Problems on Numbers Math Solutions for Bank Jobs: Part 2 (Q26-50)

২. অনুপাত: সংখ্যাগুলোকে $ax, bx, cx$ ধরে শর্ত বসান। অনুপাত যুক্ত দুটি শর্ত থাকলে অনুপাত দুটিকে সাধারণ পদের মাধ্যমে মিলিয়ে একটি অনুপাত বানান।

৩. ভগ্নাংশের শর্ত: সংখ্যাটি $x$ ধরে বাক্যটিকে সমীকরণে সাজান: যেমন "এর তিন-পঞ্চমাংশ" মানে $\dfrac{3}{5}x$।

প্রশ্ন ও সমাধান

26. $A, B, C, D$ ও $E$ পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা। $A$ ও $C$ এর যোগফল $146$ হলে $E$ এর মান কত? [A, B, C, D and E are five consecutive odd numbers. The sum of A and C is 146. What is the value of E?]

ক) 71     খ) 75     গ) 79     ঘ) 81

সমাধান:

$A = x$, $B = x+2$, $C = x+4$, $D = x+6$, $E = x+8$।

$A + C = 2x + 4 = 146$, তাই $x = 71$।

$E = x + 8 = 79$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যাগুলো $71, 73, 75, 77, 79$ এবং $71 + 75 = 146$ ✓।

উত্তর: গ) $79$

27. ছয়টি ধারাবাহিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল $27$ হলে বাকি তিনটির যোগফল কত? [Out of six consecutive natural numbers if the sum of first three is 27, what is the sum of the other three?]

ক) 24     খ) 25     গ) 35     ঘ) 36

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+1, \ldots, x+5$। $3x + 3 = 27$, তাই $x = 8$।

সংখ্যাগুলো $8, 9, 10, 11, 12, 13$। বাকি তিনটির যোগফল $= 11 + 12 + 13 = 36$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: পরের তিনটির প্রতিটি আগের সংশ্লিষ্টটির চেয়ে $3$ বেশি, তাই যোগফল $27 + 3 \times 3 = 36$।

উত্তর: ঘ) $36$

28. পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল $575$। পরবর্তী পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত? [The sum of five consecutive odd numbers is 575. What is the sum of the next set of five consecutive odd numbers?]

ক) 595     খ) 615     গ) 635     ঘ) 625

সমাধান:

প্রথম সেটের পাঁচটি সংখ্যার পরের সেটের সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলো $10$ করে বেশি (পাঁচটি বিজোড় সংখ্যা এগোলে $2 \times 5 = 10$)।

যোগফল বাড়ে $5 \times 10 = 50$। অতএব $575 + 50 = 625$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: প্রথম সংখ্যা $x$ হলে $5x + 20 = 575$, $x = 111$; পরের সেটের যোগফল $5(x + 10) + 20 = 625$ ✓।

উত্তর: ঘ) $625$

29. তিনটি ক্রমিক বিজোড় ও তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার মোট যোগফল $231$। ক্ষুদ্রতম বিজোড় সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যার চেয়ে $11$ কম। বৃহত্তম বিজোড় ও বৃহত্তম জোড় সংখ্যার যোগফল কত? [The sum of three consecutive odd numbers and three consecutive even numbers together is 231, Also, the smallest odd number is 11 less than the smallest even number. What is the sum of the largest odd number and the largest even number?]

ক) 74     খ) 82     গ) 81     ঘ) নির্ণয় করা সম্ভব নয়

সমাধান:

বিজোড় সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$ এবং জোড় সংখ্যা তিনটি $x+11, x+13, x+15$।

মোট $6x + 45 = 231$, তাই $6x = 186$ এবং $x = 31$।

বৃহত্তম বিজোড় $= 35$ এবং বৃহত্তম জোড় $= 46$। যোগফল $= 81$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $31 + 33 + 35 = 99$ এবং $42 + 44 + 46 = 132$; $99 + 132 = 231$ ✓।

উত্তর: গ) $81$

30. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যার প্রথমটির তিনগুণ তৃতীয়টির দ্বিগুণের চেয়ে $3$ বেশি। তৃতীয় সংখ্যাটি কত? [Three times the first of three consecutive odd integers is 3 more than twice the third. The third integer is]

ক) 9     খ) 11     গ) 13     ঘ) 15

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$। শর্ত: $3x = 2(x + 4) + 3$।

$3x = 2x + 11$, তাই $x = 11$।

তৃতীয় সংখ্যা $= x + 4 = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3 \times 11 = 33$ এবং $2 \times 15 + 3 = 33$ ✓।

উত্তর: ঘ) $15$

31. তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল প্রথম সংখ্যার চেয়ে $20$ বেশি। মধ্যম সংখ্যাটি কত? [The sum of three consecutive odd numbers is 20 more than the first of these numbers. What is the middle number?]

ক) 7     খ) 9     গ) 11     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$। $x + (x + 2) + (x + 4) = x + 20$।

$3x + 6 = x + 20$, তাই $2x = 14$ এবং $x = 7$।

মধ্যম সংখ্যা $= x + 2 = 9$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $7 + 9 + 11 = 27 = 7 + 20$ ✓।

উত্তর: খ) $9$

32. তিনটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার গুণফলকে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল $720$ হয়। তাহলে তাদের বর্গমূলের গুণফল কত? [The product of three consecutive even numbers when divided by 8 is 720. The product of their square roots is?]

ক) $12\sqrt{10}$     খ) $24\sqrt{10}$     গ) 120     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$। $\dfrac{x(x+2)(x+4)}{8} = 720$, তাই $x(x+2)(x+4) = 5760$।

$5760 = 16 \times 18 \times 20$, তাই সংখ্যা তিনটি $16, 18, 20$।

বর্গমূলের গুণফল $= \sqrt{16 \times 18 \times 20} = \sqrt{5760} = \sqrt{576 \times 10} = 24\sqrt{10}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $576 = 24^2$ এবং $5760 = 576 \times 10$ ✓।

উত্তর: খ) $24\sqrt{10}$

33. $3$ এর তিনটি ক্রমিক গুণিতকের যোগফল $72$। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? [The sum of three consecutive multiples of 3 is 72. What is the largest number?]

ক) 21     খ) 24     গ) 27     ঘ) 36

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $3x, 3x+3, 3x+6$। $9x + 9 = 72$, তাই $9x = 63$ এবং $x = 7$।

বৃহত্তম সংখ্যা $= 3x + 6 = 27$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $21 + 24 + 27 = 72$ ✓।

উত্তর: গ) $27$

34. দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য $84$ হলে তাদের যোগফল কত? [What is the sum of two consecutive even numbers, the difference of whose squares is 84?]

ক) 34     খ) 38     গ) 42     ঘ) 46

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $x + 2$। $(x+2)^2 - x^2 = 84$, অর্থাৎ $4x + 4 = 84$ এবং $x = 20$।

সংখ্যা দুটি $20$ ও $22$। যোগফল $= 42$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: ক্রমিক জোড় বা বিজোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য $=$ তাদের যোগফল $\times 2$, তাই যোগফল $= \dfrac{84}{2} = 42$।

উত্তর: গ) $42$

35. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল $2030$। মধ্যম সংখ্যাটি কত? [The sum of the squares of three consecutive natural numbers is 2030. What is the middle number?]

ক) 25     খ) 26     গ) 27     ঘ) 28

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+1, x+2$। $x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 2030$, অর্থাৎ $3x^2 + 6x + 5 = 2030$ এবং $x^2 + 2x - 675 = 0$।

$(x + 27)(x - 25) = 0$, তাই $x = 25$।

মধ্যম সংখ্যা $= x + 1 = 26$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $25^2 + 26^2 + 27^2 = 625 + 676 + 729 = 2030$ ✓।

উত্তর: খ) $26$

36. তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল $120$ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত? [If the product of three consecutive integers is 120, then the sum of the integers is]

ক) 9     খ) 12     গ) 14     ঘ) 15

সমাধান:

$120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$। উৎপাদকগুলো ক্রমিক তিনটি সংখ্যায় সাজাই: $4 \times 5 \times 6$।

সংখ্যা তিনটির যোগফল $= 4 + 5 + 6 = 15$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: $\sqrt[3]{120} \approx 5$, তাই মাঝের সংখ্যা $5$ এবং সংখ্যাগুলো $4, 5, 6$।

উত্তর: ঘ) $15$

37. দুটি সংখ্যার অনুপাত $4 : 7$। উভয় সংখ্যার সাথে $4$ যোগ করলে অনুপাত $3 : 5$ হয়। বড় সংখ্যাটি কত? [Two numbers are such that the ratio between them is 4 : 7. If each is increased by 4, the ratio becomes 3 : 5. The larger number is]

ক) 36     খ) 48     গ) 56     ঘ) 64

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $4x$ ও $7x$। শর্ত: $\dfrac{4x + 4}{7x + 4} = \dfrac{3}{5}$।

আড়গুণন: $20x + 20 = 21x + 12$, তাই $x = 8$।

বড় সংখ্যা $= 7 \times 8 = 56$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $32$ ও $56$; $4$ যোগ করে $36 : 60 = 3 : 5$ ✓।

উত্তর: গ) $56$

38. দুটি সংখ্যার একটির বর্গ অপরটির বর্গের $8$ গুণের চেয়ে $224$ কম। সংখ্যা দুটির অনুপাত $3 : 4$ হলে সংখ্যা দুটি কত? [Two numbers are such that the square of one is 224 less than 8 times the square of the other. If the numbers be in the ratio of 3 : 4, the numbers are?]

ক) $6, 8$     খ) $9, 12$     গ) $12, 16$     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $3x$ ও $4x$। শর্ত: $8(3x)^2 - (4x)^2 = 224$ (একটির বর্গ $= 8 \times$ অপরটির বর্গ $- 224$)।

$72x^2 - 16x^2 = 224$, তাই $56x^2 = 224$ এবং $x^2 = 4$, অর্থাৎ $x = 2$।

সংখ্যা দুটি $6$ ও $8$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $8 \times 6^2 - 8^2 = 288 - 64 = 224$ ✓।

উত্তর: ক) $6, 8$

39. তিনটি সংখ্যার অনুপাত $4 : 5 : 6$ এবং তাদের গড় $25$। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? [Three numbers are in the ratio 4 : 5 : 6 and their average is 25. The largest is]

ক) 30     খ) 32     গ) 36     ঘ) 42

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $4x, 5x, 6x$। গড় $= \dfrac{15x}{3} = 5x = 25$, তাই $x = 5$।

বৃহত্তম সংখ্যা $= 6x = 30$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $20, 25, 30$ এর গড় $= 25$ ✓।

উত্তর: ক) $30$

40. তিনটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4 : 6$ এবং তাদের গুণফল $1944$। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? [Three numbers are in the ratio 3 : 4 : 6 and their product is 1944. The largest number is]

ক) 6     খ) 12     গ) 18     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $3x, 4x, 6x$। $3x \times 4x \times 6x = 72x^3 = 1944$।

$x^3 = 27$, তাই $x = 3$। বৃহত্তম সংখ্যা $= 6x = 18$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9 \times 12 \times 18 = 1944$ ✓।

উত্তর: গ) $18$

41. তিনটি সংখ্যার যোগফল $136$। প্রথম ও দ্বিতীয়টির অনুপাত $2 : 3$ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির অনুপাত $5 : 3$ হলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত? [The sum of three numbers is 136. If the ratio between first and second be 2 : 3 and that between second and third is 5 : 3, then the second number is?]

ক) 40     খ) 48     গ) 60     ঘ) 72

সমাধান:

$A : B = 2 : 3 = 10 : 15$ ($5$ দিয়ে গুণ) এবং $B : C = 5 : 3 = 15 : 9$ ($3$ দিয়ে গুণ); দুটিতেই $B = 15$।

$A : B : C = 10 : 15 : 9$। অনুপাতের যোগফল $= 34$।

দ্বিতীয় সংখ্যা $= 136 \times \dfrac{15}{34} = 60$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা তিনটি $40, 60, 36$; যোগফল $136$ ✓ এবং $60 : 36 = 5 : 3$ ✓।

উত্তর: গ) $60$

42. একটি সংখ্যা ও তার তিন-পঞ্চমাংশের পার্থক্য $50$। সংখ্যাটি কত? [The difference between a number and its three-fifths is 50. What is the number?]

ক) 75     খ) 100     গ) 125     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $x - \dfrac{3}{5}x = 50$, অর্থাৎ $\dfrac{2}{5}x = 50$।

$x = 50 \times \dfrac{5}{2} = 125$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $125 - 75 = 50$ ✓।

উত্তর: গ) $125$

43. কোনো সংখ্যার সাথে তার দুই-পঞ্চমাংশ যোগ করলে যোগফল $455$ হয়। সংখ্যাটি কত? [If a number is added to two-fifths of itself, the value of obtained is 455. What is the number?]

ক) 325     খ) 350     গ) 400     ঘ) 420

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $x + \dfrac{2}{5}x = 455$, অর্থাৎ $\dfrac{7}{5}x = 455$।

$x = 455 \times \dfrac{5}{7} = 65 \times 5 = 325$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $325 + 130 = 455$ ✓।

উত্তর: ক) $325$

44. কোনো সংখ্যাকে তার দুই-তৃতীয়াংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল $864$ হয়। সংখ্যাটি কত? [If a number is multiplied by two-thirds of itself the value so obtained is 864. What is the number?]

ক) 34     খ) 36     গ) 38     ঘ) 44

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $x \times \dfrac{2}{3}x = 864$, অর্থাৎ $\dfrac{2}{3}x^2 = 864$।

$x^2 = 864 \times \dfrac{3}{2} = 1296$, তাই $x = 36$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $36 \times 24 = 864$ ✓।

উত্তর: খ) $36$

45. কোনো সংখ্যা থেকে $24$ বিয়োগ করলে তা সংখ্যাটির $\dfrac{4}{7}$ অংশের সমান হয়। সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল কত? [When 24 is subtracted from a number, it reduces to its four-seventh. What is the sum of the digits of that number?]

ক) 1     খ) 9     গ) 11     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $x - 24 = \dfrac{4}{7}x$, তাই $x - \dfrac{4}{7}x = 24$ অর্থাৎ $\dfrac{3}{7}x = 24$।

$x = 24 \times \dfrac{7}{3} = 56$।

অঙ্কগুলোর যোগফল $= 5 + 6 = 11$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $56 - 24 = 32 = \dfrac{4}{7} \times 56$ ✓।

উত্তর: গ) $11$

46. কোনো সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের এক-তৃতীয়াংশের মান $15$ হলে সংখ্যাটির তিন-দশমাংশের মান কত? [If one-third of one-fourth of a number is 15, then three-tenths of that number is?] (Exim Bank (Cash Officer) 2013)

ক) 35     খ) 36     গ) 45     ঘ) 54

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times x = 15$, তাই $\dfrac{x}{12} = 15$ এবং $x = 180$।

$\dfrac{3}{10} \times 180 = 54$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{1}{3}$ এর $\dfrac{1}{4}$ এর $180 = 15$ ✓।

উত্তর: ঘ) $54$

47. দুটি সংখ্যার পার্থক্য বড় সংখ্যাটির $20\%$। ছোট সংখ্যাটি $12$ হলে বড় সংখ্যাটি কত? [The difference of two numbers is 20% of the larger number. If the smaller number is 12, the larger one is]

ক) 15     খ) 16     গ) 18     ঘ) 20

সমাধান:

বড় সংখ্যা $x$। $x - 12 = 20\%$ of $x = \dfrac{x}{5}$।

$x - \dfrac{x}{5} = 12$, তাই $\dfrac{4x}{5} = 12$ এবং $x = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $15 - 12 = 3 = 20\%$ of $15$ ✓।

উত্তর: ক) $15$

48. কোনো সংখ্যাকে $13$ দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি $180$ বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটি কত? [A number when multiplied by 13 is increased by 180. The number is]

ক) 5     খ) 12     গ) 15     ঘ) 45

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $13x = x + 180$, তাই $12x = 180$ এবং $x = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $13 \times 15 = 195 = 15 + 180$ ✓।

উত্তর: গ) $15$

49. এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় কর যাকে $15$ দিয়ে গুণ করলে তা $196$ বৃদ্ধি পায়। [Find the number which when multiplied by 15 is increased by 196]

ক) 14     খ) 20     গ) 26     ঘ) 28

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $15x - x = 196$, তাই $14x = 196$ এবং $x = 14$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $15 \times 14 = 210 = 14 + 196$ ✓।

উত্তর: ক) $14$

50. কোনো সংখ্যাকে $4$ দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যাটি $21$ কমে যায়। সংখ্যাটি কত? [If a number, when divided by 4, is reduced by 21, the number is]

ক) 18     খ) 20     গ) 28     ঘ) 38

সমাধান:

সংখ্যা $x$। $\dfrac{x}{4} = x - 21$, তাই $x = 4x - 84$ এবং $3x = 84$।

$x = 28$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: সংখ্যাটির $\dfrac{3}{4}$ অংশ $= 21$ হলে $\dfrac{1}{4}$ অংশ $= 7$, তাই সংখ্যা $= 28$।

উত্তর: গ) $28$