(11x + 10) = 11x + 1$, তাই $55x + 50 = 66x + 6$ এবং $11x = 44$, $x = 4$।

মূল সংখ্যা $= 54$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $54$ এর $\dfrac{5}{6} = 45$ ✓ (উল্টানো সংখ্যা)।

উত্তর: খ) $54$

তিন অঙ্কের সংখ্যা

122. একটি তিন অঙ্কের সংখ্যার এককের অঙ্ক ও শতকের অঙ্ক সমান এবং সব অঙ্কের যোগফল $8$। এরকম সংখ্যা কয়টি? [In a number of three digits, the digits in the unit’s place and in the hundred’s place are equal and the sum of all the digits is 8. The number of such numbers is?]

ক) 3     খ) 4     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

শতক ও একক $x$, দশক $y$। $2x + y = 8$, অর্থাৎ $y = 8 - 2x$।

$x = 1, 2, 3, 4$ হলে $y = 6, 4, 2, 0$ (অঙ্ক $0$ থেকে $9$ এর মধ্যে)। $x = 5$ হলে $y$ ঋণাত্মক হয়।

সংখ্যাগুলো $161, 242, 323, 404$। মোট $4$ টি।

ব্যাখ্যা: $x \ge 1$ কারণ শতকের অঙ্ক শূন্য হতে পারে না।

উত্তর: খ) $4$

123. একটি তিন অঙ্কের সংখ্যায় এককের অঙ্ক শতকের অঙ্কের চারগুণ। একক ও দশকের অঙ্ক বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি মূল সংখ্যার চেয়ে $18$ বেশি হয়। শতকের অঙ্ক দশকের অঙ্কের এক-তৃতীয়াংশ হলে মূল সংখ্যা কত? [In a three-digit number, the digit in the units place is four times the digit in the hundreds place. If the digits in the units place and the tens place are interchanged, the new number so formed is 18 more than the original number. If the digit in the hundreds place is one-third of the digit in the tens place, what is the original number?]

সমাধান:

শতকের অঙ্ক $x$, তাহলে একক $4x$ ও দশক $3x$। মূল সংখ্যা $= 100x + 30x + 4x = 134x$।

একক ও দশক বিনিময় করলে সংখ্যা $= 100x + 40x + 3x = 143x$।

$143x - 134x = 18$, তাই $9x = 18$ এবং $x = 2$। মূল সংখ্যা $= 134 \times 2 = 268$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $286 - 268 = 18$ ✓।

উত্তর: $268$

124. একটি তিন অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল $10$। মধ্যবর্তী অঙ্কটি অন্য দুটি অঙ্কের যোগফলের সমান এবং অঙ্ক উল্টালে সংখ্যাটি $99$ বাড়ে। সংখ্যাটি কত? [A number consists of 3 digits whose sum is 10. The middle digit is equal to the sum of the other two and the number will be increased by 99 if its digits reversed. The number is?]

ক) 145     খ) 253     গ) 370     ঘ) 352

সমাধান:

শতক $x$, দশক $y$, একক $z$। $x + y + z = 10$ এবং $y = x + z$।

তাই $2y = 10$, $y = 5$ এবং $x + z = 5$।

উল্টালে $99$ বাড়ে: $(100z + 50 + x) - (100x + 50 + z) = 99$, অর্থাৎ $99(z - x) = 99$ এবং $z = x + 1$।

$x + (x + 1) = 5$, তাই $x = 2$, $z = 3$। সংখ্যা $253$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $352 - 253 = 99$ ✓।

উত্তর: খ) $253$

125. একটি তিন অঙ্কের সংখ্যায় এককের অঙ্ক দশকের অঙ্কের $75\%$। দশকের অঙ্ক শতকের অঙ্কের চেয়ে $1$ বেশি। দশক ও শতকের অঙ্কের যোগফল $15$ হলে সংখ্যাটি কত? [In a three-digit number, the digit in the unit’s place is 75% of the digit in the ten’s place. The digit in the ten’s place is greater than the digit in the hundred’s place by 1. If the sum of the digits in the ten’s place and the hundred’s place is 15, what is the number?]

ক) 687     খ) 786     গ) 795     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

শতকের অঙ্ক $x$, তাহলে দশক $(x + 1)$। $x + (x + 1) = 15$, তাই $x = 7$।

শতক $7$ ও দশক $8$। একক $= 75\%$ of $8 = 6$।

সংখ্যাটি $786$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $8 - 7 = 1$ ✓ এবং $8 + 7 = 15$ ✓।

উত্তর: খ) $786$