Problems on Ages Math Solutions for Bank Jobs (Q1-16)

২. সময়ের পরিবর্তন: $n$ বছর পরে সবার বয়স $n$ করে বাড়ে এবং $n$ বছর আগে $n$ করে কমে। দুজনের বয়সের পার্থক্য কখনো বদলায় না।

৩. গড় বয়স: মোট বয়স $=$ গড় $\times$ সদস্য সংখ্যা। $n$ বছর পরে $m$ জনের মোট বয়স $n \times m$ বাড়ে। পরিবারে নতুন সদস্য এলে সদস্য সংখ্যাও বদলায়।

৪. "$k$ গুণ বেশি" ও "$k$ গুণ": প্রচলিত বইয়ের অঙ্কে "পুত্রের তিনগুণ বেশি" বলতে অনেক সময় মোট চারগুণ ধরা হয় (এই পর্বের ৪ নম্বরে তাই করা হয়েছে)। প্রশ্নের উত্তরের সাথে অপশন মিলিয়ে ব্যাখ্যা ঠিক করুন।

প্রশ্ন ও সমাধান

1. একটি পরিবারের সব সদস্যের (সন্তান ও পিতা-মাতা) বয়সের যোগফল $360$ বছর। সন্তানদের মোট বয়স ও পিতা-মাতার মোট বয়সের অনুপাত $2 : 1$ এবং স্ত্রী ও স্বামীর বয়সের অনুপাত $5 : 7$। স্বামীর বয়স কত? [The sum of ages of family members (both children and parents) is 360 years. The total ages of children and parents are in the ratio 2:1 and the ages of wife and husband are in the ratio 5:7. What will be the age of husband?]

ক) $65$     খ) $75$     গ) $72$     ঘ) $70$

সমাধান:

সন্তান : পিতা-মাতা $= 2 : 1$, তাই পিতা-মাতার মোট বয়স $= 360 \times \dfrac{1}{3} = 120$ বছর।

স্ত্রী ও স্বামীর অনুপাত $5 : 7$, তাই স্বামীর বয়স $= 120 \times \dfrac{7}{12} = 70$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: স্ত্রী $= 50$, স্বামী $= 70$, যোগফল $120$ ✓।

উত্তর: ঘ) $70$

2. অনুজের বর্তমান বয়স থেকে $6$ বিয়োগ করে বিয়োগফলকে $18$ দিয়ে ভাগ করলে তার নাতি গোপালের বর্তমান বয়স পাওয়া যায়। গোপাল মোহনের চেয়ে $2$ বছরের ছোট, যার বয়স $5$ বছর। অনুজের বয়স কত? [If 6 years are subtracted from the present age of Anuj and the remainder is divided by 18, then the present age of his grandson Gopal is obtained. If Gopal is 2 years younger to Mohan whose age is 5 years, then what is the age of Anuj?]

ক) $44$     খ) $60$     গ) $80$     ঘ) $92$

সমাধান:

মোহনের বয়স $5$, তাই গোপালের বয়স $= 5 - 2 = 3$ বছর।

অনুজের বয়স $x$ ধরি। $\dfrac{x - 6}{18} = 3$, তাই $x - 6 = 54$ এবং $x = 60$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{60 - 6}{18} = 3$ ✓।

উত্তর: খ) $60$

3. নেহার বর্তমান বয়স থেকে $6$ বিয়োগ করে বিয়োগফলকে $6$ দিয়ে ভাগ করলে মিয়ার বর্তমান বয়স পাওয়া যায়। মিয়া রাজের চেয়ে $4$ বছরের ছোট, যার বয়স $12$ বছর। নেহার বয়স নির্ণয় কর। [If 6 is subtracted from the present age of Neha and the remainder is divided by 6, then the present age of Mia is obtained. If Mia is 4 years younger to Raj whose age is 12 years, then find the age of Neha.]

ক) $50$     খ) $52$     গ) $54$     ঘ) $58$

সমাধান:

রাজের বয়স $12$, তাই মিয়ার বয়স $= 12 - 4 = 8$ বছর।

নেহার বয়স $N$। $\dfrac{N - 6}{6} = 8$, তাই $N - 6 = 48$ এবং $N = 54$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{54 - 6}{6} = 8$ ✓।

উত্তর: গ) $54$

4. পিতার বয়স তার পুত্র মোহিতের বয়সের তিনগুণ বেশি। $8$ বছর পরে পিতার বয়স মোহিতের বয়সের আড়াইগুণ হবে। আরও $8$ বছর পরে পিতার বয়স মোহিতের বয়সের কত গুণ হবে (অনুপাতে)? [Father is aged three times more than his son Mohit. After 8 years, he would be two and a half times of Mohit’s age. After further 8 years, how many times would he be of Mohit’s age?]

ক) $4 : 3$     খ) $2 : 1$     গ) $2 : 5$     ঘ) $3 : 1$

সমাধান:

মোহিতের বয়স $x$। "তিনগুণ বেশি" ধরে পিতার বয়স $= x + 3x = 4x$।

$8$ বছর পরে: $4x + 8 = 2.5(x + 8)$, অর্থাৎ $4x + 8 = 2.5x + 20$, তাই $1.5x = 12$ এবং $x = 8$।

মোহিত $8$ ও পিতা $32$। আরও $8$ বছর পরে (এখন থেকে $16$ বছর পরে): পিতা $48$, মোহিত $24$।

অনুপাত $= \dfrac{48}{24} = 2 : 1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $8$ বছর পরে পিতা $40$, মোহিত $16$; $40 = 2.5 \times 16$ ✓।

উত্তর: খ) $2 : 1$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: "তিনগুণ বেশি" মানে এখানে মোহিতের বয়সের সাথে আরও তিনগুণ যোগ, অর্থাৎ মোট চারগুণ ধরা হয়েছে। "তিনগুণ" ধরলে ($3x$) সমীকরণ থেকে $x$ পূর্ণসংখ্যা আসে না এবং উত্তর অপশনে মেলে না।

5. $15$ বছর আগে চার সদস্যের একটি পরিবারের গড় বয়স ছিল $40$ বছর। এই $15$ বছরে দুটি শিশু জন্মেছে এবং পরিবারের বর্তমান গড় বয়স অপরিবর্তিত আছে। শিশু দুটির মধ্যে বড়টি ছোটটির চেয়ে $8$ বছরের বড় হলে বড় শিশুর বয়স ও ছোট শিশুর বয়সের বর্তমান অনুপাত কত? [15 years ago the average age of a family of four members was 40 years. Two children were born in this span of 15 years. The present average of the family remains unchanged. Among the two children who were born during the 15 years, if the older child at present is 8 years older than the younger one, what is the ratio of the present age of the older child to the present age of the younger child?]

ক) $9 : 4$     খ) $7 : 3$     গ) $7 : 6$     ঘ) $7 : 4$

সমাধান:

$15$ বছর আগে চারজনের মোট বয়স $= 40 \times 4 = 160$।

এখন ওই চারজনের মোট বয়স $= 160 + 15 \times 4 = 220$।

এখন ছয়জনের গড় $40$, তাই মোট বয়স $= 40 \times 6 = 240$। দুই শিশুর মোট বয়স $= 240 - 220 = 20$।

ছোট শিশু $x$, বড় $x + 8$। $2x + 8 = 20$, তাই $x = 6$ ও বড় $= 14$।

অনুপাত $= 14 : 6 = 7 : 3$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $6 + 14 = 20$ এবং $220 + 20 = 240 = 40 \times 6$ ✓।

উত্তর: খ) $7 : 3$

6. জেমসের বর্তমান বয়স তার পিতার বর্তমান বয়সের $\dfrac{2}{7}$ অংশ। জেমসের ভাই জেমসের চেয়ে $3$ বছরের বড়। জেমসের পিতা ও ভাইয়ের বর্তমান বয়সের অনুপাত $14 : 5$। জেমসের বর্তমান বয়স কত? [James’ present age is 2/7th of his father’s present age. James’ brother is three year older to James. The respective ratio between present ages of James’ father and James’ brother is 14:5. What is the present age of James?]

ক) $12$ বছর     খ) $23$ বছর     গ) $19$ বছর     ঘ) $27$ বছর

সমাধান:

পিতা $7x$, জেমস $2x$ এবং ভাই $2x + 3$।

$\dfrac{7x}{2x + 3} = \dfrac{14}{5}$, তাই $35x = 28x + 42$ এবং $x = 6$।

জেমসের বয়স $= 2x = 12$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: পিতা $42$, ভাই $15$; $42 : 15 = 14 : 5$ ✓।

উত্তর: ক) $12$ বছর

7. বীণার বর্তমান বয়স তার ছেলের বর্তমান বয়সের তিনগুণ এবং তার পিতার বর্তমান বয়সের $\dfrac{2}{5}$ অংশ। সবার বর্তমান বয়সের গড় $46$ বছর। বীণার ছেলের ও বীণার পিতার বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত? [Veena’s present age is three times her son’s present age and two fifth of her father’s present age. The average of present age of all of them is 46 yrs. What is the difference between the Veena’s son’s present age and Veena’s father’s present age?]

ক) $68$ বছর     খ) $78$ বছর     গ) $58$ বছর     ঘ) $88$ বছর

সমাধান:

ছেলে $2x$, বীণা $6x$। বীণা পিতার $\dfrac{2}{5}$ অংশ, তাই পিতা $= 6x \times \dfrac{5}{2} = 15x$। (ল.সা.গু. ধরে অনুপাত পাওয়া যায়।)

তিনজনের মোট বয়স $= 46 \times 3 = 138$, তাই $2x + 6x + 15x = 23x = 138$ এবং $x = 6$।

পার্থক্য $= 15x - 2x = 13x = 78$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ছেলে $12$, বীণা $36$, পিতা $90$; গড় $\dfrac{138}{3} = 46$ ✓, পার্থক্য $90 - 12 = 78$ ✓।

উত্তর: খ) $78$ বছর

8. রবির বর্তমান বয়স তার ছেলের বর্তমান বয়সের তিনগুণ এবং তার পিতার বর্তমান বয়সের $\dfrac{4}{5}$ অংশ। সবার বর্তমান বয়সের গড় $62$ বছর। রবির ছেলের ও রবির পিতার বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত? [Ravi’s present age is three times his son’s present age and 4/5th of his father’s present age. The average of the present ages of all of them is 62 years. What is the difference between the Ravi’s son’s present age and Ravi’s father’s present age?]

ক) $62$ বছর     খ) $64$ বছর     গ) $66$ বছর     ঘ) $67$ বছর

সমাধান:

রবি $= 12x$, ছেলে $= 4x$ এবং পিতা $= 12x \times \dfrac{5}{4} = 15x$।

মোট বয়স $= 62 \times 3 = 186$, তাই $31x = 186$ এবং $x = 6$।

পার্থক্য $= 15x - 4x = 11x = 66$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ছেলে $24$, রবি $72$, পিতা $90$; গড় $\dfrac{186}{3} = 62$ ✓।

উত্তর: গ) $66$ বছর

9. সিলভিয়ার বিয়ে হয়েছে $8$ বছর আগে। আজ তার বয়স বিয়ের সময়ের বয়সের $\dfrac{9}{7}$ গুণ। এখন তার ছেলের বয়স সিলভিয়ার বয়সের $\dfrac{1}{6}$ অংশ। $4$ বছর আগে ছেলের বয়স কত ছিল? [Silvia was married 8 year ago. Today her age is 9/7 times to that time of marriage. At present his son’s age is 1/6th of her age. What was her son’s age 4 year ago?]

ক) $4$ বছর     খ) $2$ বছর     গ) $3$ বছর     ঘ) $5$ বছর

সমাধান:

বিয়ের সময় বয়স $x$, বর্তমান বয়স $x + 8$। $x + 8 = \dfrac{9}{7}x$, তাই $7x + 56 = 9x$ এবং $x = 28$।

বর্তমান বয়স $= 36$। ছেলের বর্তমান বয়স $= 36 \times \dfrac{1}{6} = 6$।

$4$ বছর আগে ছেলের বয়স $= 6 - 4 = 2$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $36 = \dfrac{9}{7} \times 28$ ✓।

উত্তর: খ) $2$ বছর

10. রিতুর বিয়ে হয়েছে $6$ বছর আগে। আজ তার বয়স বিয়ের সময়ের বয়সের $\dfrac{5}{4}$ গুণ। তার মেয়ের বয়স রিতুর বয়সের $\dfrac{1}{5}$ অংশ। $6$ বছর পরে রিতুর বয়স ও তার মেয়ের বয়সের অনুপাত কত? [Ritu married 6 years ago. Today her age is 5/4 times her age at the time of her marriage. Her daughter age is 1/5 of her age. What is the ratio of Ritu age to her daughter age after 6 years?]

ক) $2 : 1$     খ) $3 : 1$     গ) $4 : 3$     ঘ) $5 : 2$

সমাধান:

রিতুর বর্তমান বয়স $R$। $R = \dfrac{5}{4}(R - 6)$, তাই $4R = 5R - 30$ এবং $R = 30$।

মেয়ের বয়স $= \dfrac{30}{5} = 6$ বছর।

$6$ বছর পরে অনুপাত $= (30 + 6) : (6 + 6) = 36 : 12 = 3 : 1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বিয়ের সময় রিতুর বয়স $24$ এবং $\dfrac{5}{4} \times 24 = 30$ ✓।

উত্তর: খ) $3 : 1$

11. অজয়ের বিয়ে হয়েছে $6$ বছর আগে। তার বর্তমান বয়স বিয়ের সময়ের বয়সের $\dfrac{5}{4}$ গুণ। বিয়ের সময় অজয়ের ভাই তার চেয়ে $5$ বছরের ছোট ছিল। অজয়ের ভাইয়ের বর্তমান বয়স কত? [Ajay got married 6 years ago. His present age is 5/4 times his age at the time of his marriage. Ajay’s brother was 5 years younger to him at the time of his marriage. What is the present age of Ajay’s brother?]

ক) $22$ বছর     খ) $11$ বছর     গ) $25$ বছর     ঘ) $19$ বছর

সমাধান:

অজয়ের বর্তমান বয়স $x$। $x = \dfrac{5}{4}(x - 6)$, তাই $4x = 5x - 30$ এবং $x = 30$।

দুজনের বয়সের পার্থক্য সবসময় সমান থাকে। ভাই অজয়ের চেয়ে $5$ বছরের ছোট, তাই ভাইয়ের বর্তমান বয়স $= 30 - 5 = 25$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বিয়ের সময় অজয় $24$ ও ভাই $19$; $6$ বছর পরে ভাই $25$ ✓।

উত্তর: গ) $25$ বছর

12. আট বছর আগে পূর্বীর বয়স তার এক ছেলে ও এক মেয়ের বর্তমান বয়সের যোগফলের সমান ছিল। পাঁচ বছর পরে তার মেয়ে ও ছেলের বয়সের অনুপাত হবে $7 : 6$। পূর্বীর স্বামী তার চেয়ে $7$ বছরের বড় এবং স্বামীর বর্তমান বয়স তাদের ছেলের বর্তমান বয়সের তিনগুণ হলে মেয়ের বর্তমান বয়স কত? [Eight years ago, Poorvi’s age was equal to the sum of the present ages of her one son and one daughter. Five years hence, the respective ratio between the ages of her daughter and her son that time will be 7:6. If Poorvi’s husband is 7 years elder to her and his present age is three times the present age of their son, what is the present age of the daughter?]

ক) $15$ বছর     খ) $23$ বছর     গ) $19$ বছর     ঘ) $27$ বছর

সমাধান:

পূর্বী $P$, ছেলে $S$, মেয়ে $D$, স্বামী $H$। শর্ত: $P - 8 = S + D$ ... (i)।

$\dfrac{D + 5}{S + 5} = \dfrac{7}{6}$, তাই $6D + 30 = 7S + 35$ ... (ii)।

$H = P + 7$ ও $H = 3S$, তাই $P = 3S - 7$ ... (iii)।

(iii) কে (i) এ বসিয়ে $3S - 15 = S + D$, অর্থাৎ $D = 2S - 15$।

(ii) এ বসিয়ে $6(2S - 15) + 30 = 7S + 35$, অর্থাৎ $12S - 60 = 7S + 35$, তাই $S = 19$।

$D = 2 \times 19 - 15 = 23$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $P = 50$, $H = 57 = 3 \times 19$ ✓, $P - 8 = 42 = 19 + 23$ ✓, $\dfrac{28}{24} = \dfrac{7}{6}$ ✓।

উত্তর: খ) $23$ বছর

13. মি. সুরেশের তিন মেয়ে রম্যা, অনিতা ও কিরণ। রম্যা সবচেয়ে বড় এবং কিরণ সবচেয়ে ছোট। তিনজনের বর্তমান বয়স বর্গসংখ্যা। $5$ বছর পরে তিনজনের বয়সের যোগফল $44$। দুই বছর পরে রম্যার বয়স কত হবে? [Mr. Suresh has three daughters namely Ramya, Anita and Kiran. Ramya is the eldest daughter of Mr. Suresh while Kiran is the youngest one. The present ages of all three of them are square numbers. The sum of their ages after 5 years is 44. What is the age of Ramya after two years?]

ক) $15$ বছর     খ) $13$ বছর     গ) $18$ বছর     ঘ) $17$ বছর

সমাধান:

বর্তমান বয়স $a, b, c$ হলে $(a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = 44$, তাই $a + b + c = 29$।

বর্গসংখ্যা: $1, 4, 9, 16, 25$। এদের মধ্যে তিনটির যোগফল $29$ হয় একমাত্র $4 + 9 + 16$ (কারণ $25$ নিলে বাকি দুটির যোগফল $4$ হয়, যা দুই ভিন্ন ধনাত্মক বর্গের যোগফল নয়)।

রম্যা সবচেয়ে বড়, তাই বর্তমান বয়স $16$। দুই বছর পরে $16 + 2 = 18$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $4 + 9 + 16 = 29$ এবং $5$ বছর পরে $9 + 14 + 21 = 44$ ✓।

উত্তর: গ) $18$ বছর

14. $3$ বছর পরে অরুণ লিলির অর্ধেক বয়সী হবে। $5$ বছর পরে অরুণ জেমসের এক-তৃতীয়াংশ বয়সী হবে। জেমস লিলির চেয়ে $15$ বছরের বড় হলে অরুণের বয়স কত? [Arun will be half as old as Lilly in 3 years. Arun will also be one-third as old as James in 5 years. If James is 15 years older than Lilly, how old is Arun?]

ক) $6$     খ) $8$     গ) $9$     ঘ) $5$

সমাধান:

অরুণ $x$, লিলি $y$, জেমস $z$। $x + 3 = \dfrac{1}{2}(y + 3)$, তাই $2x - y = -3$ ... (i)।

$x + 5 = \dfrac{1}{3}(z + 5)$, তাই $3x - z = -10$ ... (ii)।

$z = y + 15$। (ii) এ বসিয়ে $3x - y - 15 = -10$, অর্থাৎ $3x - y = 5$ ... (iii)।

(iii) থেকে (i) বিয়োগ করে $x = 8$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $y = 19$, $z = 34$; $11 = \dfrac{22}{2}$ ✓ এবং $13 = \dfrac{39}{3}$ ✓।

উত্তর: খ) $8$

15. মানি ও নবীনের বয়সের অনুপাত $5 : A$। মানি রবির চেয়ে $18$ বছরের ছোট। নয় বছর পরে রবির বয়স হবে $47$ বছর। নবীন ও মানির বয়সের পার্থক্য রবির বয়সের সমান হলে $A$ এর মান কত? [Ratio of the ages of Mani and Naveen is 5 : A. Mani is 18 years younger to Ravi. After nine years Ravi will be 47 years old. If the difference between the ages of Naveen and Mani is same as the age of Ravi, what is the value of A?]

ক) $16.5$     খ) $18.5$     গ) $19.5$     ঘ) $14.5$

সমাধান:

মানি $x$, নবীন $y$, রবি $z$। $z + 9 = 47$, তাই $z = 38$।

$x = z - 18 = 20$।

$y - x = z$, তাই $y = 38 + 20 = 58$।

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{A}$ থেকে $\dfrac{20}{58} = \dfrac{5}{A}$, তাই $A = \dfrac{5 \times 58}{20} = 14.5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $20 : 58 = 5 : 14.5$ ✓।

উত্তর: ঘ) $14.5$

16. রাজেশের জন্মের সময় তার পিতার বয়স তার ভাইয়ের চেয়ে $29$ বছর বেশি এবং মাতার বয়স তার বোনের চেয়ে $25$ বছর বেশি ছিল। ভাই বোনের চেয়ে $2$ বছরের বড়। $6$ বছর পরে পরিবারের (রাজেশসহ ৫ জনের) গড় বয়স হবে $20$। রাজেশের জন্মের সময় মাতার বয়স কত ছিল? [When Rajesh was born, his father age was 29 years older than his Brother and his Mother was 25 years older than his Sister. If his Brother is 2 years elder than his Sister. After 6 years the average age of the family is 20. Then what is the age of Mother when Rajesh was born?]

ক) $27$     খ) $28$     গ) $29$     ঘ) $30$

সমাধান:

রাজেশের জন্মের সময় বোনের বয়স $x$। তাহলে ভাই $= x + 2$, পিতা $= x + 2 + 29 = x + 31$, মাতা $= x + 25$ এবং রাজেশ $0$।

চারজনের মোট বয়স $= x + (x + 2) + (x + 31) + (x + 25) = 4x + 58$।

$6$ বছর পরে পাঁচজনের প্রত্যেকের বয়স $6$ করে বাড়বে, মোট বাড়বে $30$। নতুন মোট $= 4x + 88$।

গড় $20$, তাই মোট $= 100$। $4x + 88 = 100$, অর্থাৎ $x = 3$।

মাতার বয়স $= x + 25 = 28$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বোন $3$, ভাই $5$, পিতা $34$, মাতা $28$, রাজেশ $0$। $6$ বছর পরে মোট $= 70 + 30 = 100$ ও গড় $20$ ✓।

উত্তর: খ) $28$