Problems on Numbers Math Solutions for Bank Jobs: Part 1 (Q1-25)

অর্থাৎ বড় সংখ্যা বের করতে যোগফল ও বিয়োগফল যোগ করে অর্ধেক করুন; ছোট সংখ্যা বের করতে বিয়োগ করে অর্ধেক করুন।

২. বর্গের সূত্র: $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$; $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$; $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$; $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$।

৩. তিন সংখ্যা: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$।

৪. ধারাবাহিক সংখ্যা: সংখ্যা ধরুন $x, x+1, x+2, \ldots$ (জোড় বা বিজোড় হলে $x, x+2, x+4, \ldots$)। মাঝের সংখ্যাটিই গড়।

প্রশ্ন ও সমাধান

1. দুটি সংখ্যার যোগফল $33$ এবং তাদের বিয়োগফল $15$ হলে ছোট সংখ্যাটি কত? [If the sum of two numbers is 33 and their difference is 15, the smaller number is]

ক) 9     খ) 12     গ) 15     ঘ) 18

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$। $x + y = 33$ ... (i) এবং $x - y = 15$ ... (ii)।

(i) ও (ii) যোগ করে $2x = 48$, $x = 24$; তাই $y = 33 - 24 = 9$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: ছোট সংখ্যা $= \dfrac{33 - 15}{2} = 9$।

উত্তর: ক) $9$

2. দুটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল যথাক্রমে $20$ ও $8$ হলে তাদের বর্গের পার্থক্য কত? [If the sum and difference of two numbers are 20 and 8 respectively, then the difference of their square?]

ক) 12     খ) 28     গ) 160     ঘ) 180

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$। সূত্র: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$।

$x^2 - y^2 = 20 \times 8 = 160$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $14$ ও $6$; $14^2 - 6^2 = 196 - 36 = 160$ ✓।

উত্তর: গ) $160$

3. দুটি সংখ্যার যোগফল $25$ এবং তাদের পার্থক্য $13$। তাদের গুণফল কত? [The sum of two numbers is 25 and their difference is 13. Find their product.]

ক) 104     খ) 114     গ) 315     ঘ) 325

সমাধান:

সূত্র: $4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2$।

$4xy = 25^2 - 13^2 = 625 - 169 = 456$, তাই $xy = \dfrac{456}{4} = 114$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $19$ ও $6$; $19 \times 6 = 114$ ✓।

উত্তর: খ) $114$

4. দুটি সংখ্যার যোগফল $75$ এবং তাদের বিয়োগফল $25$। সংখ্যা দুটির গুণফল কত? [The sum of two numbers is 75 and their difference is 25. The product of the two numbers is]

ক) 1350     খ) 1250     গ) 125     ঘ) 1000

সমাধান:

বড় সংখ্যা $= \dfrac{75 + 25}{2} = 50$ এবং ছোট সংখ্যা $= \dfrac{75 - 25}{2} = 25$।

গুণফল $= 50 \times 25 = 1250$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $50 + 25 = 75$ এবং $50 - 25 = 25$ ✓।

উত্তর: খ) $1250$

5. দুটি সংখ্যার যোগফল $40$ এবং বিয়োগফল $4$। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত? [The sum of two numbers is 40 and their difference is 4. The ratio of the numbers is]

ক) $11 : 9$     খ) $11 : 18$     গ) $21 : 19$     ঘ) $22 : 9$

সমাধান:

$x + y = 40$ ও $x - y = 4$। যোগ করে $2x = 44$, $x = 22$ এবং $y = 40 - 22 = 18$।

অনুপাত $x : y = 22 : 18 = 11 : 9$।

ব্যাখ্যা: অনুপাত সবসময় লঘিষ্ঠ আকারে লিখুন; $22 : 18$ কে $2$ দিয়ে ভাগ করুন।

উত্তর: ক) $11 : 9$

6. দুটি সংখ্যার বিয়োগফল $10$ এবং সংখ্যা দুটির যোগফলের এক-পঞ্চমাংশের মান $8$ হলে ছোট সংখ্যাটি কত? [The difference between two numbers is 10 and one-fifth of their sum is equal to 8. Find the smaller number?]

ক) 28     খ) 45     গ) 35     ঘ) 15

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$ ($x > y$)। $x - y = 10$ ... (i)। যোগফলের $\dfrac{1}{5}$ অংশ $= 8$, তাই $x + y = 8 \times 5 = 40$ ... (ii)।

ছোট সংখ্যা $y = \dfrac{40 - 10}{2} = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বড় সংখ্যা $25$, $25 + 15 = 40$ এবং $25 - 15 = 10$ ✓।

উত্তর: ঘ) $15$

7. দুটি সংখ্যার গুণফল $192$ এবং যোগফল $28$। ছোট সংখ্যাটি কত? [The product of two numbers is 192 and the sum of these two numbers is 28. What is the smaller of these two numbers?]

ক) 12     খ) 14     গ) 16     ঘ) 18

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $(28 - x)$। $x(28 - x) = 192$, অর্থাৎ $x^2 - 28x + 192 = 0$।

উৎপাদকে ভেঙে $(x - 16)(x - 12) = 0$, তাই $x = 16$ বা $12$। ছোট সংখ্যা $12$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $12 + 16 = 28$ এবং $12 \times 16 = 192$ ✓।

উত্তর: ক) $12$

8. দুটি পূর্ণসংখ্যার পার্থক্য $5$ এবং গুণফল $500$। সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [The difference between two integers is 5. Their product is 500. Find the numbers.]

ক) $15, 20$     খ) $20, 25$     গ) $30, 25$     ঘ) $21, 26$

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $(x + 5)$। $x(x + 5) = 500$, অর্থাৎ $x^2 + 5x - 500 = 0$।

$(x + 25)(x - 20) = 0$, তাই ধনাত্মক $x = 20$। সংখ্যা দুটি $20$ ও $25$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: যে জোড়ার পার্থক্য $5$ এবং গুণফল $500$ সেটি $20, 25$।

উত্তর: খ) $20, 25$

9. দুটি সংখ্যার পার্থক্য $5$ এবং তাদের গুণফল $336$ হলে সংখ্যা দুটির যোগফল কত? [Two numbers differ by 5. If their product is 336, then the sum of the two numbers is]

ক) 21     খ) 28     গ) 37     ঘ) 51

সমাধান:

সূত্র: $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$।

$(x + y)^2 = 25 + 4 \times 336 = 25 + 1344 = 1369$, তাই $x + y = \sqrt{1369} = 37$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $21$ ও $16$; $21 - 16 = 5$ ও $21 \times 16 = 336$ ✓।

উত্তর: গ) $37$

10. দুটি সংখ্যার যোগফল $42$ এবং গুণফল $437$ হলে সংখ্যা দুটির পরম পার্থক্য কত? [If the sum of two numbers is 42 and their product is 437, then find the absolute difference between the numbers.]

সমাধান:

সূত্র: $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$।

$(x - y)^2 = 42^2 - 4 \times 437 = 1764 - 1748 = 16$, তাই $x - y = 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $23$ ও $19$; $23 + 19 = 42$ ও $23 \times 19 = 437$ ✓।

উত্তর: $4$

11. যে দুটি সংখ্যার গুণফল $1092$ এবং যোগফল তাদের বিয়োগফলের চেয়ে $42$ বেশি, তাদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি কত? [What is the greater of the two numbers whose product is 1092 and the sum of the two numbers exceeds their difference by 42]

ক) 44     খ) 48     গ) 52     ঘ) 54

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$ ($x > y$)। $xy = 1092$ এবং $(x + y) - (x - y) = 42$।

$2y = 42$, তাই $y = 21$। $21x = 1092$ থেকে $x = 52$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $52 \times 21 = 1092$ ✓; $(52 + 21) - (52 - 21) = 73 - 31 = 42$ ✓।

উত্তর: গ) $52$

12. দুটি সংখ্যার যোগফল $22$ এবং তাদের বর্গের যোগফল $404$ হলে সংখ্যা দুটির গুণফল কত? [If the sum of two numbers is 22 and the sum of their squares is 404, then the product of the numbers is] (Combined 6 Banks & 2 FIs (SO) 2019)

ক) 40     খ) 44     গ) 80     ঘ) 88

সমাধান:

সূত্র: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$।

$22^2 = 404 + 2xy$, অর্থাৎ $484 - 404 = 2xy$ এবং $xy = \dfrac{80}{2} = 40$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $20$ ও $2$; $20 + 2 = 22$, $400 + 4 = 404$, $20 \times 2 = 40$ ✓।

উত্তর: ক) $40$

13. দুটি সংখ্যার গুণফল $45$ এবং বর্গের যোগফল $106$। সংখ্যা দুটি কত? [The product of two numbers is 45 and the sum of their squares is 106. The numbers are]

ক) $3, 5$     খ) $5, 9$     গ) $5, 19$     ঘ) $45, 1$

সমাধান:

$xy = 45$ ও $x^2 + y^2 = 106$। $(x + y)^2 = 106 + 90 = 196$, তাই $x + y = 14$।

$(x - y)^2 = 106 - 90 = 16$, তাই $x - y = 4$।

যোগ করে $2x = 18$, $x = 9$ এবং $y = 5$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $5 \times 9 = 45$ এবং $25 + 81 = 106$ ✓।

উত্তর: খ) $5, 9$

14. দুটি সংখ্যার গুণফল $120$ এবং বর্গের যোগফল $289$। সংখ্যা দুটির যোগফল কত? [The product of two numbers is 120 and the sum of their squares is 289. The sum of the numbers is]

ক) 20     খ) 23     গ) 169     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 289 + 240 = 529$।

$x + y = \sqrt{529} = 23$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $15$ ও $8$; $225 + 64 = 289$ এবং $15 \times 8 = 120$ ✓।

উত্তর: খ) $23$

15. একটি সংখ্যা ও তার বর্গের যোগফল $182$ হলে সংখ্যাটি কত? [If the sum of a number and its square is 182, what is the number?]

ক) 15     খ) 26     গ) 28     ঘ) 91

সমাধান:

সংখ্যা $x$ হলে $x + x^2 = 182$, অর্থাৎ $x^2 + x - 182 = 0$।

$(x + 14)(x - 13) = 0$, তাই $x = 13$ (অথবা $-14$)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $13 + 169 = 182$ ✓।

উত্তর: $13$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে এই প্রশ্নের উত্তর (ঘ) $91$ দেওয়া হয়েছে, কিন্তু $91 + 91^2 = 8372$, যা $182$ নয়। সঠিক উত্তর $13$; অপশনগুলোতে $13$ নেই (মূল প্রশ্নে অপশনের ছাপার ভুল হতে পারে)।

16. দুটি সংখ্যার পার্থক্য $3$ এবং তাদের বর্গের পার্থক্য $63$ হলে বড় সংখ্যাটি কত? [The difference between two numbers is 3 and the difference between their squares is 63. larger number?]

ক) 9     খ) 12     গ) 15     ঘ) নির্ণয় করা সম্ভব নয়

সমাধান:

$x - y = 3$ ... (i) এবং $x^2 - y^2 = 63$, অর্থাৎ $(x + y)(x - y) = 63$ ... (ii)।

(ii) কে (i) দিয়ে ভাগ করে $x + y = 21$।

(i) ও এটি যোগ করে $2x = 24$, তাই $x = 12$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ছোট সংখ্যা $9$; $144 - 81 = 63$ ✓।

উত্তর: খ) $12$

17. দুটি সংখ্যার বর্গের পার্থক্য $256000$ এবং সংখ্যা দুটির যোগফল $1000$ হলে সংখ্যা দুটি কত? [The difference between the squares of two numbers is 256000 and the sum of the numbers is 1000, the numbers are]

ক) $600, 400$     খ) $628, 372$     গ) $640, 360$     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 256000$ এবং $x + y = 1000$।

ভাগ করে $x - y = \dfrac{256000}{1000} = 256$।

$x + y = 1000$ ও $x - y = 256$ যোগ করে $2x = 1256$, তাই $x = 628$ এবং $y = 372$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $628 + 372 = 1000$ ও $628 - 372 = 256$ ✓।

উত্তর: খ) $628, 372$

18. একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার $20$ গুণ সংখ্যাটির বর্গের চেয়ে $96$ কম। সংখ্যাটি কত? [Twenty times a positive integer is less than its square by 96. What is the integer?]

ক) 20     খ) 24     গ) 30     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা $x$ হলে $x^2 - 20x = 96$, অর্থাৎ $x^2 - 20x - 96 = 0$।

$(x + 4)(x - 24) = 0$, ধনাত্মক $x = 24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $24^2 = 576$ এবং $20 \times 24 = 480$; $576 - 480 = 96$ ✓।

উত্তর: খ) $24$

19. দুটি সংখ্যার যোগফল $37$ এবং তাদের বর্গের বিয়োগফল $185$ হলে সংখ্যা দুটির পার্থক্য কত? [The sum of two number is 37 and the difference of their squares is 185, then the difference between the two numbers is]

ক) 10     খ) 4     গ) 5     ঘ) 3

সমাধান:

$a + b = 37$ এবং $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 185$।

$37(a - b) = 185$, তাই $a - b = \dfrac{185}{37} = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $21$ ও $16$; $441 - 256 = 185$ ✓।

উত্তর: গ) $5$

20. দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গের যোগফল $100$ এবং বর্গের পার্থক্য $28$। সংখ্যা দুটির যোগফল কত? [The sum of the squares of two positive integers is 100 and the difference of their squares is 28. The sum of the numbers is]

ক) 12     খ) 13     গ) 14     ঘ) 15

সমাধান:

$a^2 + b^2 = 100$ ... (i) এবং $a^2 - b^2 = 28$ ... (ii) ($a > b$)।

যোগ করে $2a^2 = 128$, $a^2 = 64$ ও $a = 8$। (i) থেকে $b^2 = 100 - 64 = 36$ ও $b = 6$।

যোগফল $a + b = 8 + 6 = 14$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $64 + 36 = 100$ ও $64 - 36 = 28$ ✓।

উত্তর: গ) $14$

21. তিনটি সংখ্যার বর্গের যোগফল $138$ এবং ওই সংখ্যা থেকে প্রতিবার দুটি করে নিয়ে গুণফলের যোগফল $131$ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত? [The sum of the squares of three numbers is 138. While the sum of their products taken two at a time is 131. Their sum is]

ক) 20     খ) 30     গ) 40     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা $a, b, c$। সূত্র: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$।

$(a + b + c)^2 = 138 + 2 \times 131 = 138 + 262 = 400$।

$a + b + c = \sqrt{400} = 20$।

ব্যাখ্যা: যোগফল ধনাত্মক ধরা হয়েছে; $\sqrt{400} = 20$।

উত্তর: ক) $20$

22. চারটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার গড় $27$। সংখ্যাগুলোর মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি নির্ণয় কর। [The average of four consecutive even numbers is 27. Find the largest of these numbers.]

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+2, x+4, x+6$। মোট $= 27 \times 4 = 108$।

$4x + 12 = 108$, তাই $4x = 96$ এবং $x = 24$।

বৃহত্তম $= x + 6 = 30$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: মাঝের দুটি সংখ্যার গড় $27$, অর্থাৎ $26$ ও $28$; তাই সংখ্যাগুলো $24, 26, 28, 30$।

উত্তর: $30$

23. একটি গণিত পরীক্ষায় $5$ জন পরীক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর পাঁচটি ক্রমিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। তাদের মোট নম্বর $185$ হলে সর্বোচ্চ নম্বর কত? [In a Mathematics examination the number scored by 5 candidates are 5 successive odd integers. If their total marks are 185, the highest score is]

ক) 39     খ) 43     গ) 41     ঘ) 47

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+2, x+4, x+6, x+8$। $5x + 20 = 185$, তাই $5x = 165$ এবং $x = 33$।

সর্বোচ্চ নম্বর $= x + 8 = 41$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: গড় $= \dfrac{185}{5} = 37$ (মাঝের সংখ্যা); সর্বোচ্চ $= 37 + 4 = 41$।

উত্তর: গ) $41$

24. চারটি ধারাবাহিক জোড় পূর্ণসংখ্যার যোগফল $1284$ হলে এদের মধ্যে বৃহত্তমটি কত? [The sum of four consecutive even integers is 1284. the greatest of them is]

ক) 320     খ) 322     গ) 324     ঘ) 326

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+2, x+4, x+6$। $4x + 12 = 1284$, তাই $4x = 1272$ এবং $x = 318$।

বৃহত্তম $= x + 6 = 324$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: গড় $= \dfrac{1284}{4} = 321$; মাঝের দুটি $320$ ও $322$, তাই বৃহত্তম $324$।

উত্তর: গ) $324$

25. সাতটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল $175$। বৃহত্তম সংখ্যার দ্বিগুণ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার তিনগুণের পার্থক্য কত? [The sum of seven consecutive numbers is 175. What is the difference between twice the largest number and thrice the smallest number?]

ক) 7     খ) 8     গ) 10     ঘ) 12

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+1, \ldots, x+6$। $7x + 21 = 175$, তাই $7x = 154$ এবং $x = 22$।

বৃহত্তম $= 28$, ক্ষুদ্রতম $= 22$। বৃহত্তমের দ্বিগুণ $= 56$ এবং ক্ষুদ্রতমের তিনগুণ $= 66$।

পার্থক্য $= 66 - 56 = 10$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 175$ ✓।

উত্তর: গ) $10$