Problems on Numbers Math Solutions for Bank Jobs: Part 4 (Q76-100)

২. যুগল সমীকরণ: দুটি অজানার জন্য দুটি সমীকরণ থাকলে যোগ-বিয়োগ করে একটি অজানা বাদ দিন।

৩. দুই অঙ্কের সংখ্যা: দশক $x$ ও একক $y$ হলে সংখ্যা $= 10x + y$ এবং অঙ্ক উল্টালে $10y + x$। এদের পার্থক্য $= 9(x - y)$, তাই পার্থক্য সবসময় $9$ এর গুণিতক।

প্রশ্ন ও সমাধান

76. দুটি সংখ্যার পার্থক্য $1365$। বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল $6$ ও ভাগশেষ $15$ হয়। ছোট সংখ্যাটি কত? [The difference of two numbers is 1365. On dividing the larger number by the smaller, we get 6 as quotient and the 15 as remainder. What is the smaller number?] (DBBL (AO) 2017, Basic Bank (AM) 2018)

ক) 240     খ) 270     গ) 295     ঘ) 360

সমাধান:

ছোট সংখ্যা $x$, তাই বড় সংখ্যা $= x + 1365$।

ভাগের সম্পর্ক: $x + 1365 = 6x + 15$, তাই $5x = 1350$ এবং $x = 270$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বড় সংখ্যা $= 1635$; $1635 = 6 \times 270 + 15$ ✓।

উত্তর: খ) $270$

77. দুটি সংখ্যার গুণফল $9375$ এবং বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল $15$। সংখ্যা দুটির যোগফল কত? [The product of two numbers is 9375 and the quotient, when the larger one is divided by the smaller, is 15. The sum of the numbers is?]

ক) 380     খ) 395     গ) 400     ঘ) 425

সমাধান:

ছোট সংখ্যা $x$, তাই বড় সংখ্যা $= 15x$ (ভাগফল $15$)।

$x \times 15x = 9375$, তাই $x^2 = 625$ এবং $x = 25$।

সংখ্যা দুটি $25$ ও $375$। যোগফল $= 400$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $25 \times 375 = 9375$ ✓।

উত্তর: গ) $400$

78. একটি সংখ্যা $36$ এর যতটুকু বড়, $86$ এর ততটুকু ছোট। সংখ্যাটি নির্ণয় কর। [A number is as much greater than 36 as is less than 86. Find the number.]

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $x - 36 = 86 - x$ (যতটা বড় $=$ ততটা ছোট)।

$2x = 122$, তাই $x = 61$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: সংখ্যাটি $36$ ও $86$ এর ঠিক মাঝখানে, অর্থাৎ গড় $= \dfrac{36 + 86}{2} = 61$।

উত্তর: $61$

79. একজন লোক কিছু ডিম কিনল, যার $10\%$ পচা। বাকিগুলোর $80\%$ সে প্রতিবেশীদের দিল। এখন তার কাছে $36$ টি ডিম আছে। সে কয়টি ডিম কিনেছিল? [A man bought some eggs of which 10% are rotten. He gives 80% of the remainder to his neighbors. Now he is left out with 36 eggs. How many eggs he bought?]

ক) 40     খ) 100     গ) 200     ঘ) 72

সমাধান:

কেনা ডিম $x$। ভালো ডিম $= 90\%$ of $x = 0.9x$।

প্রতিবেশীদের $80\%$ দিলে বাকি $20\%$: $0.9x \times 0.2 = 0.18x = 36$।

$x = \dfrac{36}{0.18} = 200$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $200$ এর $90\% = 180$; $180$ এর $20\% = 36$ ✓।

উত্তর: গ) $200$

80. এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় কর, যার $7$ গুণ থেকে $15$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের চেয়ে $10$ বেশি হয়। [Find a number such that when 15 is subtracted from 7 times the number, the result is 10 more than twice the number.]

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $7x - 15 = 2x + 10$, তাই $5x = 25$ এবং $x = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $7 \times 5 - 15 = 20 = 2 \times 5 + 10$ ✓।

উত্তর: $5$

81. দুটি সংখ্যার যোগফল $22$। একটি সংখ্যার $5$ গুণ অপর সংখ্যার $6$ গুণের সমান। বড় সংখ্যাটি কত? [The sum of two numbers is 22. Five times one number is equal to 6 times the other. The bigger of the two numbers is]

ক) 10     খ) 12     গ) 15     ঘ) 16

সমাধান:

ধরি, বড় সংখ্যা $x$ ও ছোট সংখ্যা $(22 - x)$। শর্ত: বড় সংখ্যার $5$ গুণ $=$ ছোট সংখ্যার $6$ গুণ, অর্থাৎ $5x = 6(22 - x)$ এবং $5x = 132 - 6x$।

$11x = 132$, তাই $x = 12$। ছোট সংখ্যা $= 10$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $5 \times 12 = 60 = 6 \times 10$ ✓।

উত্তর: খ) $12$

82. $54$ কে এমনভাবে দুই অংশে ভাগ কর যাতে প্রথম অংশের $10$ গুণ ও দ্বিতীয় অংশের $22$ গুণের যোগফল $780$ হয়। বড় অংশটি কত? [54 is to be divided into two parts such that the sum of 10 times the first and 22 times the second is 780. The bigger part is?]

ক) 24     খ) 34     গ) 30     ঘ) 32

সমাধান:

অংশ দুটি $x$ ও $y$। $x + y = 54$ ... (i) এবং $10x + 22y = 780$, অর্থাৎ $5x + 11y = 390$ ... (ii)।

(i) থেকে $x = 54 - y$ বসিয়ে $5(54 - y) + 11y = 390$, অর্থাৎ $270 + 6y = 390$ এবং $y = 20$।

$x = 54 - 20 = 34$। বড় অংশ $34$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $10 \times 34 + 22 \times 20 = 340 + 440 = 780$ ✓।

উত্তর: খ) $34$

83. কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের তিনগুণ থেকে সংখ্যাটির $4$ গুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির চেয়ে $50$ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত? [Thrice the square of a natural number decreased by 4 times the number is equal to 50 more than number. The number is]

ক) 4     খ) 5     গ) 6     ঘ) 10

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $3x^2 - 4x = x + 50$, তাই $3x^2 - 5x - 50 = 0$।

$3x^2 - 15x + 10x - 50 = 0$, অর্থাৎ $(x - 5)(3x + 10) = 0$।

স্বাভাবিক সংখ্যা $x = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3 \times 25 - 20 = 55 = 5 + 50$ ✓।

উত্তর: খ) $5$

84. দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল $37$। সংখ্যা দুটির পার্থক্যের বর্গমূল কত হবে? [The product of two whole numbers is 37. The square root of the difference of the numbers is]

ক) 4.5     খ) 6     গ) 7.5     ঘ) 8

সমাধান:

$37$ মৌলিক সংখ্যা, তাই গুণফল $37$ হওয়ার একমাত্র উপায় $1 \times 37$। সংখ্যা দুটি $1$ ও $37$।

পার্থক্য $= 37 - 1 = 36$ এবং বর্গমূল $= \sqrt{36} = 6$।

ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে শুধু $1$ ও সংখ্যাটি নিজেই পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $6$

85. দুটি সংখ্যার যোগফল $184$। একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ অন্যটির এক-সপ্তমাংশের চেয়ে $8$ বেশি হলে ছোট সংখ্যাটি কত? [The sum of two numbers is 184. If one-third of the one exceeds one-seventh of the other by 8, find the smaller number.]

সমাধান:

এক সংখ্যা $x$ ও অপর সংখ্যা $(184 - x)$। $\dfrac{x}{3} - \dfrac{184 - x}{7} = 8$।

$7x - 3(184 - x) = 168$, অর্থাৎ $10x = 168 + 552 = 720$ এবং $x = 72$।

অপর সংখ্যা $= 184 - 72 = 112$। ছোট সংখ্যা $72$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{72}{3} = 24$ ও $\dfrac{112}{7} = 16$; $24 - 16 = 8$ ✓।

উত্তর: $72$

86. দুটি সংখ্যার পার্থক্য $11$ এবং তাদের যোগফলের এক-পঞ্চমাংশ $9$। সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [The difference of two numbers is 11 and one-fifth of their sum is 9. Find the numbers.]

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$। $x - y = 11$ ... (i)। যোগফলের $\dfrac{1}{5}$ অংশ $= 9$, তাই $x + y = 45$ ... (ii)।

যোগ করে $2x = 56$, $x = 28$ এবং $y = 45 - 28 = 17$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $28 - 17 = 11$ এবং $\dfrac{45}{5} = 9$ ✓।

উত্তর: $28$ ও $17$

87. কোনো সংখ্যাকে দ্বিগুণ করে তার সাথে $20$ যোগ করলে যে ফল পাওয়া যায়, সংখ্যাটিকে $8$ দিয়ে গুণ করে গুণফল থেকে $4$ বিয়োগ করলেও একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত? [If doubling a number and adding 20 to the result gives the same answer as multiplying the number by 8 and taking away 4 from the product, the number is]

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 6

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $2x + 20 = 8x - 4$, তাই $6x = 24$ এবং $x = 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2 \times 4 + 20 = 28 = 8 \times 4 - 4$ ✓।

উত্তর: গ) $4$

88. তিনটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 2 : 5$। তাদের বর্গের যোগফল $1862$। সংখ্যা তিনটি নির্ণয় কর। [Three numbers are in the ratio 3 : 2 : 5. The sum of their squares is 1862. Find the numbers.]

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $3x, 2x, 5x$। $9x^2 + 4x^2 + 25x^2 = 38x^2 = 1862$।

$x^2 = \dfrac{1862}{38} = 49$, তাই $x = 7$।

সংখ্যা তিনটি $21, 14, 35$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $441 + 196 + 1225 = 1862$ ✓।

উত্তর: $21, 14, 35$

89. দুটি সংখ্যার যোগফল $15$ এবং বর্গের যোগফল $113$। সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [The sum of two numbers is 15 and the sum of their squares is 113. Find the numbers.]

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $(15 - x)$। $x^2 + (15 - x)^2 = 113$, অর্থাৎ $2x^2 - 30x + 225 = 113$।

$2x^2 - 30x + 112 = 0$, তাই $x^2 - 15x + 56 = 0$ এবং $(x - 7)(x - 8) = 0$।

সংখ্যা দুটি $7$ ও $8$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $49 + 64 = 113$ এবং $7 + 8 = 15$ ✓।

উত্তর: $7$ ও $8$

90. দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পার্থক্য $3$ এবং তাদের বর্গের যোগফল $369$। সংখ্যা দুটির যোগফল কত? [The difference between two positive integers is 3. If the sum of their squares is 369, then the sum the numbers is]

ক) 25     খ) 27     গ) 33     ঘ) 81

সমাধান:

সূত্র: $(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2)$।

$(x + y)^2 + 9 = 2 \times 369 = 738$, তাই $(x + y)^2 = 729$ এবং $x + y = 27$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $12$ ও $15$; $144 + 225 = 369$ ✓।

উত্তর: খ) $27$

91. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ তার পরবর্তী সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের চেয়ে $1$ বেশি। সংখ্যাটি কত? [One-third of a two-digit number exceeds one-fourth of its successive number by 1. The number is]

ক) 12     খ) 15     গ) 18     ঘ) 21

সমাধান:

সংখ্যা $x$, পরবর্তী সংখ্যা $(x + 1)$। $\dfrac{x}{3} - \dfrac{x + 1}{4} = 1$।

$4x - 3(x + 1) = 12$, তাই $x - 3 = 12$ এবং $x = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{15}{3} = 5$ ও $\dfrac{16}{4} = 4$; $5 - 4 = 1$ ✓।

উত্তর: খ) $15$

92. দুটি সংখ্যার প্রথমটির দ্বিগুণ ও দ্বিতীয়টির তিনগুণের যোগফল $39$, আবার প্রথমটির তিনগুণ ও দ্বিতীয়টির দ্বিগুণের যোগফল $36$। সংখ্যা দুটির মধ্যে বড়টি কত? [There are two numbers such that the sum of twice the first and thrice the second is 39, while the sum of thrice the first and twice the second is 36. The larger of the two is]

ক) 6     খ) 8     গ) 9     ঘ) 12

সমাধান:

প্রথম সংখ্যা $x$, দ্বিতীয় $y$। $2x + 3y = 39$ ... (i) এবং $3x + 2y = 36$ ... (ii)।

(i) কে $3$ ও (ii) কে $2$ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ: $9y - 4y = 117 - 72$, তাই $5y = 45$ এবং $y = 9$।

(i) থেকে $2x = 39 - 27 = 12$, $x = 6$। বড় সংখ্যা $9$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: দুটি সমীকরণ যোগ করলে $5x + 5y = 75$, তাই $x + y = 15$; বিয়োগ করলে $y - x = 3$; অতএব $y = 9$।

উত্তর: গ) $9$

93. দুটি সংখ্যার প্রথমটির দ্বিগুণ ও দ্বিতীয়টির তিনগুণের যোগফল $100$ এবং প্রথমটির তিনগুণ ও দ্বিতীয়টির দ্বিগুণের যোগফল $120$। কোনটি বড় সংখ্যা? [There are two numbers such that the sum of twice the first number and thrice the second number is 100 and the sum of thrice the first number and twice the second number is 120. Which is the larger number?]

ক) 12     খ) 14     গ) 32     ঘ) 35

সমাধান:

$2x + 3y = 100$ ... (i) এবং $3x + 2y = 120$ ... (ii)।

যোগ করে $5x + 5y = 220$, তাই $x + y = 44$। বিয়োগ করে $x - y = 20$।

যোগ করে $2x = 64$, $x = 32$ এবং $y = 12$। বড় সংখ্যা $32$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2 \times 32 + 3 \times 12 = 100$ ✓ এবং $3 \times 32 + 2 \times 12 = 120$ ✓।

উত্তর: গ) $32$

94. দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফলকে বড় সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে $204$ হয় এবং তাদের পার্থক্যকে ছোট সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে $35$ হয়। সংখ্যা দুটি কত? [The sum of two positive integers multiplied by the bigger number is 204, and their difference multiplied by the smaller number is 35. The numbers are]

ক) $12, 5$     খ) $13, 4$     গ) $14, 3$     ঘ) $24, 10$

সমাধান:

বড় সংখ্যা $x$ ও ছোট সংখ্যা $y$। $x(x + y) = 204$ অর্থাৎ $x^2 + xy = 204$ ... (i) এবং $y(x - y) = 35$ অর্থাৎ $xy - y^2 = 35$ ... (ii)।

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে $x^2 + y^2 = 169$।

যে দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গের যোগফল $169$ তারা $12$ ও $5$ ($144 + 25 = 169$)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $12 \times 17 = 204$ ✓ এবং $5 \times 7 = 35$ ✓।

উত্তর: ক) $12, 5$

95. তিনটি সংখ্যার প্রতিবার দুটি করে যোগ করলে যোগফলগুলো $10, 19$ ও $21$ হয়। সংখ্যা তিনটি নির্ণয় কর। [If three numbers are added in pairs, the sums equal 10, 19 and 21. Find the numbers.]

সমাধান:

সংখ্যা $x, y, z$। $x + y = 10$, $y + z = 19$, $x + z = 21$।

তিনটি সমীকরণ যোগ করে $2(x + y + z) = 50$, তাই $x + y + z = 25$।

$z = 25 - 10 = 15$; $x = 25 - 19 = 6$; $y = 25 - 21 = 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $6 + 4 = 10$, $4 + 15 = 19$, $6 + 15 = 21$ ✓।

উত্তর: $6, 4, 15$

96. তিনটি সংখ্যার প্রথম দুটির যোগফল $73$, দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির যোগফল $77$ এবং তৃতীয়টি ও প্রথমটির তিনগুণের যোগফল $104$। তৃতীয় সংখ্যাটি কত? [Of the three numbers, the sum of the first two is 73, the sum of the second and the third is 77 and to sum of the third and thrice the first is 104. The third number is?]

ক) 25     খ) 39     গ) 29     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা $x, y, z$। $x + y = 73$ ... (i), $y + z = 77$ ... (ii), $3x + z = 104$ ... (iii)।

(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে $z - x = 4$, তাই $z = x + 4$।

(iii) এ বসিয়ে $3x + x + 4 = 104$, তাই $4x = 100$ ও $x = 25$। অতএব $z = 29$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $y = 73 - 25 = 48$; $48 + 29 = 77$ ✓ এবং $3 \times 25 + 29 = 104$ ✓।

উত্তর: গ) $29$

97. চারটি সংখ্যার যোগফল $64$। প্রথমটির সাথে $3$ যোগ, দ্বিতীয়টি থেকে $3$ বিয়োগ, তৃতীয়টিকে $3$ দিয়ে গুণ ও চতুর্থটিকে $3$ দিয়ে ভাগ করলে সব ফল সমান হয়। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মূল সংখ্যার পার্থক্য কত? [The sum of four numbers is 64. If you add 3 to the first number, 3 is subtracted from the second number, the third is multiplied by 3 and the fourth is divided by 3, then all the results are equal. What is the difference between the largest and the smallest original numbers?]

ক) 21     খ) 27     গ) 32     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা চারটি $A, B, C, D$ এবং সমান ফল $x$: $A + 3 = B - 3 = 3C = \dfrac{D}{3} = x$।

তাই $A = x - 3$, $B = x + 3$, $C = \dfrac{x}{3}$, $D = 3x$।

যোগফল: $5x + \dfrac{x}{3} = \dfrac{16x}{3} = 64$, তাই $x = 12$।

সংখ্যা চারটি $9, 15, 4, 36$। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতমের পার্থক্য $= 36 - 4 = 32$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9 + 15 + 4 + 36 = 64$ ✓।

উত্তর: গ) $32$

দুই অঙ্কের সংখ্যা

98. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল $9$। সংখ্যাটি থেকে $63$ বিয়োগ করলে অঙ্কগুলো স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর। [A number consists of two digits. The sum of the digits is 9. If 63 is subtracted from the number, its digits are interchanged. Find the number.]

সমাধান:

দশকের অঙ্ক $x$, তাহলে এককের অঙ্ক $(9 - x)$। সংখ্যা $= 10x + 9 - x = 9x + 9$।

অঙ্ক উল্টালে সংখ্যা $= 10(9 - x) + x = 90 - 9x$।

শর্ত: $(9x + 9) - 63 = 90 - 9x$, তাই $18x = 144$ এবং $x = 8$। সংখ্যা $= 9 \times 8 + 9 = 81$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $81 - 63 = 18$ এবং $18$ হলো $81$ এর অঙ্ক উল্টানো সংখ্যা ✓।

উত্তর: $81$

99. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা মূল সংখ্যা থেকে $54$ কম। অঙ্ক দুটির যোগফল $12$ হলে মূল সংখ্যাটি কত? [The number obtained by interchanging the two digits of a two-digits of number is lesser than the original number by 54. If the sum of the two digit of the number is 12, then what is the original number?]

ক) 28     খ) 39     গ) 82     ঘ) 93

সমাধান:

দশকের অঙ্ক $x$, এককের অঙ্ক $(12 - x)$। মূল সংখ্যা $= 9x + 12$ এবং উল্টানো সংখ্যা $= 120 - 9x$।

শর্ত: $(9x + 12) - (120 - 9x) = 54$, তাই $18x = 162$ এবং $x = 9$।

দশক $9$ ও একক $3$; মূল সংখ্যা $93$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: পার্থক্য $= 9(x - y) = 54$, তাই $x - y = 6$; $x + y = 12$ থেকে $x = 9$, $y = 3$।

উত্তর: ঘ) $93$

100. একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা ও তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের অনুপাত $4 : 1$। এককের অঙ্ক দশকের অঙ্কের চেয়ে $3$ বেশি হলে সংখ্যাটি কত? [The ratio between a two-digit number and the sum of the digits of that number is 4 : 1. If the digit in unit's place is 3 more than the digit in the ten's place, then the number is]

ক) 24     খ) 36     গ) 63     ঘ) 96

সমাধান:

দশকের অঙ্ক $x$, এককের অঙ্ক $(x + 3)$। সংখ্যা $= 11x + 3$ এবং অঙ্কের যোগফল $= 2x + 3$।

$\dfrac{11x + 3}{2x + 3} = \dfrac{4}{1}$, তাই $11x + 3 = 8x + 12$ ও $3x = 9$, $x = 3$।

সংখ্যা $= 11 \times 3 + 3 = 36$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{36}{3 + 6} = \dfrac{36}{9} = 4$ ✓।

উত্তর: খ) $36$